龙门高三数学 第四篇第八节 基本不等式自主复习（文） 北师大

第八节基本不等式整理ppt考纲点击1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.热点提示1.以考查基本不等式的应用为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，注意“一正、二定、三相等”的条件.2.考查方式灵活，可出选择题、填空题，也可出以函数为载体的解答题.3.以不等式的证明为载体，与其他知识结合在一起来考查基本不等式，证明不会太难．但题型多样，涉及面广.整理ppt基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件

1．基本不等式a>0，b>0a＝b整理ppt2.常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥

(a，b∈R)3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：

．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2ab整理ppt4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当

时，x＋y有

值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值

，那么当且仅当

时，xy有

值是.(简记：和定积最大)x＝y最小x＝y最大整理ppt1．下列结论中不正确的是(

)A．a>0时，a＋≥2

B.≥2C．a2＋b2≥2abD．a2＋b2≥【解析】∵≥2，只有当a、b同号且不为零时成立，故≥2不一定成立．【答案】

B2．x>，则f(x)＝4x＋的最小值为(

)A．－3B．2C．5D．7整理ppt【解析】∵f(x)＝4x＋＝4x－5＋＋5，∵x>，∴4x－5>0，∴4x－5＋≥2，故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝.【答案】

D3．若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则的最小值为(

)A．8B．12C．20D．16整理ppt【解析】∵直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，【答案】

D4．设x，y都是正实数，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是________．【解析】∵x，y都是正实数，x＋4y≥4，整理ppt∴≤10，xy≤100，而lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2，等号成立的条件是x＝20，y＝5.【答案】

25．下列函数中，y的最小值为4的是________(填序号)．①y＝x＋(x>0);②y＝；③y＝ex＋4e－x;④y＝sinx＋.整理ppt【答案】①③整理ppt求下列各题的最值．整理ppt(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝的最小值．(2)x>0，求f(x)＝＋3x的最小值．(3)x<3，求f(x)＝＋x的最大值．(4)x∈R，求f(x)＝sin2x＋1＋的最小值．【思路点拨】

(1)lgx＋lgy＝1得xy＝10，故可用基本不等式．(2)由x>0，·3x＝36是常数，故可直接利用基本不等式．

(3)因·f(x)＝＋x－3＋3，又x－3<0，故需变号．x不是常数，故需变形．整理ppt整理ppt整理ppt整理ppt∴g(t)在[1,2]上是减函数，∴g(t)min＝g(2)＝2＋，∴f(x)min＝，等号成立的条件是sin2x＋1＝2.sin2x＝1，sinx＝±1，∴x＝kπ＋(k∈Z)，故f(x)的最小值是.＝(t1－t2)·.∵t1<t2且t1，t2∈[1,2]，∴t1－t2<0，t1t2－5<0，故g(t1)－g(t2)>0，∴g(t1)>g(t2)，整理ppt【方法点评】

1.利用基本不等式求最值需注意的问题(1)各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．2．基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：整理ppt3．创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．整理ppt1．(1)设0<x<2，求函数y＝的最大值．(2)已知x>0，y>0且x＋y＝1，求的最小值．【解析】

(1)∵0<x<2，∴0<3x<6,8－3x>2>0，整理ppt整理ppt(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥4.(2)证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.【思路点拨】

(1)利用a＋b＝1将要证不等式中的1代换，即可得证．(2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．【自主探究】

(1)方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，整理ppt∴原不等式成立．方法二：∵a>0，b>0，a＋b＝1，整理ppt∴原不等式成立．(2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2且c2＝d2且a2b2＝c2d2.【方法点评】

1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．整理ppt2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．整理ppt整理ppt

已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x、y恒成立，求正数a的最小值．【思路点拨】展开后，利用基本不等式，而后解不等式可求a值．【自主探究】∵(x＋y)整理ppt∴正数a的最小值是4.【方法点评】利用基本不等式求参数的值或范围时，只需求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件即可，如本例只需求得(x＋y)的最小值，让最小值大于等于9即可．3．设a、b、c都是正数，且a、b满足＝1，求使a＋b≥c恒成立的c的取值范围．【解析】∵a、b、c都是正实数，且＝1，整理ppt

∴a＋b≥16，要使a＋b≥c恒成立，则只需0<c≤16.∴c的取值范围是(0,16]．即b＝3a时成立，此时a＝4，b＝12整理ppt1．(2009年天津高考)设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则

的最小值为(

)A．8

B．4C．1D.【解析】∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时故选B.【答案】

B整理ppt2．(2009年重庆高考)已知a>0，b>0，则的最小值是(

)A．2B．2C．4D．5整理ppt

【答案】

C3．(2009年天津高考)设x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，则的最大值为(

)【解析】∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，∴＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3＝log33＝1，故选C.【答案】

C整理ppt5．(2009年湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．整理ppt(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解析】

(1)如图，设矩形的另一边长为am，整理ppt则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝，所以y＝225x＋－360(x>0)．(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10800.∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．即当