第7章轴向拉伸和压缩7拉伸和压缩课件-

第7章轴向拉伸和压缩7.1拉伸和压缩7.2拉（压）杆横截面上的内力7.3轴力图7.4轴向拉伸与压缩时的应力7.5拉（压）杆斜截面上的应力7.6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能7.7材料拉伸时的力学性能7.8材料压缩时的力学性质7.9拉伸（压缩）杆件的强度计算

7.10应力集中7.11拉压超静定问题第7章轴向拉伸和压缩7.1拉伸和压缩7.1拉伸和压缩轴向拉伸，对应的外力称为拉力。轴向压缩，对应的外力称为压力。1拉伸和压缩轴向拉伸，对应的外力称为拉力。轴向压缩，对应2拉（压）杆横截面上的内力以图示为例，用截面法确定杆件横截面mm上的内力。用假想平面将杆件沿横截面mm截开根据平衡，如图

mmN{mmN}PP杆件左右两段在横截面mm上相互作用的内力，是一个分布力系。2拉（压）杆横截面上的内力以图示为例，用截面法确

N}mmPmmP{N设其合力为有平衡条件，可得

(2-1)N与轴线重合，称为轴力。 一般规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。N}mmPmmP{N设其合力为 一般规定：拉3轴力图X坐标——表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。N坐标——表示轴力的大小，垂直于杆轴。NPx按选定的比例绘出表示轴力与截面位置关系的图线——称为轴力图3轴力图X坐标——表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。轴力图的意义：①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；②反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力图的意义：①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；轴力的正号使微元区段有伸长趋势的轴力正。轴力的负号轴力的正号使微元区段有伸长趋势的轴力正。轴力的负号例：杆件受力如图（a）所示，试绘制轴力图。(b)解：（1）计算各段杆的轴力AB段：轴力假设为拉力，用表示

得

(负号说明为压力)(a)P2PBCDABNPA例：杆件受力如图（a）所示，试绘制轴力图。(b)解：（1）计同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：PP2PABCDPPABPP2PABC(a)(d)(c)BCNCDN同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：PP2PABCDPPA

（2）轴力图如图（e）所示。NxP(e)2P在轴力图中，突变值=集中载荷PP2PABCD（2）轴力图如图（e）所示。NxP(e)2P在轴力图中

例2-1等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。3P1P2PABCD(a)1m2m1.5m3PR1P2PABCDIIIIIIIIIIII(b)解

（1）求支座反力设支反力为R如b图根据整个杆的平衡条件求得例2-1等截面直杆受力如图a所示，3P1P2PAB

例2-1等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。AIIR1N(c)（2）计算各段杆的轴力AB段：用假想平面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象（图c），截面上的轴力假设为拉力，用N1表示。由平衡条件IIIIIIIIII3P1P2P例2-1等截面直杆受力如图a所示，AIIR1N(c

例2-1等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。AII(c)IIIIIIIIII3P1P2P同理求得:BC段（图d）、CD段（图e）的轴力：1PABIIIIR2NN3P3IIIIII(e)(d)例2-1等截面直杆受力如图a所示，AII(c)II（3）绘制轴力图轴力图如图f所示。从轴力图可见，AB段内的轴力值最大，Nmax=N1=120kN。轴力是内力，它与外力有关，但又不同于外力。3P1P2PABCD(a)N/kNx(f)6090（3）绘制轴力图轴力是内力，它与外力有关，但又不同于外力。34轴向拉伸与压缩时的应力一.正应力公式：

仅由上述静力关系式还不能确定σ和N之间的具体关系。4轴向拉伸与压缩时的应力仅由上述静力关系式还不能确定下面从研究杆件的变形入手来寻求σ的变化规律。如左图：变形后可观察到如下现象：变形前变形后（1）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两相邻横向线相对地沿轴线平行移动了一段距离；（2）变形后，横线仍垂直于轴线。变形前变形后（1）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两扭转弯曲由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设拉压

杆件的横截面在拉压、扭转或弯曲变形过程中始终保持是平面，并始终保持与轴线垂直。扭转弯曲由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设拉压杆根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知：横截面各点处的分布内力集度（即正应力σ）均相等，于是有因此拉（压）杆横截面上的正应力为σ的符号规定与N相同，拉应力为正，压应力为负。根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知：σ的符号上述正应力公式的推导过程用到了变形几何，物理和静力平衡三方面的规律。材料力学的分析方法力学分析力学分析物理分析力学分析物理分析几何分析三类分析的综合力学分析物理分析几何分析力学分析物理分析几何分析力学分析物理分析几何分析物理分析几何分析力学分析几何分析力学分析物理分析上述正应力公式的推导过程用到了变形几何，物理和静力平衡三方面1.

