线性系统理论第6章课件

第六章

状态观测与状态最优估计1第六章1第6章状态观测与状态最优估计某些状态量，或者由于不具明确的物理意义，或者由于量测手段的限制，在工程实际中不能直接获取它们，需要对状态进行重构或估计reconstruction,estimation。所谓的状态变量的重构或观测估计问题，即设法另外构造一个物理上可实现的动态系统,它以原系统的输入u和输出y作为它的输入而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值x或者其某种线性组合，则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量来构成状态反馈律2第6章状态观测与状态最优估计某些状态量，这种重构或估计系统状态变量的装置称为状态观测器（stateobserver），它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统,也可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、或软件)来对状态变量进行估计。状态观测器是指在不考虑噪声干扰下，状态值的观测或估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无噪声干扰。对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可用卡尔曼(Kalman)滤波理论来分析讨论(最优估计)。3这种重构或估计系统状态变量的装置称为状态观测器（§1状态重构与状态观测器

一、状态重构问题

输入量u和输出量y总是可以直接量测的，能否通过输入量u和输出量y间接获取状态量的信息。为此，对输出方程进行逐次微分运算，并代之以状态方程，可得：4§1状态重构与状态观测器一、状态重构问题输入写成矩阵方程形式：矩阵满秩，x有唯一解。但实际应用中不可取。启示：如果系统满足一定条件，利用系统的输入量和输出量，得到原系统状态量的间接值，它在一定的指标下与x(t)等价。称为状态量x(t)的重构值，将得到重构状态的系统称为状态观测器，表示为。等价性指标一般采用渐近等价，即如果状态观测器的维数与原系统的维数相同，称为全维状态观测器；如果状态观测器的维数小于原系统的维数，称为降维状态观测器。5写成矩阵方程形式：矩阵二、全维状态观测器1．全维观测器的构成—方案1用原系统的结构、输入构造一个模拟系统：开环型状态观测器

其中为被控系统状态变量x(t)的估计值。构造一个和被控系统有同样动力学性质（即有同样的系数矩阵A,B和C）的系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值（即重构被控系统的状态变量）。6二、全维状态观测器1．全维观测器的构成—方案1用原系统的结构开环状态观测器的结构图其结构如下图所示。有：（1）A包含有不稳定的特征值时，即使很小的也会使远离x(t)；（2）观测器参数对原系统参数的任何偏离都会产生不利影响。7开环状态观测器的结构图其结构如下图所示。有：（1）A包含有不所以开环型状态观测器不能实际使用。解决的办法是利用输出偏差进行反馈，设计渐近观测器，反馈矩阵为M。如图

8所以开环型状态观测器不能实际使用。解决的办法是利用输观测器的状态方程式为：有望通过设计合适的偏差反馈矩阵M以调整观测器系统矩阵的特征值（观测器极点），实现渐近等价指标下的状态重构。所以，一个性能优良的观测器应该是所有极点可以任意配置的。这就是观测器的极点配置问题。渐近观测器其中M称为状态观测器的反馈矩阵9观测器的状态方程式为：有望通过设计合适的偏差反馈矩2．极点任意配置条件结论：系统能采用全维状态观测器重构其状态，并且能通过改变M矩阵任意配置观测器极点的充要条件是原系统完全能观。

其转置特征值不变，即通过K矩阵可任意配置特征值；

取，即矩阵(A－MC)的特征值可通过M矩阵任意配置；

显然原系统能观，它对应的全维状态观测器就能通过改变M矩阵任意配置它的极点。102．极点任意配置条件结论：系统能采用全维状态观测器重构其状态3．极点配置算法（1）判定的能观性；（2）如能观，写出原系统的对偶系统;（3）利用状态反馈极点配置算法求出期望极点为的状态反馈系统的反馈矩阵；（4）取;（5）得状态观测器为：对于期望极点的位置，仅从渐近收敛速度看，希望极点尽量远离虚轴。但是极点离虚轴太远，会使观测器频带过宽，不利于扼制观测器输入量的高频干扰。要根据工程实际折衷考虑。113．极点配置算法（1）判定的能观性；（2）如能（5）将m代入方程，得出全维状态观测器。（1）判断的能观性；对于单输出系统，除了通过对偶系统求解外，也有类似于单输入系统状态反馈极点配置的二种算法。方法一（解联立方程）：12（5）将m代入方程解（1）系统的能观性矩阵为满秩，系统能观；（4）由13解（1）系统的能观性矩阵为满秩，系统能观；（4）由13系统的状态变量图为：（5）得全维观测器为：14系统的状态变量图为：（5）得全维观测器为：14（3）由给定的期望极点求得期望的特征多项式：（4）按下式求取具有能观规范型形式的状态空间中的偏差反馈向量：（5）求取将原系统化为能观规范型的变换矩阵P；（6）由求得偏差反馈向量m，并代入观测器方程。方法二（利用能观规范型求）：

