九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段知识点及练习题新版沪科版

九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段知识点及练习题新版沪科版九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段知识点及练习题新版沪科版Page10九年级数学上册第22章相似形22.1比例线段知识点及练习题新版沪科版相似形——比例线段及相似知识点讲解【知识点讲解】

一、比例线段

1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成

，其中a叫做比的前项；b叫做比的后项。

2。成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段．

3.比例的项：已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ，如果

，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．

4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a：b=b:c或

，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．

比例的性质：

（1)比例的基本性质：

(2）反比性质:

(3）更比性质:

或

或

（4)合比性质：

(5)等比性质：

且

比例线段练习１、判断下列四条线段是否成比例

①

a=2,b=，c=,d=2;

②

a=，b=3,

c=2，d=;

③

a=4，b=6,

c=5，d=10；

④

a=12，b=8,

c=15，d=10

2、已知：ad=bc

(1）

将其改写成比例式;

（2）

写出所有以a，d为内项的比例式；

（3）

写出使b作为第四项比例项的比例式；

(4）若;写出以c作第四比例项的比例式；

3

、计算.

已知：x∶y=5∶4，y∶z=3∶7。求x∶y∶z。

(2)已知：a，b，c为三角形三边长,(a—c）

∶（c+b)

∶(c—b)=2∶7∶(—1）,周长为24。求三边长。

4

、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m，同时，高为1。5m的测竿的影长为2.5m,那么，古塔的高是多么米？

5、，AB=10cm，AD=2cm，BC=7。2cm，E为BC中点。求EF，BF的长.

6。(1）已知：x：(x+1）=（1-x）：3，求x.

（2)若，求

(3）

若，求

,

(4）若x2—3xy+2y2=0，求7．将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立.

（1）a:b=:c

（2)

:a=b：c

（3）

a：=b:c

8:若，求

练习：已知：,

求的值9：

若ABC三边a:b：c=6:4：3，三边上的高分别为h1、h2、h3，求h1:h2：h3的值.

10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米,在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A，B的实际距离是多少呢？比例尺是多少?

12：操场上有一群学生在玩游戏,其中男生与女生的人数比例是3：2，后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5：4，求原来各有多少男生和女生？

比例线段拓展

1、比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a：b=b:c,或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.

黄金分割

如图,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC〉BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割,

点C叫做线段AB的黄金分割点，叫作黄金分割数(简称黄金数或黄金比）

注意：(1）；

（2）一条线段有两个黄金分割点。

3、平行线分三角形两边成比例

（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图，则有【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。

(2）三角形的重心

定义:三角形的重心是三角形三条中线的交点

与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.

（3）三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理)

(4）平行线分线段成比例定理:两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1—图5）：

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

在梯形ACFD中,AD//CF，AB=BC,那么DE=EF

推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

在△ACF中，CFBE//，AB=BC

,那么AE=EF

（5)三角形和梯形的中位线定理

三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

如图，D、E分别为AB、AC的中点,那么BC//DE,DE=BC

梯形的中位线:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。

梯形ABCD中，AD//BC,E、F分别是AB、CD的中点,那么EF//AD//BC，EF=(AD+BC）

练习

如图，已知△ABC中，DE∥BC,则下列等式中不成立的是（

)AD：AB＝AE：AC

（B）AD：DB＝AE：EC

（C）AD：DB＝DE：BC

（D）AD：AB＝DE:BC

如图，DF∥AC,DE∥BC，下列各式中正确的是（

）

（B）

（C)

(D)

3、如图，已知ΔABC中，DE∥BC，AD2=AB•AF，求证∠1=∠2

4、已知ΔABC中，AD为∠BAC的外角∠EAC的平分线，D为平分线与BC延长线交点，求证:

5、设点F在平行四边形ABCD的边CB的延长线上，DF交AB于点E，求证

AE：AD=AB:CF

【课后练习】

已知:

a：b:c=3