新高考高中物理竞赛专题6狭义相对论45题竞赛真题强化训练解析版

新高考高中物理竞赛专题6狭义相对论45题竞赛真题震化训练—•、解答题（2019•全国•高三竞赛）A、B两钟在相对于某惯性系的一条直线上做方向相同、速率不同的匀速运动.在相遇时两钟均拨到零点，A钟在时刻7；向8的方向发出一光信号，8钟收到该信号的时间为心.证明：B钟相对于A钟的运动速率为丫=史二^.【答案】证明见解析【解析】【详解】设A钟为S系，8钟为5'系.A钟发出光信号为事件1,8钟收到光信号为事件2,则已知：X|=0,：=，，芯=0,（2=tb-对事件1:写洛伦兹变换关系.1令，^1--,则＜='（王一0）=一7叱，‘；=/]+=占）=*.按8钟测量，光信号以c的速度在到B期间，从％'传播到月，有吊一x=c（gr）,即一x=c（7^r）.将前两式代入上式，得rvTA=c（TB-yTA）,即（c+v）7；=7；J?二7,lc+vTbc+vt（c+v）-（c-v）_7^-7^ c（甯-7：）匕二二‘二?一可’（c+u）+（cf）-诉T所以-=有声,本题是洛伦兹变换的基础应用，权作练习，巩固知识.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，静止质量均为人的两质点A、B,现质点8静止，A相对于8以3；。的速度向B运动，碰后粘连，假设无任何形式的能量耗散，问："—c B5（1）碰后两者的共同速度；（2）动能的损失.【答案】（l）gc （2）油二1moe23 2【解析】

【详解】外5 V3⑴由相对论的质量方程，仃%=武=即，式中夕==?碰撞过程中动量守恒：设M为碰后的共同质量,碰撞过程中动量守恒：设M为碰后的共同质量,/为碰后的共同速度,3 A/河。有跖/=心铲，且"=•考虑两质点在碰撞中动能损失，则碰后共同体的静质量＞2%Q 1考虑能量守恒定律（热能包括在总能量的静能中），Me1=mAc2+mBc2,所以，v'=；c.（2）由产JI二，弓w得M）=述"=述/.碰撞过程中，系统动能的损失等于系统静能的增量，即+系统的能量守恒与一定条件下的动量守恒不仅是牛顿力学的普适规律，也是相对论力学的普适性规律，而且在处理相对论力学中的碰撞问题时，几乎无法绕开这两个定律的应用，并且，在处理问题时，它们相互支撑.相时论总的能量、静能与动能间的关系是许多同学纠结的问题之一，若不清楚前两者之差许多同学纠结的问题之一，若不清楚前两者之差即为动能，只能说明这部分同学对相应知识的掌握是欠缺的，而只是的欠缺是很难从练习中得到全面补偿的，必须通过阅读相关的教材，全面理解.（2019•全国•高三竞赛）一宇宙飞船以速度0.6c离开地球飞向离地球3光年的宇航站（地球参考系测出的距离），然后再返回地球.起飞时地球的钟为r=0,飞船的钟为f'=0.地球上每隔1年向飞船发一光脉冲，飞船上的人也每隔1年向地球发一光脉冲，试问飞船上的人在哪些时刻收到脉冲？【答案】飞船收到第3,4,…，9个脉冲的时刻分别为4=4.5年，r：=5年，…，4=7.5年.【解析】【详解】设地球发射脉冲的频率为U，则当飞船远离地球时，飞船收到脉冲的频率，为,lc-vv=J vVc+V发射的周期和接收的周期分别用T和T表示，7=1年，则T'T'=—==2年.c-v匕船收到第1个脉冲时，4,=2年，收到第2个脉冲时，4=4年.此时飞船开始返航.当飞船返航接近地球时，有T'==T'==0.57=0.5年.C+V因此，飞船收到第3,4，…，9个脉冲的时刻分别为心=4.5年，r；=5年，…，（=7.5年.点睛.原本这种题多是由洛仑兹变换解决，这里提供一种更简洁的方法.光的多普勒效应并不一定要是真实的光，只要有一定频率，以光速传播的信号，无论是这里的光脉冲，还是贺年电报，均可由光的多普勒效应来解决.只是有一点需要注意，如果飞船的转向在两次光脉冲之间，则需要特殊对待，这种题目前在竞赛中出现得很少.（2019•全国•高三竞赛）设S'系相对于S系的速度V并不平行于X轴，f=r=0时，x与X,轴，y与y'轴，z与z'轴两两重合.试导出这种情况下的洛仑兹变换公式.提示：把r,，分解为平行于丫的分量rn=^-v,%=W丫和垂直于V的分量乙二厂一/；/,[=/一£v v【答案】推导见解析【解析】【详解】， --V, r-V-V2tVy/l-V2/c2Ji/，Vl-V2/c2y/\-V2/c2点睛.在绝大多数的相时论题日中，速度方向均沿x轴方向，这使我们几乎从未考虑过不沿x轴方向的情形.对于这样的题，我们应明确：参考系的坐标方向是人为建立的，只是为方便将x轴设到与速度方向相同.只有两参考系的相时速度方向才是事物本身的属性，而非人为决定.因此，洛仑兹变换中的x轴的方向应是相对速度的方向，不是人为设定的那个x轴.（2019•全国•高三竞赛）封闭的车厢中有一点光源S,在距光源1（车厢参考系）处有一半径为r的圆孔，其圆心为。-光源一直在发光，并通过圆孔射出.车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示.某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点.在地面参考系中坐标为％处放一半径为R（R>r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直.板的圆心。2、S、都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上.由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况.不考虑光的衍射.试求：（1）车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻.（2）地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻.【答案】（1）t，=XA/l-（v/c）].q⑵/=上8=2-里vrv vvrv【解析】【详解】(1)相对于年厢参考系，地面连同挡板以速度V趋向光源S运动.由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大.若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示，则有二=',可得L=总.IL r设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出.当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住.此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L.在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为Xa"1-(v/c)2.故出现挡板完全遮住光束的时刻为(v/C)2-L,V得=XaJ(V/C)2_旦.v rv(2)正确解答：车厢参考系中完全遮光这一事件的坐标为(乙r').由洛仑兹变换得，=?。'+2幻，C相对于地面参考系，光源与车厢以速度V向挡板运动.光源与孔之间的距离缩短为r=/7i-(v/c)2而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为r=—=—Vi-(v/c)2.rr初始时，挡板离s的距离为乙，出现挡板完全遮住光束的时刻为t，=^£=Sgv/c)2.vvrv点睛.第二问是很容易错的一问，主要在于光的传播需要时间，在地面系中，光经光源发出后传到孔处需要时间，此时光源距孔的距离已不是原来的距离.因此在s系中观察光线的汇聚点并不是光源的位置.同时，在达到对应的相对位形后，光传播到挡板也需要一定的时间，正是这两个效应使错误的解答答案正确.此题也有不严谨之处，在地面系中，挡板将光完全遮住与没有光射到屏上并不是同一时刻.(2019•全国•高三竞赛)一根米尺，静置在S系的x'-y'平面上，与X'轴成3"角，如图所示，S'系相对于S系以速度v=0.8c沿着x轴正方向运动，求此米尺在S系中的长度和取向.