（1）先判断的能观性，若能观，则往下进行；（2）开环系统的特征多项式：15（3）由给定的期望极点求得期望的特征多项式：（4）按下式方案2：受控系统能控，能观全维状态观测器可取为在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统的观测器。4．全维观测器的构成—方案216方案2：受控系统能控，能观4．全维观测器的构成—方案216全维状态观测器的结构图如下所示。全维状态观测器的结构图17全维状态观测器的结构图如下所示。全维状态观测器的结构图17结论1：任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测器的充要条件是：

证明：定义则

充分性：满足(1)(2)(3),则

z(t)是Tx的估计，18结论1：任意，上述系统是{A必要性：若条件（3）不成立，则对于x0≠0和u(t)≡0，当t→∞时有e(t)不趋于零。若条件（2）不成立，即H≠TB，则可以找到一个u(t)使得当t→∞时，e(t)将不趋于零。若条件（1）不成立，即TA-FT≠GC，但{A、B}能控，则必可以找到一个u(t)而产生相应的一个x(t)，使得当t→∞时e(t)不趋于零。从而，要使x(t)的估计值为x(t)的渐近估计，必须使（1）-（3)成立。必要性得证。

实际设计中，F，G可选，由(1)求出T要非奇异。H可由(2)算出。关键是要能从Sylvester方程TA-FT=GC求出非奇异的T。19必要性：若条件（3）不成立，则对于x0≠0和u(t)≡0，结论2：设A和F无公共特征值则条件(1)TA-FT=GC存在非奇异解T的充分必要条件是{A,C}能观，{F,G}可控。（系统为SISO时，该条件也是充分条件）证明略。20结论2：设A和F无公共特征值20方案2--算法：2121一般，系统中总有一部分状态变量是可以直接量测的。从而，只需构造维数小于n的观测器来得出另一部分状态变量（降维状态观测器）。如果，则有q个输出变量是相互独立的，那么由输出方程就能得出q个状态变量。例如极端情况，则后q个输出量就是状态变量，可量测；一般情况下，降维状态观测器的最小维数为。三、降维状态观测器

1.降维状态观测器的构成-方案1引入非奇异变换，使新状态空间的状态量为：使新状态空间的输出矩阵为：22一般，系统中总有一部分状态变量是可以直接量测的。从而q维分状态向量直接由y得出，而维分状态向量需要通过观测器重构。由上面式子可写出：23q维分状态向量直接由y得出，而为了重构(n-q)维状态向量，只要构造上述子系统的全维状态观测器即可。由于原系统能观，非奇异变换后仍然能观，它的部分状态变量构成的子系统当然也能观。所以能对上述子系统构造全维状态观测器。有：上式含有输出的导数项，这对于观测器抗干扰及观测值的唯一性考虑都是不允许的，为此引入一个新的状态量：24为了重构(n-q)维状态向量，只要构造上述子于是，降维状态观测器的方程可写为：或者写为：而状态量的重构值为：如将非奇异变换矩阵表示为：则在原状态空间中状态量的重构值为：此即为(n-q)维降维状态观测器，也称Luenberger观测器。25于是，降维状态观测器的方程可写为：或者写为：而状态量的重降维状态观测器结构图为：26降维状态观测器结构图为：26③对原系统实施非奇异变换：④写出降维状态观测器方程：并按观测器极点配置算法求出M；⑤写出状态量的估计值：⑥经反变换求出原系统状态x的估计值：2.降维状态观测器（方案1）的设计算法①判别(A,C)的能观性，并确定q和n-q：n×(n-q)n×q27③对原系统实施非奇异变换：④写出降维状态观测器方程：并按28282929即：降维观测器方程为：30即：降维观测器方程为：303131可以画出降维状态观测器如下：32可以画出降维状态观测器如下：32其中z是降维状态观测器的n-m维状态变量;仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法，构造状态变量的全维状态观测器如下:是该降维状态观测器的输出变量，即变换后的系统的状态变量的估计值;矩阵F,G,H和L为适宜维数的待定常数矩阵。3.降维状态观测器的构成-方案233其中z是降维状态观测器的n-m维状态变量;降维状态观测器的结构图如下所示。图降维状态观测器的结构图34降维状态观测器的结构图如下所示。图降维状态观测器的结构图3下面讨论如何选取降维状态观测器(b)的各矩阵，才能使得将上式及y=代入式(c),可得和由状态观测器方程(b)，有35下面讨论如何选取降维状态观测器(b)的各矩阵，才能使得将上将式(d)减去上式,可得状态估计误差所满足的动态方程将状态空间模型中所满足的状态方程代入上式,可得36将式(d)减去上式,可得状态估计误差若取则状态观测误差所满足的状态方程(e)可记为因为37若取则状态观测误差所满足的状态方程(由式(f)可知，类似于前面所讨论的全维状态观测器，当矩阵对是状态完全可观的，则通过矩阵L的选择可任意配置矩阵F的特征值，即能使F的特征值都具有负实部。由上式(f)可知，欲使渐近逼近的充分必要条件为矩阵F的全部特征值都具有负实部。因此矩阵L的选择方法与全维状态观测器中的反馈矩阵G的选取方法完全一致,亦有相应的方法一和方法二。38由式(f)可知，类似于前面所讨论的全维状态观测器，当矩阵对因此，由线性系统的输出方程和降维状态观测器，我们可得状态变量向量的如下估计值则原系统的状态变量向量x(t)的估计值为于是所设计的原系统的降维状态观测器为39因此，由线性系统的输出方程和降维状态观测器，我们可得状态变量例设线性定常系统的状态方程为试设计一降维状态观测器，使其极点配置为-3,-4。解(1)将系统作结构分解。由于rankC=1，且C阵的最后一个元素不为零，所以不必再重新排列状态变量，只要按虚线所示方式将系统分解即可。40例设线性定常系统的状态方程为试设计一降维状态观按式(h)构造变换矩阵P如下:相应地41按式(h)构造变换矩阵P如下:相应地41(2)计算:(3)由式(b)可知，降维状态观测器的特征多项式为42(2)计算:(3)由(4)由给定的期望特征值得期望的特征多项式为f*(s)=(s+3)(s+3)=s2+7s+12令f(s)=f*(s),则可得(5)由F,G和H的计算公式,可得降维状态观测器的各矩阵为43(4)由给定的期望特征值得期望的特征多项式为(5)由F于是所得的降维状态观测器为则原系统的状态变量向量x的估计值为44于是所得的降维状态观测器为则原系统的状态变量向量x的估计§2引入观测器的状态反馈控制系统

