十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编新高考卷与全国专题08三角函数与数列解答题（解析版）

大数据之十年高考真题(2013・2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题08三角函数与数列解答题...•⑥真题汇总]••・..【2022年全国甲卷理科171记Sn为数列｛%｝的前〃项和.己知卓+n=2%+1.(1)证明：｛册｝是等差数列；(2)若/，◎7,成等比数列，求s注的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)-78.【解析】(1)解：因为卓+n=2an4-1,即2S”+n2=2nan+九①，当n22时,2sAi+(n—I)2=2(n-l)Qi+(n—1)②，①一②得，2sli+"-2Sn_i—(ti-I)?=2nctn+n—2(n—l)%_i—(n-1),即2an+2n-1=2nan-2(n-l)a71T+1,即2(n-l)an—2(n—1)%_]=2(n—1),所以%—an_x=1,n>2且n6N*,所以｛册｝是以1为公差的等差数列.(2)解：由(1)可得=%+3,+6,Qg=。1+8,又Q4，成等比数列，所以电2=以4，。9，即Q+6)2=@+3)・(即+8),解得的=-12,所以0n=n-13,所以Sn=_I2n+吟。=|n2-=1(n-^)2-等，所以，当乳=12或71=13时(％)min=-78.[2022年全国乙卷理科17】记4ABC的内角4,B,C的对边分别为a,瓦c,已知sinCsin(4-5)=sinBsin(C-A).(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=||,求△ABC的周长.【答案】(1)见解析

⑵14【解析】(1)证明：因为sinCsin(i4-B)=sinFsin(C-4),所以sinCsin4cosF-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinFsin/lcosC,所以qc-a2”_白所以qc-a2”_白2

2ac2bc=ab•a2+b2y2

2ab即—(/+c2—a2)=-所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=^,由(1)得+c2=50,由余弦定理可得a?=h24-c2—ZbccosA,贝”0-亲c=25,所以be=弓，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81,所以b+c=9,所以△ABC的周长为a+b+c=14.[2022年新高考1卷17]记5„为数列｛%｝的前〃项和，已知%=1,倒是公差为撤等差数列.(1)求｛%｝的通项公式；(2)证明：-+-+•••+-<2.'QiQ2 /【答案】(1)%=心署(2)见解析【解析】⑴,.,(11=1>/.Si=£li=1，，肃—1,又•••尚是公差为料等差数列，..怖=1+/„-1)=字.』=中，...当n22时，Sn_!=妇31,

..an=Sn—Sn-i=S+2)Qn(n+l)Q,Ll整理得：(九一1)册=(几+即工="1

fln-ln-1Qn=Q]X空x里x...x吧-..an=Sn—Sn-i=S+2)Qn(n+l)Q,Ll整理得：(九一1)册=(几+即工="1

fln-ln-1Qn=Q]X空x里x...x吧-fllan-2an-l<34 nn+1n(n+l)=lx-x-x...X X =- -n-2 n-1 2显然对于兀=1也成立,.••{%}的通项公式斯=用n(n+l)=2(W，+.•.+『2IS+(泊)+…(>总1=2(1-马4.【2022年新高考1卷18】记AABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知,COS/Il+sin4sin28

l+cos28(2)求挈的最小值.【答案】(％(2)472-5.【解析】⑴因为•cosAs\n2B2sinBcos8l+sin/11+COS25 2cos2BS'即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(4+B)门 1COSC="»而0<B<*所以8=?；o(2)由⑴知,sinB=-cosC>0,所以、<(2)由⑴知,而sinB=-cosC=sin。-J所以C=：+8,即有A=]-28.所以砂+必—sin24+sin2F-cos22fi+l-cos2flc2sin2C cos2F=(2C8%;；icWb=4cos2"+-l--5>2V8-5=4V2-5-当且仅当cos?"=立时取等号，所以苧的最小值为4V2-5.2 c‘5.[2022年新高考2卷17】已知｛4｝为等差数列,｛九｝是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明：ai=瓦：(2)求集合伙|瓦=Ojn+a^l<m<500｝中元素个数.【答案】(1)证明见解析；(2)9.【解析】(1)设数列｛册｝的公差为d,所以，[/：/一、"=07+y二丫、即可解得，瓦=%=$所以原命题得十a- =oDj—(a1十ja) /证.(2)由(1)知，bj=ai=p所以M=册,+%o瓦x2k~l=%+(zn—l)d+a1，即2"t=2m.亦即zn=2&t6(1,500],解得2WkW10,所以满足等式的解k=2,3,4,10,故集合｛网瓦=am+a1(l<m<500｝中的元素个数为10—2+1=9..【2022年新高考2卷181记aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为Si，Sz，S3,已知S1T2+S3=y,sine=⑴求△ABC的面积；(2)若sirMsinC=—)求6.【答案】(1.【解析】(1)由题意得Si=：♦.苧=%2s2=1"眄则另-S2+S3=1a?一1从+与2=苧,即42+©2-/=2,由余弦定理得cosB= 整理得accos8=l,则cosB>0,又sinB=；,TOC\o"1-5"\h\z2ac 3则cosB= 苧,QC=*=乎,则Sa谢=gacsinB=,;2 3^2(2)由正弦定得：卜=a=____.――=———=-1-=2,贝——=’,b=—sin^=-sinBsinAsinCsin2flsinAsinCsiMsinC它4sinB2 2 2"T.【2021年全国甲卷理科18]已知数列｛a4｝的各项均为正数，记％为｛an｝的前"项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列｛%»｝是等差数列：②数歹U｛质；｝是等差数列；③Q2=3a「注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析选①②作条件证明③：设=an+b(a>0)»贝iJS〃=(an+b)2»当n=1时，a1=Si=(a+b)2；当n>2时,an=Sn-=(an+&)2—(an-a-I-6)2=a(2an-a4-26)；因为｛a〃｝也是等差数列，所以(a+b)2=Q(2a—a+2b),解得b=0；所以』=a2(2n-1),所以g=3al.选①③作条件证明②：因为。2=3。1，｛aj是等差数列，所以公差d=a2— =2%,所以Sn=n%=足％,即=问力，因为JSn+i- =眄5+1)-y/a｛n=问\所以｛疝｝是等差数列•选②③作条件证明①：设=an+b(a>0),则5„=(an+b)2,当n=1时，a1=Si=(a+b)2；当n>2时，an=Sn-Sn-i=(an+&)2一(an-a+ft)2=a(2an-a+2ft)；因为=3%，所以q(3q+2b)=3(a+&)2,解得b=0或b=—拳当b=0时，a[==/Qn一i),当nN2时，/-。小1=2a?满足等差数列的定义，此时｛册｝为等差数列；当6=一半时，=an+b^an-^a,/^=一广0不合题意，舍去.综上可知｛。豌｝为等差数列..[2021年新高考1卷17]已知数列｛斯｝满足%=1,an+1=廿+,9为奇数，an+2,n为碘(1)记垢=£1211，写出bi，b?,并求数列｛瓦J的通项公式；(2)求｛询｝的前20项和.【答案】(1)b]=Z,b2=5；(2)300.(1)由题设可得=a2=Q〔+1=2,b2= =。3+1=。2+2+1=5Wa2A+2=a2k+l+1，a2k+l=a2k+2,(k6N*)