力学分析研究构件中的各个力学要素（包括外力和内力；包括力和力偶矩）之间的关系。2.物理分析研究材料的力学性能，研究构件的力学要素（有时还包括热学要素）与几何要素之间的关系。荷载与变形量之间的关系温度变化与应力、变形量之间的关系构件内部应力与应变之间的关系1.力学分析研究构件中的各个力学要素（包括外力和3.几何分析研究构件和结构中各几何要素之间的关系。构件中应变和变形量之间的关系结构中各构件变形量之间的关系3.几何分析研究构件和结构中各几何要素之间的关系。构件中应变二.正应力公式的使用条件1.外力合力作用线必须与杆轴线重合。2.杆件必须是等直杆。若横截面尺寸沿轴线变化，对于变化缓慢的杆：（2-4）3.公式只在距外力作用点一定距离外才是正确的。二.正应力公式的使用条件（2-4）3.公式只在距外力作PP/2P/2P/AP圣维南原理——虽然力作用于杆端的方式不同，只要它们是静力等效的，则杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。

应力等效PP/2P/2P/APPP/2P/2P/AP圣维南原理——虽然力作用例2-2图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。ACBP解（1）计算各杆轴力用截面法，截取结点B为研究对象，各杆轴力假定为拉力。由平衡方程得BPABNBCN例2-2图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16m例2-2图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。ACBP（2）计算各杆应力，得BPABNBCN例2-2图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16m5拉（压）杆斜截面上的应力沿斜截面kk（如图），将杆截分为二。研究左段杆的平衡，得到斜截面kk上内力

pp(a)(b)kkppkk（a）5拉（压）杆斜截面上的应力pp(a)(b)kkppkk（a斜截面kk的面积为，横截面积为A，于是有

pp(a)(b)kkppkk式中为横截面（）上的正应力。（b）A斜截面kk的面积为，横截面积为A，pp斜截面全应力的分解：垂直于斜截面的正应力：（2-5）相切于斜截面的剪应力：

可见，斜截面上不仅存在正应力，而且还存在剪应力，其大小随截面的方位而变化。Patasaa（2-6）斜截面全应力的分解：可见，斜截面上不x、、的符号规定如下xx、、的符号规定如下x1.当时（横截面）

即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。（2-5）（2-6）即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。（2-5）（

3.当时当时即在斜截面上，剪应力有最大、最小值，且其数值为最大正应力的一半。（2-5）（2-6）（2-5）（2-6）一、纵向变形虎克定律一等直杆如图所示，设杆的原长为，横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，杆的长度由变为。6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能pp轴线方向总伸长为(a)一、纵向变形虎克定律6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能ppp试验表明：引入比例系数E，则有（b）对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆，由于N=P，故式（b）可改写为杆件拉伸时，为正；杆件压缩时，为负。（2-7）pp试验表明：杆件拉伸时，为正；杆件压缩时，为负。式（2-7）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通常称为虎克定律。E——与材料的性质有关，称为材料的拉压弹性模量，其值可由实验确定。EA——反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。（2-7）pp式（2-7）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通若将和代入公式（2-7）可得或（2-8）这是虎克定律的另一种表示形式。虎克定律又可表述为：当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。因为应变ε没有量纲，弹性模量E有与应力相同的量纲。最后指出，公式（2-7）只有当轴力N、横截面面积A、材料的弹性模量E在杆长l内为常量时才能应用。（2-7）若将和代入公式（2-7）（2-7）对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件：

当轴力和横截面积沿杆轴线x方向连续变化时，有 二、横向变形泊松比

设杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，则杆的横向线应变为

（2-9）（2-10）对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件：（2-9）（2-10）

试验表明：横向应变与纵向应变ε之间满足如下关系

因ε’与ε的符号相反，故有µ——称为泊松比或横向变形系数，是一个无量纲的量，其值随材料的不同而不同。E、µ都是材料本身所固有的弹性常数，是反映材料弹性变形能力的参数。（2-11）（2-12）

例1阶梯钢杆如图所示。已知AC段的截面面积为A1=500mm2，CD段的截面面积为A2=200mm2，钢杆的弹性模量E=200GPa。试求：（1）各段杆横截面上的内力和应力；（2）杆的总伸长。BACD1P=30KN2P=10KN100100100例1阶梯钢杆如图所示。已知AC段的截面面积为A1=502P1P1122R解（1）内力计算2P1P1N2P2N用截面法沿11、22面截开，计算轴力,得：2P1P1122R解（1）内力计算2P1P1N2P2N绘出轴力图。20+10_xN(KN)BACD绘出轴力图。20+10_xN(KN)BACD（2）应力计算（3）杆的总伸长计算结果为负，说明整个杆是缩短的。（2）应力计算例2尺寸为=的钢板如图所示，其材料的弹性模量E=200GPa，泊松比。求钢板在两端受到合力为140kN的均布载荷作用时厚度的变化。2501050140KN{140KN}例2尺寸为=的钢板如图所示，其材料的弹性模量E=200G2501050140KN{140KN}解在两端的均布载荷作用下，钢板发生轴向拉伸变形。其横截面上正应力可按公式（2-1）计算，即（a）由虎克定律（b）

2501050140KN{140KN}解在两端的均布载荷2501050140KN{140KN}横向线应变为于是（c）2501050140KN{140KN}横向线应变为2501050140KN{140KN}将式（b）代入式（c），并考虑式（a），得

即钢板的厚度减小了0.0035mm。2501050140KN{140KN}将式（b）代入式（c）三、轴向拉压时的变形能

在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，成为变形能或应变能。弹性体变形储存能量外力做功外力减小变形减小释放能量三、轴向拉压时的变形能

在外力作用下，弹性体因变形而储存的能如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直至最终数值P。作用点的位移也逐渐增大至,在应力小于比例极限的范围内，拉力P与成正比。pp(a)(b)如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直

