【数学竞赛】七年级数学思维探究聚焦绝对值

祖冲之，中国古代有名的数学家和天文学家，于公元429年出生于建康（今江苏南京），祖冲之从小就对天文、数学知识产生浓重的兴趣，“专攻数术，搜炼古今”，他在数学方面的成就，首推圆周率的计算，计算圆周率精准到小数点今后7位，是当时世界上最优秀的成就；在天文学方面，他编写了新的历法——大明历，这是当时最好的一部历法．2．聚焦绝对值解读课标绝对值是数学中的一个基本见解，这一见解是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要见解，绝对值与其余知识交融形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有宽泛的应用．理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1．脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到有关法例、分类讨论、数形联合等知识方法．2．适合地运用绝对值的几何意义从数轴上看a表示数a的点到原点的距离；ab表示数a、数b的两点间的距离．3．灵巧运用绝对值的基天性质①a≥0；②a2a22；③abaa0．aab；④bbb问题解决例1已知yxbx20xb20，此中0b20，b≤x≤20，那么y的最小值为_______．试一试联合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号．例2式子abab）．ab的所有可能的值有（abA．2个B．3个C．4个D．无数个试一试依据a、b的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的重点．例3（1）已知ab2a201111，求a1b1a2b2的值．aba2006b2006（2）设a、b、c为整数，且abca1，求caabbc的值．试一试关于（1），由非负数的性质先导出a、b的值；关于（2），1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？这是解（2）的打破口．例4阅读以下资料并解决有关问题：x0我们知道x0x0，此刻我们能够用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式xx0x1x2时，可令x10和x20，分别求得x1，x2（称1，2分别为x1与x2的零点值）．在有理数范围内，零点值x1和x2可将全体有理数分红不重复且不遗漏的以下3种情况：（1）x1；（2）1≤x2；（3）x≥2．进而化简代数式x1x2可分以下3种情况：（1）当x1时，原式x1x22x1；（2）当1≤x2时，原式x1x23；（3）当x≥2时，原式x1x22x1．2x1x1综上讨论，原式31≤x2，2x1x≥2经过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出x2和x4的零点值；（2）化简代数式x2x4．试一试在阅读理解的基础上化简求值．例5（1）当x取何值时，x3有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，5x2有最大值？这个最大值是多少？（3）求x4x5的最小值．（4）求x7x8x9的最小值．分析关于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x的点，使之到表示4、5的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小．解（1）当x3时，原式有最小值，最小值为0．（2）当x2时，原式有最大值，最大值为5．（3）当4≤x≤5时，原式有最小值，最小值为1．（4）当x8时，原式有最小值，最小值为2．关于（3），给出另一种解法：当x≤4时，原式x4x592x，最小值为1；当4x≤5时，原式x4x51，最小值为1；当x5时，原式x4x52x9，最小值为1．综上所述，原式有最小值等于1．以退求讲例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只好完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程足：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示x1x2的结果，今后每输入一个整数都是与前一次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这1991个整数任意地一个一个地输入，所有输入完成今后显示的最后结果设为P，试求出P的最大值，并说明原因．分析先考虑输入个数较少的情况，并联合奇偶分析调整估值，一步步求出P的最大值．解因为输入的数都是非负数，当x≥0，x≥0时，x1x2不超出x、x中最大的数，对x≥0，x≥0，x≥0，则x1x2x312121，x2不超出x1、x2、x3中最大的数，设小明输入这1991个数的序次是x，，312x1991．相当于计算：x1x2x3x1990x1991P，所以P的值≤1991．其余从运算奇偶性分析，x1、x2为整数，x1x2与x1x2奇偶性同样，所以P与x1x2x1991的奇偶性同样．但x1x2x1991121991偶数，于是判断P≤1990．我们证明P能够取到1990．对1，2，3，4，按以下序次：13420，4k14k34k44k20，关于k0，1，2，均建立．所以，1~1988可按上述方法挨次输入最后显示结果为0，今后1989199019911990，故P的最大值为1990．数学冲浪知识技术广场1．数a在数轴上的地点以以下图

a01，且a12，则3a7______．2．已知a5，b3，且abba，那么ab_______．111111113．化简20042003200320022002200120012004________．4．已知有理数a、b、c在数轴上的对应地点以以下图：c1acab化简后的结果是________．5．已知整数a，a，a，a4，知足以下条件：a0，a21231挨次类推，则a2012的值为（）．A．1005B．1006C．1007D．20126．已知aa，化简a1a2所得的结果是（）A．1B．1C2a3D．32a．7．若m是有理数，则mm必定是（）．A．零B．非负数C．正数D．负数