一、系统的构成控制系统由三部分组成：被控对象、状态观测器、状态反馈控制。结构图如下：45§2引入观测器的状态反馈控制系统一、系统的构成将三部分合在一起，即得含观测器的状态反馈控制系统：46将三部分合在一起，即得含观测器的状态反馈控制系统：46二、系统的特性：1、系统的维数=原系统的维数+观测器的维数。系统的特征值集合=状态反馈系统的特征值集合+观测器的特征值集合。系统矩阵为：引入非奇异变换：有：可见，系统的特征值由状态反馈系统的特征值和状态观测器的特征值二部分组成。47二、系统的特性：1、系统的维数=原系统的维数+观测器的维数。2、由上式还可以得出结论：通过K配置系统特征值（闭环极点）和通过M配置观测器特征值（极点）是互相分离的，可以完全独立地进行。这就是分离性原理(separationprinciple)。3、观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵。上面的讨论给出了，同样可得新状态空间的输入矩阵和输出矩阵：482、由上式还可以得出结论：通过K配置系统特征值（闭环极点）进一步分析可知，具有按能控性分解的形式，能控子系统为，观测器部分是不能控的。所以，观测器的引入使状态反馈控制系统不再保持能控性。分块矩阵的求逆公式：

必发生了零极点相消现象，相消的n个极点是属于观测器的。由于观测器设计保证了其极点的渐近稳定性，所以零极点相消不影响闭环系统的正常运行。4、观测器为渐近等价，观测器动态特性将影响闭环系统动态特性，要求观测器的动态过程快于闭环系统的动态过程是合理的。通常把观测器特征值的负实部取为状态反馈系统特征值的负实部的2～3倍。非奇异变换不改变传递函数矩阵，所以有：49进一步分析可知，

例

:给定线性定常系统

试设计带全维观测器的状态反馈系统，使反馈系统的极点配置在-1+j，-1-j，观测器的特征值为-5，-5。50例:给定线性定常系统50515152525353解：（1）独立设计降维状态观测器；54解：（1）独立设计降维状态观测器；542）构造非奇异变换矩阵Q,使变换后的对于该系统可以通过重新安排状态变量实现，即输出方程：状态方程为：552）构造非奇异变换矩阵Q,使变换后的对于该系统可以通过重新安观测器的特征多项式为：3）降维状态观测器的方程为56观测器的特征多项式为：3）降维状态观测器的方程为56由求得：4）降维状态观测器的方程为期望的特征多项式应为：5）状态量的重构值为：57由求得：4）降6）再顺序安排状态变量，得状态量x的重构值：（2）独立设计状态反馈控制；1）首先判别系统的能控性：系统能控；2）由给定的期望闭环极点求得期望的闭环系统特征多项式为：586）再顺序安排状态变量，得状态量x的重构值：（2）独立设3）由闭环系统动态方程写出的闭环系统特征多项式为：4）由求得：（3）引入状态观测器的状态反馈控制为：593）由闭环系统动态方程写出的闭环系统特征多项式为：4）由被控对象：观测器：控制作用：60被控对象：观测器：控制作用：60可画出引入观测器的状态反馈控制系统的状态变量图：61可画出引入观测器的状态反馈控制系统的状态变量图：61§3状态最优估计

一、状态估计(stateestimation)问题的描述w(t)为m维随机干扰(噪声)向量，称为系统（输入）噪声；

状态方程：测量方程：v(t)为q维随机干扰（噪声）向量，称为测量噪声；

所谓状态估计就是根据测量值y(t)及随机干扰的统计特性，对系统的状态量进行估计，得出尽量接近状态量真实值x(t)的估计值。希望在一定准则函数下作出的估计最好，即最优估计(optimalestimation)。最优估计的解通过准则函数极小化（或极大化）得出。用准则函数（或指标函数）来衡量估计的好坏。不同的准则函数对应得出不同的估计方法。62§3状态最优估计一、状态估计(stateestim二、最小二乘估计误差平方和最小作为准则函数。对系统进行k次测量，记第i次测量为：k次测量后，可得：