显然dW等于图中画阴影线部分的微分面积。W等于图中三角形的面积:若不计任何能量损耗，根据功能原理，弹性体内储存的变形能U应等于拉力P所做的功W。即

考虑轴力，并引出虎克定律，得

（2-13）（2-14）若不计任何能量损耗，根据功能变形能的单位为焦（J）引入单位体积内的变形能的概念，我们称为变形比能（简称比能），记作u。

由虎克定律，上式又可写成

比能的单位是（2-15）（2-16）变形能的单位为焦（J）（2-15）（2-16）7材料拉伸时的力学性能

材料的力学性能——材料在受力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。1.实验条件：材料在室温下，以缓慢平稳加载方式进行的拉伸试验和压缩试验2.实验对象：圆截面的拉伸标准试件如图所示：ppl7材料拉伸时的力学性能

材料的力学性能——材料在受力lpp——标矩。——圆试件的直径在国家标准中标矩，与直径d有两种比例：即和lpp——标矩。一、低碳钢拉伸时的力学性质

低碳钢是指含碳量在0.25%以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性材料的一些特性。下图是低碳钢拉伸时绘制的曲线，这个曲线也称为拉伸图。efgpl0abcdh一、低碳钢拉伸时的力学性质

低碳钢是指含碳量在0.25%以下1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其曲线可以分为如下四个阶段：

hgbd0aec一、弹性阶段二、屈服阶段三、强化阶段四、局部变形阶段f1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其曲线可以分为如下四个2.延伸率和截面收缩率延伸率是衡量材料塑性的主要指标。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收缩率

A1

——试件断裂后断口处最小横截面面积，A0——试件原来的横截面面积截面收缩率ψ也是衡量材料塑性的指标。（2-18）2.延伸率和截面收缩率延伸率是衡量材料塑性的主要指标。（1）3.卸载定律和冷作硬化

（1）卸载定律

超过弹性范围后的任一点d所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。hgef0abcd3.卸载定律和冷作硬化

（1）卸载定律超过弹性范

（2）冷作硬化

efhg0abcd在常温下，把材料拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，比例极限提高而塑性降低（2）冷作硬化efhg0abcd在常温下，把材料拉工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变时的应力为名义屈服极限，用表示。se0.2%二、其他塑性材料拉伸时的力学性能工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变灰口铸铁是典型的脆性材料断裂时的应力就是强度极限它是唯一的强度指标。有时选一条割线来确定E值，并认为材料服从虎克定律。三、铸铁拉伸时的力学性质12510075502500.150.300.452(MN/m)s(%)e灰口铸铁是典型的脆性材料三、铸铁拉伸时的力学性质1251008材料压缩时的力学性质

（一）塑性材料黄色线—低碳钢压缩时的曲线绿色线—低碳钢拉伸时的曲线Pesss8材料压缩时的力学性质

（一）塑性材料Pesss（二）脆性材料如图：铸铁压缩时的曲线。实验表明：曲线没有“屈服点”，试件在较小变形下突然破坏，破坏面与轴线大致成45度的倾角。pp600500(%)e2MN/m

s1100200300400423506pp600500(%)e2MN/ms11002003004（三）几种常用材料的主要力学性能

比例极限弹性极限屈服极限（）强度极限弹性模量E延伸率截面收缩率衡量材料力学性能的主要指标有：（三）几种常用材料的主要力学性能

衡量材料力学性能的主要指标——材料允许承受的最大应力。——破坏应力材料破坏时的应力值， 或称极限应力n——为大于1的数，称为安全系数。(2-19)塑性材料脆性材料9拉伸（压缩）杆件的强度计算一、许用应力与安全系数n——为大于1的数，称为安全系数。(2-19)塑性材料脆二、强度条件