（S系） （S'系）【答案】/=lxjl-丝匚cos230=0.72m，tan6=0.9622,0=43.9；0>0O,运动的米尺既收缩又转向.【解析】【详解】令米尺的两端为A和B,在相对静止的S系中，两端的坐标分别为A:x\=0,y\=0B:x'b=/0cos00,y'B=lQsin0Q要得到相对于S系的米尺的长度，就得在同一时间t,测得A、B两端的坐标.应用洛仑兹变换，可以得到/'=’讨=。，%'=以所以，xA=vt工一p/又因为x'b=/ ,=I。cos%y,B=/0sin4所以，XB=/0y]\-J32COSOa+vt于是，XfjXA=Jl-fi-/gcos%»=/<)Sind米尺的长度/=小>-*厅+优一%)2=k炉I。cos26»0八Vn-y4tan”米尺与X轴的夹角为tan8=^_—=-r==Xa-XA -代入数据，得到tan9tan9=0.9622,6=43.9夕>4，由此可见，运动的米尺既收缩又转向.x=0的点，x=0的点，f=0时刻开始在一个沿x轴正方向的恒力尸作用下运动，试求：(1)质点的速度〃和加速度。随X的变化关系；(2)质点的速度”和加速度。以及位置x随时间，的变化关系.1+ax (1+ax) s)c “+,、q(河针川1+ax (1+ax) s)c “+,、q(河针川式中ac"a= T(1+a2c2产］【解析】【详解】(i)质点运动至x处时，由功能关系有&=7^^/一改一,式中夕=：即 即 Jax(2+ax) =“- 1+公一(2(2)将①式两边对时间，求导，得.du2c2adx.du2c2adx 2c2aM2w—=- -r—= -T.d，(1+ax)dr(1+ax)2cCt将上式两边对时间r求导得a=7~~―(1+a'cr对a〜x与a〜/比较可得x='(Jl+a2c2r2 ,式中a=云.ay I moc我们应该清楚，牛顿力学与相对论力学之间并不冲突，只是在牛顿力学中，物体的质量是不变的，时空是绝对的：而相对伦理学下时空是相对的，质量也是随速度的改变而改变的.换句话说，牛顿力学只是相对论力学在低速下的一阶近似下的结论.规律其实也是和谐的，牛顿力学下的规律在相对论力学中也同样是适用的，如牛顿定律、动能定理、动量定理以及运动学相应的规律等，只是应注意到质量与时空的变化而已.

（2019•全国•高三竞赛）如图甲所示，光源S向全反射体S'发射一束平行光，发光功率为庶，设S'以匀速率v沿其法线方向朝S运动，试求S接收到的反射光功率尸【解析】【解析】【详解】建立随光源运动的S系和随反射体运动的S'系，光源在S系单位时间内发出的第i种光的频率和相应的光了-数分别记为%,和%，则庶=.i反射体因多普勒效应，接收到的和反射出的光子频率同为匕'=J必%,，其中尸=2.”一夕 C同样因为多普勒效应,光源S接收到的光子频同样因为多普勒效应,光源S接收到的光子频率为匕=S'认为光源S在S'的一个单位时间考虑到光源在S系的一个单位时间折合成S'系的石彳个单位时间,内发出的光子数应为喘=5彳%，5'S'认为光源S在S'的一个单位时间到由S发出的项.个光子都是S在图乙中画斜线的区域内进行的，这些光子全部到达S'所经历的时间为5'中单位时间内有同样多的光子数呜被反射出去，对S系中观察者，反射体以速率「朝自己运动，同理，s单位时间内接收到的反射光子数为％=3名叫。=:二%..1—p 1-P于是，S接收到光的功率为尸=匕胃］,即有尸=（普）pn.天体观察中的红移与蓝移现象是大家熟悉的光的多普勒现象，而本题是一道计算光的多普勒效应的典型试题，极具代表性.本题的解答选取了一个“单位时间''内的光子作为研究切入点，但在不同的参照系中，

“单位时间''内的光子发射、接受会让许多人晕头转向，找不到方向.由声波的多普勒效应的命题特点可以看出，模型中的声源和观察者与运动方向是在一条直线上的，而后再发展到不在一条直线上的情形.阿么，我们完全有理由猜测，今后，在光的多普勒效应的考查上，命题也极有可能项发光体与接收体的运动与光的传播方向不在一条直线上的情形过渡，希望大家能有这种应对的准备.第26届全国中学生物理竞赛复赛的一道试题与此题类似，大家不妨查阅一下.（2019•全国•高三竞赛）试计算相对论粒子的“纵向质量''和"横向质量”.“纵向质量”是指在作用力与运动方向平行时力与粒子的加速度之比，“横向质量”是指力与运动方向垂直时力与加速度之比【答案】纵向质量旭〃=（1_.2产2【解析】【详解】已知相对论粒子的质量机3已知相对论粒子的质量机3 — d行’其牛顿定律的表达式为尸。其中夕=上，人为粒子的静止质量.C_根）dv vdv即一六-夕2二十（1/〜49运动方向平行时，v||dv,i|^（v-dv）=v（vdv）=i^dv,dvm^v21dvw0dv所以， 一戊：犷dt+0_.2户/'dr-（i”广dt._♦一%所以，纵向质量叫「式一（J/y2.dr' ）,dv 1r肛）dv当力与运动方向垂直时，亍=0，则尸=1方山，所以，横向质量%=-夕-将我们所熟悉的经典力学的规律用于相对论条件下时，应注意到相应的变化，如牛顿定律中，在经典力学下，力的方向与加速度的方向是一致的，但在相对论条件下，力的方向与加速度的方向一般是不在--个方向上的.另外，在一般的教材上难以找到“纵向质量''与“横向质量”这类概念，而在考试场上遇到这类不熟悉的概念时，应认真分析题目对概念含义的论述，不可想当然地进行处理，否则是前功尽弃.（2019•全国•高三竞赛）一个静止的兀，介子衰变为〃+子和中微子V,三者的静止质量分别为小。，叫和零，求〃*子和中微子的动能,，，.【答案】T〃【答案】T〃=（啊0一心0）、22so【解析】【详解】由能量守恒和动量守恒有见co。?= +,0=-j==+—.x/l-yS -夕c这M,规定沿中微子-运动的方向是正方形.消去-E、，得〃4）=^0I——= J-一-aw+/_1+1息0-1-0‘， 2 -/。一町;。=2mriO+mn0 2（2019•全国•高三竞赛）两束动能均为T的质子迎头碰撞的反应与多大动能的单束质子跟静止的质子碰撞时的反应相同？2T2【答案】4T+—7叫c【解析】【详解】考虑迎头碰撞的两个粒子组成的系统，炉-/02是洛仑兹变换下的不变量对于实验室参考系，有E=2（%/+7）,p=0,其中人为粒子的静止质量.考虑其中一个质子为静止的参考系，这个粒了•的能量为叫/，动量为零，另一个粒子能量为E',动量为P'1系统能量为《'+"«2,动量为P'.所述不变量给出关系（£'+砥）。2）2-c）"=12（/n0c2+t）］.由粒子的能量、动量间的关系，有E"=c2p”+欣C-........--Tfc2l11尸272+4叱2+喙4两式而去P，可解出£= n -这个运动粒子的动能应为7=£-n/=27+等好=47+当m0c- m^c"（2019•全国•高三竞赛）一艘宇宙飞船以0.8c•的速度于中午飞经地球，此时飞船上和地球上的观察者都把自己的时钟拨到12点（1）按飞船上的时钟于午后12点30分飞经一星际宇航站，该站相对于地球固定，且该宇航站上的时钟

指示的是地球时间，试求飞船到达该站时宇航站的时钟所指的时刻（2）试问：按地球上的坐标测量，宇航站离地球多远？（3）飞船于飞船时间午后12点30分向地球发送无线电信号，试问：地球上的观察者何时（按地球时间）接收到该信号？（4）若地球上的观察者在接收到信号后立即发出回答信号，试问：飞船何时（按飞船时间）接收到回答信号？【答案】（1）50minn（2）7.2xl0"m（3）在1点30分接收到信号（4）午后4点30分（飞船时间）【解析】【详解】（1）由静止在飞船上的时钟测定，飞船从地球到宇航站所需的时间为本征时间7。.由地球上观察者测T 30星，飞船飞行所需的时间为7=/R=小_0Mmin=50min,式中夕=,（2）宇航站相时地球静止，飞船在飞行时间内所走的距离（即为宇航站与地球的距离）为/=vr=0.80x3xl08x50x60m=7.2xl0"m.（3）对地球上的观察者来说，无线电信号发自相对静止的宇航站所在地，故传至地球需要的时间为7.2x10”

3x107.2x10”