故=a2k+3,即bn+i=bn+3.B|lbn+i—bn=3所以｛九｝为等差数列，故九=2+(n-l)x3=3n-l.(2)设Sn｝的前20项和为$20，贝氏20=。1+。2+。3+…+。20，因为％=a2-l,a3=a4-1,…,al9=a20-1,所以S20—2(。2+a4+…+%8+。20)—I。9x10=2(/+%+…+%+/0)-10=2x(10x2+x3)-10=300点。在边4c上,9.12021年新高考1卷19】记△48C是内角4,氏C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,BDsinZ.ABC点。在边4c上,(1)证明：BD=b；(2)若4。=2DC,求cos^ABC.【答案】⑴证明见解析；(2)cosMBC=5（1）（1）由题设，上常，由正弦定理知：$=—^7,即sinz.ABC sinCstn^-ABCsin/-ABC：.BD=b,得证.(2)由题意知：BD=b,AD=^,DC=^,13b2，cos乙13b2，cos乙4OB=94ft2~3~一,同理cos^.CDBZ.ADBZ.ADB=n—乙CDB,10ft2萨，整理得10ft2萨，整理得2〃+02=哈，又b2=ac,A2a2+，=——9整理得6a4—lla2b2+3b4=0,解得彳=［或彳=-»a23 b23b22由余弦定理知：cos乙4BC=贮士2=±-当，2ac3 2b2当年='时,cos乙4BC=看>1不合题意；当第=|时，cos乙ABC=卷；项积，己知342.综上，COSZ.ABC=10.【2021年全国乙卷理科19】记5n为数列｛册｝的前〃项和，加为数列｛5n｝的前（1）项积，己知342.（2）求｛a3的通项公式.TOC\o"1-5"\h\z3 4n=1【答案】（I）证明见解析；（2）/=｛ \ . ,n>2

n（n+l）⑴由已知春+2=2得%=券，且砥#0,4心un 4>un~~1 /取n=1,由Si=%得比=:由于心为数列｛Sn｝的前“项积，5斤I'］2）1.2b2…2b”_.所’2如-12b2-12bn-l~~n,6m2bl.2b2 2b1+i_.2b1-12b2—12bn+i-1 九+1,所以他”！=%!叨"2bli+i-i bn'由于bn+i*02 1 1所以2b“+1-1=£,即bn+i-bn=2,其中neN*所以数列｛bn｝是以bl=，为首项，以d=:为公差等差数列；（2）由（I）可得，数列｛瓦》｝是以名=［为首项，以d=T为公差的等差数列,•-bn=1+(n-l)xl=l+J《_2如_2+nn一2bn-l_1+n'当n=l时，ai=Si=I，当n>2时,%=Sn-S“_i=*一-=-而%，显然对于„=1不成立,

.【2021年新高考2卷17】记5n是公差不为0的等差数列｛/｝的前〃项和，若=55,a2a4=54.(1)求数列｛a“｝的通项公式a”；(2)求使S”>a”成立的〃的最小值.【答案】(1)an=2n-6；(2)7.(1)由等差数列的性质可得：%=5。3，则：a3=Sa3,a3=0.设等差数列的公差为d,从而有：a2a4=(。3—d)(a3+d)=—d?,S4=Q]+Q2++ =(。3—2d)+(Q3—d)+Q3+(03—d)——2d,从而：一$=一2乩由于公差不为零，故：d=2,数列的通项公式为：%!=。3+(n-3)d=2n-6.(2)由数列的通项公式可得：%=2-6=-4,贝！|：S”=nx(-4)+股3x2=n?-6n,则不等式S”>6即：n2-5n>2n-6,整理u]■得：(n—l)(n-6)>0,解得：《<1或11>6,又n为正整数，故n的最小值为7..【2021年新高考2卷18】在A/IBC中，角4、B、C所对的边长分别为a、b,c,b=a+l,c=a+2..(1)若2sinC=3sin4,求△4BC的面积；(2)是否存在正整数a,使得AABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)竺它：(2)存在，且a=2.4(1)因为2sme=3sin4,则2c=2(q+2)=3a,则a=4,故b=5,c=6,cosC=a+b-^c-=i,所以，C为锐角，则sinC="—cos2c=/Z2ab8 8因此，S4ABe==absinC=ix4x5x△打“L2 2 8 4(2)显然c>b>a,若△4BC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC=穹了=小(；产(+2产=弊黑vo,2ab 2a(a4-l) 2a(a+l)解得一1<a<3,则0<a<3,由三角形三边关系可得a+a+1>a+2,可得a>1,aeZ,故a=2..【2020年全国1卷理科17]设｛aj是公比不为1的等比数列，%为a?，。3的等差中项•(1)求｛4｝的公比;(2)若%=1,求数列｛nan｝的前n项和.

【答案】(I)一2；(2)5“=-(1+%(-2)”【解析】(1)设｛册｝的公比为q,如为@，。3的等差中项，・•2。1=a2+。3,工0,Ja?+q—2=0,*q工1,••q—2；(2)设｛na“｝的前n项和为%,at=l,an=(-2)"-1,S„=1x1+2x(-2)+3x(-2)z+-+n(-2尸，①-2Sn=1x(-2)+2x(-2>+3x(-27+…(n-1)(-2尸+n(-2)n,②①一②得，35n=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)nT-n(-2)n=2产=1-(1+3必-2尸1-(-2) ( ) 3 '.c_l-(1+3n)(-2)“*n 914.【2020年全国2卷理科17】△ABC中，sin2^—sin2S—sin2C=sinBsinC.(1)求出(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.【答案】⑴与：(2)3+2V3.【解析】(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB,vAG(0,7T),-A=ACOSj4=ACOSj4=4c2+g-BC2

ZACAB129(2)由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-ZAC•43cos4=AC2+AB2+4C•48=9,即04c+AB)2-ACAB=9.2VACAB< (当且仅当4c=4B时取等号)，9=(>1C+AB)2-ACAB>｛AC+AB｝2- =^(AC+AB)2,解得：AC+AB<2V3(当且仅当4c=4B时取等号)，•••△4BC周长L=AC+AB+BC<3+2V3,•••△4BC周长的最大值为3+2百..【2020年全国3卷理科17］设数列｛a“｝满足ai=3,an+1=3an-4n.(1)计算s，ay,猜想｛为｝的通项公式并加以证明；

