安徽省江淮十校2023届高三上学期9月第一次联考数学试题（含答案与解析）

江淮十校2023届高三第一次联考试题注意事项:.本试卷满分150分，考试时间120分钟..答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1,已知集合A=k€N|lnx<l},U={-ZT(U2},则4A=()A.{1,2} B.{-2,-1} C.{0,1,2} D.{-2,-1,0)TOC\o"1-5"\h\z.已知瓦5均为单位向量，且(2G-6)_l5,贝iJ|G+6|=( )A.1 B.6 C.2 D.3.已知"口=i,则复数5的虚部是()+zA.-1 B.-i C.1 D.i.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡：再将5克的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（ ）A.大于10克 B.小于10克C.等于10克 D.不能判断大小.已知正项等比数列｛《,｝的前〃项和为S“，前〃项积为7；,满足6=』,2。2=53-3卬，则7；的最小值8是（）.在正方体中，则下列判断错误的是（）A.平面 B.平面AG。〃平面AC4C.直线过的垂心 D.平面与平面A8CO夹角为45°.已知《，工分别为椭圆土+上=1的左右焦点，点尸为椭圆上一点，以尸2为圆心的圆与直线P耳恰好4 2相切于点P,则/「£工是（）A45° B.30° C.60° D.75°.已知函数〃x）是R上的奇函数，且/（x+3）=-f（x）,且当xe（o,|时，f（x）=2x-\,则f（—2021）+/（2022）+f（2024）的值是（）TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.-1 C.O D.-3.已知在菱形A3CO中，A8=2,NA=60°,把△AB。沿80折起到aABD位置，若二面角4一8。一C大小为120。，则四面体A8CD的外接球体积是（）人7 口28 28a 八7&TA.-71 B.—71 C. 7l D. 7t3 3 27 27.下列四个不等式中，成立的个数是（）@ln3<-In2；②In%<J工；③4代<12；@e0,1>VL2；2 YeA1 B.2 C.3 D.4.已知函数f（x）=cos|x|-2|sinx］,以下结论正确的是（）"2n'A.兀是f（x）的一个周期 B.函数在0,—单调递减C.函数f（x）的值域为［-6』］ D.函数f（x）在［-2兀,2兀］内有6个零点.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A，&和A,表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A.P（B|4）=\ B.事件A与事件B相互独立/ 、］ 3C.。（阉町=5 D.P（B）=-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.在12五-十J的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为..安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多.某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有 种..已知抛物线y2=8x的焦点为凡过点尸的直线交抛物线于4,8两点，延长E6交准线于点C,分别过点A,8作准线的垂线，垂足分别记为M,N,若|5。|=2|四V|,则的面积为..若不等式e*N(a+l)x+8对一切xeR恒成立，则(。+1)方最大值为.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).已知数列｛。“｝满足：=1,0,=3,2(an+l+1)=an+an+2,neN*.(1)证明数列｛。向一q｝为等差数列，并求数列｛为｝的通项公式.(2)若%= ,证明：—+—+,,•+—<1.I4)c,c2c“.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为抬，且满足4GsinBcosC=2a-c-(1)求角艮(2)若AC边上的中线长为2,求aABC的面积和周长.2(1)求证：平面8CO_L平面A8.1T(2)E为线段AC上的点，若EO与面BCD所成的角为自，求CE的长度.620.华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”.通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走.不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解4x4数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解4x4数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者.