3x10ss=2400s=40minS船6行时邮川信号传播时间共（50+40）min=90min,所以，地球在1点30分接收到信号.（4）以地球为参考系.设飞船发出信号至接收地球发出的回答信号共需要时间r（地球时间），在这段时间内飞船信号传播了/的距离，回答信号传播了（/+（）.&”的距离，故广满足，=0』：+2/,解价加上飞船从地球至宇航站的飞行时间50min,共450min,故飞船收到回答信号的地球时间为午后7点30分.将上述时间变换到匕船时间为/=f 4=450x0.6min=270min.故飞船收到回答信号的时间为午后4点30分.以飞船为参考系.设从发出信号至收到信号共需时间人从匕船参考系看来，地球和宇航站在运动，地球与宇航站之间的距离要经受洛仑兹收缩，信号从S船至地球的传播距离为/『［二＞，光信号追地球的相劝速度为0.2c,所以，匕船发出的信号至地球所需的时间为「=巫度.0.2c地球发回的信号相对飞船的速度仍为c,故信号被t船收到所需的时间这样，信号来回的时间为2/'=2x/Ji=1.44x104s=240min.0.2c由于飞船从地球至宇航站需时30min,所以，飞船接收到回答信号的时间为午后4点30分（飞船时间）.本题是讨论相对论运动效应的典型模型.光信号在地球与飞船间往复传递，计算其传播时间，必须时刻注意事件发生的参照系与地点，充分理解不同参照系、不同地点的时间含义及转换关系，时时防止自己用

伽利略变换替代洛伦兹变换，防止用牛顿的时空观来替代爱因斯坦的时空观，不然就会让自己赶紧是走入了迷宫一般.（2019•全国•高三竞赛）竞走比赛（双脚不能同时离地）中，不犯规的极限速度是多大？【答案】竞走者相对地面的平均速度的上限为【解析】【详解】在地面系中，设地面上运动员的右足在Q时，与地面卜.的左足相距4,右足的运动速度为4,通过4+4的路程到达左足前4处，经时：A^=—.%>0右足落地后，设需要等待△乙停>。时间后才提起左足，取惯性系S',相对地面以反向速度V运动，在S'系中，测得该运动员从心足落地到左足离地，经过的时间间隔为△'瞪=所以，A/1（?>^-/2,0<v<c,所以，对■所有v都成立的话，加伸>0TOC\o"1-5"\h\z同理可得：A^=—,A%2仁«2 C所以，底面参考系中的平均速度为“=A, .+停+△「左+AJ停/I]+1） 1 1C11< = = < =—即-/,+/2,/2+/,+/2./1 111 1113.cu2cu2cccc所以，“<号即竞走者相对地面的平均速度的上限为号本题是在考虑相对论运动效应的前提下详细分析竞走运动，在竞走运动过程中，计算竞走者的平均速度时，足在地面上的停留时间是不易被挖掘出来的，即便挖掘出了这一点，要进一步通过加%与加停的关系找到AZ停2,也不是一件容易的事.可见，时运动细节及相互关联稍有疏忽，便会无功而返.C当然，我们也可以简化过程，如令4=4，%=%，这样便能简化运算，且不影响结果.（2019•全国•高三竞赛）三个惯性系S、S、S",当0、O'、。重合时，r=f=f=0,在S"系的x"O"y"平面上有一个以。"为圆心，R为半径的静止圆环，试判定：s系中在f=0时刻，环在*Oy平面上的投影是什么曲线？

=R2,为一椭圆.【答案】曲线方程为:【解析】【详解】由S'〜S'=R2,为一椭圆.【答案】曲线方程为:【解析】【详解】由S'〜S'和S'〜S间的下述洛伦兹变换式:可得丁=x-vtJ1一62'了~02"华代入S,系中圆环方程：x"2+y"2=R2,=R2.即得到r时刻环在S系中xO.y平面上的投影曲线方程为=R2.整理后可知，此方程为椭圆方程.就目前我们所讨论的情况而言，若涉及定量的计算，两个参照系的彼此运动如同本题一样，大多是沿坐标轴方向上进行的.本题实际上给出了一个祥和转换的典型示例，坐标系间的转换是依次进行的，解题时不要奢望一次性转换成功.相对论效应的关系复杂，较难理解，答题时一定要冷静，依次计算，不可用伽利略的相对关系进行验证，否则会纠结不断.（2019•全国•高三竞赛）地球上的观察者发现一艘以速率0.6c向东航行的宇宙飞船将在5s后同一颗以速率0.8c向西飞行的彗星相撞.（1）飞船中的人看到彗星以多大的速率向他们靠近？（2）按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免碰撞？【答案】(1)0.95c (2)4s【解析】【详解】

V；=V2f=/8c-0.6c=（1）由洛仑兹速度变换，在飞船中测得彗星的速度为2v2v1,-0.8x0.6?1 F] 3 c C1即彗星以0.95c•的速率向飞船靠近.（2）以地球上发现飞船经过某地时飞船和彗星相隔的距离（即5s后就要碰撞的距离）为事件1,以地球上发现飞船和彗星就要相撞为事件2.在地球上观察到的这两个事件发生在不同地点.而这两事件对飞船来说发生在同一地点，飞船上测得的时间应为固有时间，此时间间隔为Af=A/^3=5xVl-0.62s=4S，即还有4s的时间允许他们离开原来的航线避免碰撞.在相对论的运动效应中，固有时间是让很多学生纠结的问题，本题问题（2）的解析明明白白地告诉我们，发生在同一地点的两个事件所经历的时间才是固有时间，明白时间与地点有关，是正确理解相对论时空观的基础.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在S系中，三艘均以速度-飞行的飞船在同时经过。点（但不相撞）时，各自将时钟调至零点，飞船①飞到p（o,/）点时发出光信号给飞船②和飞船③，使之都能被接收到.问：飞船①发信号时的时刻是多少（自认）？飞船②和飞船③收到信号时的时刻各为多少（自认）？P尸/