(2)求数列｛23｝的前〃项和S“.【答案】(I)a2=5,a3=7,an=2n+1,证明见解析；(2) =(2n-1)-2n+1+2.【解析】(I)由题意可得畋=3al-4=9—4=5(a3-3a2—8=15—8=7>由数列｛a“｝的前三项可猜想数列｛aj是以3为首项，2为公差的等差数列，即an=2n+l,证明如下：当n=l时，%=3成立：假设n=k时，a=2k+1成立.那么n=k+1时，4+1=3ak-4k=3(2k+1)-4fc=2k+3=2(k+1)+1也成立.则对任意的neN*,都有an=2n+l成立：(2)由(I)可知，% =(2n+1)-2nSn=3x2+5x22+7x23+-+(2n-1)-2n-1+(2n+l)-2n,①2Sn=3x22+5x23+7x24+•••+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+1,②由①一②得：一Sn=6+2x(22+23+…+2n)-(2n+1)-2n+1=6+2x2仁(1,广)―0n+i).2"+1=(1-2n)-2"+1-2,即Sn=(2n-1)-2n+1+2..【2020年山东卷17】在①ac=6,②csinA=3,③c=6b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值：若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在A4BC,它的内角的对边分别为a,b,c,且sin4=V^sinB,C=g ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】详见解析【解析】解法一：由sin4=bsinBuJ得：-=V3,b不妨设a=y/3m,b=m(m>0),则：c2=a24-b2-2abcosC=3m2+m2-2xV3mxmx=m2,即c=m.选择条件①的解析：据此可得：ac=V3mxm=V3m2=V3,m=1,此时c=m=l.选择条件②的解析:据此可得：cosA=号且=上手#=7，Zdc /th /则：sin4=J1- =y,此时：csinA=mxy=3,则：c=m=273.选择条件③的解析：可得；=2=1,c=b,bm与条件c=V5b矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二:\sinA=>/3sinB,C=-,B=n-(A+C),6.,.sinA=百sin(4+C)=\/3sin(4+sinA=V3sin(>4+C)=y/3sinA—+V3cosA^,：.sinA=-y/3cosA,：.tanA=-V3,：.A=—,：.B=C=-,若选①，ac=V3,"."a=V3b=V3c,.".V3c2=V3,c=l;若选②，csinA=3,则亨=3,c=26；若选③,与条件c= 矛盾..【2020年山东卷18】已知公比大于1的等比数列｛%｝满足a2+。4=20,03=8.(1)求｛小｝的通项公式；(2)记bm为｛1｝在区间(0，m](meN*)中的项的个数，求数列｛瓦力的前1。。项和Sioo.【答案】(1)“=2"；(2)SioO=48O.【解析】(1)由于数列｛6｝是公比大于1的等比数列，设首项为％,公比为q，依题意有解得解(q=8得%=2«=2,或％=32,q=/舍)，所以%,=2n,所以数列｛%｝的通项公式为a”=2n.(2)由于21=2,2之=4,23=8,24=16,=32,26=64,27=128,所以以对应的区间为：(0,1],则%=0：%,%对应的区间分别为：(0,2],(0,3],则£>2=63=1，即有2个1；以,/)5溥6，%对应的区间分别为：(0,4],(0,5],(0,6],(0,7),则。4=闻=九=g=2，即有2?个2；%,加,…,/5对应的区间分别为：(0,8],(0,9],…,(0,15],则%=%=•••=/5=3,即有个3；%6，%,…对应的区间分别为:(0,16],(0,17],-,(0,31],则%=%="♦=%=4,即有24个4：。32，/3,…,。63对应的区间分别为:(0,32],(0,33],…,(0,63],®ijb32=b33=-=b63=5,即有2$个5；蛇》，。65,…，如oo对应的区间分别为:(0,64],(0,65],-,(0,100],^\bM=fe65=-=b100=6,即有37个6.所以Sioo=1x2+2x22+3x23+4x24+5x25+6x37=480.【2020年海南卷17】在①ac=百，②csin4=3,③c=Bb这三个条件中任选•个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在A4BC,它的内角4,8,C的对边分别为a,b,c,且sin4=bsinB,C=p ?6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】详见解析【解析】解法一：由sin4=MsinB可得：：=百，D不妨设Q=v3m,b=m(m>0),贝ij：c2=a24-b2-2abcosC=3m2+m2—2x>/3mxmx—=m2t即c=m.选择条件①的解析：据此可得：qc=V3mxm=y/3m2=V3,:.m=1,此时c=m=1.选择条件②的解析：iri”，一rzM b2+c2—a2m2+m2-3m2 1据此可得：cos4=--=——j—=-Lbc 2m 2则：sin/l=/1—(~1)2-此时：csin/1=mx?=3,则：c=m=2>/3.选择条件③的解析：可得:="=1»c=b,bm与条件c=6b矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：\'sinA=y/3sinB,C=-,B=n-(A+C),.\sinA=x/3sin(A+C)=百sin(4+j,sinA=V3sin(4+C)=^3sinA-?+\f3cosA'1,：.sinA=-V3cosA,：.tanA=-y[3,：.A==,・・.B=C=[3 6若选①，QC=V3,a=V3b=V3c,V3c2=x/3,Ac=l;若选②，csinA=3,则芋=3,c=2V3;若选③，与条件c=8b矛盾.19.【2020年海南卷18】已知公比大于1的等比数列｛册｝满足做+。4=20,。3=8.(1)求｛/｝的通项公式;(2)求。逆2—a2a3+.・.+(-l)n-1anan+1.o f2n+3【答案】⑴4=2=；(2)，(-1尸三【解析】⑴设等比数列｛4｝的公比为幽＞1),则卜2+。4=%9：铝3=2°,[a3=a4=8整理可得：2q2-5q+2=0,**q>1,q=2,a1=2,数列的通项公式为：an=2-2“t=2n.(2)由于：=(-l)n-1x2nx2n+1=(-l)"-i22n+1,故：a1a2—02a3+•••+(-I)"lanan+l=23-2s+27-29+...+(-1)1-22n+1_23[1-(-2^)"] 8 2^3一]-(_2Z)/—(T)-4+C=ftsirt4.20.【2019年新课标3理科18]△Z8C的内角/、B、C的对边分别为a,b,c.已知asiir^一=ftsirt4.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=l,求△48C面积的取值范围.【答案】解：(1)asirr?-=bsin/f,即为asin-^-=acos^=6sinJ,.B. . .88.可得sinJcos^-=sin^sinJ=2sirrp:os^siivf»Vsitvl>0,B.BB•*.cosy=2sinycosy»B若85=0,可得8=(2H1)n,kEZ不成立,由0<8<n,可得8=*(2)若△/8C为锐角三角形，且c=l,由余弦定理可得b=Ja1bn=(-)+亍22.【2019年新课标1理科17]△45C的内角/1bn=(-)+亍22.【2019年新课标1理科17]△45C的内角/B,C的对边分别为a,b,c.设(sin5-sinC)2=sin2J-sinBsinC.(1)求4(2)若V^a+6=2c,求sinC.【答案】解：(1),•,△45C的内角4,B,。的对边分别为〃，b,c.设(sinB-sinC)2=sin2J-sinBsinC.则sin2B+sin2C-2sini9sinC=sin2J-sinBsinC,/.由正弦定理得：h2^-c2-a2=be9由三角形Z8c为锐角三角形，nJWa2+a2-a+l>l且\+a2-a+\>a2,解得g<a<2,可得△Z8C面积S=%si]=,6(W，—4 3 4 8 221.【2019年全国新课标2理科19]已知数列｛〃〃｝和｛b〃｝满足〃]=1,Ai=0,4an+\=3an-6«+4,4hn+\=3hn-a〃-4・(I)证明：｛a”+6“｝是等比数列，｛a“-b“｝是等差数列：(2)求｛a〃｝和｛b〃｝的通项公式.【答案】解：(1)证明：'.'4an+i=3an-hn+4,4hn+i=3bn~an~4；・・4(a〃+]+b〃+1)2()，4(-bn+i)—~4(dn~bn)+8；即a”+i+6/i+i=2(。”+6〃)，a〃+i~b〃+i=o〃-6〃+2；又m+bi=La\-bi=L1・・・｛斯+加｝是首项为1，公比号的等比数列，佃〃-儿｝是首项为1,公差为2的等差数列；1⑵由(1)可得：a#bn=(-)-力〃=1+2(〃-1)=2m-1；1、 1：.an=(-)四+"-)L /. .b24-c2—a2 be1..cos/l =2^=rVO</f<n,：.A=VV2a+h=2c,公条•二由正弦定理得&sin4+sinB=2sinC,V627r+sin(--C)=2sinC解得sin(C-1)=冬；.C-看=?C=TOC\o"1-5"\h\z.7in.ren7r.ttV2V3V21 V6+V2'sinC=sin(—I—)=sim:os—Feos-sin-=—x—+—x—= .4 6 4 6 46 2 2 2 2 423.【2018年新课标1理科17】在平面四边形中，ZJDC=90°,N/=45°,4B=2,BD=5.(1)求cos/ZOB；(2)若OC=2VL求BC.【答案】解：(1)VZJDC=90°,N/=45°,48=2,BD=5.TOC\o"1-5"\h\z,,ABBD 2 5...由正弦定理得： = ,即 = ,sin£.ADBsin^Asin^ADBsin45../sd2sin45° 42・・sin//4Z)8=—g—=■:AB<BD,：.ZADB<ZA,• /AnDCz>/2 v23・・cos/4DB=J1—(可)=-g—.J2(2)VZJDC=90°,：.cosZBDC=sinZADB=□■:DCS：.BC=>/BD2+DC2-2xBDxDCxcosZ.BDC24.【2018年新课标2理科17】记S,为等差数列｛a“｝的前〃项和，已知田=-7,S3=-15.(1)求｛a〃｝的通项公式：(2)求S〃，并求S”的最小值.【答案】解：(1)；等差数列｛斯｝中，ai=-7,S3=-15,/.ai=-7,3a\+3d=-15,解得ai=-7,d=2,/.an--7+2(n-1)—2n-9；(2)'：a\=-7,d=2,an=2n-9,/.Sn=?(%+an)=i(2n2—16n)=n2-8n=(w-4)2-16,当〃=4时，前”项的和Sn取得最小值为-16..【2018年新课标3理科17]等比数列｛a〃｝中,ai=l,as=4a3.(1)求｛a.｝的通项公式：(2)记S”为｛%｝的前"项和.若品=63,求机.【答案】解：⑴•.•等比数列｛斯｝中，ai=l,仃=4«.,lXq4=4X(IX/),解得g=±2,当q=2时，an=2n当q=-2时，an=(-2)n1»...｛如｝的通项公式为，an=2nl,或斯=(-2)"(2)记外为｛aa｝的前"项和.当“一-2时¥_ai(l-qn)一1一(一2尸一1一(一2)”三田一1，2M, "_q -1-(-2)-3'由S〃=63,得Sm=1-(,2严=63,weN,无解：当ai=l,g=2时，S„=ai^n)= =2"-1,由Sm=63,得Sm=2"'-1=63,zhGN»解得m=6.02.【2017年新课标1理科17]△48C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知△48。的面积为「一73sinA(1)求sinBsinC；(2)若6cos氏osC=l,4=3,求△48C的周长.1 n2【答案】解：(1)由三角形的面积公式可得SaW=亍心出8=元"77，/ OSlrl/i3csin8siM=2a,由正弦定理可得3sinCsin^sinJ=2sin4,VsinJ^O,2/.sinBsinC=手V6cosficosC=b.1・・COS8cosc=N，6. . . 12 1AcosficosC-sin^sinC==—1cos(8+C)=-2，-/1♦・cos/l=2，V0<J<n,..a b c,sinA sinB sinC=2R=-7=-=2x/3,,・ ・ bcsin^sinC= =be be2(2V3)2—12-3’6c=8,Va2=ft2+c2-2hccosA,/.b^c2-bc=9,：.(6+c)2=9+3cb=9+24=33,:・b+c=V33周长a+b+c=3+V33.27.【2017年新课标2理科17]△ZBC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(J+C)=8sin2-.(1)求cosB；(2)若a+c=6,△力8C的面积为2,求儿【答案】解：(1)sin(/+C)=8sin2y,，sin6=4(1-cos5),Vsin25+cos25=1*/.16(1-cosB)2+cos2S=19A16(1-cosfi)2+cos2B-1=0,A16(cosfi-1)2+(cos^-1)(cosB+l)=0,・•・(17cos5-15)(cos^-1)=0,・q15.«COSD=j-y；(2)由⑴可知sin5=9，S^abc=%c・sinB=2，. 17•.ac=.\b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2xx=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,：.b=2.28.【2017年新课标3理科17]△ZBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知sinJ+V5cosZ=0,a=2.y/7,6=2.(1)求c；(2)设。为BC边上一点，且4O_L4C,求△力80的面积.【答案】解：(1)VsinJ+V3cosJ=0,tanJ=-V3,V0<J<n,•42tt..4=亍由余弦定理可得。2=必+仃2-2bccosA,BP28=4+c2-2X2cX(-1),即d+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,故c=4.Vc2=b2+a2-2abeosC,/.16=28+4-2X2V7x2XcosC,・厂2••cose—^=>：.CD=^BCYS&abc=^AB-AC*sinZBAC=*x4X2x堂=2值]:・S&ABD=2s△/8C=V3=C.(I)求G_ 3V5(II)若c=小,△48。的面积为求△Z5C的周长.【答案】解：(I)•・•在△/BC中，OVCVir,/.sinC^O已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinJcos^+sinJ?cosJ)=sinC,整理得：2cosCsin(4+8)=sinC»即2coscsin(it-(X+8))=sinC2cosCsinC=sinC.r(II)(II)由余弦定理得l=a2+b2-2ab・q,/.(a+b)2-3ab=1,・.c1,. 73,3n・5=2^sinC=百ab=—»••(ib^6f：.(a+b)2-18=7,a+b=5,的周长为5+77.30.【2016年新课标2理科17】S,为等差数列｛a〃｝的前〃项和，且ai=l,S7=28,记b”=[/ga“],其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[/g99]=l.(I)求6”6u,6ioi；..cosC=2»