(1)小明一周训练成绩如表所示，现用y=3x+d作为经验回归方程类型，求出该回归方程.第x(天) 1 234567用时y(秒)105844939352315(2)小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利概率是0.6,在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7,若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5,比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少.参考公式：对于一组数据(%,片),(%,%)，•••，(““，丹)，其回归直线；=&+血的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：方=J ，a=v-pu1=17 7参考数据：Z#=14。，Zx/=994i=\ i=l.已知双曲线C:「一£=l(a>0/>0)过点(2,2),且离心率为6.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线/是圆0:丁+丁=4上的动点P(%,％)(%%彳。)处的切线，/与双曲线C交于不同的两点A,B,证明：以A8为直径的圆过坐标原点..已知函数/(x)=x-ld (agR).ex(1)当a=l时，求f(x)在点(1,/。))处的切线方程.(2)若g(x)=ei/(x-l)+x(l—Inx)在xe[l,+8)时有两个零点，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)a•在人A=[xwN|lnx<l),U=f-2,-l,0,l,2}nlA4=,、.已知集合 I1 ,x f,则①()A.{1,2} B.{-2,-1} C.{0,1,2} D.{-2,—1,0)【答案】D【解析】【分析】由对数的性质化简集合A,再由补集的定义求解即可【详解】由lnx<l得0<x<e,所以A={xeN|lnx<1}={1,2},又因为U={-2,-1,012）,所以得A={-2,-1,0}.故选：D.已知1,5均为单位向量，且（2G-5）J_5,则|5+b|=（）A1 B.石 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算性质及向量垂直的数量积表示即可得解.【详解】由（22-5）J_5得（（2万-1）石=0,即2万万一房=0,因为无6均为单位向量，所以21名=庐=1，因为|±+3『=3+&2=12+2万万+户=3,所以|1+5|=石.故选：B.已知幺二l=i,则复数5虚部是（）1+zA.-1 B.-i C.1 D.i【答案】A【解析】【分析】设2=。+力，根据复数的运算法则，得到复数z,从而得到其共扼复数1的虚部.2z-I【详解】设2=。+为，由 =1得2（。+〃）-1=i（l+a-历），即2。-1+2为=方+（a+l）i,+z所以2。-1=〃且2b=a+l得。=18=1,所以z=l+i，从而W=l-i・即虚部-1故选:A.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的磋码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（）A.大于10克 B.小于10克C.等于10克 D.不能判断大小【答案】A【解析】【分析】设天平的左右臂长分别为私〃（切工〃），第一次加黄金x克，第二次加黄金y克，则根据物理知识可得5m=xn,叼=5〃，根据基本不等式可得x+y>10克.【详解】设天平的左右臂长分别为利〃），第一次加黄金x克，第二次加黄金》克，则根据物理知识可得5加=刈，且（5+y）帆=（x+5）”,即冲=5",所以》+丫=阴+2=5（%+3）25乂2、叵工=10,当且仅当加=〃时等号成立，nmnm\nm因为m所以等号不成立，所以x+y>10克.故选：A【点睛】易错点点睛：本题在利用基本不等式时，容易忽视等号成立的条件导致错选C.5.已知正项等比数列｛4｝的前“项和为S"，前“项积为］，满足4=：,24=S3-3“，则1的最小值O是（）1111A.— B.— C.— D. 16 32 64 128【答案】c【解析】【分析】由等比数列的通项公式与求和公式求出公比q,进而即可求解【详解】设公比为q（显然qxl）,由2%=S,-3al得2%q=〜’-3al，1-«7即「一4一2=0,得4=2或一1（舍去），所以｛“"｝递增且。|=可,%，=1,。5=2,所以。最小值为一X—X—X1= .842 64故选：C6.在正方体ABCO-ABiGA中，则下列判断错误的是（）A.平面AC4 B.平面AG。〃平面ACqC.直线8"过aAG。的垂心 D.平面AC4与平面ABC。夹角为45。【答案】D【解析】【分析】由题意可得用C_L6£>|,AC1BD｝,进而得8。，平面ACg,从而判断A正确；由AG〃AC4。〃与C,进而得平面〃平面AC耳，从而判断B；由三棱锥。