如图乙所示,对于飞船③,在S系中，丁止时钟测量到七船③接收到信号的时刻/满足『+（心）2=•由上式解得餐="电所以，hr>■【卜炉J解答存在多个运动体的问题，一般都不要在两个运动体间宜接进行有关变换，应先将其过渡到某个静止参照系中，再在同一参照系中进行相关的转换与计算，如本题是先转换到S系中，最终再转换到相应的参照系中.本题中，很多人希望直接找到①与②、②与③的关系，但往往不是出错，便是无从下手.时空问题是相对论中讨论最多的问题之一，时钟的计数很容易让初学者掉进各种坑中，读者应多阅读者方面的例子，认真体会.（2019•全国•高三竞赛）直角三角形静止如图甲所示，当其相对于地面以速度v运动时，地面上的观察者看到的三角形如图乙所示，求高速运动的速度-甲 乙【答案】v=0.82c【解析】【详解】由图可知，在三角形的运动方向上，三角形的边长由后缩为/,由相对论的尺缩效应，有/动=J1-夕％,即卜^=且,考虑到△='，解得v=0.82c.3 c本题是相对论尺缩效应的训练题，提请注意的是，在垂直于运动方向的方向上并无尺缩效应.读者也可拓展性地研究三角形斜边的尺缩效应.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，一飞船静止长度为相对于地面系的飞行速度为%,一光信号从船头发出、船尾接收，则在飞船系与地面系测得的时间分别为多少？【答案】在飞船系中：4=4；在地面系中：,=/一＞/,夕=%c c+v0 c【解析】【详解】以飞船系中，飞船的长度为品，光传播的速度为C,则信号从船头到船尾的时间为4=4.C在地面系中，飞船的长度为工=674,信号相对飞机的速度为c+%,则信号从船头到船尾的时间为正演二印工式中…由于尺缩效应，在高度运动的飞船系与地面系中，飞船的长度是不一样的；又由于光速不受参照系的影响，因此，光信号相对于飞船运动的速度在两个参照系中是不相同的，所以，光信号从飞船头传到飞船尾在两个系中所经历的时间是不相同的.在本题背景下，初接触相时论者会纠结于：既然都是从船头传到船尾，为什么时间会不同呢？（2019•全国•高三竞赛）串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，如图是其构造示意图.S是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分N为充有氮气的管道，通过高压装置”使其对地有5.00x106V的高压.现将氢气通入离子源S,S的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子黏附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子.氢负离子（其初速度为0）在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道N后将与氮气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去黏附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子.已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度.质子在电场的作用下由N飞向串列静电加速器的终端靶子7.试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达丁时的速度v.电子电荷量q=1.60x10-”,质子的静止质量砥,=1.673x10?kg【答案】v=4.34xl07m/s【解析】【详解】带电粒子在静电场内从S到T的运动过程中，经历了从S到N和从N到7的两次加速，粒子带的电荷量9的大小均为1.60X10T9C，若以U表示N与地之间的电压，则粒子从电场获得的能量为XE=2qU质子到达T质子到达T处时的质量为式中v为质子到达T时的速度.质子在S处的能量为，〃/,到达T处时具有的能为〃电子的质;3质子的质量相比可忽略不计，根据能量守恒有me2=AE+moc2. ③1 ,2qU由①@③式得行T=1+禧•代入数据解得v=4.34xl()7m/s.这类加速模型在常规数学中往往都是不考虑粒子在加速过程中的相对论效应的，但在竞赛中，这种效应则不可避免地要加以考虑.应该说，在现在的加速器中，被加速的高能离子，随着速度的增加，其质量的变化是必须考虑的，因为这种影响已经不能忽略了.回旋加速器之所以不能用来加速电子，其原因便是电子的速度加速到一定的时候后，其质量会发生变化，进而影响到回旋周期的变化，导致在技术上无法保证回旋周期与电场周期的同步，回旋加速器也就无法正常工作了.(2019•全国•高三竞赛)如图所示，直角坐标系中光滑轨道的方程为y=J,且x>0.(1)用物理方法求上横坐标为x处的曲率半径4：⑵求从x=0到x=A处轨道曲线的长度s；(3)若环从原点O(3)若环从原点O由静止开始,以恒定的切向加速度生4A[V2+ln(l+^)]加速到x=A处，其中c为光速，求x=A处环所受到的切向力居力和向心力3心力.提示：fVl+x2dx=-Jl+X?+—ln(x+Jl+x?)+8.【答案】(1)R、=a=A(l+《严 (2)s=[*+]n(l+扬]A ⑶%心力=缥匚2 2 24A【解析】【详解】(1)先建立抛物运动的模型：设一质点在O处有沿X方向的初速度%,同时具有沿y方向大小恒定的加速度a,此后，质点的运动满足:吸=%，%=%f；y=-^2.由此得质京的运动轨迹为：y=A<.TOC\o"1-5"\h\z2 )将其与y=L比较得：a=2£.2A a在x处，质点的速度大小为：v=M+*= .方向与x轴向的夹角。1：tane=2=史.匕%质点在其法向的加速度为a„=acos(p=i=由4=必得曲率半径：。上=(」士步二P «„2联立x=%r,并考虑人=曳可得：rx=Px=a(\+aA(2)当x=A时，t=一,因为弧长为%ds=vdt=Jy：+//dt,所以s=£Al°旧+//df.利用题中提示及4=反■可得(3)设环的静质量为加。，在自然坐标系中，环做匀加速运动，有VA=勿0$»代入即、s可得：v^=—,即L="|.考虑到相对论效应：Vl-v2/c2+(1-v2/c2)3'2考虑以="1，有尸切=¥叫曲，_ cdm^v J6m3心力=FT.点睛.虽然我们说牛顿力学不适用于高速状态下的物体，这一结论的前提是不考虑运动物体的质量会随速度的变化而变化，实际上，将牛顿定律修改至相对论效应之下，其表述仍然是成立的.(2019•全国•高三竞赛)两惯性系S'与S初始时刻完全重合，前者相对后者沿z轴正向以速度v高速运动.作为光源的自由质点静止于S'系中，以恒定功率P向四周辐射(各向同性)光子.在S系中观察，辐射偏向于光源前部(即所谓的前灯效应).(1)在S系中观察，S'系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内.求该圆锥的半顶角a.已知相对论速度变换关系为％=含片.式中人与“;分别为S与S'系中测得的速度x分量，c为光速.(2)求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量.【答案】(1)a=arccos- (2)9=用，—=P.cArcAr【解析】【详解】(1)先求两惯性系中光了-速度方向的变换关系.根据光速不变原理，两系中光速的大小都是C.以。和夕分别表示光子速度方向在s和S'系中与X和V轴的夹角，则光速的X分量为ux=CCOS。,u'x=ccos。'.再利用相对论速度变换关系，得八cosO'+v/ccos0= 1+vcos^VcS'系中光源各向同性辐射，发明有一半辐射分布于04夕4》/2的方向角范围内，S系中，此范围对应O<0r<a.山上式求得7TVcos—+—2cva=arccos -=arccos-可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小.(2)S'系中，质点静止，在4'时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即PH= .式中为"时间内质点减少的质量.S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少加叫故动量与能量亦减少.转化为光子的总动量为3=立L即\ll-v2/c2转化为光子的总能量为AE=zVnc2,即Vl-v2/c2'5'系中光源静止，测得的辐射时间&'为本征时，在S系中膨胀为TOC\o"1-5"\h\zA "Z=/ =Vl-v2/c2由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为△pvPNEn'=＞， -r,Arc2Ar点睛.第一问是洛仑兹速度变换，前灯效应的结论应记录下来，这在考试中经常用到.第二问可像题目中一样解答，球的速度未变，只是静质量减小，也可以用动量能量的洛仑兹变换，这种方法应用范围更广，在光的折射与反射的情况下代替洛仑兹速度变换可以降低计算量.另外，一定注意将动量p与功率P区分清.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，一单色点光源在相对其静止的惯性系S'中各向同性地辐射光能量，其发光强度（单位立体角内的光辐射功率）为/（1.当该点光源相时惯性系中的观察者以匀速度v运动时，P测得发光强度I会随观察方位而变.将观察方向与点光源运动方向之间的夹角用。表示，试求I随。变化的函数.观察者'Px【答案】/=方£疗/。【解析】【详解】S,系中点光源发射的光子频率记为%，单位时间内发射光子数记为％.参考题解图，在s系中设f=0时点光源位于与P相距q的。。点，经S'系中的“时间运动到S系中的Q点，其间沿S'系中的方位角］（夕在题图中未画出，夕与题图中的e对应），在夕领域的立体角dQ'（题解图中也未画出）内发射的光子数为口学”皿S系认为点光源从Qo到Q所经时间以及Qo到Q的距离分别为M

点光源在Q0处发出的光子，在S系中于r=2时刻被P接受.点光源在Q处发出的光子，在S系中于一C时刻被P接受，则有*,r,n-vdfcos0t=+-=dr,+ =dts+t-J3cos，故P接受全部dN'个光子所经历时间为也=/一1=(1一6cos仍明,即得dt=~jIT^dtS系中P接收这些光子的方位角近似都为题图中的e,接收的立体角则为do.在S'系，S系中与V垂直的平面上分别引入极坐标系下的幅角”，夕，则有dC'=sin/de'd8',dC=sin6d<9dedC'=cos0-J3l-ficos0,(p'=(p,cos0-J3l-ficos0,将速度变换公式〜=c二一串(cfx=cos0,fkl-]c「[cx=COS0C,㈤dC'sin0rd0dcosO'fj = = dCsinOdedcos0得cosO'=代入前式，得dQy1-yg2dQ-(l-/7cos(9)2'5'系中点光源于dr'时间内，沿方位角&领域的立体角d。'内发射的dN'个光子所对应的光辐射能量为da)'=dN'hv0,发光强度为/1).S系中于dt时间内，沿方位角领域的立体角dQ内接受的(W=dN'个光子所对应的光辐射能量为da)-dN'hv.P测得的该点光源发光强度便为]_dcod/dC端尿一光子在s系中有频率.与/。表达式联立，即得drdfYvd/dQv01将前面所得&将前面所得&dC1-加而一(1-/?cos6)2与多普勒公式上=戊_02VQ1一夕cos。代入，即得/_"）2/（1一夕cos6）4点睛.此题需要考虑的方面较多.首先，由于光的多普勒效应，接收到的光子频率会发生变化，这可以直接套用多普勒公式.其次，由于时间膨胀，S系中观察到的光源发射光了•的时间间隔会发生变化，但我们要求的是观测效应，而非测量效应（这一点很容易忽略）.由于光源的运动，不同时间发出的光子传播的距离是不同的.这和多普勒效应是不同的，从粒子角度考虑，前者使光子间距变化，后者使光子频率变化，从波的角度考虑，前者使波列传到观察者的距离变化，后者使波列本身的长度变化.最后，还要考虑光子传播方向（即立体角）的变化.因此是一道综合性较强的难题.（2019•全国•高三竞赛）一块厚玻璃以速率v向右运动.在A点有闪光灯，它发出的光通过厚玻璃后到达B点，如图所示.已知A、B之间的距离为L,玻璃在其静止的坐标系中的厚度为玻璃的折射率为n.试问，光从A点传播到B点需多少时间？【解析】【详解】取地面为参考系S,运动的厚玻璃为参考系S',S'系相对S系沿x方向以速度u运动.在S'系中，光在玻璃中传播的速度为“；=£，由速度变换公式，可得在S系中此传播速度人为n,uf+vc24-cnv人= ，= ।+〃上 cm+v-在S'系中玻璃的厚度为R）.则在S系中厚度D为£>=A>/1—62・设在S系中的观察者看来，光在厚玻璃中传播所需时间为△乙，在这段时间中玻璃向x方向运动了vA/,的距离，故有D+vA/,= .由上述各式可得At_ 42_Dn（cn+V）设光在破璃外空间传播所经时间为加2,则有