（n）求数列｛为｝的前looo项和.【答案】解：（1）S"为等差数列｛斯｝的前"项和，且ai=l,57=28,7a4=28.可得04=4,则公差4=1.an—n,bn=[lgn],则/>i=[/gl]=0,M=[/glU=l，/>ioi=[/glOl]=2.(II)由(I)可知：bi=b2=b3="-=b<)=0,b]o=b\\=b\2= b<)9=I."00=/>101=602=403=".=方999=2,hio,00=3.数歹U｛既｝的前1000项和为：9X0+90X1+900X2+3=1893.31.【2016年新课标3理科17］已知数列｛斯｝的前〃项和S”=l+Xa“，其中入W0.（1）证明｛。“｝是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=爱，求人.【答案】解：（1）案S"=l+Aa”,入WO.当“22时，an=Sn-Sn-\=1+Aa〃-I-Xan-1=Juin~An”-1，即(A-1)a〃=Az/〃j,•.•入WO, ，入-1H0.即入Wl,anA_即 ="—,(〃22),加一14一1是等比数列，公比q=A，当〃=1时，5i=l+Aai=ai,(2)若Ss=装,1则若§5=1+1则若§5=1+人［匚7Z. 31(TT)1=总132•--A1-2得33彳5-1-,2)-即则32.(2015年新课标1理科17]S”为数列｛a“｝的前n项和，已知a„>0,an2+2an=4Sn+3(/)求｛a〃｝的通项公式：(H)(H)设hn=dn^n+1，求数列｛与｝的前〃项和.【答案】解：(/)由a/+2a〃=4S〃+3,可知a〃+]2+2a〃+[=4S〃+i+3两式相减得-〃，广+2(。〃+1-a〃)=4a〃+].即2(a“+i+a”)广一a/=(。〃+1一VanVan>0,••cin+\~a〃=2,Vtzi2+2ai=4ai+3,ai=-1(舍)或ai=3,则｛，〃｝是首项为3,公差d=2的等差数歹U,・•・｛〃〃｝的通项公式a〃=3+2(/?-1)=2〃+1：(II)Vaw=2/1+1,••bn-a/n+i-(2九+••bn-a/n+i-(2九+1)(2几+3)-22n+l-2n+3),：.数列｛d｝的前〃项和T"=g([-g+g-｝+2n+l2n+3)=|(12n+3)=3(2n+3)，33.【2015年新课标2理科17]△45。中，。是8C上的点，40平分NA4C,△Z5Q面积是△4OC面积的2倍..sinB⑴求一psine(2)若力。=1,DC=号,求80和AC的长.【答案】解：(1)如图，过4作彳EL8C于E,1..S&ABD54ADC^BDxAE..S&ABD54ADC=1 =2^DCxAE:・BD=2DC,：.ZBAD=ZDACBDAD在△切中,嬴丽=嬴泊sinZS=ADxsinz.BADBDDCADsinz.DACBDAD在△切中,嬴丽=嬴泊sinZS=ADxsinz.BADBDDCADsinz.DAC sin乙C'../厂ADxsinZ.DAC..sinZC= 瓦 Sinz.B DC 1 = =—.•,•b分sin^C BD 2(2)由(1)知1,BD=2DC=2x导=鼻.过。作DMLAB于M,作DN±AC于N,•.7。平分NB/C,:.DM=DN,.s“bd-bxomS“DC-ACxDN：.AB=2AC,令4C=x,则/18=2r,■:NBAD=NDAC,cos/B4D=cosNDAC,・・・由余弦定理可得:(22)・・・由余弦定理可得:(22)2+12一(&)2

