定积分及其应用

关于定积分及其应用第一页，共一百一十三页，2022年，8月28日第一节定积分的概念重点：定积分的概念和性质难点：定积分概念的理解第二页，共一百一十三页，2022年，8月28日abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）一、两个实例第三页，共一百一十三页，2022年，8月28日

在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题.现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小.由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，第四页，共一百一十三页，2022年，8月28日abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第五页，共一百一十三页，2022年，8月28日曲边梯形如图所示，第六页，共一百一十三页，2022年，8月28日曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第七页，共一百一十三页，2022年，8月28日实例二、求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。第八页，共一百一十三页，2022年，8月28日（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第九页，共一百一十三页，2022年，8月28日二、定积分的定义定义第十页，共一百一十三页，2022年，8月28日被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日注意：第十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日定理1定理2三、存在定理第十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日四、定积分的几何意义第十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日几何意义：ab第十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日

例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积第十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日第十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日解：根据定积分的几何意义，解题如下：第十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日第十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．五定积分的性质第二十页，共一百一十三页，2022年，8月28日证性质1第二十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日证性质2第二十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第二十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日证性质4第二十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日证由闭区间上连续函数的介值定理知性质5（定积分中值定理）积分中值公式第二十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日使即积分中值公式的几何解释：第二十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日

第二节微积分基本公式重点：牛顿—莱布尼兹公式难点：积分上限的函数第二十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出第二十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数第二十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日积分上限函数的性质证第三十页，共一百一十三页，2022年，8月28日由积分中值定理得第三十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日第三十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日第三十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日第三十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日

（2）第三十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日第三十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日分母的导数为所以有第三十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式第三十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日令令牛顿—莱布尼茨公式第三十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第四十页，共一百一十三页，2022年，8月28日例４计算下列定积分（1）(2)(3)(4)(5)第四十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日第四十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日第四十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日第四十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日

第三节积分的换元法重点与难点：掌握定积分的换元积分公式

牛顿－莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元法.

第四十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日第四十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日第四十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日

解法2要比解法1简便些，因为它省去了变量回代这一步。一般的，定积分的换元法可表述为：第四十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日定积分的换元法有两个特点：换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量的积分限.即所谓的“换元必换限.”（２）求出的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量回代，而直接代入新变量的上下限，然后相减就把原变量（1）用可以了。第四十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日第五十页，共一百一十三页，2022年，8月28日第五十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日第五十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日第五十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日第五十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日第五十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日

第四节定积分的分部积分法重点与难点：熟练掌握定积分的分部积分公式第五十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日把不定积分的分部积分公式添加上积分限，就得到定积分的分部积分公式：第五十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日第五十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日第五十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日第六十页，共一百一十三页，2022年，8月28日第六十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日例５求

解：由例4的结果知

当时，当时，第六十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日第六十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日第六十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日第六十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日令则当时，当时代入到中得：

第六十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日

第五节无穷区间上的广义积分重点与难点：广义积分的概念与计算第六十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日第六十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日第六十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日显然，当在内变化时，曲边体形的面积也随着b的变化而变化

时，这个曲边梯形面积的极限就应该是“开口曲边梯形”的面积，即

当第七十页，共一百一十三页，2022年，8月28日第七十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日二、广义积分的定义第七十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日第七十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日第七十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日第七十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日第七十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日为了书写方便起见，我们规定：记为写为第七十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日第七十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日第六节定积分应用举例重点与难点：正确理解定积分的元素法；熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋转体的体积；会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的平均值。

第七十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日

回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo第八十页，共一百一十三页，2022年，8月28日（3）求和

得A的近似值

面积表示为定积分的步骤是：第八十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日abxyo（4）求极限

得A的精确值提示面积元素第八十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日第八十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日微元法的一般步骤：第八十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．第八十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日曲边梯形的面积平面图形的面积二、平面图形的面积第八十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日解两曲线的交点为面积元素选为积分变量第八十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日第八十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日第八十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日第九十页，共一百一十三页，2022年，8月28日第九十一页，共一百一十三页，2022年，8月28日

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积第九十二页，共一百一十三页，2022年，8月28日xyo旋转体的体积为第九十三页，共一百一十三页，2022年，8月28日解直线方程为第九十四页，共一百一十三页，2022年，8月28日第九十五页，共一百一十三页，2022年，8月28日第九十六页，共一百一十三页，2022年，8月28日第九十七页，共一百一十三页，2022年，8月28日第九十八页，共一百一十三页，2022年，8月28日弧长元素弧长

四、平面曲线的弧长第九十九页，共一百一十三页，2022年，8月28日解所求弧长为第一百页，共一百一十三页，2022年，8月28日第一百零一页，共一百一十三页，2022年，8月28日如图所示第一百零二页，共一百一十三页，2022年，8月28日第一百零三页，共一百一十三页，2022年，8月28日点击图片任意处播放\暂停解建立坐标系如图第一百零四页，共一百一十三页，2022年，8月28日这一薄层水的重力为功元素为(千焦)．第一百零五页，共一百一十三页，2022年，8月28日第一百零六页，共一百一十三页，2022年，8月28日等份，每个小区间的长度为由于连续，所以当足够大时，我们可把在区间上看作常数

，先把区间用分点第一百