cAqcAq=L-.A（C+V〃）故光从A点传播到B点所需的总时间4为Ar=Ar,+M.即彳j&=W：〃+v）+二4（；+⑼cc2y[^_L,D„(n-l)(c-v)一c c2"l—— •点睛.这是一道很常规的题，其难度并不大，方法也很简单，脱去相对论的外衣，是最简单的运动学题目.易出错的主要有两点：一是计算错误，解答中的字母很多，答案很复杂，稍不留神容易漏掉某个字母，因此一定记得检查答案的量纲.二是容易漏掉细节，如玻璃在S系中的厚度，因此要看清楚题目，不要因为简单、做过类似的题而粗心大意.(2019•全国•高三竞赛)如图所示，在某恒星参考系S中，飞船A和飞船B以相同速率/c(c为真空中的光速)做匀速直线运动.飞船A的运动方向与+X方向一致，而飞船B的运动方向与一x方向一致，两飞船轨迹之间的垂直距离为d.当A和B靠得最近时，从A向B发出一细束无线电联络信号.试问：(1)为使B能接收到信号，A中的宇航员认为发射信号的方向应与自己的运动方向之间成什么角？(2)飞船B接收到信号时，B中的宇航员认为自己与飞船A相距多少？【答案】(1)O=—+arctan（—）=—+arctan （2）S+"丫【答案】(1)2 2 1-优- 1+炉【解析】【详解】(1)在S系中考查，A与B相距最近时A发出信号，为使信号能被B收到，信号速度的x分量应与B的速度相同，即”,=%=-Pc.信号以光速C传播，故信号速度的y分量为_Ut= —P~C-把上述速度转换到S'系中，对S'系来说，S系的运动速度为匕=-夕C.根据速度合成法则，信号速度的两分量为“、+匕=一耻一"=2夕c1+组J1+炉~"-c2，Jl-V：/c24l-FUy~1Iuxvs_1+/7- 17^点睛.这是典型的速度变换的题目.速度变换是相对论新加进来的考点，但这毕竟是相对论很基础的一部分，因此，对它的熟练掌握是不可或缺的.另外注意，利用光速不变有时可以简化解题步骤，在平面中，若光传播的任意直角分量已求出，另一直角分量可山光速不变直接求出，而不必再用速度变换.25.- 17^点睛.这是典型的速度变换的题目.速度变换是相对论新加进来的考点，但这毕竟是相对论很基础的一部分，因此，对它的熟练掌握是不可或缺的.另外注意，利用光速不变有时可以简化解题步骤，在平面中，若光传播的任意直角分量已求出，另一直角分量可山光速不变直接求出，而不必再用速度变换.25.(2019•全国•高三竞赛)静长同为4三艘飞船，在惯性系S的r=0时刻，相对S系的空间位置和沿x轴匀速度运动的速度分布如图所示.具体而言，三个飞船在S系中沿一直线航行，『=0时刻，飞船1,3头部各自位于图示P2,£位置，飞船1,2,3分别将自己头部时钟拨到本系内的时间零点.(注意，S系认为飞船1,2,3头部时钟同时拨到零点，但飞船1,2,3并不认为它们彼此也是同时将各自头部时钟拨到零点)设此时，即S系f=0时刻，飞船1头部天线朝右发出无线电信号；在飞船2参考系中此信号被其尾部天线接收的同时，恰好其头部天线朝右发出无线电信号；在飞船3参考系中此信号被其尾部天线接收的时刻记为4尾，试求之.故在5'系中信号发射方向与A运动方向之间的夹角e,如图所示,TOC\o"1-5"\h\zc汽▲ /〃八乃▲ 2〃为e=—farctan(――)——Farctan -.2 Ux2 1—p(2)在S'系中考查，B中的宇航员认为A在离得最近时发出信号，该信号在B的空间中以光速传播，传到B所需时间为『=4.C从5'系看来，S系的运动速度为吸=夕。.丫，.♦+吸一邛°故A的速度为办一一耳炉,.c2经t时间后，飞船A在丁方向运动的距离为吟〃，故A9B相距以=八("尸=卜(舒・目_J(l+]2)2+4户2

【解析】【详解】s系中，匕船1头部天线发出信号的时空坐标为（玉头=。，r炽=。）.飞船2尾部天线接收信号的时空坐标为（々层，弓尾），有L5L»2尾=4头+ =丁c-v22c（x2®=L+尾=5L/2）.飞船2头部天线发出信号的时空坐标为（x?头，q头），有,"产仇=7.2**卡。5M=o（匕船2自测尾部接收信号到头部发出信号所得时间基为零）.3/0一5C4-5

十

5A-2C一一3/0一5C4-5

十

5A-2C一一5L3L五十,飞船3尾部天线收信号的空时坐标为（公足，g尾），有,+3（匕-匕兑_1。-+返联7头+ ■匕一c2c•S船3头部天线发出无线电信号的时空坐标为（马头，，3头），有M+ V4t-t__A=-=-.3头雁g ,5A4=0,Ax；=/010L171c4头=一+U・c6c飞船3参考系中测得的其头部天线发出无线电信号的时刻4头的确定:£船3参考系头部用同•个时钟测得从开始到其头部发出信号全过程的时间间隔，即，；头；同•过程S系用两个静止的时钟测得时间，即4头.故有t，_/7T^Z_6L17/。3头7片，3头-c+10>飞船3参考系中测得的其尾部天线发出无线电信号的时刻4尾的确定：因4尾F头，即得_6Z.17/0宝丁记【点睛】此题主要考查的是洛仑兹变换，同时也考查时间膨胀。因过程较为复杂，需要多次用到变换，因此很容易出错。对于这种题，一定要跟着过程走，不要有跳跃的思维.最后用飞船3头部的时间代替尾部的时间，是此解答的巧妙之处，可以避开洛仑兹变换。这种题目在最后也应检查量纲，尤其是c不要漏掉。(2019•全国•高三竞赛)静质量同为人的质点A,B相对于惯性系S,B静止，A以1c的速度对准B运动.若A,B碰撞过程中无任何形式能量释放，且碰后黏连在一起，试求：(1)碰后相对S系的速度大小V；⑵过程中系统动能损失量Ek报.【答案】(1)v=1c(2)0.12^c2【解析】【详解】(1)碰前的质量为机，碰后连体质量记为M,因无能量损失，有Me2= +以)c2,连体速度大小为v,则据动量守恒，有3 3z1My=mA-c=-mQcf得y=c.(2)连体静质量M>=Ji-尸2M，P=-j>M所以Mn=-^―w0.系统动能损失为