2x2xxlx2+l2-(^)22xxxl：.AC=lt・・.8。的长为近，NC的长为I.34.【2014年新课标1理科17]已知数列｛a〃｝的前〃项和为S”tzi=l,。件0,anan+i=XSn-1,其中人为常数.(I)证明：。〃+2-=入(II)是否存在入，使得｛斯｝为等差数列？并说明理由.【答案】(I)证明：,••。〃。〃+1=应1-1,。〃+1%+2=居1+1-1，・・。〃+1(4〃+2一)=九7”+[]#0,••a〃+2— 入•(II)解：假设存在入，使得｛，〃｝为等差数列，设公差为d.则入=。〃+2-+(4〃+1-a”)=2d.C_1斯»%+1—1十三，A(n—1)][1+A(n—1)][1+竽]=%层+("%)n+2—今根据｛〃〃｝为等差数列的充要条件是此时可得又="2,an=2n-1.因此存在入=4,使得｛〃〃｝为等差数列.也可以先考虑前3项成等差数列，得出入，再进一步验证即叽35.【2014年新课标2理科17］已知数列｛斯｝满足4i=l,a〃+i=34〃+L（I）证明｛a#3是等比数列，并求｛斯｝的通项公式:(II)证明：一+—+…+Q11 1 1【答案】证明（Ian+1+5 3an4-l+- 3(a【答案】证明（I.•.数列｛%+,｝是以首项为：，公比为3的等比数列;4 21Q・♦・1Q・♦・“〃+2=2x3"-13"HH彳，即时=3n-l（II）由（I）知一=3n-f当心2当心2时，号-1>3〃-3〃3n-l<3n-371T.3nT1 3/.当〃=1时，一=1<5成立,当〃22当〃22时，一+—+01a211+—Vl+/尹+・・・1 1-（扔3八1、13布=可=》一前）<,11：•对〃£N+时，一+—+Q136.【2013年新课标1理科17］如图，在△Z3C中，ZABC=90°,AB=®BC=1,尸为内一点,NBPC=90°.(1)若PB=求以;(2)若N4P8=150°,求tanN尸64

