中考数学总复习课件：-几何图形的折叠与动点问题

专题三几何图形的折叠与动点问题

专题三

几何图形的折叠与动点问题是河南中考数学中的必考问题，往往以填空题压轴题的形式命题，主要考查知识有：折叠性质、直角三角形、等腰三角形、特殊平行四边形、相似等，考查类型有：点的位置不确定；特殊图形边或角不确定等．基本解题思路：审清题干中各种信息，分析和观察图形，找出隐含的折叠前后的图形中几何图形的折叠与动点问题是河南中考数学中的必线段、角的位置关系和数量关系，特别注意由于点、边、角等的位置不确定，常需对多种情况进行分类讨论．河南省中考对此问题的考查：2013年中考试题第15题、2014年中考试题第15题、2015年中考试题第15题、2016年中考试题第15题、2017年中考试题第15题均以填空题的形式考查了矩形、直角三角形、等腰三角形等的折叠与动点问题的相关计算．线段、角的位置关系和数量关系，特别注意由于点、边、角类型一点的位置不确定这类问题通常考查线段长度的计算，由于折叠中的点的位置不确定，解决此类问题一般运用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知识及方程思想，设一条边的长为x，再用含x的代数式来表示其他的边，最后设法用勾股定理或相似性质来求线段的长度，注意一般涉及多种情况要分类讨论．类型一点的位置不确定例1

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为

．例1如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点F为BC边【分析】

分两种情况考虑：①B′在横对称轴上；②B′在竖对称轴上，分别求出BF的长即可．【自主解答】

当B′在横对称轴上，此时AE＝EB＝3，如图1所示，由折叠可得△ABF≌△AB′F，∴∠AFB＝∠AFB′，AB＝AB′＝6，BF＝B′F.∵EB′∥BF，且E为AB的中点，∴M为AF的中点，即EM为中位线，∠B′MF＝∠MFB，【分析】分两种情况考虑：①B′在横对称轴上；②B′在∴EM＝BF，∠B′MF＝∠B′FM，∴B′M＝B′F.设BF＝x，则B′M＝B′F＝BF＝x，EM＝x，EB′＝x.在Rt△AEB′中，根据勾股定理得32＋(x)2＝62，解得x＝2，即BF＝2.∴EM＝BF，∠B′MF＝∠B′FM，当B′在竖对称轴上时，此时AM＝MD＝BN＝CN＝4，如图2所示．设BF＝x，B′N＝y，则FN＝4－x.在Rt△FNB′中，根据勾股定理得y2＋(4－x)2＝x2.∵∠AB′F＝90°，∴∠AB′M＋∠NB′F＝90°.∵∠B′FN＋∠NB′F＝90°，∴∠B′FN＝∠AB′M.∵∠AMB′＝∠B′NF＝90°，∴△AMB′∽△B′NF，当B′在竖对称轴上时，此时AM＝MD＝BN＝CN＝4，如图2中考数学总复习课件：-几何图形的折叠与动点问题1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为线段AC上一个动点，过点P作PD⊥AC交AB于点D，将△APD沿直线PD折叠，点A的对应点为E，连接DE，BE.当△DEB的两直角边之比为时，AP的长为________．1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F为线段BC上的一动点，且不和B，C重合，连接FA，过点F作FE⊥FA交CD所在直线于E，将△FEC沿FE翻折到△FEC的位置，使点G落到AD上，则BF＝________．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F为线段BC类型二特殊图形边或角不确定这类题型一般考查折叠中直角三角形、等腰三角形等特殊图形的判定，由于边或角不确定，针对此类问题，关键在于画出所有符合题意的图形，联系已知条件结合图形特点，找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系，建立方程模型或函数模型进行求解，注意多种情况分类讨论．类型二特殊图形边或角不确定例2(2017·洛阳模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD是等腰三角形时，AP的长为

．例2(2017·洛阳模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝5【分析】

等腰△A′CD的腰与等边不确定，因此考虑利用分类讨论思想求解．【自主解答】∵四边形ABCD是菱形，EF⊥AC，∴∠EAP＝∠FAP，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.又∵AE＝A′E，AF＝A′F，∴四边形AEA′F为菱形，∴AP＝A′P.【分析】等腰△A′CD的腰与等边不确定，因此考虑利用①当A′C＝CD时，A′C＝5，AA′＝AC－A′C＝8－5＝3，∴AP＝AA′＝.②当A′D＝A′C时，∠A′DC＝∠A′CD＝∠BCA＝∠BAC，∴△A′CD∽△BAC，①当A′C＝CD时，A′C＝5，AA′＝AC－A′C＝8－53．(2017·焦作模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，D是边AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AC时，A′B＝_________.3．(2017·焦作模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，4．如图，菱形ABCD的边长为10，∠BAD＝60°，点P是对角线AC上一动点，连接DP，BP，当△ADP是直角三角形时，AP的长为__________．4．如图，菱形ABCD的边长为10，∠BAD＝60°，点P是中考数学总复习课件：-几何图形的折叠与动点问题专题三几何图形的折叠与动点问题