&榻=(啊一%)/一(M一/)/=~~/n()c2=0.12mvc2.(2019•全国•高三竞赛)惯性系S中的xOy平面上，有一根与x轴夹角为夕，整体沿x轴方向以匀速度v高速运动的细杆AB.已知夕=30时，S系测得杆AB的长度为4(1)改取e=45,保持u不变，试求S系测得的杆长4(2)仍取0=45保持v不变.设r=0时，杆的A端位于坐标原点O,此时有一个质点P恰好位于A端，沿着杆AB朝着B端运动，S系测得P相对杆AB的运动速度大小也恰好为v.试求P到达B端的时刻明试求在1=0至1"=。，时间段内，P在xOy平面上运动轨迹的数学方程y=y(x)【答案】⑴4=拒编"=：⑵广庐*：)'=(&Tb【解析】【详解】(1)0=3(T时，将杆AB在x、y方向的静长分别记为儿(1)4,⑴，则有心⑴=等京，/。,⑴=4sin3O//将杆的静长记为，0,则有，；=/；理)+函1)=是者+sin?30卜9=45时，杆AB在x,y方向静长分别为ccs45。（2）=-p^/2,/0,（2）=/2sin45得/：=/：x得/：=/：x（2）+小⑵=+sin245。1联立两个店表达式，解得S系测得P在xOy平面上沿x,y方向的速度分量分别为V（/?=-）C=vcos45+u=+lL,wv=vsin45=—

- 2P在xOy平面上的运动方程为工=〃J,y="JP的运动迹线方程便为y=x=-^Lj=x=（y/2-l\x■ux2+V2\ '（2019•全国•高三竞赛）已知钠原子从激发态（记做EQ跃迁到基态（记做所发出的光谱线波长z=588.9965〃，”.现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规则的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z轴负方向传播的波长为4=589.0080〃，〃的激光照射.以。表示钠原子运动方向与x轴正方向之间的夹角（如图所示）.问：在30。<6<45。角度区间内的钠原子中，速率u在什么范围内能产生共振吸收，从％2态激发到与2态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小.（已知钠原子质量为M=3.79xl0-26kg,普朗克常量〃=6.626069xKT34Js，真空中的光速c=2.997925xltfm-s~l）_U激光束【答案】6.76x103m-5-,<m<8.28x103m-5-1：2.9xlO^-^1【解析】【详解】根据已知条件，射向钠原子的激光的频率为TOC\o"1-5"\h\zv=y ①A对运动方向与2轴正方向成夹角、选率为u的纳原子，由于多普勒效应，它接收的激光频率为V=vfl+—cos^ ②改用波长表示，有 I,"A ③1+—cose

c发生共振吸收时，应有力=4，即।“丁公 ④1+—cos〃C解④式，得ucos6=c^^ ⑤4）代入有关数据，得ucos6=5.85x103"sT ⑥由⑥式，对6=30’的钠原子，其速率为«1=6.76xl03/n-5-l对。=45,的钠原子，其速率为！=8.28xlO,m<1运动方向与z轴的夹角在30。〜45。区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为TOC\o"1-5"\h\z6.76xl03/n-5-,<M<8.28xlO3/n<' ⑦共振吸收前后，动量守恒.设纳原子的反冲速率为V,则有Mu--e=MV ⑧2其中e,为z轴方向的单位矣量.由⑧式得11u-V= e. ⑨2钠原子速度（矢量）变化的大小为I,|«—V|=—- 11«.1 1MA.代入数据，得|〃一丫|=2-9、10-2m"T⑪（2019•全国•高三竞赛）如图所示，静长同为％的两个完全相同的飞船A耳，在无外力作用下成一直线静止在惯性系S中，飞船1的尾部用与飞船2的头部&相距4.S系中令飞船1,2同时以相同方式朝正前方启动，经过相同时间，同时达到速度v为常量且无外力作用的匀速运动状态.q率 B]A2 AfJ木 ] I-- I• xJ »*4f-L°一4•一/0T（1）试求此时S系测得的飞船1,2的长度4,12,以及4和4之间的距离L.（2）取相对S系以匀速度v运动的惯性系S，（其实即为末态飞船1参考系或末态飞船2参考系），试求经过足够长时间后，S系测得的飞船1,2的长度以及4和4之间的距离【答案】1产[2=1=\1^1。（7?=-）：L=4+（1—VT^）/。（2）"=7^7，+，。（1-而乃一【解析】【详解】（1）S系中开始时，飞船1,2都处于无外力作用下的静态平衡，静长同为/。启动后，经过一段时间，飞船1,2在S系中都处于无外力作用卜的动态平衡，动长分别记为0/2,据相对论可知动长相同，为4%=/=g而（T）CS系中每个飞船从静止到匀速运动的变化过程中，每个飞船内不同部位的受力（包括内力和外力）和加速怙况不尽相同，但必须保证终态时飞船头尾间距从％.减为1.飞船I的头部A和飞船2的头部&（或4

和与），彼此无相互作用，它们在运动变化过程中，各自受力和加速情况相同，每时每刻彼此间距都不会变化，终态时仍有:^A\A2=4+4故B},4间距为:L=小入2一/=A+（1-J1 %（2）5'系中飞船1,2开始时均随S系相对5'系以匀速度--V运动，处于无外力作用下的动态平衡，飞船长为/'动=4-Q丁•而后，S'系认为飞船1,2并非同时进入变速运动状态，也并非同时相对S'系达到静止状态.但是S'系认为经过足够长的时间，两个匕船相时S'系都会处于无作用力作用下的静态平衡，有：/'1=，’2=，’=4S系中A|,A2间距相当一把静尺长度，S系中测得动长为41A2,即得：A\A2~S'系中测得的间距便为：S'系中测得的间距便为：〃=/'仙2-/'=%+4)(1--62)S，系中也可认为，B|A2间距相当于一把静尺长度，S系中测得其动长为L,即得」（2019•全国•高三竞赛）惯性系S,5'间的相对运动关系如图所示，S'系中一个半径为R的固定圆环，环心位于（x'=Ry'=R）处.圆环内侧上方顶点（x'=R,y'=2R）处有两个质点P2,某时刻开始片和鸟分别以匀速率3v和v各自沿逆时针和顺时针方向沿环内侧运动.计算S系测得匕从开始运动到再次与8相遇过程中经过的位移大小/【答案】1=【答案】1=+47r+8—4/3-

4(1-夕2)【解析】【详解】S系中事件1（Pl,P2开始运动）的空时坐标为X；=R,y；=2R事件2（Pl,P2再次相遇）的空时坐标为x'2=2R,y'2=H,t'2=t；+^=t；+型4v2vS系中对应的空时坐标为Yi=y'2=2R事件2：/+事件2：/+4%+8-4/]224(10~12+4乃+8—4尸24(f)即/二（2019•全国•高三竞赛）如图所示，O处有一光子炮塔，1车静长4,2车可视为点，炮塔攻击间隔Ar,,O系中，t=0时相对位形如图所示，2车在自己系中此时将时钟调成0,此时炮塔开始发射，随后击中车1头部，在车系中爆炸从车头传至车尾时间为42,车2看到车1尾部爆炸，立即改变速度，大小不变，方向改为向上，之后第二枚炮弹击中车2,求车2系中被击中时车2钟的时间.（给定：/z=10c-5；5=5c-5；/0=1^-5；^=0.5c;v2=0.6c;A/j=4s;At2=2s）o'I 1I光子炮塔 车］ 车2【答案】t=8.22s【解析】【详解】取原点在1乍乍头相对S不动的E系，与车1固连的s；系，原点在2车，相对S不动的邑系，与车2固连的S7系，凡系中隹1被击中时间4=/一，坐标（卬i，W）.洛仑兹变换得S；中对应时间*=］，尾部c+匕 8爆炸时间乙=*+。2对应S,中尾部爆炸时间，2=%（心-4，），S］中看到尾部爆炸的时间，3=，2+$+"一%）2,S%中对应时间r3=五c+v2 r2设S中2被击中的时间为4，有c（4一 +s—彩（+（4一AJ¥车2系中钟示数，=工，得f=8.22sYi（2019•全国•高三竞赛）（1）当一个电子及一个正电子相互碰撞时，会湮灭产生高能/光子，假设该

