小专题(六)-构造全等三角形的方法技巧-2020秋沪科版八年级数学上册课件

小专题(六)

构造全等三角形的方法技巧第14章

全等三角形小专题(六)构造全等三角形的方法技巧第14章全等三角形在证明三角形全等时,有时需添加辅助线,这对于学习几何证明不久的学生而言往往是难点.下面介绍证明全等时常见的三种辅助线.一般地,当所证结论为线段的和、差关系,且这两条线段不在同一直线上时,通常可以考虑用截长补短的办法.三角形问题中涉及中线(中点)时,将三角形中线延长一倍,构造全等三角形是常用的解题思路.在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边)相交,构成一个封闭的图形,可以找到更多的相等关系,有助于问题的解决.在证明三角形全等时,有时需添加辅助线,这对于学习几何证明不久类型1

连接线段构造全等三角形通过连接两点,构造出三角形,再证明两个三角形全等,然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等.类型1连接线段构造全等三角形1.如图,在△ABC中,AB=AC,M为BC的中点,MD⊥AB于点D,ME⊥AC于点E.求证:MD=ME.证明:连接AM.∴△ABM≌△ACM(SSS),∴∠BAM=∠CAM.∵MD⊥AB,ME⊥AC,∴∠MDA=∠MEA=90°,又∵AM=AM,∴△AMD≌△AME(AAS),∴MD=ME.1.如图,在△ABC中,AB=AC,M为BC的中点,MD⊥A2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,点E,D,F分别在AB,BC和AC边上,且BE=CD,BD=CF,过点D作DG⊥EF于点G.求证:2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,点E,D,F分别在AB,小专题(六)-构造全等三角形的方法技巧-2020秋沪科版八年级数学上册课件类型2

利用“截长补短”构造全等三角形证明一条线段等于两条线段的和的方法:“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上取一段,使之等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段;“补短法”的基本思路是延长短线段,使之延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段.类型2利用“截长补短”构造全等三角形3.如图1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB=AC+CD,那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系?小明通过观察分析,形成了如下解题思路:

如图2,延长AC到点E,使CE=CD,连接DE,由AB=AC+CD,可得AE=AB.又因为AD是∠BAC的平分线,可得△ABD≌△AED,进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系.3.如图1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB=A(1)判定△ABD与△AED全等的依据是

SAS

(从SSS,SAS,ASA,AAS中选择一个);

(2)∠ACB与∠ABC的数量关系为

∠ACB=2∠ABC

.

请按照以上思路补充解题过程.解:理由:∵△ABD≌△AED,∴∠B=∠E,∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,∴∠ACB=2∠E,∴∠ACB=2∠ABC.(1)判定△ABD与△AED全等的依据是SAS(从SSS4.如图,已知AP∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,CE的延长线交AP于点D.求证:AD+BC=AB.4.如图,已知AP∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线证明:在AB上截取AF=AD,∵AE平分∠PAB,∴∠DAE=∠FAE,∴△DAE≌△FAE(SAS),∴∠AFE=∠ADE.∵AD∥BC,∴∠ADE+∠C=180°,∵∠AFE+∠EFB=180°,∴∠EFB=∠C.∵BE平分∠ABC,∴∠EBF=∠EBC,证明:在AB上截取AF=AD,∴△DAE≌△FAE(SAS)∴△BEF≌△BEC(AAS),∴BC=BF,∴AD+BC=AF+BF=AB.∴△BEF≌△BEC(AAS),∴BC=BF,5.如图,在四边形OACB中,CM⊥OA于点M,∠1=∠2,CA=CB.求证:∠3+∠4=180°.5.如图,在四边形OACB中,CM⊥OA于点M,∠1=∠2,证明:过点C作CE⊥OB,交OB的延长线于点E.∵CM⊥OA,CE⊥OB,∴∠OEC=∠OMC=90°.∴△OEC≌△OMC(AAS),∴CE=CM.又∵CA=CB,∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL),∴∠3=∠CBE,∴∠3+∠4=∠CBE+∠4=180°.证明:过点C作CE⊥OB,交OB的延长线于点E.∴△OEC≌类型3

利用“中线倍长”构造全等三角形当题目中出现中线时,常常延长中线,使所延长部分与中线的长度相等,然后连接相应的端点,便可以得到全等三角形.类型3利用“中线倍长”构造全等三角形6.如图,在△ABC中,D为BC的中点.(1)求证:AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.解:(1)延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.∵D为BC的中点,∴CD=BD.又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,∴△ADC≌△EDB,∴AC=EB.∵AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD.(2)∵AB-BE<AE<AB+BE,∴AB-AC<2AD<AB+AC.∵AB=5,AC=3,∴2<2AD<8.∴1<AD<4.6.如图,在△ABC中,D为BC的中点.7.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为BC的中点,求证:DE=2AM.7.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M证明:延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.∵M为BC的中点,∴BM=CM.又∵AM=MN,∠AMC=∠NMB,∴△AMC≌△NMB(SAS),∴AC=BN,∠C=∠NBM,∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.∵AD=AC,AC=BN,∴AD=BN.又∵AB=AE,∴△ABN≌△EAD(SAS),∴DE=NA.又∵AM=MN,∴DE=2AM.证明:延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.小专题(六)