一AG。为正三棱锥，可得直线8"过的垂心，从而判断C：连接8。交AC于。点，连接耳。，则可得NB08为平面AC4与平面A8CD的夹角，在Rj用BO中计算tanNBQB的值，从而判断D.【详解】解：由BC,1B,C,DtC,1B,C,得B,C1平面，所以B,C1BD）,同理可得所以平面AC4，故A正确；由AG〃AC,BC，得平面AG。〃平面AC与，故B正确；因为三棱锥。一4G。为正三棱锥（或由RA，QD，AG两两垂直）得直线8。过的垂心，故C正确；连接8。交AC于。点，连接片。，由40，AC,B0，AC,得/与08为平面AC与与平面ABC。的夹角，故选：D.2 2.已知£,工分别为椭圆二+匕=1的左右焦点，点P为椭圆上一点，以尸2为圆心的圆与直线「耳恰好4 2相切于点P,则NPK工是（）A.45° B.30° C.60° D.75°【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义，设归同=/,得|P制=4t,结合圆的几何性质列方程，从而求得/,然后求得NPK人.【详解】依题意a=2,b=c=J^,设由椭圆定义得|P4|=4-7,由于以F2为圆心的圆与直线P耳恰好相切于点P,所以|尸耳『+归用2=］耳用2,即（4—）2+产=（20）2=8，整理得产一射+4=0,得f=2,得|P周=|尸玛所以/尸耳巴=45。.故选：A.已知函数〃x)是R上的奇函数，且/(x+3)=-/(x),且当xe(0,|时，f(x)=2x-\,贝ij/(一2021)+/(2022)+/(2024)的值是()A.2 B.-1 C.O D.-3【答案】A【解析】【分析】先由/(x+3)=-/(x)可得f(x)的周期为6,再结合f(x)为奇函数，可得f(x)的对称轴，然后对/(-2021)+f(2022)+/(2024)化简计算即可.【详解】解：因为函数/(x)是R上的奇函数，所以/(0)=0,由/(x+3)=-/(x)得，/(x+6)=-/(x+3),所以y(x)=/(x+6)所以函数/(X)为周期函数，周期为6,所以/(一2021)=/(-5)=/(1)=1,/(2022)=/(0)=0)(2024)=/(2),由函数fM为奇函数，得/(x+3)=-f(x)=f(-x),得函数f(x)图象关于x==对称，即/(2)=/(1)=1,2所以/(一2021)+/(2022)+/(2024)=2/(1)=2.故选：A9.已知在菱形ABC。中，A8=2,NA=60。，把△ABO沿6。折起到aABO位置，若二面角A—8£)—C大小为120。，则四面体A8CO的外接球体积是()人7 28 28721 八7721A.-71 B. K C. D. Ji3 3 27 27【答案】C【解析】【分析】先找截面圆的圆心，过圆心作截面的垂线，球心在垂线上，找到球心再利用勾股定理即可得到答案.【详解】设aABO的外接圆圆心为a，△BCD的外接圆圆心为。2，过这两点分别作平面aAb。、平面△BCD的垂线，交于点O,则。就是外接球的球心；取80中点E，连接OiEQFQEQC,

因为O2E1BD,所以NQEO?=120°,因为^ABD和△BCD是正三角形，所以02七=0|£：=4，由AA'BZ泾△BCD得ZOEO,=60°,所以OQ=1由OC?=OO；+CO；=l+］¥=1.即球半径为所以球体积为q7/?3=空旦万.3 27故选：C..下列四个不等式中，成立的个数是（）®ln3<-1ln2；②In/r<g；③4力<12；®e0J>VL2；A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】构造函数/（工）=色土，然后根据函数f（x）的单调性逐一判断即可.XTOC\o"1-5"\h\z【详解】设/。）=电三"'。）=匕坐，得〃X）在（o,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减；X X,In3In4ln2…一3,- 「由一>——=——得In3>—ln2,故①错误；3 4 2 2.\n\/7rInVeZH,［jr 上拄、口由一r=r->——，得，故②错法；V/rVe Ve由电^^>吧=出得号2>m2,从而inl2>Jf^ln2，即12>2炳=4^，故③正确;V12 4 2 V12因为e、Nx+l,在x=0处取等号，所以故④正确.故选：B..已知函数/（*）=8$次|一2向11%|,以下结论正确的是（）A.兀是A.兀是f（x）的一个周期B.函数在0,—单调递减C.函数/（x）C.函数/（x）的值域为［-逐』］【答案】CD.函数/（X）在［-2兀,2兀］内有6个零点【解析】【分析】对于A,根据/(：+兀即可判断；对于B,当xe0,y将f(x)化简，然后检验即可；对于C,求出函数f(x)在一个周期［0,2兀］的值域，先求当xw［0,兀］,再求当》引九,2冗］的值域即可判断；对于D,根据函数f(x)为偶函数，可通过区间［0,2兀］上零点个数从而确定其零点个数.【详解】因为/［：+兀］所以A错误；当xe0,^,/(x)=cosx-2sinx=>/5^-^cosx--^sinx^=>/5cos(x+^),其中］ . 