过程进行在同一直线上，电子动量为/V，正电子动量为p；,它们相向行进，释放出2个y光子（频率可能不同）1,试求2个y光子的频率（电子及正电子的运动速度不一定远小于光速c）.（2）承问题（1）,若释放出的7光子速率并非在此直线上，而是与正、负电子行进的方向有夹角<P,如图所示，试求2个7光子的频率匕、匕与底面e（或夕）的关系.若给出入-=0.500MeV/c,p/=0.600MeV/c,再给出含有6或0的数值解.（普朗克常量〃=6.626xl（T"j.2h【答案】（1）+Pc2h【答案】（1）+Pc-+JP；++也。4-亿+) (2)+/++.+*'4_p«)1.3267x10”一1.7576x1040cos夕，，v.= Hz'7.2687x1020-4.8360x1019cos<p1.3150xl041 TIv,= 1 Hz〔27.2687x1020-4.8360x1019cos【解析】【详解】(1)碰撞过程中能量守恒，有Ee++E~=hvt+hv2. ①1.3150xl04' „v.= r- Hz7.2687x1020+4.8360x1019cosy1.3267xl04'+1.7576xl0J()cos6>tk

%—7.2687xIO?。+4.8360x1019cos(9,碰撞过程中能量守恒，有心一-区*=她-"空， ②CCfE^p；+c2+my,且忙=p；-c2+my联立①②③解得TOC\o"1-5"\h\z匕=品物+*+%-+依+田-<; ④%=最（+m：c4+pe+1p]+ ）（2）设碰撞过程如题图所示.碰撞过程中能量守恒，有£.+纥=〃匕+佻. ⑤u /jv.sin/9/zv^sinrp碰撞Nf-i!|I'a/J'i；；寸恒，仃—1——=一一-,C Ch^cosO+h\\cos(p

］号=P：+c2+m^c4E：+p--c2+n^c4联立⑤@⑦⑧解得A2-B2V|2(A—Bcos。)，

,A2+B2A2-B2V|2(A—Bcos。)，

,A2+B2-2ABcos6>

2(A-Bcos。)a2-b2TOC\o"1-5"\h\zV2=~- r2(A+8cos°)苴中4=J。；*+3+欣/成/.h h代入数值得',1.3267x104I-1.7576x104<icos^V|-7.2687x102°-4.8360x10,9cos^"1.3150xl041 „v2= Hz;|27.2687xIO20-4.8360x10l9cos^>l.3150xl041 „p— Hz-1-7.2687xl020+4.8360xlOl9cos^'或＜',_1.3267x1（）4'+1.7576X"。cos。”.V2~7.2687xIO20+4.8360xlOl9cos^微观领域的碰撞、湮灭脂类的模型，大抵离不开能量守恒、动量守恒、相对论的数量与动量的关系、光子的能量与动量等知识点的应用.这类模型所涉及的问题解答，其障碍往往涉及反应的条件讨论，这又需要答题者有比较好的数学基础.另外，不同的研究领域，为了方便，往往会建立一套与之相对应的单位制，在近代物理与相对论领域，对微观粒子的研究过程中，往往会引入新的单位系统，读者应有这方面的处理能力.（2019•全国•高三竞赛）假设电磁作用理论在所有惯性系都成立，惯性系S、S'间的相对运动关系如图1所示开始时S系测得全空间有不随时间变化的电磁作用场为E=0,B=BJ,，为y轴方向上的单位矢量.在S系中放一块原不带电的长方导体平板，与X轴、y轴平行的两条直边足够长（分别可模型化为无限长），与z轴平行的直边较短.今如图2所示，令导体板以匀速度V相对S系沿X轴方向运动，在其上、下表面上分别累积正、负电荷，稳定时电荷面密度分别记为常量b和-b.将空间分为导体板上方区域、导体板内区域和导体板下方区域

图2图2（I）在S系中求解b以及上述三区域内的电磁作用场强度量与：、综、4和4、与、环（2）此导体板相对S'系静止，如果已经认知：S'系测得的导体板沿V轴方向的线度是S系测得的沿X轴方向线度的石牙［夕=：J倍，导体板在5'系沿y'轴、z'轴方向的线度与在s系沿y轴、z轴方向的线度相同S系测得导体板上、下表面电荷均匀分布，电荷总量为土。，则S'系测得导体板上、下表面电荷也是均匀分布，电荷总量也为土。S系中一个静止质点，在5'系中必沿x'轴反方向以速率-运动；S系中一个运动质点若沿＞轴（或Z轴）方向分速度为零，则在5'系中沿y'轴（或Z'轴）方向分速度也为零①试求S'系三区域内的电场强度正匕、E内、Ef（答案中不可包含b）②再求S'系三区域内的磁感应强度B内、B下（答案中不可包含③用所得结果纠正下述手抄相对论电磁场变换公式时出现的错误.E；=E,,FF二俎

内-1-几【答案】（1）进而可得名=%=为九%=丁冬电场分布则为%=后下=0,⑵见解析【解析】【详解】（1）稳定时，s系中导体板上表面电荷运动形成沿X轴方向的面电流，电流线密度大小为/=bv.卜表面电荷运动形成沿x轴负方向的面电流，电流线密度大小为，=bv.据磁场安培环路定理，这两个反向面电流在导体板上、下方区域和板内区域形成的附加磁场分别为8|：附=8卜附=0，B内附=为山.全空间磁场分布便为勺：=%=BJ,B内=（与+4crv）j.

导体板上、下表面电荷在空间形成的附加电场为岳匕附=E卜用=0,EMH=--k£。火为Z轴方向上的单位矢量.全空间电场分布为/=E卜・=0, E代导体板内微观带点粒子受力平衡，有丫5内=后内，1，（综+〃6，）=，又£必=*所以,°=爵.进而可得环=%=4J,%=7与＞I一P电场分布则为4=%=。，El"（2）S系中导体板上表面面积和总电荷量记为s和。，S'系中对应量分别记为s'和。，则有S'系中电荷面密度便为/=乌=J1-夕—=2b,S S所以,I-/7所以,I-/72,\-/32此电荷在5'系全空间形成附加电场为附=附=0,E\-/32①/电荷只能来源于原静电场产生的静电感应，又因导体板无论开始时放在S'系中沿z'轴上、卜方何处均有〃电荷积累，故S'系中必有分布于全空间的原匀强电场端，即有便得E1=E'f=（在s系中，导体板垂直于/、y轴方向的侧面上无面电荷分布，也可用来说明£必沿，轴方向）②现、不求解考虑S系中导体板上方（或下方）初始沿z轴方向运动的带电质点，因受洛仑兹力，将做X。平面上的匀速圆周运动（此处及如下讨论中均不考虑重力场的存在）.按照题文中的说明，该带电质点在S系中不会出现沿y轴方向的分运动及运动趋势.又因为s系中该带电质点所受电场力沿z’轴方向，故磁场力不会出现y'轴方向分量，即8）或下）不存在x'分量.考虑s系中导体板上方（或卜.方）带电为q的初始静止质点，因受力为零，故将保持静止状态.该质点在s系中必沿X,轴负方向匀速运动，不存在沿y'轴方向的分运动及运动趋势，故磁场力不会出现y'轴方向

分量，即现（或下）不存在z'分量.如上结论可判断：，上（或下）沿y'轴方向.此外，该质点在s系中受力平衡，即向下的磁场力与向上的电场力之和必定为零，应有gvBj（或=gE」（或E/），S'S'系中导体板上、下表面电荷静止，没有相对S'系的面电流.据磁场安培环路定理，得③下面验证相对论电作用场变化公式的“手抄版可③下面验证相对论电作用场变化公式的“手抄版可由S系：E上、下/0,E1.Ky=0,E上、下z=0,B\：、下工=°，by=综，Fz=0Ei.-kv—vB।x,得到S'：E［下，=E…，=0,E［、y =。,l, E上,下「田上、下>_ vB0用L尸二一下落比较可知E1i.z=—7===*叮前血所得的E1卜.二=不看A不符.小-夕 JiBl、下*=Bu下*=0,DB\b=-r=r>,与前面所得的卜DB\b=-r=r>,与前面所得的卜一致.V|-P因此,“手抄版''中反表达式有误,应纠正为E；=E.+vByJ1一加由由S系：小=。，昂产。，斗：=-「^，%=。, = 岛：=0E内一vB内=0得到S系：昂.=%=0,E&=h—=o,E内厂E内厂-%二

