2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题15 导数及其应用

1．设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x)()A.sinx2．已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为（）A．f（x）=(x-1)3+32(x-1)B．f(x)=2x+1C．f()=2(x-1)2D．f(x)-x+3B.-sinxC.cosxD.-cosx3.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________.4．设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。5．已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间；（2）若f(x)在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。6．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。7．已知a∈R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。8．设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。（1）当m为何值时，f(x)≥0;(2)定理：若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0.试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt,∵a=-t2,∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在[-1，2]因为在（-1，3）上f’(x)>0,所以f(x)在[-1，2]上单调递增，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f{-1}=1+3-9-2=-7即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7。【正确解答】f’(x)=ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]令f’(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.故当整数m>1时，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。易错起源1、导数的概念与运算例1．已知f(3)=2f’(3)=-2，则A．-4B．0C．8的值为（）D．不存在1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则的运用。2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。易错起源2、导数几何意义的运用例2．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f’(x0)，则过此点的切线的斜率为f’(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。易错起源3、导数的应用例3．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【错解分析】上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f’(x)的符号时，计算错误，∵x<10,V’>0;10<x<36,V’<0;x>36,V’>0.1．证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f’(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)>0(或f(x)<0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。2．函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f’(x)=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。3．函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数f(x)在闭区间[a、b]上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。实际应用问题利用导数求f(x)在（a、b）的最大值时,f’(x)=0在（a,b）的解只有一个，由题意最值确实存在，就是f’(x)=0的解是最值点。1已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则等于（）]A．B．1C．2D．2函数y=xsinx+cosx在下列哪个区间内是增函数（）A．（0，π）B．（-π,0）C．(,π)D．(-π,-)3已知函数f(x)=在（1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为（）A．0<a<B．0<a≤eC．a≥eD．a≤e4函数y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分别是（）A．5，-15C．-4，-15B．5，-4D．5，-165设f(x)、g(x)分别是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数和偶函数，当x<0时f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=0且g(3)=0,则不等式f(x)·g(x)<0的解集是（）A．（-3，0）∪（3，+∞）B．（-3，0）∪（0，3）C．（-∞，-3）∪（3，+∞）D．（-∞，-3）∪（0，3）6函数f(x)=x3-2x+3的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系是（）A．相切B．相交且过圆心D．相离C．相交但不过圆心7．设集合A＝[0,1)，B＝[1,2]，函数f(x)＝若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，则x0的取值范围是()A.C.B．(log32,1)D.8．函数f(x)＝lg(x≠0，x∈R)，有下列命题：①f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)的最小值是2；③f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；④f(x)没有最大值．其中正确命题的序号是________．(请填上所有正确命题的序号)9．设函数f(x)＝n－1，x∈[n，n＋1)，n∈N，则满足方程f(x)＝log2x根的个数是()A．1个B．2个C．3个D．无数个10．已知定义域为R的函数f(x)＝(1)求a，b的值；是奇函数．(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．11．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则()A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)12．下列四个命题中，正确的是()A．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0B．函数f(x)＝e－x－ex切线斜率的最大值是2C．已知函数f(a)＝sinxdx，则f＝1＋cos1D．函数y＝3·2x＋1的图象可以由函数y＝2x的图象仅通过平移变换得到13．设函数y＝f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)＝f(x)－2x在区间[2,3]上的值域为[－2,6]，则函数g(x)在[－12,12]上的值域为()A．[－2,6]B．[－20,34]C．[－22,32]D．[－24,28]14．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.C.B.D．115．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x＝时，函数f(x)取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时，函数f(x)取得极小值；④当x＝1时，函数f(x)取得极大值．16.函数f(x)=xlnx,则f(x)的单调递减区间是_______.17.曲线y=2-x2与y=x3-2在交点处的切线夹角是__________.18.已知函数f(x)=mx3+mx2+3x在R上的增函数，求实数m的取值范围。19.求函数f(x)=20.函数f(x)=在[，3]上的最大值和最小值。+x+1在x=x1,及x=x2处有极值，且1<≤5.(1)求a的取值范围；（2）当a取最大值时，存在t∈R，使x∈[1，m]（m>1）时，f’(t-x)≤恒成立，试求m的最大值。1.答案：A解析：∵f′(x)=2.答案：D解析：y′=sinx+cosx-sinx=xcosx,x∈(-π,-)时，y′>0.9．答案：C解析：方法一：详细画出f(x)和g(x)＝log2x在同一坐标系中函数图象，由图中不难看出有三个交点，故选C.12．答案：A解析：本题主要考查逻辑用语和导数，函数，积分的综合运算．属于基础知识、基本运算的考查．对于A，存在性命题的否定为特称命题，且否定结论，所以A对；f(x)＝e－x－ex，f′(x)＝－e－x－ex≤－2，故B错；f(a)＝－cosx＝－cosa＋1，f＝f(1)＝1－cos1，故C错；函数y＝3·2x