专题三

几何图形的折叠与动点问题是河南中考数学中的必考问题，往往以填空题压轴题的形式命题，主要考查知识有：折叠性质、直角三角形、等腰三角形、特殊平行四边形、相似等，考查类型有：点的位置不确定；特殊图形边或角不确定等．基本解题思路：审清题干中各种信息，分析和观察图形，找出隐含的折叠前后的图形中几何图形的折叠与动点问题是河南中考数学中的必线段、角的位置关系和数量关系，特别注意由于点、边、角等的位置不确定，常需对多种情况进行分类讨论．河南省中考对此问题的考查：2013年中考试题第15题、2014年中考试题第15题、2015年中考试题第15题、2016年中考试题第15题、2017年中考试题第15题均以填空题的形式考查了矩形、直角三角形、等腰三角形等的折叠与动点问题的相关计算．线段、角的位置关系和数量关系，特别注意由于点、边、角类型一点的位置不确定这类问题通常考查线段长度的计算，由于折叠中的点的位置不确定，解决此类问题一般运用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知识及方程思想，设一条边的长为x，再用含x的代数式来表示其他的边，最后设法用勾股定理或相似性质来求线段的长度，注意一般涉及多种情况要分类讨论．类型一点的位置不确定例1

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为

．例1如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点F为BC边【分析】

分两种情况考虑：①B′在横对称轴上；②B′在竖对称轴上，分别求出BF的长即可．【自主解答】

当B′在横对称轴上，此时AE＝EB＝3，如图1所示，由折叠可得△ABF≌△AB′F，∴∠AFB＝∠AFB′，AB＝AB′＝6，BF＝B′F.∵EB′∥BF，且E为AB的中点，∴M为AF的中点，即EM为中位线，∠B′MF＝∠MFB，【分析】分两种情况考虑：①B′在横对称轴上；②B′在∴EM＝BF，∠B′MF＝∠B′FM，∴B′M＝B′F.设BF＝x，则B′M＝B′F＝BF＝x，EM＝x，EB′＝x.在Rt△AEB′中，根据勾股定理得32＋(x)2＝62，解得x＝2，即BF＝2.∴EM＝BF，∠B′MF＝∠B′FM，当B′在竖对称轴上时，此时AM＝MD＝BN＝CN＝4，如图2所示．设BF＝x，B′N＝y，则FN＝4－x.在Rt△FNB′中，根据勾股定理得y2＋(4－x)2＝x2.∵∠AB′F＝90°，∴∠AB′M＋∠NB′F＝90°.∵∠B′FN＋∠NB′F＝90°，∴∠B′FN＝∠AB′M.∵∠AMB′＝∠B′NF＝90°，∴△AMB′∽△B′NF，当B′在竖对称轴上时，此时AM＝MD＝BN＝CN＝4，如图2中考数学总复习课件：-几何图形的折叠与动点问题1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为线段AC上一个动点，过点P作PD⊥AC交AB于点D，将△APD沿直线PD折叠，点A的对应点为E，连接DE，BE.当△DEB的两直角边之比为时，AP的长为________．1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F为线段BC上的一动点，且不和B，C重合，连接FA，过点F作FE⊥FA交CD所在直线于E，将△FEC沿FE翻折到△FEC的位置，使点G落到AD上，则BF＝________．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，F为线段BC类型二特殊图形边或角不确定这类题型一般考查折叠中直角三角形、等腰三角形等特殊图形的判定，由于边或角不确定，针对此类问题，关键在于画出所有符合题意的图形，联系已知条件结合图形特点，找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系，建立方程模型或函数模型进行求解，注意多种情况分类讨论．类型二特殊图形边或角不确定例2(2017·洛阳模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD是等腰三角形时，AP的长为

．例2(2017·洛阳模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝5【分析】

等腰△A′CD的腰与等边不确定，因此考虑利用分类讨论思想求解．【自主解答】∵四边形ABCD是菱形，EF⊥AC，∴∠EAP＝∠FAP，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.又∵AE＝A′E，AF＝A′F，∴四边形AEA′F为菱形，∴AP＝A′P.【分析】等腰△A′CD的腰与等边不确定，因此考虑利用①当A′C＝CD时，A′C＝5，AA′＝AC－A′C＝8－5＝3，∴AP＝AA′＝.②当A′D＝A′C时，∠A′DC＝∠A′CD＝∠BCA＝∠BAC，∴△A′CD∽△BAC，①当A′C＝CD时，A′C＝5，AA′＝AC－A′C＝8－53．(2017·焦作模拟)如图，在△ABC中，∠C＝9