以加权误差平方和（按测量值的精度分配权值）最小作为准则函数：1、静态最小二乘估计假设了测量过程中x不变

63二、最小二乘估计误差平方和最小作为准则函数。对系统进行k次上面关于状态x的估计值由系统的k次测量估计值计算出来，这里假设了k次测量过程中系统状态变量x不变，所以是对静态状态值的估计。最小二乘估计仅仅根据一定数量的测量值就能够得出状态量的估计值，而且不需要关于测量噪声的统计特性，特别适用于测量噪声的统计规律未知的情况。如果测量噪声是零均值的，即E[v]=0，则最小二乘是无偏估计，估计的无偏性保证了由不同测量值序列得出的估计值总是在状态变量x附近波动，而多次估计值的平均值应无限接近于x。静态最小二乘估计的性质64上面关于状态x的估计值由系统的k次测量估计2、动态最小二乘估计实际控制系统状态量是变化的，变化规律由系统状态方程决定：线性定常离散系统，下标表示时间，仅考虑测量噪声

输入为确定性输入时，可设

考虑到，有：得：W=I时为：当同时考虑系统噪声可得到类似的结果。652、动态最小二乘估计实际控制系统状态量是变化的，变化规律由系由测量序列求得估计值的基础上，利用新测量值对的修正得出新估计值，解决了存储量和计算量不断增大的问题。3、最小二乘估计的递推算法以W=I的动态估计为例：令：静/动态最小二乘估计都同时用测量值的全体值，特别是动态估计中，当测量次数k很大时，存储量和计算量都很大，给估计带来困难。66由测量序列求考虑用替代，上式为：再令：则有：还可推导出：递推算法：利用矩阵求逆引理可得67考虑用替代，三、线性最小方差估计估计值的方差最小作为准则函数。方差表示各个估计值对其平均值的偏离程度，当选用估计值的最小方差作为准则函数时，比最小二乘估计效果更好。当估计误差与估计值正交时，估计值的方差最小，估计最优。一般需要已知系统噪声、测量噪声的概率密度以及它们的联合概率密度，较难满足。如果估计值是测量值y的线性函数，则只需事先知道系统噪声和测量噪声的一、二阶矩。假设估计值是测量值的线性函数：估计值的方差：线性最小方差估计的几何意义68三、线性最小方差估计估计值的方差最小作为准则要求最小，必须有：此时，有上式得：在已知状态量和测量（或者系统噪声和测量噪声）的一、二阶矩时，就能得到状态量的线性最小方差估计值。令：则：协方差69要求最小，必须有：此时，有上式得：四、卡尔曼滤波KalmanFiltering卡尔曼滤波是基于线性最小方差估计的一种递推算法。在几何上Kalman滤波估计值可以看出是状态变量在由观测生成的线性空间上的投影。离散系统的卡尔曼滤波算法易于利用计算机实现，为实际应用提供了可能性。卡尔曼滤波已经在阿波罗登月计划等实际系统中得到广泛应用。确定性输入，设为一步转移矩阵

系统噪声和测量噪声为零均值的白噪声，它们相互独立，并与状态量也不相关。假设系统状态方程和输出方程为70四、卡尔曼滤波KalmanFiltering1．一步预测与新息一步预测

一步预测误差

新息

加权修正系数

一步预测一步预测误差增益矩阵估计值：新息新息(innovation)包含了全部误差的信息，反映了预测值和实际值之间的不一致程度。711．一步预测与新息一步一步预新息加权修一步一步预增益估计值新息ε(k)的几何意义定理：新息序列ε(k)是零均值白噪声。注：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。72新息ε(k)的几何意义定理：新息序列ε(k)是零均值白噪声与、不相关，，则：2．估计误差协方差阵估计误差：估计误差的协方差阵

73与、不相关，又与、不相关，，可得：得：

一步预测误差的协方差阵74又与、不相关，

3．Kalman增益矩阵Kk估计误差协方差最小等价于误差协方差阵的迹最小，即：而：利用可得753．Kalman增益矩阵Kk估计误差协方差最小等价于误和为对称矩阵，所以有令上式为零，解得：同时，可得观测噪声方差Rk

越小，残余的增益越大Kk

越大76和为对称矩阵，所以有令上式为零，解得：同时，可得总结上面可知，卡尔曼滤波由4个基本方程组成，它们是：（1）一步预测误差协方差阵（先验误差协方差阵）（2）最优滤波增益阵（Kalman增益矩阵，校正矩阵）（3）状态最优估计方程（观测值更新）（4）估计误差协方差阵（误差协方差阵更新）其中一步预测方程：77总结上面可知，卡尔曼滤波由4个基本方程组成，它们是：（1）Discrete-TimeKalmanFiltering时间更新方程状态（测量）更新方程状态更新（校正）时间更新方程将当前状态变量作为先验估计及时地向前投影到测量更新方程；测量更新方程校正先验估计以获得状态的后验估计。78Discrete-TimeKalmanFilteringFlowChartofKF(1)向前推算状态变量(2)计算先验误差协方差时间更新（预测）(1)计算Kalman增益矩阵(2)由观测值更新估计状态更新（校正）(3)更新误差协方差初始化