对等截面杆

式（2-20a，b）即是轴向拉（压）杆件的强度条件。产生最大工作应力的截面称为危险截面。(2-20a)（2-20b）(2-20a)（2-20b）利用强度条件，可以解决工程中下列三个方面的强度计算问题：1.强度校核2.设计截面由上式算出需要的横截面面积，然后确定截面尺寸。3.确定许用载荷利用强度条件，可以解决工程中下列三个方面的强度计算问题：3.例２－８简单结构受力如图，q是均布在水平长度上的载荷集度，设AC为刚性杆，BD杆为圆截面，，。计算BD杆的直径以及C点的铅垂位移。q=17.3kN/m1m1m1mABDC30P=20kN例２－８简单结构受力如图，q是均布在水平长度上的载荷集度，解（１）设BD杆的拉力为N，由平衡条件得再由强度条件得q=17.3kN/m1m1m1mABDC30可取d=26mm解（１）设BD杆的拉力为N，由平衡条件得q=17.(2)计算C点的铅垂位移。刚性杆AC转到新位置AC1，D点移到D1。在小变形时，用作垂线代替作弧，可知CC３就是C的铅垂位移，可得BD杆的伸长再由几何关系ABDCD2D1C1C2C330(2)计算C点的铅垂位移。ABDCD2D1C1C2C330于是讨论：对于本题，如规定C点的铅垂位移不超过，即要求整个结构具有一定的刚度。这时，可先算出C点的铅垂位移，再和容许位移进行比较，如能满足，刚度是足够的，我们称此条件为刚度条件。对于某些结构或系统，如桁架，汽阀机械等要考虑刚度条件，即要求某些点的位移不能过大。对于大多数承受拉压的工程构件，往往只要求强度足够，而不用讨论它的刚度于是例3等圆截面直杆受力如图所示，材料为铸铁，其拉伸许用应力，压缩许用应力，弹性模量。求：（1）画出轴力图；（2）设计横截面直径；（3）计算杆的总伸长。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII例3等圆截面直杆受力如图所示，材料为铸铁，其拉伸许用应力解（1）画轴力图。由截面法求得N1=20kN、N2=0、N3=-30kN,由此可画出轴力图如图所示。20KNN(b)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII30KN解（1）画轴力图。20KNN(b)2m2m2m20KN20（2）设计横截面直径。I、III两段中的截面都是危险截面。按拉伸强度设计2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（2）设计横截面直径。2m2m2m20KN20KN30KN32m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII按压缩强度设计故该杆直径应取20.6。结果表明，尽管该杆的轴向拉力比轴向压力小，但是杆件的横截面尺寸还是由拉力决定，这是因为铸铁的抗拉能力比抗压能力低。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIII2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（3）计算杆的总伸长。根据公式（2-6），该杆的总伸长为“-”表示杆件实际上是缩短了。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIII例4铆钉连接结构如图a所示，已知主板受到的轴向拉力P=110kN，其材料许用应力，板宽b=80mm，板厚t=12mm。若各铆钉的材料和直径均相同，且铆钉孔直径d=16mm。试校核板的强度。PP(a)dP(b)P例4铆钉连接结构如图a所示，已知主板受到的轴向拉力P=11解（1）分析内力，做出上主板的轴力图。（2）确定危险截面。得出2-3段和1-2段都是危险截面。1-2段2-3段因为板的各段都满足强度要求，故此主板安全。2345P321(c)45123PSx(d)1解（1）分析内力，做出上主板的轴力图。2-3段234例5薄壁圆筒容器承受内压p作用，如图a所示。若已知圆筒直径为D，壁厚为t，试求其横截面上的应力及纵截面上的应力。mnABCDs¢s¢s¢¢s¢¢mnl(a)s¢nn(b)s¢¢s¢¢lmnnmp(c)

pyttDNNj(d)例5薄壁圆筒容器承受内压p作用，如图a所示。若已知圆筒直解因为圆筒承受内压，故其横截面和纵截面上的应力都是拉应力。求：横截面上的应力。平衡方程：得P是沿圆筒轴线作用于筒低的总压力，其值为

s¢nn(a)(b)解因为圆筒承受内压，故其横截面和纵截面上的应力都是拉应力N是圆筒横截面上的轴力，由于薄壁圆筒横截面面积为，故轴力为而(a)、(b)式为(a)(b)将式（b）、(c)代入式（a），得(c)s¢nnN是圆筒横截面上的轴力，由于薄壁圆筒横截面面积为（2）求纵截面上的应力取上半圆环为研究对象，其受力图如图c、d所示。由平衡方程得由此求得即薄壁圆筒受内压作用时，周向应力为轴向应力的两倍。s¢¢s¢¢lmnnmp(c)

pyttDNNj(d)（2）求纵截面上的应力s¢¢s¢¢lmnnmp(c)p10应力集中

应力集中——在构件截面突然改变的局部区域内，应力急剧增加，而离开这个区域稍远处，应力又趋于缓和。PPP(a)PPP(b)10应力集中

应力集中——在构件截面突然改变的局部区域应力集中系数:——发生应力集中的截面上的最大应力——截面上的平均应力AApp(a)p(b)Amaxsmaxs应力集中系数:——发生应力集中的截面上的最大应力—比较均质的脆性材料灰口铸铁这类非均质的脆性材料在静载下，不同材料对应力集中的敏感程度是不同的(d)SsSsAAp(c)SsSsAp比较均质的脆性材料在静载下，不同材料对应力集中的敏感程度是11拉压超静定问题

一、超静定的概念作用于研究对象上的未知力数多于静力平衡方程的数目，就不能单凭静力平衡方程求出未知力，这种问题称为超静定问题（或静不定问题）。未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次数。ABCDQQ1N2N3NB12311拉压超静定问题

一、超静定的概念ABCDQQ1N2N3二、超静定问题的解法

以图为例，说明超静定问题的解法。两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。（1）平衡方程：

——A、B两端的约束反力ARBRPPACBDlll(a)PP(b)(a)二、超静定问题的解法

以图为例，说明超静定问题的解法。ARBACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。（2）变形协调方程：（3）通过物理关系将变形用未知力表示(b)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在CACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。带入(b)式得：(b)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在CACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。整理后得：(c)（c）式称为补充方程(b)(a)联立（a）、（c）求解得ACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在CACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段内力：可见CD段内力最大，故ACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段内力：求解超静定问题的一般步骤归纳为：

平衡方程；

几何方程——变形协调方程；物理方程——胡克定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。求解超静定问题的一般步骤归纳为：