DD1【答案】解：(/)在RtZ\P8C中，cos/PBC=常=夕尸8c=60°,.•./尸8/=30°在APB4中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2-2PB«JScos30°=(1)2+(V3)2-2x1xV3x^y=J.：.PA=^-.(//)设/尸8/=a,在RtZ\PBC中，PB=BCcos(90°-a)=sina.在△曲在△曲中，由正弦定理因际化为V5cosa=4sina./.tana=?.PB V3sina ,即 = sinZ.PAB sinl50° sin(30°—a)37.【2013年新课标2理科17]△/BC在内角4、B、C的对边分别为a,b,c,己知〃=bcosC+csin^.(1)求&(II)若6=2,求面积的最大值.【答案】解：(I)由已知及正弦定理得：sinJ=sin8cosc+sin8sinC①,Vsirt4=sin(8+C)=sin8cosc+cos5sinC②，sinB=cosfi»即tanB=1,•.•8为三角形的内角,(II)S^abc=2〃csin8=-y-ac,7T 6由已知及余弦定理得：4=a2+c2-2accos->2ac-2acx整理得：a区止当且仅当。=c时，等号成立，则△46C面积的最大值为:xgx~~x\[2x(2+V2)=V24-1.2 2 2—V22.・••，模拟好题01.已知a，b,c分别为锐角三角形ABC三个内角4B,C的对边，且百c=2asinC.⑴求4(2)若a=V7,b=2,求c；(3)若cosB=|,求sin(2B-4)的值.【答案】(琮(2)3【解析】(1)由于0＜。＜会所以sinCHO,由V5c=2asinC得百sinC=2sin4sinC，所以sinA=^，且三角形ABC为锐角三角形，2所以(2)在448C中，由余弦定理有cos4= ='"'2=」nc?—2c—3=0,TOC\o"1-5"\h\z2bc 4c2解得C=3或C=—1(舍)，故C=3.(3)由cosjB=可得sinB=—,cos2B=cos2B—sin2B=--93 3 9sin2B=2sinFcosB=—.9所以sin(2B—A)=sin2BcosA-cos2Bs\nA4V51 1V39 2i9， 24V5+V3一~18-,.在△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,(b+a)(sin4-sinF)=(c-h)sinC.(1)求角Z的大小；(2)设a=2,cosg=4，求6.【答案】⑴(2)fe=-y.【解析】(1)由题设(Q+b)(a-b)=(c-b)c,即be=c2+b2-a2,所以cos>l=，也一".=-»又0<AVns故4=*TOC\o"1-5"\h\z2bc2 3(2)由(1)知：0V8Vm，则0VgVg,而cosg=亨，故sing=#，所以s\nB=2sin-cos-=2x—x—=,2 2 7 7 7Kab+/ri4 4y/3 16而==而’故b=^W..定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到〃阶和数列，如｛1,5｝的一阶和数列是｛1,6,5｝,设它的”阶和数列各项和为S..(1)试求｛1,5｝的二阶和数列各项和S2与三阶和数列各项和S3,并猜想S”的通项公式(无需证明)；⑵若呢=-啕0-3;38+-3),求&｝的前n项和八并证明："〃4.【答案】(1»2=12+6x3,S3=12+6x(3]+32),Sn=3n+1+3(2)Tn=^-p证明见解析【解析】(I)由题意得，S]=1+6+5=12.S2=1+7+6+11+5=12+18 =12+ 6x3,S3=1+8+7+13+6+17+11 +16+5=12 + 18 + 54= 12+ 6x 3+ 6x 32 = 12 + 6 x (31+32),54=1+9+8+15+7 +20+ 13+19+ 6 + 23+ 17+ 28+ 11 +27+16+21 + 5=12+18+54+162=12+6x3+6x3z+6x33=12+6x(31+32+33),S„=12+6x(31+32+33+…+3n-1)(n>1),由等比数列的前n项和公式可得，S„=12+6x3(1"3"=3n+1+3.n 1-3所以｛Sj的通项公式S”=3n+1+3.(2)由于又=3“+】+3,所以呢=-10g3(5„-3)lU(Sn+1-3)=一(W—土)=总一；I?

MTn=J--+;--+-+---=—因为neAT,所以专>o,所以gA：,乂G随〃的增大而减小，所以当n=l时，7\取得最大值—点故—g<Tn4—.已知数列｛%｝的前"项和为Sn=〃2+1,正项等比数列｛刈｝的首项为方，且aiT+a2b2+a3bl=14.(1)求数列｛aj和｛勾｝的通项公式；(2)求使不等式%>(含丫(n>2)成立的所有正整数n组成的集合.【答案】⑴a”=｛2n：］,b；：儿=G);(2)［3,4,5,6,7).【解析】(1)因为数列｛册｝的前〃项和为S”=层+1,所以当n=l时，ax=2：当nN2时，an=Sn-Sn_1=2n-1,故即二［。：1,n>2所以。2=3,的=5,从而。他3+a2b2+a3bl=14,化为2b3+3b2+5bl=14,又因为数列｛%｝为正项等比数列且比=Q1=2,设公比为q,且q>0,又2q2+3q-2=0,解得q=T或0=-2(舍)，从而bn=G)"1(2)当n>2时，不等式及>(含丫转化为2"-2<(n-I)2,即与半>1,记询=弊，7(2)=11"3)=2,/(4)=(/(5)=2,/(6)= *7)= f(8)=g,当nN4时，需=缶*6%=五餐<1，/(兀)单调递减，所以/5)<1因此使不等式与>(377y成立的所有正整数〃组成的集合为｛3,4,5,6,7｝..已知数列｛aj的前〃项和为S”,且2S“=30n-3.(1)证明数列｛册｝为等比数列，并求出数列｛册｝的通项公式；(2)设%=log3an,求数列｛与b｝的前"项和7\.【答案】(1)证明见解析，an=3n⑵仁+空产【解析】(1)当九=1时，由2sl=3@1—3可得%=3,

由已知2sli=3an-3,有25计1=3an+1—3,两式相减得20n+i=3%+i-30n，即即+i=30„,因为%=3,所以a71H0,所以,=3,所以数列｛询｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以%=371；(2)由(1)可得瓦=log?即=n,所以0nbn=n♦3兀,Tn=1x34_2x32-I-3x3^-I-...+nx3n,则37\=1x3?+2x33+...+(n-1)x3"+nx3n+1,所以-27\=3+32+33+...+3n-nx3n+1=。二讨"1_|,所以G=：+竺詈^..己知数列｛aj的前n项和Sn满足4an一2S”+数一3n—4=0,neN*.数列｛bj满足比=1,2nbn+i=anbn,nEN*.(1)求证：数列｛册-九｝为等比数列，并求数列｛即｝的通项公式；(2)求证：bn+1>勾23一器,n€N*.【答案】(1)证明见解析，an=2n+n(2)证明见解析【解析】(1)当n=1时，Q1=3;当九二2时，4即_]-2Sn__j+(n—1)2—3(H—1)—4=0,n€N*>所以4(%—%一1)—20n+2n—4=0»整理得0n=2%_】一九+2.所以%—n-2[on_]—(n-1)]»又(2]—1=2H0,故即-71Ho.所以“”告：-1)=2,即｛时—用为等比数列.所以册一兀=2",%=2“+71(2)由题意得儿+1=(1+^)b„,所以bn+i与儿同号，又因为瓦=1>0,所以bn>0，即bn+1—bn=/勾>0,即幻+1>b”.所以数列｛b｝为递增数列，所以bn>bx=l,即bn+i-bn=^bn>氤累加得伉,-b]>|+p-H +猊•.令Tn=(+*+…+品，，所以产n=去+,+…+M'两式相减得：=g+±+*+…+£彳一号= 3所以7n=2-翳，所以勾23-翳，所以儿+1>九23-翳•.已知数列｛册｝为等差数列，a2=3,a14=3a5,数列｛久｝的前〃项和为S”，且满足2S”=3%一1.(1)求｛0„｝和｛勾｝的通项公式；(2)若品=%-%，数列｛0｝的前八项和为7\,且7\-n•3"<(-1尸•m对neN*恒成立，求实数机的取值范围.【答案】(l)an=2n-l(neN+)；bn=G/V+)(2)ni€(—8,2)【解析】(1)解：等差数列｛%｝中,设公差为小则口2=3 aI+d=3J(a14=3a5 (fli+13d=3ar4-12dfai+d=3fai=1 ..x=|2%=4=。=2=%=2n-l(neN+)数列｛"｝中的前”项和为g,且2Sn=3b”-1①当n=1时，瓦=1当n22时，2Sn_i=3b『i-1②②一①得：bn=3ftn.1(n>2)故数列｛儿｝是以1为首项，3为公比的等比数列，所以b=3“T(n6N+).(2)解：数列｛0｝中，c„=a„b„=(2n-l)-3n-1.则7\=1x30+3x31+-+(2n-3)-3n-2+(2n-1)-3n-1所以37\=1x3】+3x3?+…+(2n-3)-3"-1+(2n-1)-3n故一2Tti=1+2(31+32+…+3n-1)-(2n-1)-3n=-1+2(3°+31+…+3n-1)1-3n-(2n-1)-3n=-1+2-----(2n-1)-3n=(2-2n)-3n-21-3所以7\=(71-1)・3"+1<(-l)nm>Tn-n-3n=l-3n对nEN*恒成立.当n为奇数时，(—1)"•m=-m>l—3n=^m<3n-l=^m<(3n-l)min=31-1=2,当n为偶数时，(—I)?-m= —3n=^m>(l-3n)max=1-32=—8综上：实数的取值范围为m£(—8,2).8.已知数列｛aj的前〃项和为S〃，at=-11,a2=-9,且