和Pk-1任意给定初值均可，但P≠079FlowChartofKF(1)向前推算状态变量(卡尔曼滤波示意图：一步预测最优估计基本方程应用时的几点说明（稳定性、初值、发散）；带控制作用项系统的卡尔曼滤波；系统噪声与测量噪声相关的卡尔曼滤波；连续系统的卡尔曼滤波。卡尔曼滤波的有关问题：80卡尔曼滤波示意图：一步预测最优估计基本方程应用时的几点说明滤波器系数及调整滤波器实际实现时，测量噪声协方差R一般可以观测得到，是滤波器的已知条件。观测测量噪声协方差R一般是可实现的（可能的），毕竟我们要观测整个系统过程。因此通常我们离线获取一些系统观测值以计算测量噪声协方差。通常更难确定过程激励噪声协方差的Q值，因为我们无法直接观测到过程信号xk

。有时可以通过Q的选择给过程信号“注入”足够的不确定性来建立一个简单的（差的）过程模型而产生可以接受的结果。当然在这种情况下人们希望信号观测值是可信的。在这两种情况下，不管我们是否有一个合理的标准来选择系数，我们通常（统计学上的）都可以通过调整滤波器系数来获得更好的性能。调整通常离线进行，并经常与另一个（确定无误的）在线滤波器对比，这个过程称为系统识别。81滤波器系数及调整滤波器实际实现时，测量噪声协方差R一般可以五、随机线性系统的最优控制系统：二次型性能指标：最优控制的解为：是状态量x(t)的最优估计值，是下面卡尔曼滤波方程的解：是卡尔曼滤波增益矩阵，由滤波增益方程求得：

是矩阵Riccati微分方程的解：

82五、随机线性系统的最优控制系统：二次型性能指标：最优控制的最优控制的状态反馈矩阵由下式求得：是下面最优控制的矩阵Riccati微分方程的解：

方程的终端条件是：随机线性系统的最优控制由卡尔曼滤波器和最优控制器两部分组成。83最优控制的状态反馈矩阵由下式求得：是下面最优第六章

状态观测与状态最优估计84第六章1第6章状态观测与状态最优估计某些状态量，或者由于不具明确的物理意义，或者由于量测手段的限制，在工程实际中不能直接获取它们，需要对状态进行重构或估计reconstruction,estimation。所谓的状态变量的重构或观测估计问题，即设法另外构造一个物理上可实现的动态系统,它以原系统的输入u和输出y作为它的输入而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值x或者其某种线性组合，则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量来构成状态反馈律85第6章状态观测与状态最优估计某些状态量，这种重构或估计系统状态变量的装置称为状态观测器（stateobserver），它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统,也可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、或软件)来对状态变量进行估计。状态观测器是指在不考虑噪声干扰下，状态值的观测或估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无噪声干扰。对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可用卡尔曼(Kalman)滤波理论来分析讨论(最优估计)。86这种重构或估计系统状态变量的装置称为状态观测器（§1状态重构与状态观测器

一、状态重构问题

输入量u和输出量y总是可以直接量测的，能否通过输入量u和输出量y间接获取状态量的信息。为此，对输出方程进行逐次微分运算，并代之以状态方程，可得：87§1状态重构与状态观测器一、状态重构问题输入写成矩阵方程形式：矩阵满秩，x有唯一解。但实际应用中不可取。启示：如果系统满足一定条件，利用系统的输入量和输出量，得到原系统状态量的间接值，它在一定的指标下与x(t)等价。称为状态量x(t)的重构值，将得到重构状态的系统称为状态观测器，表示为。等价性指标一般采用渐近等价，即如果状态观测器的维数与原系统的维数相同，称为全维状态观测器；如果状态观测器的维数小于原系统的维数，称为降维状态观测器。88写成矩阵方程形式：矩阵二、全维状态观测器1．全维观测器的构成—方案1用原系统的结构、输入构造一个模拟系统：开环型状态观测器

其中为被控系统状态变量x(t)的估计值。构造一个和被控系统有同样动力学性质（即有同样的系数矩阵A,B和C）的系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值（即重构被控系统的状态变量）。89二、全维状态观测器1．全维观测器的构成—方案1用原系统的结构开环状态观测器的结构图其结构如下图所示。有：（1）A包含有不稳定的特征值时，即使很小的也会使远离x(t)；（2）观测器参数对原系统参数的任何偏离都会产生不利影响。90开环状态观测器的结构图其结构如下图所示。有：（1）A包含有不所以开环型状态观测器不能实际使用。解决的办法是利用输出偏差进行反馈，设计渐近观测器，反馈矩阵为M。如图