平衡方程；例2-3由三根杆组成的结构，如下图所示。若1、2杆的抗拉刚度同为，3杆的抗拉刚度为，在P力作用下，试求三杆的内力。aaABCD123EP例2-3由三根杆组成的结构，如下图所示。若1、2杆的抗拉解：（1）静力平衡关系设三杆轴力皆为拉力，有节点A的平衡条件

（2）变形几何关系在中有以下变形谐调条件

aaABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP(b)（b）（a）解：（1）静力平衡关系aaABCD123E1AP3lDaaABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP(b)（3）物理关系根据虎克定律代入（b）式得补充方程

（4）联立求解式（a）、（c）得

（a）（c）（d）aaABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP例２.4支架中三根杆件的材料相同，横截面面积分别为，试求各杆内的应力。P123A30°30(a)例２.4支架中三根杆件的材料相同，横截面面积分别为N1N2N3PA解：（1）平衡条件设三杆皆为拉杆，由（b）图可知，(b)（a）（b）N1N2N3PA解：(b)（a）（b）(c)（2）变形条件设是变形后A点的位置，由分别向1、2、3杆轴线做垂线，设，则有o123AA’aBh(c)（2）变形条件o123AA’aBh消去参数后有这就是变形协调条件，将物理关系代入后就得到补充方程。以下请同学们自行完成。消去参数后有装配应力例2-5吊桥吊索的一节有三根长为l的钢杆组成。若三杆的横截面积相等，材料相同，中间钢杆的加工误差为，这里负号表示短于名义长度。设，试求各杆的装配应力。l(a)装配应力l(a)解：吊索的一节简化成图b所示的超静定结构。(1)平衡条件为(2)变形谐调条件为

（a）（b）D·1N1N2N1lD2lD(b)解：吊索的一节简化成图b所示的超静定结构。（a）（b）D·1则有物理关系代入式（b）得补充方程，（c）联立求解（a）、（c）得（a）（b）D·1N1N2N1lD2lD(b)则有物理关系（a）（b）D·1N1N2N1lD2lD(b)两侧杆和中间杆的装配应力分别是

D·1N1N2N1lD2lD(b)两侧杆和中间杆的装配应力分别是D·1N1N2N1lD2温度应力例2-6蒸汽锅炉与原动机见的管道连接的示意图，通过高温蒸汽后，管道温度增加，设管道材料的线膨胀系数为，弹性模量为，试求温度应力。高压蒸汽锅炉原动机ABl温度应力高压蒸汽锅炉原动机ABl（1）平衡方程把管道两端A、B简化为固定端，管道的计算简图如b。

（2）变形谐调条件

（a）（b）解：BRABtlDAR(b)（a）（b）解：BRABtlDAR(b)（a）（b）（3）物理关系有虎克定律和热膨胀定律：代入式（b）得补充方程由（a）、（c）解得

（c）BRABtlDAR（a）（b）（3）物理关系（c）BRABtlDAR于是温度应力为设管子是刚制的，取温度变化，由（d）得温度应力为（d）ARBRBRABtlDAR于是温度应力为（d）ARBRBRABtlDAR第7章轴向拉伸和压缩7.1拉伸和压缩7.2拉（压）杆横截面上的内力7.3轴力图7.4轴向拉伸与压缩时的应力7.5拉（压）杆斜截面上的应力7.6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能7.7材料拉伸时的力学性能7.8材料压缩时的力学性质7.9拉伸（压缩）杆件的强度计算

7.10应力集中7.11拉压超静定问题第7章轴向拉伸和压缩7.1拉伸和压缩7.1拉伸和压缩轴向拉伸，对应的外力称为拉力。轴向压缩，对应的外力称为压力。1拉伸和压缩轴向拉伸，对应的外力称为拉力。轴向压缩，对应2拉（压）杆横截面上的内力以图示为例，用截面法确定杆件横截面mm上的内力。用假想平面将杆件沿横截面mm截开根据平衡，如图

mmN{mmN}PP杆件左右两段在横截面mm上相互作用的内力，是一个分布力系。2拉（压）杆横截面上的内力以图示为例，用截面法确

N}mmPmmP{N设其合力为有平衡条件，可得

(2-1)N与轴线重合，称为轴力。 一般规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。N}mmPmmP{N设其合力为 一般规定：拉3轴力图X坐标——表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。N坐标——表示轴力的大小，垂直于杆轴。NPx按选定的比例绘出表示轴力与截面位置关系的图线——称为轴力图3轴力图X坐标——表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。轴力图的意义：①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；②反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力图的意义：①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；轴力的正号使微元区段有伸长趋势的轴力正。轴力的负号轴力的正号使微元区段有伸长趋势的轴力正。轴力的负号例：杆件受力如图（a）所示，试绘制轴力图。(b)解：（1）计算各段杆的轴力AB段：轴力假设为拉力，用表示

得

(负号说明为压力)(a)P2PBCDABNPA例：杆件受力如图（a）所示，试绘制轴力图。(b)解：（1）计同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：PP2PABCDPPABPP2PABC(a)(d)(c)BCNCDN同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：PP2PABCDPPA

（2）轴力图如图（e）所示。NxP(e)2P在轴力图中，突变值=集中载荷PP2PABCD（2）轴力图如图（e）所示。NxP(e)2P在轴力图中

例2-1等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。3P1P2PABCD(a)1m2m1.5m3PR1P2PABCDIIIIIIIIIIII(b)解