Sn+l+Sn-1-2Sn=2(n>2)(1)求数列Sn+l+Sn-1-2Sn=2(n>2)(1)求数列m”｝的通项公式;I(2)设以= ,数列｛加｝的前〃项和为7”,求使得ni>0的"的最大值.anan+l【答案】・13(2)5【解析】(1)由题意知(S〃+/-S〃)-(-5/?/)=2»解得，〃+/-以〃=2(论2),又-a1=2,所以｛07｝是公差为2的等差数列，则4〃=。/+(〃-1)d=2n-13；1 ill(2)由题知儿=(2n-13)(2n-ll)=2 - 则Tn=b,+b2+2-+bn-4--^ M2n-132n-11/1\271-1112n-11由7'n>°得TT+GG=m2/5<°，解得0<n<£,所以〃的最大值为5.9.已知数列｛册｝满足：Q1=1,02=2,(1)直接写出a3,a4,a5,Q6的值；(2)请判断。2021+02022是奇数还是偶数且Qn+2=%+1一%,册+1为偶数, 、、皿5=12…)2an+1-3azpc^+i为奇数并说明理由;(3)是否存在必使得册=2022?若存在，求出71的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)。3=1，。4=-4,a5=-5,a6=2；(2)是奇数，理由见解析；(3)不存在，理由见解析.【解析】(1)解：由题得。3=1,04=一4g=—5,。6=2.(2)解：。2021+。2022是奇数.理由如下：先证引理1：%的奇偶性与"相同.假设不满足引理1的最小正整数n=3即/的奇偶性与t不同，由(1)知tN7(也可以写t23这里是为了保证后面用到的—2为正整数).①若t为奇数，则有为偶数，。一2为奇数，进而有&=a.1-4-2为奇数，矛盾；②若t为偶数，则有。一1为奇数，4_2为偶数，进而有4=24_1-34_2为偶数，矛盾.所以假设不成立，引理1正确.进而有&2021+。2022为奇数加偶数，结果为奇数.(3)解：不存在，理由如下.先证引理2：当n为奇数时，即除以3余数为1；当71为偶数时，册除以3余数为2.假设不满足引理2的最小正整数n=3由(1)知tN7.①若t为奇数，则由(2)有为偶数且除以3余数为2,生_2为奇数且除以3余数为1>进而有4=a.1一a.2除以3的余数为1,矛盾；②若t为偶数，则由(2)有为奇数且除以3余数为1,4-2为偶数且除以3余数为2,进而有％=2/-1—3a.2除以3的余数为2,矛盾.所以假设不成立，引理2正确.假设存在n,使得册=2022,由(2)知，n为偶数，进而有时除以3的余数为2,而2022除以3的余数为1,矛盾.进而有不存在n,使得%=2022..设数列｛册｝的前〃项和为S”，ax=0,a2=1,nSn+1-(2n+l)Sn4-(n+l)Sn_i-1=0(n>2).(1)证明：｛册｝为等差数列；(2)设h=2%，在%和0+1之间插入〃个数，使这n+2个数构成公差为d”的等差数列，求｛擀｝的前”项和.【答案】(1)证明见解析(2)r„=6-(n+3)(y1【解析】(1)证明:因为心2时,nSn+1-(2n+l)Sn+(n+l)Sn_j-1=0,则n(Sn+i-Sn)-(n+1)(S„-Sn_t)-1=0,即n%+i—(n+l)an—1=0,n>2,,

因为—2al-1=0>,则ncin+i-(n+l)an-1=0,nGN* ①,所以(九一l)an-nan_1-1=0,n>2 ②,则①一②得riQn+i-2nan+nan_x=0,n>2,BPan+i+an-i=20n,〃)2,♦所以｛Q“｝为等差数歹|J.(2)解：由(1)可得｛aj的首项为=0，公差为。1=1，所以即="—1，所以瓦=2bn+1-bn=bn+1-bn=2n-21