91所以开环型状态观测器不能实际使用。解决的办法是利用输观测器的状态方程式为：有望通过设计合适的偏差反馈矩阵M以调整观测器系统矩阵的特征值（观测器极点），实现渐近等价指标下的状态重构。所以，一个性能优良的观测器应该是所有极点可以任意配置的。这就是观测器的极点配置问题。渐近观测器其中M称为状态观测器的反馈矩阵92观测器的状态方程式为：有望通过设计合适的偏差反馈矩2．极点任意配置条件结论：系统能采用全维状态观测器重构其状态，并且能通过改变M矩阵任意配置观测器极点的充要条件是原系统完全能观。

其转置特征值不变，即通过K矩阵可任意配置特征值；

取，即矩阵(A－MC)的特征值可通过M矩阵任意配置；

显然原系统能观，它对应的全维状态观测器就能通过改变M矩阵任意配置它的极点。932．极点任意配置条件结论：系统能采用全维状态观测器重构其状态3．极点配置算法（1）判定的能观性；（2）如能观，写出原系统的对偶系统;（3）利用状态反馈极点配置算法求出期望极点为的状态反馈系统的反馈矩阵；（4）取;（5）得状态观测器为：对于期望极点的位置，仅从渐近收敛速度看，希望极点尽量远离虚轴。但是极点离虚轴太远，会使观测器频带过宽，不利于扼制观测器输入量的高频干扰。要根据工程实际折衷考虑。943．极点配置算法（1）判定的能观性；（2）如能（5）将m代入方程，得出全维状态观测器。（1）判断的能观性；对于单输出系统，除了通过对偶系统求解外，也有类似于单输入系统状态反馈极点配置的二种算法。方法一（解联立方程）：95（5）将m代入方程解（1）系统的能观性矩阵为满秩，系统能观；（4）由96解（1）系统的能观性矩阵为满秩，系统能观；（4）由13系统的状态变量图为：（5）得全维观测器为：97系统的状态变量图为：（5）得全维观测器为：14（3）由给定的期望极点求得期望的特征多项式：（4）按下式求取具有能观规范型形式的状态空间中的偏差反馈向量：（5）求取将原系统化为能观规范型的变换矩阵P；（6）由求得偏差反馈向量m，并代入观测器方程。方法二（利用能观规范型求）：

（1）先判断的能观性，若能观，则往下进行；（2）开环系统的特征多项式：98（3）由给定的期望极点求得期望的特征多项式：（4）按下式方案2：受控系统能控，能观全维状态观测器可取为在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统的观测器。4．全维观测器的构成—方案299方案2：受控系统能控，能观4．全维观测器的构成—方案216全维状态观测器的结构图如下所示。全维状态观测器的结构图100全维状态观测器的结构图如下所示。全维状态观测器的结构图17结论1：任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测器的充要条件是：

证明：定义则

充分性：满足(1)(2)(3),则

z(t)是Tx的估计，101结论1：任意，上述系统是{A必要性：若条件（3）不成立，则对于x0≠0和u(t)≡0，当t→∞时有e(t)不趋于零。若条件（2）不成立，即H≠TB，则可以找到一个u(t)使得当t→∞时，e(t)将不趋于零。若条件（1）不成立，即TA-FT≠GC，但{A、B}能控，则必可以找到一个u(t)而产生相应的一个x(t)，使得当t→∞时e(t)不趋于零。从而，要使x(t)的估计值为x(t)的渐近估计，必须使（1）-（3)成立。必要性得证。

实际设计中，F，G可选，由(1)求出T要非奇异。H可由(2)算出。关键是要能从Sylvester方程TA-FT=GC求出非奇异的T。102必要性：若条件（3）不成立，则对于x0≠0和u(t)≡0，结论2：设A和F无公共特征值则条件(1)TA-FT=GC存在非奇异解T的充分必要条件是{A,C}能观，{F,G}可控。（系统为SISO时，该条件也是充分条件）证明略。103结论2：设A和F无公共特征值20方案2--算法：10421一般，系统中总有一部分状态变量是可以直接量测的。从而，只需构造维数小于n的观测器来得出另一部分状态变量（降维状态观测器）。如果，则有q个输出变量是相互独立的，那么由输出方程就能得出q个状态变量。例如极端情况，则后q个输出量就是状态变量，可量测；一般情况下，降维状态观测器的最小维数为。三、降维状态观测器