构造全等三角形的方法技巧第14章

全等三角形小专题(六)构造全等三角形的方法技巧第14章全等三角形在证明三角形全等时,有时需添加辅助线,这对于学习几何证明不久的学生而言往往是难点.下面介绍证明全等时常见的三种辅助线.一般地,当所证结论为线段的和、差关系,且这两条线段不在同一直线上时,通常可以考虑用截长补短的办法.三角形问题中涉及中线(中点)时,将三角形中线延长一倍,构造全等三角形是常用的解题思路.在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边)相交,构成一个封闭的图形,可以找到更多的相等关系,有助于问题的解决.在证明三角形全等时,有时需添加辅助线,这对于学习几何证明不久类型1

连接线段构造全等三角形通过连接两点,构造出三角形,再证明两个三角形全等,然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等.类型1连接线段构造全等三角形1.如图,在△ABC中,AB=AC,M为BC的中点,MD⊥AB于点D,ME⊥AC于点E.求证:MD=ME.证明:连接AM.∴△ABM≌△ACM(SSS),∴∠BAM=∠CAM.∵MD⊥AB,ME⊥AC,∴∠MDA=∠MEA=90°,又∵AM=AM,∴△AMD≌△AME(AAS),∴MD=ME.1.如图,在△ABC中,AB=AC,M为BC的中点,MD⊥A2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,点E,D,F分别在AB,BC和AC边上,且BE=CD,BD=CF,过点D作DG⊥EF于点G.求证:2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,点E,D,F分别在AB,小专题(六)-构造全等三角形的方法技巧-2020秋沪科版八年级数学上册课件类型2

利用“截长补短”构造全等三角形证明一条线段等于两条线段的和的方法:“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上取一段,使之等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段;“补短法”的基本思路是延长短线段,使之延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段.类型2利用“截长补短”构造全等三角形3.如图1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB=AC+CD,那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系?小明通过观察分析,形成了如下解题思路:

如图2,延长AC到点E,使CE=CD,连接DE,由AB=AC+CD,可得AE=AB.又因为AD是∠BAC的平分线,可得△ABD≌△AED,进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系.3.如图1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB=A(1)判定△ABD与△AED全等的依据是

SAS

(从SSS,SAS,ASA,AAS中选择一个);

(2)∠ACB与∠ABC的数量关系为

∠ACB=2∠ABC

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请按照以上思路补充解题过程.解:理由:∵△ABD≌△AED,∴∠B=∠E,∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,∴∠ACB=2∠E,∴∠ACB=2∠ABC.(1)判定△ABD与△AED全等的依据是SAS(从SSS4.如图,已知AP∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,CE的延长线交AP于点D.求证:AD+BC=AB.4.如图,已知AP∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线证明:在AB上截取AF=AD,∵AE平分∠PAB,∴∠DAE=∠FAE,∴△DAE≌△FAE(SAS),∴∠AFE=∠ADE.∵AD∥BC,∴∠ADE+∠C=180°,∵∠AFE+∠EFB=180°,∴∠EFB=∠C.∵BE平分∠ABC,∴∠EBF=∠EBC,证明:在AB上截取AF=AD,∴△DAE≌△FAE(SAS)∴△BEF≌△BEC(AAS),∴BC=BF,∴AD+BC=AF+BF=AB.∴△BEF≌△BEC(AAS),∴BC=BF,5.如图,在四边形OACB中,CM⊥OA于点M,∠1=∠2,CA=CB.求证:∠3+∠4=180°.5.如图,在四边形OACB中,CM⊥OA于点M,∠1=∠2,证明:过点C作CE⊥OB,交OB的延长线于点E.∵CM⊥OA,CE⊥OB,∴∠OEC=∠OMC=90°.∴△OEC≌△OMC(AAS),∴CE=CM.又∵CA=CB,∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL),∴∠3=∠CBE,∴∠3+∠4=∠CBE+∠4=180°.证明:过点C作CE⊥OB,交OB的延长线于点E.∴△OEC≌类型3

利用“中线倍长”构造全等三角形当题目中出现中线时,常常延长中线,使所延长部分与中线的长度相等,然后连接相应的端点,便可以得到全等三角形.类型3利用“中线倍长”构造全等三角形6.如图,在△ABC中,D为BC的中点.(1)求证:AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.解:(1)延长AD至点E