n+ln+12广1n+l记｛十｝的前n项和为7\,则Tn=2O+3.g)1+4-g)2+.•.+("+1)(旷………①，所以篇=2.窃+3.g)2+4.g)3+-+ng)"1+(n+l)g)"………②，则①-②得篇=2+G)+GF+…+®1-(n+l)g)n»-所以=1■-5+1)(3=3-(n+3)G)，・1-2所以7\=6_01+3)(9"一).记AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,点。在边4c上，且满足DB:DADC=2:3:4,AABC的面积S=叩：si叫(1)证明：2b2=7ac⑵求cos4ABe【答案】(1)证明见解析(2)_g或号【解析】(1)点。在边AC上，且满足。8:。4:0。=2:3:4,所以08=：4DA=^b,DC=^b9S=|acsinB=故ac=1b2,即2b?=7ac；(2)由图可知cos/lADB+cos/lCDB= —―+"力步)—=0，2X?X” 2Xy6Xyi)可得3a2—8ac+4c2=0,解得Q=2c或Q=|c,1。当。=2。时，b2=\ac=7c2,cos乙4BC=⑵)“…7<]=一&2 2x2cxc 22。当a=：c时，b2=7ac=coszMBC=闲]:中=一马3 2 3 2xyxc3综上所述cosZ.ABC=-(或一.△ABC的内角48、C的对边分别为a、b、c,已知acosB=V^bsinA(1)求角8的大小；(2)从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△4BC的面积.条件①：a=3：条件②：b=2鱼；条件③：cosC=-；：④c=2【答案】(1)B=?(2)答案见解析【解析】(1)由qcosB=百戾访4和正弦定理得sinAcosB=V3sinFsin/l,因为0V4V7T,所以sirii4H0,所以cosB=y/3s\nB>0»tanF=乎，因为OvBVn,所以B屋.(2)若选条件①：a=3；条件②：bS由(1)8=*由余弦定理得(2何2=32+c2-2X3cX手，解得C=空磬，因为答案不唯一，所以舍去.若选条件②」=2a；条件③：cosC=-/由(1)B=/因为cosC=—0<C<n>所以sinC=它，3 3由正弦定理得?=平，解得c=迪，T2 3由余弦定理得（警）2=8++2x2&ax：，解得a=犯咚史，TOC\o"1-5"\h\z则^ABC的面积为S=-absinC=迎13；2 9若选条件①：a=3；条件③：cosC=—由（1）8二士3 o因为cosC=-g,0<C<tt,所以sinC=g，所以sin4=sin（7r—B-C）=sinBcosC+cosBsinC=|xf-0+yXy=由正弦定理得关•=』?，解得C=3。6+124,~ ~6~ 11则4ABC的面积为S=-absinC="屈2 22若选条件①：a=3；④c=2,由（1）B=±O则^ABC的面积为S=jacsinB=|.若选条件②：b=2々：④c=2,由（1）B=‘，由余弦定理得（2鱼）2=4+a?—2x2qxF，解得Q=V34-V7,TOC\o"1-5"\h\z则448C的面积为S=-acsinF=-x2x（V3+V7）xi=2 2 1 7 2 2若选条件③：cosC=-1；@c=2,由（1）8=£3 o因为cosC=-g,0<C<71,所以sinC=3，所以sinA=sin（n-B-C）=sinBcosC+cosFsinC=1x^-|j+-yXy-=由正弦定理得看=盛工，解得a=逋二阻T-6- 5则4/BC的面积为S=-acsinB=-x2x"彳-2'号x1=5\?-2、亏2 2 5 2 10.在①Q=V7,②ZC边上的高为速，③sinB=坦这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解2 7答.问题：记△4BC内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知41=60。，c=b+l,.⑴求c的值；（2）若点。是边BC上一点，且UDB-n4BC=W，求力。的长.【答案】（l）c=3

(2)2【解析】(1)解：选条件①：a=V7,c=b+l，由余弦定理cos4="+"2=则/+b-6=0,2bc2解得b=2,则c=b+l=3；选条件②：4c边上的高为也，2由三角形的面积公式gb(b+l)sin4=乎6,解得b=2,c=3.选条件③：sinB=亨，由题意可知BVC,所以cosB=\/1-si所8=〔1-竺,TOC\o"1-5"\h\z\ 7 7因为4+B+C=n,sinC=sin(i4+8)=sin4cosF+cosAsinB,VI2V7,1V213V21=—x 1-x—= ，2 7 2 7 14由正弦定理得器=3即备=含14解得b=2,c=3.(2)选条件①:因为乙408—4ABC=三，所以乙4。8=乙48。+或

cos8="*=立学=竺2ac2xg37sinB=Vl-cos^==sinB=sinB=vl-cos2F=4 4 V211 = 7 7则则siSB=si"+"=亨x"察卜粤由正弦定理笺=sineABgABsinB由正弦定理笺=sineABgABsinB——,AD=-~~—sinz.ADBsinz.ADB3*浮i^r=2-—选条件②;选条件②;因为〃DB因为〃DB-/.ABC=j,所以4ADB=UBC+g,层+c2T2层+c2T2cosB= 2ac7+9-42V72x77x3-7贝UsinUCB=sin(〃BC+?=苧x"当x苧=等'由正弦定理黑=—4族，AD=色喘=京=2sinFsinZj4D8 s\n^ADB 3V2114选条件③:c.z4HD、ADr_1_n\何277sz6 3V21s\nZ-ADB=s\n(Z-ABC+-)=x-4--y-x-=由正弦定理黑==2.AB.AABsinB ATj— — sinZTlDB, sinz.ADB由正弦定理黑==2.14.在△ABC中，V3sin(B+ =-cos(B+7).(1)求8的值；(2)给出以下三个条件：①a2-/+c2+3c=0：②a=遮，b=l：③Sa4bc=^，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sinA的值；(ii)求N/6C的角平分线8。的长.【答案】(1)B=g；(2)(i)sin/1=—.(ii)BD=^.14 o【解析】⑴由题设V5sin(B+7)+cos(B+7)=2sin(B+J)=0,而三<B+g<Ro o 0 3 3 3所以B+g=",故8=弓.(2)若①②正确，则c?+3c+2=(c+l)(c+2)=0,得c=-l或c=-2,所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，若②③正确，则SuBc=gabsinC=竽，可得sinC=£>l,即②为错误条件；综上，正确条件为①③，(i)由2qccosB=a24-cz—b2»则c(3—a)=0,即q=3,又S“abc=gacsinB= 可得c=5,所以9—〃+25+15=0,可得b=7,则24=三=/故sin4=%，s\nAs\nBv3 14(ii)由角平分线的性质知：40=沃7=当且乙48。8 8 J15.在AABC中，角45,。所对的边分别为mb,c.在①加osA+acosB=2ccosC,②(q+b+c)(q+b-c)=3ab,③cos2C+cosC=0中任选一个，(1)求角C的大小；(2)若c=2,求△ABC周长的最大值.【答案】(1)C=?(2)6【解析】(1)选①bcosA+acosB=2ccosC,得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC.\sin(/l+8)=sinC=2sinCcosCVCe(0,7T)/.sinCH0cosC=-(0<C<7T)=>C=^选②(q+b+c)(a+b—c)=3ab=(a+b)2—心=3abc2=a2-hb2-abVc2=a24-b2-labcQsCcosC=1(0<C<7T)=»C=y选③cos2c+cosC=0=2cos2c+cosC—1=0=(2cosC—l)(cosC4-1)=0又0VCVTT所以cosC=p所以C=g(2)由余弦定理知：c2=a2+b2-2ab-cosC=a2-I-62-ah=(a4-h)2—3ab由基本不等式知：abw所以c?=(a+b)2-3ab>(a4-b)2-1(a+b)2=1(a+b)2所以：q+b42c=4(当且仅当a=b时，等号成立)，所以q+b+cW6综上：A/HC的周长的最大值为6.16.在①2bsinC=V5ccosB+csinB，②=丁一两个条件中任选一个，补充在卜'面的问题中，并解答该cose2a—c问题,在△ABC中，内角4、8、C所对的边分别是a、b、c,且.⑴求角B；(2)若a+c=6，点。是4c的中点，求线段BC的取值范围.【答案】(1)条件选择见解析，B=g⑵修)【解析】⑴解：选①，由2bsinC=\/3ccosB+csinB及正弦定理可得