1.降维状态观测器的构成-方案1引入非奇异变换，使新状态空间的状态量为：使新状态空间的输出矩阵为：105一般，系统中总有一部分状态变量是可以直接量测的。从而q维分状态向量直接由y得出，而维分状态向量需要通过观测器重构。由上面式子可写出：106q维分状态向量直接由y得出，而为了重构(n-q)维状态向量，只要构造上述子系统的全维状态观测器即可。由于原系统能观，非奇异变换后仍然能观，它的部分状态变量构成的子系统当然也能观。所以能对上述子系统构造全维状态观测器。有：上式含有输出的导数项，这对于观测器抗干扰及观测值的唯一性考虑都是不允许的，为此引入一个新的状态量：107为了重构(n-q)维状态向量，只要构造上述子于是，降维状态观测器的方程可写为：或者写为：而状态量的重构值为：如将非奇异变换矩阵表示为：则在原状态空间中状态量的重构值为：此即为(n-q)维降维状态观测器，也称Luenberger观测器。108于是，降维状态观测器的方程可写为：或者写为：而状态量的重降维状态观测器结构图为：109降维状态观测器结构图为：26③对原系统实施非奇异变换：④写出降维状态观测器方程：并按观测器极点配置算法求出M；⑤写出状态量的估计值：⑥经反变换求出原系统状态x的估计值：2.降维状态观测器（方案1）的设计算法①判别(A,C)的能观性，并确定q和n-q：n×(n-q)n×q110③对原系统实施非奇异变换：④写出降维状态观测器方程：并按1112811229即：降维观测器方程为：113即：降维观测器方程为：3011431可以画出降维状态观测器如下：115可以画出降维状态观测器如下：32其中z是降维状态观测器的n-m维状态变量;仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法，构造状态变量的全维状态观测器如下:是该降维状态观测器的输出变量，即变换后的系统的状态变量的估计值;矩阵F,G,H和L为适宜维数的待定常数矩阵。3.降维状态观测器的构成-方案2116其中z是降维状态观测器的n-m维状态变量;降维状态观测器的结构图如下所示。图降维状态观测器的结构图117降维状态观测器的结构图如下所示。图降维状态观测器的结构图3下面讨论如何选取降维状态观测器(b)的各矩阵，才能使得将上式及y=代入式(c),可得和由状态观测器方程(b)，有118下面讨论如何选取降维状态观测器(b)的各矩阵，才能使得将上将式(d)减去上式,可得状态估计误差所满足的动态方程将状态空间模型中所满足的状态方程代入上式,可得119将式(d)减去上式,可得状态估计误差若取则状态观测误差所满足的状态方程(e)可记为因为120若取则状态观测误差所满足的状态方程(由式(f)可知，类似于前面所讨论的全维状态观测器，当矩阵对是状态完全可观的，则通过矩阵L的选择可任意配置矩阵F的特征值，即能使F的特征值都具有负实部。由上式(f)可知，欲使渐近逼近的充分必要条件为矩阵F的全部特征值都具有负实部。因此矩阵L的选择方法与全维状态观测器中的反馈矩阵G的选取方法完全一致,亦有相应的方法一和方法二。121由式(f)可知，类似于前面所讨论的全维状态观测器，当矩阵对因此，由线性系统的输出方程和降维状态观测器，我们可得状态变量向量的如下估计值则原系统的状态变量向量x(t)的估计值为于是所设计的原系统的降维状态观测器为122因此，由线性系统的输出方程和降维状态观测器，我们可得状态变量例设线性定常系统的状态方程为试设计一降维状态观测器，使其极点配置为-3,-4。解(1)将系统作结构分解。由于rankC=1，且C阵的最后一个元素不为零，所以不必再重新排列状态变量，只要按虚线所示方式将系统分解即可。123例设线性定常系统的状态方程为试设计一降维状态观按式(h)构造变换矩阵P如下:相应地124按式(h)构造变换矩阵P如下:相应地41(2)计算:(3)由式(b)可知，降维状态观测器的特征多项式为125(2)计算:(3)由(4)由给定的期望特征值得期望的特征多项式为f*(s)=(s+3)(s+3)=s2+7s+12令f(s)=f*(s),则可得(5)由F,G和H的计算公式,可得降维状态观测器的各矩阵为126(4)由给定的期望特征值得期望的特征多项式为(5)由F于是所得的降维状态观测器为则原系统的状态变量向量x的估计值为127于是所得的降维状态观测器为则原系统的状态变量向量x的估计§2引入观测器的状态反馈控制系统

一、系统的构成控制系统由三部分组成：被控对象、状态观测器、状态反馈控制。结构图如下：128§2引入观测器的状态反馈控制系统一、系统的构成将三部分合在一起，即得含观测器的状态反馈控制系统：129将三部分合在一起，即得含观测器的状态反馈控制系统：46二、系统的特性：1、系统的维数=原系统的维数+观测器的维数。系统的特征值集合=状态反馈系统的特征值集合+观测器的特征值集合。系统矩阵为：引入非奇异变换：有：可见，系统的特征值由状态反馈系统的特征值和状态观测器的特征值二部分组成。130二、系统的特性：1、系统的维数=原系统的维数+观测器的维数。2、由上式还可以得出结论：通过K配置系统特征值（闭环极点）和通过M配置观测器特征值（极点）是互相分离的，可以完全独立地进行。这就是分离性原理(separationprinciple)。3、观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵。上面的讨论给出了，同样可得新状态空间的输入矩阵和输出矩阵：1312、由上式还可以得出结论：通过K配置系统特征值（闭环极点）进一步分析可知，具有按能控性分解的形式，能控子系统为，观测器部分是不能控的。所以，观测器的引入使状态反馈控制系统不再保持能控性。分块矩阵的求逆公式：