（1）求支座反力设支反力为R如b图根据整个杆的平衡条件求得例2-1等截面直杆受力如图a所示，3P1P2PAB

例2-1等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。AIIR1N(c)（2）计算各段杆的轴力AB段：用假想平面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象（图c），截面上的轴力假设为拉力，用N1表示。由平衡条件IIIIIIIIII3P1P2P例2-1等截面直杆受力如图a所示，AIIR1N(c

例2-1等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。AII(c)IIIIIIIIII3P1P2P同理求得:BC段（图d）、CD段（图e）的轴力：1PABIIIIR2NN3P3IIIIII(e)(d)例2-1等截面直杆受力如图a所示，AII(c)II（3）绘制轴力图轴力图如图f所示。从轴力图可见，AB段内的轴力值最大，Nmax=N1=120kN。轴力是内力，它与外力有关，但又不同于外力。3P1P2PABCD(a)N/kNx(f)6090（3）绘制轴力图轴力是内力，它与外力有关，但又不同于外力。34轴向拉伸与压缩时的应力一.正应力公式：

仅由上述静力关系式还不能确定σ和N之间的具体关系。4轴向拉伸与压缩时的应力仅由上述静力关系式还不能确定下面从研究杆件的变形入手来寻求σ的变化规律。如左图：变形后可观察到如下现象：变形前变形后（1）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两相邻横向线相对地沿轴线平行移动了一段距离；（2）变形后，横线仍垂直于轴线。变形前变形后（1）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两扭转弯曲由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设拉压

杆件的横截面在拉压、扭转或弯曲变形过程中始终保持是平面，并始终保持与轴线垂直。扭转弯曲由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设拉压杆根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知：横截面各点处的分布内力集度（即正应力σ）均相等，于是有因此拉（压）杆横截面上的正应力为σ的符号规定与N相同，拉应力为正，压应力为负。根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知：σ的符号上述正应力公式的推导过程用到了变形几何，物理和静力平衡三方面的规律。材料力学的分析方法力学分析力学分析物理分析力学分析物理分析几何分析三类分析的综合力学分析物理分析几何分析力学分析物理分析几何分析力学分析物理分析几何分析物理分析几何分析力学分析几何分析力学分析物理分析上述正应力公式的推导过程用到了变形几何，物理和静力平衡三方面1.

力学分析研究构件中的各个力学要素（包括外力和内力；包括力和力偶矩）之间的关系。2.物理分析研究材料的力学性能，研究构件的力学要素（有时还包括热学要素）与几何要素之间的关系。荷载与变形量之间的关系温度变化与应力、变形量之间的关系构件内部应力与应变之间的关系1.力学分析研究构件中的各个力学要素（包括外力和3.几何分析研究构件和结构中各几何要素之间的关系。构件中应变和变形量之间的关系结构中各构件变形量之间的关系3.几何分析研究构件和结构中各几何要素之间的关系。构件中应变二.正应力公式的使用条件1.外力合力作用线必须与杆轴线重合。2.杆件必须是等直杆。若横截面尺寸沿轴线变化，对于变化缓慢的杆：（2-4）3.公式只在距外力作用点一定距离外才是正确的。二.正应力公式的使用条件（2-4）3.公式只在距外力作PP/2P/2P/AP圣维南原理——虽然力作用于杆端的方式不同，只要它们是静力等效的，则杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。

应力等效PP/2P/2P/APPP/2P/2P/AP圣维南原理——虽然力作用例2-2图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。ACBP解（1）计算各杆轴力用截面法，截取结点B为研究对象，各杆轴力假定为拉力。由平衡方程得BPABNBCN例2-2图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16m例2-2图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。ACBP（2）计算各杆应力，得BPABNBCN例2-2图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16m5拉（压）杆斜截面上的应力沿斜截面kk（如图），将杆截分为二。研究左段杆的平衡，得到斜截面kk上内力

pp(a)(b)kkppkk（a）5拉（压）杆斜截面上的应力pp(a)(b)kkppkk（a斜截面kk的面积为，横截面积为A，于是有

pp(a)(b)kkppkk式中为横截面（）上的正应力。（b）A斜截面kk的面积为，横截面积为A，pp斜截面全应力的分解：垂直于斜截面的正应力：（2-5）相切于斜截面的剪应力：

可见，斜截面上不仅存在正应力，而且还存在剪应力，其大小随截面的方位而变化。Patasaa（2-6）斜截面全应力的分解：可见，斜截面上不x、、的符号规定如下xx、、的符号规定如下x1.当时（横截面）

即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。（2-5）（2-6）即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。（2-5）（

3.当时当时即在斜截面上，剪应力有最大、最小值，且其数值为最大正应力的一半。（2-5）（2-6）（2-5）（2-6）一、纵向变形虎克定律一等直杆如图所示，设杆的原长为，横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，杆的长度由变为。6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能pp轴线方向总伸长为(a)一、纵向变形虎克定律6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能ppp试验表明：引入比例系数E，则有（b）对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆，由于N=P，故式（b）可改写为杆件拉伸时，为正；杆件压缩时，为负。（2-7）pp试验表明：杆件拉伸时，为正；杆件压缩时，为负。式（2-7）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通常称为虎克定律。E——与材料的性质有关，称为材料的拉压弹性模量，其值可由实验确定。EA——反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。（2-7）pp式（2-7）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通若将和代入公式（2-7）可得或（2-8）这是虎克定律的另一种表示形式。虎克定律又可表述为：当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。因为应变ε没有量纲，弹性模量E有与应力相同的量纲。最后指出，公式（2-7）只有当轴力N、横截面面积A、材料的弹性模量E在杆长l内为常量时才能应用。（2-7）若将和代入公式（2-7）（2-7）对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件：

