结构力学 薄壁工程梁理论课件

飞行器结构力学基础航空学院·航空结构工程系6.1概述工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁，剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。第6章薄壁工程梁理论实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用有限元法求解也比较麻烦。6.1.1简化假设（1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。横剖面可以发生翘曲（），但在自身平面内的投影形状不变；（2）剖面上正应力和切应力沿壁厚均匀分布。切应力τ平行于壁中线的切线。可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整，形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就是工程梁理论的思路。（3）应变平面分布—待定常数则正应力：弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做自由弯曲和自由扭转。当翘曲受限时，叫做限制弯曲和限制扭转，产生附加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理论不适用于翼根或梁的固定端。6.1.2剖面坐标系及符号规定（1）坐标系

x轴和y轴在剖面内，z轴平行于母线（展向），x、y、z构成右手坐标系。通常坐标原点位于剖面上全部能够承受正应力的面积的形心上。正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合力的关系而定。—正应力—切应力剖面应力（分布形式的内力）：准确地讲，是剖面分布内力的合力。（2）剖面内力矢量正方向与坐标轴正向一致。6.2自由弯曲时正应力的计算剖面上6个内力合力中，Mz、Qx、Qy不引起弯曲正应力。壁上一点（x,y）处：正应力该点处取微段ds微段面积为，微段上正应力的合力为。三个平衡方程：6.2.1公式推导当x，y轴是任意形心轴的情况，正应力的计算公式为:分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。式中，；；（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。则（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。则也就是说，只需要把元件的面积作减缩，，这时对应的正应力就是，仍可按下式计算应力主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。然后通过换算成真实的正应力。6.2.3具有集中面积的薄壁结构正应力计算薄壁结构中如果蒙皮比较薄，其承受正应力的能力有限，而梁、桁条等加强元件承受正应力能力较强。有时可以让蒙皮承受剪切，而将其承受正应力的能力折算到梁、桁条等的集中面积上去，组成新的承受正应力的集中面积。薄壁结构中，梁缘、桁条等元件的剖面积相对于结构的剖面很小，可以近似地看成集中面积。承受正应力的桁条与承受切应力的蒙皮之间的传力关系杆-板模型t计算具有集中面积的薄壁梁正应力时，只有集中面积可以承受正应力。确定剖面几何性质时：dzs6.3自由弯曲时开剖面切应力的计算图示开剖面薄壁梁，欲求一截面上点b处的剪流q，。假设x、y轴为形心主轴，b点所在剖面仅受弯矩Mx和剪力Qy作用，其余内力为零。则该剖面上正应力的公式为：取微面积abcd，ad边无剪流，b点处剖面剪流为q，则bc边的剪流为q。如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为例6-2求图示槽型截面在剪力Qy作用下的剪流。剖面周边的厚度均为t。解：x轴是对称轴，必然是形心主轴。O12345O计算惯性矩：求静矩分布：1-2段：2-3段：Sx剖面下半部分静矩与上半部分对称。例6-3求工字梁剖面在剪力Qy作用下的剪流。剖面周边的厚度均为t。解：x轴是对称轴，必然是形心主轴。计算惯性矩：求静矩分布：省略一项：求静矩分布：1-2段：3-2段：2-7段：剖面下半部分静矩与上半部分对称。静矩有继承性。例6-4求圆形开剖面结构在剪力Qy作用下的剪流。设壁厚为t。解：x、y轴是形心主轴计算惯性矩：有两种办法计算惯性矩：计算静矩分布：计算剪流分布：6.4自由弯曲时单闭室剖面切应力的计算单闭室剖面薄壁梁。任意剖面上的内力为为简化分析，先考虑梁剖面围绕x轴发生自由弯曲时（譬如，在Qy作用下）的切应力计算。取微面积abcd，b点处剪流q待求。则bc边上的剪流也是q。设ad边剪流为q0。ab边和cd边上的轴力差与q和q0有关。根据力矩平衡计算q0：以任意点为力矩极点，并设剖面上内力引起的关于该点的力矩为，则q0为常数，则有为闭合周边所围成的面积的2倍。由此解出力矩极点的选择是任意的，（2）如果单闭室剖面只承受扭矩Mz，这时（1）如果单闭室剖面只承受剪力，可以将力矩极点选在合力作用线上，则有根据力矩极点的不同位置，有几种特例，可使剪流计算简化：*（3）选对应的开剖面的弯心（将在后面讨论）作为力矩极点，则有这时剖面上就只有扭矩Mz（包括力移到开剖面弯心时产生的力矩），因此例6-6计算单闭室剖面薄壁结构在剪力Qy作用下的剪流。解：x为形心主轴。计算惯性矩：注意：有忽略项选择切口，计算静矩分布：在0点处切口，作为计算静矩的起点。则计算对应开剖面剪流：按照合力的观点。求切口处的真实剪流q0：以点为力矩极点，则有按照合力的观点，q0的正方向应与扭矩的正向（逆钟向）一致，负值表示q0的实际方向是顺时针方向。最后，求出闭剖面剪流q：在圆弧段某处做切口，绘出静矩分布图。例6-7计算四缘条闭合剖面梁在剪力Qy作用下的剪流。设壁不承受正应力，缘条集中面积A1=50mm2，A2=200mm2，b=60mm，c=100mm，Qy=90000N。解：x为形心主轴。对应开剖面剪流为：图中：由此可绘出的力图。以3点为力矩极点，剖面总剪流：6.5开剖面弯心的计算如果开剖面受扭矩Mz的作用。把开剖面看成是某闭剖面压扁形成，这时说明薄壁开剖面将不能承受扭矩，或者说很小的扭矩就能产生巨大的扭转变形。弯曲剪流的合力，亦即剖面上的剪力的作用点必为一固定点，称为开剖面的弯心。当外力通过开剖面的弯心时，结构只产生弯曲变形，无扭转。薄壁开剖面的剪流只能是弯曲剪流。根据弯心的意义，假定剖面上的剪力只有Qy，则该剪力必通过弯心。Qy对任意点的力矩应等于其引起的剪流对同一点的力矩，即式中，为弯心对力矩中心的x坐标，为微段ds上的剪流合力qds到力矩中心的垂直距离。，代入上式得同理也可以推出弯心距力矩中心的y向坐标：弯心弯心位置只与开剖面的几何性质有关，而与载荷及材料性质无关。根据开剖面弯心的定义，对一些简单形状的剖面，可以直接判断弯心的位置。当剪流分布和剖面几何有一个对称轴时，弯心必在此对称轴上。角形剖面的剪流合力作用点在角点，因此角点就是弯心。弯心图示有两个集中面积的开剖面，壁不受正应力，则剪力的作用线与弦线平行，与弦线的距离为证明：合力作用线y为形心主轴。令x也是形心主轴。合力作用线合力作用线例6-8求图示槽型截面的弯心位置。剖面周边的厚度均为t。解：x轴是形心主轴。O在例6-2中，已经计算出惯性矩（近似值）：OSx选取点4为力矩极点例6-2中也得到了静矩Sx的分布。则