必发生了零极点相消现象，相消的n个极点是属于观测器的。由于观测器设计保证了其极点的渐近稳定性，所以零极点相消不影响闭环系统的正常运行。4、观测器为渐近等价，观测器动态特性将影响闭环系统动态特性，要求观测器的动态过程快于闭环系统的动态过程是合理的。通常把观测器特征值的负实部取为状态反馈系统特征值的负实部的2～3倍。非奇异变换不改变传递函数矩阵，所以有：132进一步分析可知，

例

:给定线性定常系统

试设计带全维观测器的状态反馈系统，使反馈系统的极点配置在-1+j，-1-j，观测器的特征值为-5，-5。133例:给定线性定常系统50134511355213653解：（1）独立设计降维状态观测器；137解：（1）独立设计降维状态观测器；542）构造非奇异变换矩阵Q,使变换后的对于该系统可以通过重新安排状态变量实现，即输出方程：状态方程为：1382）构造非奇异变换矩阵Q,使变换后的对于该系统可以通过重新安观测器的特征多项式为：3）降维状态观测器的方程为139观测器的特征多项式为：3）降维状态观测器的方程为56由求得：4）降维状态观测器的方程为期望的特征多项式应为：5）状态量的重构值为：140由求得：4）降6）再顺序安排状态变量，得状态量x的重构值：（2）独立设计状态反馈控制；1）首先判别系统的能控性：系统能控；2）由给定的期望闭环极点求得期望的闭环系统特征多项式为：1416）再顺序安排状态变量，得状态量x的重构值：（2）独立设3）由闭环系统动态方程写出的闭环系统特征多项式为：4）由求得：（3）引入状态观测器的状态反馈控制为：1423）由闭环系统动态方程写出的闭环系统特征多项式为：4）由被控对象：观测器：控制作用：143被控对象：观测器：控制作用：60可画出引入观测器的状态反馈控制系统的状态变量图：144可画出引入观测器的状态反馈控制系统的状态变量图：61§3状态最优估计

一、状态估计(stateestimation)问题的描述w(t)为m维随机干扰(噪声)向量，称为系统（输入）噪声；

状态方程：测量方程：v(t)为q维随机干扰（噪声）向量，称为测量噪声；

所谓状态估计就是根据测量值y(t)及随机干扰的统计特性，对系统的状态量进行估计，得出尽量接近状态量真实值x(t)的估计值。希望在一定准则函数下作出的估计最好，即最优估计(optimalestimation)。最优估计的解通过准则函数极小化（或极大化）得出。用准则函数（或指标函数）来衡量估计的好坏。不同的准则函数对应得出不同的估计方法。145§3状态最优估计一、状态估计(stateestim二、最小二乘估计误差平方和最小作为准则函数。对系统进行k次测量，记第i次测量为：k次测量后，可得：

以加权误差平方和（按测量值的精度分配权值）最小作为准则函数：1、静态最小二乘估计假设了测量过程中x不变

146二、最小二乘估计误差平方和最小作为准则函数。对系统进行k次上面关于状态x的估计值由系统的k次测量估计值计算出来，这里假设了k次测量过程中系统状态变量x不变，所以是对静态状态值的估计。最小二乘估计仅仅根据一定数量的测量值就能够得出状态量的估计值，而且不需要关于测量噪声的统计特性，特别适用于测量噪声的统计规律未知的情况。如果测量噪声是零均值的，即E[v]=0，则最小二乘是无偏估计，估计的无偏性保证了由不同测量值序列得出的估计值总是在状态变量x附近波动，而多次估计值的平均值应无限接近于x。静态最小二乘估计的性质147上面关于状态x的估计值由系统的k次测量估计2、动态最小二乘估计实际控制系统状态量是变化的，变化规律由系统状态方程决定：线性定常离散系统，下标表示时间，仅考虑测量噪声

输入为确定性输入时，可设

考虑到，有：得：W=I时为：当同时考虑系统噪声可得到类似的结果。1482、动态最小二乘估计实际控制系统状态量是变化的，变化规律由系由测量序列求得估计值的基础上，利用新测量值对的修正得出新估计值，解决了存储量和计算量不断增大的问题。3、最小二乘估计的递推算法以W=I的动态估计为例：令：静/动态最小二乘估计都同时用测量值的全体值，特别是动态估计中，当测量次数k很大时，存储量和计算量都很大，给估计带来困难。149由测量序列求考虑用替代，上式为：再令：则有：还可推导出：递推算法：利用矩阵求逆引理可得150考虑用替代，三、线性最小方差估计估计值的方差最小作为准则函数。方差表示各个估计值对其平均值的偏离程度，当选用估计值的最小方差作为准则函数时，比最小二乘估计效果更好。当估计误差与估计值正交时，估计值的方差最小，估计最优。一般需要已知系统噪声、测量噪声的概率密度以及它们的联合概率密度，较难满足。如果估计值是测量值y的线性函数，则只需事先知道系统噪声和测量噪声的一、二阶矩。假设估计值是测量值的线性函数：估计值的方差：线性最小方差估计的几何意义151三、线性最小方差估计估