当轴力和横截面积沿杆轴线x方向连续变化时，有 二、横向变形泊松比

设杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，则杆的横向线应变为

（2-9）（2-10）对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件：（2-9）（2-10）

试验表明：横向应变与纵向应变ε之间满足如下关系

因ε’与ε的符号相反，故有µ——称为泊松比或横向变形系数，是一个无量纲的量，其值随材料的不同而不同。E、µ都是材料本身所固有的弹性常数，是反映材料弹性变形能力的参数。（2-11）（2-12）

例1阶梯钢杆如图所示。已知AC段的截面面积为A1=500mm2，CD段的截面面积为A2=200mm2，钢杆的弹性模量E=200GPa。试求：（1）各段杆横截面上的内力和应力；（2）杆的总伸长。BACD1P=30KN2P=10KN100100100例1阶梯钢杆如图所示。已知AC段的截面面积为A1=502P1P1122R解（1）内力计算2P1P1N2P2N用截面法沿11、22面截开，计算轴力,得：2P1P1122R解（1）内力计算2P1P1N2P2N绘出轴力图。20+10_xN(KN)BACD绘出轴力图。20+10_xN(KN)BACD（2）应力计算（3）杆的总伸长计算结果为负，说明整个杆是缩短的。（2）应力计算例2尺寸为=的钢板如图所示，其材料的弹性模量E=200GPa，泊松比。求钢板在两端受到合力为140kN的均布载荷作用时厚度的变化。2501050140KN{140KN}例2尺寸为=的钢板如图所示，其材料的弹性模量E=200G2501050140KN{140KN}解在两端的均布载荷作用下，钢板发生轴向拉伸变形。其横截面上正应力可按公式（2-1）计算，即（a）由虎克定律（b）

2501050140KN{140KN}解在两端的均布载荷2501050140KN{140KN}横向线应变为于是（c）2501050140KN{140KN}横向线应变为2501050140KN{140KN}将式（b）代入式（c），并考虑式（a），得

即钢板的厚度减小了0.0035mm。2501050140KN{140KN}将式（b）代入式（c）三、轴向拉压时的变形能

在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，成为变形能或应变能。弹性体变形储存能量外力做功外力减小变形减小释放能量三、轴向拉压时的变形能

在外力作用下，弹性体因变形而储存的能如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直至最终数值P。作用点的位移也逐渐增大至,在应力小于比例极限的范围内，拉力P与成正比。pp(a)(b)如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直

显然dW等于图中画阴影线部分的微分面积。W等于图中三角形的面积:若不计任何能量损耗，根据功能原理，弹性体内储存的变形能U应等于拉力P所做的功W。即

考虑轴力，并引出虎克定律，得

（2-13）（2-14）若不计任何能量损耗，根据功能变形能的单位为焦（J）引入单位体积内的变形能的概念，我们称为变形比能（简称比能），记作u。

由虎克定律，上式又可写成

比能的单位是（2-15）（2-16）变形能的单位为焦（J）（2-15）（2-16）7材料拉伸时的力学性能

材料的力学性能——材料在受力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。1.实验条件：材料在室温下，以缓慢平稳加载方式进行的拉伸试验和压缩试验2.实验对象：圆截面的拉伸标准试件如图所示：ppl7材料拉伸时的力学性能

材料的力学性能——材料在受力lpp——标矩。——圆试件的直径在国家标准中标矩，与直径d有两种比例：即和lpp——标矩。一、低碳钢拉伸时的力学性质

低碳钢是指含碳量在0.25%以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性材料的一些特性。下图是低碳钢拉伸时绘制的曲线，这个曲线也称为拉伸图。efgpl0abcdh一、低碳钢拉伸时的力学性质

低碳钢是指含碳量在0.25%以下1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其曲线可以分为如下四个阶段：

hgbd0aec一、弹性阶段二、屈服阶段三、强化阶段四、局部变形阶段f1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其曲线可以分为如下四个2.延伸率和截面收缩率延伸率是衡量材料塑性的主要指标。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收缩率

A1

——试件断裂后断口处最小横截面面积，A0——试件原来的横截面面积截面收缩率ψ也是衡量材料塑性的指标。（2-18）2.延伸率和截面收缩率延伸率是衡量材料塑性的主要指标。（1）3.卸载定律和冷作硬化

（1）卸载定律

超过弹性范围后的任一点d所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。hgef0abcd3.卸载定律和冷作硬化