>/1一-2=0（反表达式已被纠正）.E[=0与前面所得结论一致.内，尸内，尸0W则见=上呈?=匕£1上/与前面所得昂=声声,不符，因此，“手抄版”中耳表达式有误，应内衣OF） 小少V纠正为B，="+不：.附注：S系中若在导体板内区域放一个相对S系静止的带电量为q>0的粒子，它不受磁场力，仅受电场力为尸=*内=-q—j==k.-夕在5'系该质点沿V轴反方向匀速运动，受力尸'=qE1+g（f）x叫，F，=-r=7*.9一P，—Ji--1 _qvB0与相对论力变换公式工一工^一二。一一京定"一致c2x（2019•全国•高三竞赛）如图所示，竖直固定平行放置的两条相同长直导线1和2相距为。长直导线的长度），两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流，电流方向向上，导线中正离子都是静止的，每单位长度导线中正离子的电荷量为/I；形成电流的导电电子以速度％沿导线向下匀速运动，每单位长度的导线中导电电子的电荷量为已知：单位长度电荷量为〃的无限长均匀带电直导线在距其距离为,处产生的电场的强度大小为E=（殳，其中%是常量；当无限长直导线通有稳恒电流/时，电流在距导r线距离为r处产生的磁场的磁感应强度大小为8=脑子，其中心是常量.试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量（和心的比值？提示：忽略重力；正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关；真中的光速为c

k2【答案】黄=。【解析】【详解】在相对于正离子静止的参考系SB,导线中的正离子不动，导电电子以速度%向下匀速运动；在相对于导电电子静止的参考系S'中，导线中导电电子不动，正离子以速度好向上匀速运动.下面分四步进行分析.第一步，在参考系S'中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力的大小和方向.若S系中一些正离子所占据的长度为/,则在S'系中这些正离子所占据的长度变为/：,由相对论中的长度1TOC\o"1-5"\h\z收缩公式有式中,=J日. ①设在参考系s和S'中，每单位长度导线中正离子电荷量分别为2和％,由于离子的电荷量与惯性参考系的选取无关,故£+/:=”.由①和②式得％=以. ③设在S系中一些导电电子所占据的长度为/,在S'系中这些导电电子所占据的长度为则由相对论中的长度收缩公式有/=尸'乙 ④同理，由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关，便有-2=双， ⑤式中，-4和Z分别为在参考系S和S'中单位长度导线中导电电子的电荷量.在参照系S'中，导线2单位长度带的电荷量为C"它在导线1处产生的电场强度的大小为电场方向水平向左.导线1中电荷量为q的正离子受到的电场力的大小为2=亚，=”学1. ⑧ca电场力方向水平向左.第二步，在参考系S'中，考虑导线2对导线1中正离子施加的磁场力的大小和方向.在参考系5'中，以速度均向上运动的正离子形成的电流大小为导线2中的电流在导线1处产生的磁场的磁感应强度大小为

TOC\o"1-5"\h\zB，=%!L=2kM>0 ⑩aa磁场方向垂直纸面向外，导线1中电荷量为夕的正离子所受到的磁场力的大小为以=4”，=漫辿L ⑪a磁场力方向水平向右，与正离子所受到的电场力的方向相反.第三步，在参考系S中，考虑导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的大小和方向.由题设条件，导线2所带的正电荷与负电荷之和为零，即2+（-2）=0. ⑫因而，导线2对导线I中正离子施加的电场力为零，即力+=5 ⑬注意到在S系中，导线1中正离子不动，即匕+=0. ⑭导线2对导线1中正离子施加的磁场力为零，即力+=g%B=o. ⑮式中，8是在S系导线2中的电流在导线1处产生的磁场的磁感应强度大小.于是，在S系中，导线2对导线I中正离子施加的电场力和磁场力的合力为零.第四步，已说明在S系中导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力为零，如果导线1中正离子还受到其他力的作用，所有其他力的合力必为零（因为正离子静止），在S'系中，导线2对导线1中止离子施加的电场力和磁场力的合力的大小为m ⑯因为相对S'系，上述可能存在的其他力的合力仍应为零，而正离子仍处于匀速运动状态，所以⑯式应等于零，故£+“'+.⑰由⑧⑪⑰式得：夕=。2.本题是第29届全国中学生物理竞赛复赛试题.作为参与物理竞赛的学生，本题也许无须推导，仅从已知的电流的磁场与带电导线的电场知识，记下相应的常量，便易知夫=/,但这样肯定是不能得分的.但若要按题目的要求，利用相对论的尺缩效应给予推导，如无超强的物理敏感性，几乎找不到解决问题的入口.本题的命题方式无疑告诉我们，对于我们所学的知识，应不仅仅只会套公式解题，更应该掌握其内核，作更深入的探讨，只有这样，才能在新的物理情境面前游刃有余.本题也涉及了电荷量与惯性参照系的选择无关.35.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，有一均匀带负电的正方形绝缘线框A8C0,每边边长为L,线框

上串有许多带正电的小球（看成质点），每个小球的带电量为夕，每边的总带电量为零（即线框的带电量和各小球的带电量互相抵消）.今各小球相对线框以速率“沿绝缘线做匀速运动，在线框参考系中测得相邻两小球的间距为a（aW”，线框又沿AB边以速率v在自身平面内相对S系做匀速运动.在线框范围内存在一均匀电场E,其方向与线框平面的倾角为夕考虑相对论效应，试在S系中计算以下各量.（I）线框各边上相邻两小球的间距（I）线框各边上相邻两小球的间距如H，«8C.aCD»aDA（2）线框各边的净电量©b，Qbc,Qcd,Qda（3）线框和小球系统所受的电力矩大小（4）线框和小球系统的电势能.BC 。= .BC 。= .uv .uv]+丁 1——7e cQC[)=--^q Qbc=Qda=0(3)M='岑|qE|Lsin。(4)W=UvL.qEcos3ac ac c~acL“VQab=—，qac~【解析】【详解】（1）令S为观察到的环路以速度V运动的实验室参照系，S'为环路参照系（S'系的X轴与V同向，y'沿着D4边的方向，z'轴则垂直于环路所在平面）.S系各轴平行于S'系各对应轴，S与S'系的坐标原点在f=0时重合.（a）A8边建“边上的小球一起运动的参照系S*,它的各坐标轴与S,S'系的坐标轴平行.5"相对S'具仃速度”.据洛伦兹收缩，S"测得的A8边上相邻两个小球之间的距离％为（只要是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成立）据相对论速度求和公式，S系中的观察者认为A3边上各球具有的速度为U+U+V再据洛伦兹收缩，此观察者将测得AB边上相邻两球的间距为将①②式代入到③式，可得(b)CD边1+了时S系中的观察者而营，C。边上小球的速度为再据洛伦兹收缩有将①⑤式代入到⑥式，便得(c)D4边在S'系中，令边上的某一小球在4时刻位于与'=乂=2；=0处.在同一时刻，邻近的一个小球应位于x；=。，y'2=a,z；=0处.各球相对于S系的空——时坐标可由洛伦兹变换式给出据此，第一个小球在S系中有第二个小球则为由于。=，2，S系中这两个小球之间的距离便为TOC\o"1-5"\h\z=yl(x2-x])2+(y2-y])2+(z2-zt)2. ⑪即得。以=。. ⑫BC边重复上述相似的结论，可得aBC=a. ⑬(其实，由于ZM,3C边与P垂直，无洛伦兹收缩，故〃必=1=。)(2)在环路参照系5'中，每一条边线上的电荷量为Qw=-!q. ⑭a在此已考虑到人为各边上的小球数.由于电荷是运动不变量，在实验室参照系s中测得的各边线电荷量也a为此值.(a)A8边在实验室参照系中，AB边上各球电荷量之和为此式系由48边上小球数乘以每一小球电荷量(运动不变量)来获得.⑮式右边第一项中的分子为S系中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的