x轴为对称轴，则弯心必在x轴上。现估计弯心在x轴上的位置。求图示开剖面的弯心位置。壁承受正应力。长桁的横截面积A1=112mm2，A2=129mm2，尺寸单位为mm。200200800388200100213例6-10

解：确定弯心过程中，要计算所给剖面对x轴的惯性矩以及静矩的分布。因此首先需要确定左图所示斜边的惯性矩和静矩分布。tltldss计算图示斜边对x轴的惯性矩：当s=l时，计算图示斜边对x轴的静矩分布：ltsds’s’弯心计算公式中的积分：则整个剖面对x轴的惯性矩为：BE边和EO边的长度分别为：200200800388200100213从切口A处开始确定静矩，在一些控制点处的静矩值为：200200800388200100213213388选取点O为力矩极点，剖面各边的积分为：AB边：BE边：求得弯心坐标（点O右侧的距离）为:200200800388200100213弯心6.6单闭室剖面弯心的计算单闭室剖面薄壁结构剖面上也存在这样一个点，当外力通过该点时，结构只发生弯曲变形，不发生扭转变形，该点就是单闭剖面的弯心。计算单闭剖面弯心的思路：剖面只发生弯曲变形，则剖面的扭转角（或相对扭转角

）=0，因此需先求单闭剖面的转角。6.6.1单闭室剖面薄壁结构的位移计算应用余虚功原理（单位载荷法）。欲求结构某剖面上m点和与该剖面距离为L1的另一剖面的相对广义位移，在m点作用一个单位广义力。或设、为真实外载引起的应力，、为单位载荷状态引起之应力，则欲求单闭室剖面的扭转角，在该剖面作用一个单位扭矩，它在单闭剖面上引起的内力为和围线积分表示只存在于剖面的闭合周边。相对扭转角为：图示剖面受剪力Qy作用，在单闭剖面上引起的剪流为则6.6.2单闭室剖面弯心的计算弯心当剪力通过弯心时，扭转角则解出：其中含有一个全剖面积分和两个闭围线积分。类似地可以推出弯心到力矩极点的y向距离：在剖面上任意选择力矩极点。若采用合力的观点，当关于力矩极点的矩是逆时针方向时，为正；当经过闭室某个周边时，其关于闭室为逆时针方向时取正值。注意：剖面的几何特性Jx、Jy、Sx和Sy均是对剖面的形心主轴x、y计算的。具体做法：对单闭室剖面，在某位置假想切开，确定对应开剖面剪流的方向。求图示单闭室剖面弯心的位置。设壁不承受正应力，G、t均相同。例6-11解：x轴是对称轴，必然是形心主轴，且弯心必在x轴上，只需要求弯心的x坐标。惯性矩:若在圆弧段上作切口，则可绘出静矩Sx的分布如右图。而的方向如左图。计算几个积分：关于闭室边2-3为顺时针方向，则：关于力矩极点的矩为逆时针方向，则：以点O为力矩极点,所以弯心在点O右侧。；求图示单闭室的剪流及弯心位置。壁承受正应力，各壁板厚度如图，G相同。长桁的横截面积A1=112mm2，A2=129mm2，在距前缘200mm处作用有剪力Qy=40000N。尺寸