（1）卸载定律超过弹性范

（2）冷作硬化

efhg0abcd在常温下，把材料拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，比例极限提高而塑性降低（2）冷作硬化efhg0abcd在常温下，把材料拉工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变时的应力为名义屈服极限，用表示。se0.2%二、其他塑性材料拉伸时的力学性能工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变灰口铸铁是典型的脆性材料断裂时的应力就是强度极限它是唯一的强度指标。有时选一条割线来确定E值，并认为材料服从虎克定律。三、铸铁拉伸时的力学性质12510075502500.150.300.452(MN/m)s(%)e灰口铸铁是典型的脆性材料三、铸铁拉伸时的力学性质1251008材料压缩时的力学性质

（一）塑性材料黄色线—低碳钢压缩时的曲线绿色线—低碳钢拉伸时的曲线Pesss8材料压缩时的力学性质

（一）塑性材料Pesss（二）脆性材料如图：铸铁压缩时的曲线。实验表明：曲线没有“屈服点”，试件在较小变形下突然破坏，破坏面与轴线大致成45度的倾角。pp600500(%)e2MN/m

s1100200300400423506pp600500(%)e2MN/ms11002003004（三）几种常用材料的主要力学性能

比例极限弹性极限屈服极限（）强度极限弹性模量E延伸率截面收缩率衡量材料力学性能的主要指标有：（三）几种常用材料的主要力学性能

衡量材料力学性能的主要指标——材料允许承受的最大应力。——破坏应力材料破坏时的应力值， 或称极限应力n——为大于1的数，称为安全系数。(2-19)塑性材料脆性材料9拉伸（压缩）杆件的强度计算一、许用应力与安全系数n——为大于1的数，称为安全系数。(2-19)塑性材料脆二、强度条件

对等截面杆

式（2-20a，b）即是轴向拉（压）杆件的强度条件。产生最大工作应力的截面称为危险截面。(2-20a)（2-20b）(2-20a)（2-20b）利用强度条件，可以解决工程中下列三个方面的强度计算问题：1.强度校核2.设计截面由上式算出需要的横截面面积，然后确定截面尺寸。3.确定许用载荷利用强度条件，可以解决工程中下列三个方面的强度计算问题：3.例２－８简单结构受力如图，q是均布在水平长度上的载荷集度，设AC为刚性杆，BD杆为圆截面，，。计算BD杆的直径以及C点的铅垂位移。q=17.3kN/m1m1m1mABDC30P=20kN例２－８简单结构受力如图，q是均布在水平长度上的载荷集度，解（１）设BD杆的拉力为N，由平衡条件得再由强度条件得q=17.3kN/m1m1m1mABDC30可取d=26mm解（１）设BD杆的拉力为N，由平衡条件得q=17.(2)计算C点的铅垂位移。刚性杆AC转到新位置AC1，D点移到D1。在小变形时，用作垂线代替作弧，可知CC３就是C的铅垂位移，可得BD杆的伸长再由几何关系ABDCD2D1C1C2C330(2)计算C点的铅垂位移。ABDCD2D1C1C2C330于是讨论：对于本题，如规定C点的铅垂位移不超过，即要求整个结构具有一定的刚度。这时，可先算出C点的铅垂位移，再和容许位移进行比较，如能满足，刚度是足够的，我们称此条件为刚度条件。对于某些结构或系统，如桁架，汽阀机械等要考虑刚度条件，即要求某些点的位移不能过大。对于大多数承受拉压的工程构件，往往只要求强度足够，而不用讨论它的刚度于是例3等圆截面直杆受力如图所示，材料为铸铁，其拉伸许用应力，压缩许用应力，弹性模量。求：（1）画出轴力图；（2）设计横截面直径；（3）计算杆的总伸长。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII例3等圆截面直杆受力如图所示，材料为铸铁，其拉伸许用应力解（1）画轴力图。由截面法求得N1=20kN、N2=0、N3=-30kN,由此可画出轴力图如图所示。20KNN(b)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII30KN解（1）画轴力图。20KNN(b)2m2m2m20KN20（2）设计横截面直径。I、III两段中的截面都是危险截面。按拉伸强度设计2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（2）设计横截面直径。2m2m2m20KN20KN30KN32m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII按压缩强度设计故该杆直径应取20.6。结果表明，尽管该杆的轴向拉力比轴向压力小，但是杆件的横截面尺寸还是由拉力决定，这是因为铸铁的抗拉能力比抗压能力低。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIII2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（3）计算杆的总伸长。根据公式（2-6），该杆的总伸长为“-”表示杆件实际上是缩短了。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIII例4铆钉连接结构如图a所示，已知主板受到的轴向拉力P=110kN，其材料许用应力，板宽b=80mm，板厚t=12mm。若各铆钉的材料和直径均相同，且铆钉孔直径d=16mm。试校核板的强度。PP(a)dP(b)P例4铆钉连接结构如图a所示，已知主板受到的轴向拉力P=11解（1）分析内力，做出上主板的轴力图。（2）确定危险截面。得出2-3段和1-2段都是危险截面。1-2段2-3段因为板的各段都满足强度要求，故此主板安全。2345P321(c)45123PSx(d)1解（1）分析内力，做出上主板的轴力图。2-3段234例5薄壁圆筒容器承受内压p作用，如图a所示。若已知圆筒直径为D，壁厚为t，试求其横截面上的应力及纵截面上的应力。mnABCDs¢s¢s¢¢s¢¢mnl(a)s¢nn(b)s¢¢s¢¢lmnnmp(c)