统计学第三章

第三章集中量教学目的:通过本章学习，同学们应理解集中量.算术平均数.中位数.众数.几何平均数等基本概念，了解各种集中量指标的优缺点和用途，并熟练掌握各种集中量指标的计算方法。统计表和统计图只是简明.概括.直观的反映了一组数据的分布特征，这对于统计分析还是不够的。为了进一步分析研究，比较精确地把握一组数据的分布特征，还需计算出反映一组数据分布特征的统计量，【如】：集中量.差异量等。集中量：是表示一组数据典型水平或集中趋势的量。集中量是一组数据整体水平的代表量。不同群体间学生成绩比较时，需要用集中量指标。常用的集中量指标有算术平均数.中位数.众数.加权平均数.几何平均数和调和平均数。第一节算术平均数一、算术平均数的概念1.算术平均数：是一组数据的总和除以数据的总个数所得之商，简称为平均数或均值，一般用表示。表示一组数据的总和，N表示数据的个数。2.算术平均数有以下几个特点：（1）一组数据的总和等于该组数据的个数与该组数据平均数的乘积。（2）各个数据与平均数的离差和等于零，即（3）若一组数据由若干个部分组成，则这组数据的平均数可由各部分平均数合并而得。二、算术平均数的计算方法1.原始数据计算法利用定义公式（3.1）计算。【如】：5名学生的外语成绩为：79.62.84.90.71，则这5名学生的外语平均成绩为：2.频数分布表计算法我们以40名学生的数学成绩频数分布表为例，说明其计算方法。表3.140名学生数学分数频数分布表分数60——65——70——75——80——85——f6812554Xc62.567.572.577.582.587.5Xc为各组的组中值（可看作各组f数据的平均数）.f为各组组频数，N=Σf，则注意：公式（3.2）的逻辑意义。表3.140个分数的平均数为：注：组中值Xc的值一般统计表中不标出，计算时需同学们自己确定。三、算术平均数的优缺点（一）算术平均数的优点1.反映灵敏；2.严密确定；3.简明易懂，计算方便；4.适合代数运算；5.受抽样变动影响较小。（二）算术平均数的缺点1.易受两极端值的影响；2.某个数据模糊不清时，就无法计算算术平均数。注：算术平均数是应用最广的一个集中量指标。第二节中位数一、中位数的概念中位数：是位于按一定大小顺序排列的一组数据中央位置的那个数，在它上下各有一半频数分布着（中位数用Md表示）。二、中位数的计算方法（一）原始数据计算法利用原始数据计算时，要注意数据的个数是奇数还是偶数。【如】：81.84.89.90.93。这组数据的中位数就是Md=89。2.当数据个数N为偶数时，中位数为中央位置上两个数据的平均数。即第与第两个数的平均数。【如】：81，84，89，90，93，95。这组数据的中位数为：Md=（89+90）÷2=89.5注意：在计算中位数时，首先是将数据按大小顺序排列。（二）频数分布表计算方法利用频数分布表计算中位数有两种方法：1.是按由小到大的方向计算二者的原理是一致的，我们以由小到大的方向计算来分析。表3.250个英语分数的频数分布表分数频数f累积频数85——55080——124575——203370——101365——33（1）确定中位数所在组（2）确定中位数所在组所取多少个频数与频数的距离Md的值肯定大于该组的下限（Lmd），也就是Md的值是在Lmd的值上再加上一定的数值，那么该加多少呢？我们从表中可知，75——这一组的组频数fmd=20，这一组的起止范围为75～（3）求出中位数从上述分析中我们可以得出：注：①.Lmd为中位数所在组的下限；②.n1为与Lmd相邻的那一组的累积频数；③.fmd为Md所在组的组频数；④.i为组距。表3.2中50分数的中位数为：利用公式（3.3）计算中位数时，关键是要确定Md所在组以及Lmd.fmd和n1的值。2.是按由大到小的方向计算同理，我们可得出按由大到小的方向计算Md的公式：与公式3.3不同的是Umd为Md所在组的上限，n2为上限Umd以上各组频数总和。在表3.2中，Umd=80，n2=17，fmd=20.3.特殊情况：完全对称条件下的计算三.百分位数的概念及其计算方法1.百分位数的概念百分位数：是指位于按大小顺序排列的一组数中某一百分位置的数据。常用Pp表示。【如】：第80百分位数（P80），假定P80=78，它的含义是指在一组数据中，比78小的数据个数占数据总个数的80%，而大于78的数据个数占数据总数的20%（中位数也是一个百分位数）。2.百分位数的计算方法百分位数计算原理与中位数相同。其计算公式为：Pp表示百分位数，p表示百分位，N为总频数，Lp表Pp所在组的下限，n为小于Lp的频数总和，fp表为Pp所在组的组频数，i为组距。利于公式（3.5）计算频数分布表中的百分位数的解题过程可分为：（1）由p·N确定Pp所在组；（2）根据Pp所在组确定fp.Lp和n；（3）将fp.Lp和n.i代入公式（3.5）计算。【例】：求下面频数分布表的第80百分位数。表3.360个外语分数的频数分布表分数65——70——75——80——85——f81420108cf822425260注：cf为累计频数。解：由80%×60=48知P80在80—这一组。∴Lp=80，fp=10，n=42，i=5四、中位数的优缺点优点：简明易懂，计算方便，不受两极端值的影响。缺点：受抽样变动影响较大，反应不灵敏，不适合代数运算。第三节众数一、众数的概念众数：是指一组数据中次数出现最多的那个数(用M0表示)。二、众数的计算方法1.用观察法寻找M0【如】：在60，70，65，65，71，65，62这组数据中，65是出现次数最多的一个数，因而这组数的M0=65。2.用公式求众数（1）皮尔逊的经验法在近似正态时：（2）金氏插补法当频数呈偏态时可用金氏插补法。注：表3.3频数分布不对称，应以金氏法计算结果为准。三.众数的优缺点优点：简明易懂，计算方便，不受两极端值影响。缺点：反应不灵敏，受分组影响较大，易受抽样变动的影响。三者的关系与数据的分布形态有关第四节加权平均数几何平均数调和平均数一.加权平均数加平均数：是指重要性不同的数据的平均数。1.当总权数为1时，计算公式可表示为W为权数。HYPERLINK【例题】：某校规定期中考试成绩占40%，期末占60%，学生A的期中成绩为90分，期末成绩为70分，则该生的学期总平均成绩为：2.当总权数不等于1时HYPERLINK【例】：某中学初一年级语文测验。（一）班48人的平均分为82分，（二）50人的平均分为79分，则全年级的平均分为：二.几何平均数几何平均数：是N个数据连乘积的N次方根。1.X是原始数据中后一数据与前一个数的比；2.N是X的个数，而不是原始数据的个数；HYPERLINK【如】：某小学近三年的教学经费如下图，问该小学近年来教学经费的年平均增长率是多少？单位：元年份200020012002经费11,