-1c0ab，a11，a3a22，a4a33，，A、B都在原点的右侧，8．有理数a、b、c的大小关系如图：ab0c，则以下式子中必定建立的是（）A．abc0B．abcC．acacD．bcca9．化简（1）3x；（2）x1x2．10．阅读下边资料并回答以下问题．O(A)BOABBAO0b0abba0图①图②图③BOAb0a图④点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不如设点都不在原点时，（1）如图②，点（2）如图③，点A、B都在原点的左边，（3）如图④，点A、B在原点的两边，

A在原点，如图①，ABOBbab；当A、B两点ABOBOAbabaab；ABOBOAbabaab；ABOAOBababab．综上，数轴上A、B两点之间的距离ABab．请回答：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和3的两点之间的距离是________；②数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是__________，假如AB2，那么x为_________；③今世数式x1x2取最小值时，相应的x的取值范围是_________．思想方法天地11．已知a1，b2，c3，且abc，那么abc_________．12．在数轴上，点A表示的数是3x，点B表示的数是3x，且A、B两点的距离为8，则x______．13．已知x5，y1，那么xyxy_________．14．（1）x1x1的最小值为________．（2）x1x12x13的最小值为________．15．有理数a、b在数轴上对应的地点以以下图：-1a0b1，则代数式a1aba1b）a1aabb的值为（1A．1B．02C．1D．216．若m2n0，则m2n的值为（）1A．4B．1C．0D．417．如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点．ABCabcO的地点在（）

假如aba2cb2cab2c0，那么原点A．线段AC上B．线段CA的延伸线上C．线段BC上D．线段CB的延伸线上18．设mxx1，则m的最小值为（）A．0B．1C．1D．219．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a4b120，A、B之间的距离记作AB．（1）求线段AB的长AB；（2）设点P在数轴上对应的数为x，当PAPB2时，求x的值；（3）点P在A的左边，M、N分别是PA、PB的中点，当点P在A的左边挪动时，式子PNPM的值能否发生改变？若不变，恳求其值；若发生变化，请说明原因．20abcabc、c都不等于0，求x的所有可能值．．已知xbc，且a、baabc应用研究乐园21．绝对值性质（1）设a、b为有理数，比较ab与ab的大小．（2）已知a、b、c、d是有理数，ab≤9，cd≤16，且abcd25，求badc的值．22．已知数轴上两点A、B对应的数分别为1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数．5？若存在，恳求出x的值；若不存在，（2）数轴上能否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为请说明原因．（3）当点P以每分钟1个单位长的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？2．聚焦绝对值问题解决例l20yxbx20xb20xbx20xb204，0当x20时，y的值最小为20．例2A分a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0四种情况讨论．例3（1）由ab20，a20，得a2，b1．原式11111111111112007．22334200720082232007200820082008（2）因a、b、c为整数，且abca1，故ab与ca一个为0，一个为1，进而bcbaac1所以，原式1102．例4（1）分别令x20和x40，分别求得x2和x4，∴x2和x4的零点值分别为x2和x4．（2）当x2时，原式x2x4x2x42x2；当2≤x4时，原式x2x46；当x≥4时，原式x2x42x2．2x2x2,∴综上讨论，原式62≤x4,2x2x≥4.数学冲浪1．22．2或83．04．12cb5．Ba1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8对应的数分别为0，1，1，2，2，3，3，4．6．A7．B8．C9．（1）原式3xx3x3x≥32x3x2（2）原式12≤x12x3x≥110．①3，3；4②x1；1或3③1≤x≤211．2或012．413．2分x，y同号、x，y异号两种情况讨论14．（1）2（2