2 兀兀 27rcos(p= ,sincp= ,不妨令。为锐角，所以不<夕<5，所以夕Kx+04—+夕，因为271—+/>兀，所以B错误；3因为2兀是函数/(幻的一个周期，可取一个周期［0,2汨上研究值域，当工£［0,兀］,/(x)=cosx-2sinx=cosx-^sin,/(x)=cosx-2sinx=cosx-^sin,)=&COS(X+(P)(p<X+(p<7l+(p,所以a/5cos7t</(x)<>/5cos^.bpy(x)e［-75,11；因为f(x)关于x=兀对称，所以当》《［兀,2兀］时/(x)e［-右,1］,故函数〃x)在R上值域为［一石,1］,故C正确；因为函数f(x)为偶函数，所以在区间［-2兀,2兀］上零点个数可通过区间［0,2兀］上零点个数，由y=sin|x|,y=2|cosx|在［0,2兀］图像知由2个零点，所以在区间［一2兀,2兀］上零点个数为4个，所以D错误.故选:C.12.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A，4和&表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件：再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A.P(8|/Q=A B.事件4与事件B相互独立I 3C.P(A⑻=5 D.P(B)=-【答案】D【解析】【分析】A选项，根据题意求出p(8|4)=r,判断A选项；3 ,、/、 /B选项，利用全概率公式求出P(B)=历，得到P(8)P(A)/P(8A)，判断事件事件A与事件B不相互独立，得到D选项正确；C选项，利用条件概率公式求解即可.【详解】由题意得M到A)=——-——=2,所以A错误；因为p(Ma)=2，p(b)=p(a)p(b|A)+p(4)p(用4)+p(4)p(Ma)=而x1T+市x^+而*了=历,所以P(B)hP(邳A),即P(8)P(A)HP(%)，故事件事件A与事件8不相互独立，所以B错误，D正确；53小叶嗡^吗卡二曾亮‘所以C"；10故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在(2五-+)的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为.【答案】1120【解析】【分析】由二项式系数的性质先确定〃的值，再由展开式的通项公式即可求解【详解】由(2«-十)的展开式中只有第5项二项式系数最大得〃=8,所以展开式通项为4m=C；(2爪广［一十)=媒(一碟28Txi,当k=4时常数项为C；(-l)“24=1120.故答案为：1120.安徽省地形具有平原、台地(岗地)、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多.某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有 种.【答案】210【解析】

【分析】先确定6个班级中有2个班级去黄山的情况，接下来4个班级，分两种情况进行求解，最后再计算出恰好有2个班级选择黄山的方案种类.【详解】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有C；种情况，接下来4个班级可分为两种情况：第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有C；C；种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有2C：种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有C：（C；C；+2C；）=21O.故答案为：210.已知抛物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,8两点，延长EB交准线于点C,分别过点A,8作准线的垂线，垂足分别记为M,N,若18cl=2|BN|,则△AfM的面积为.【答案】166【解析】【分析】根据抛物线方程求出P，利用|8。|=2|叫7|及抛物线的定义求出|。尸|,再由比例关系求出等边△4根的边长，利用面积公式即可得解.【详解】由V=8x知，，=4,R（2,0）,准线方程为x=-2,如图，因为|3C|=2|3N|,所以NBC/V=30°,所以NCW=60°；连接又I4WRA产|,所以A4FM为等边三角形，因为I8NRB尸所以18cl=2|8尸得第1=穹=；,得|BN|=| ,41cAi3 3所以|CFRCB|+|BF|=3|BF|=8,4\AM\\CF\两IS4\AM\\CF\两IS\CF\+\AF\88+1AM|,解得|AMRA用=8,所以S44FM=||AF||AM|sin60°=1x82x^y=16V3.故答案为：.若不等式6'2（。+1比+少对一切工6区恒成立，则（a+l）A的最大值为【答案】-2【解析】［分析】将不等式e*>(a+\)x+b对一切xeR恒成立转化为［e，-(a+Dx+b］的>0,再利用导数法求函数的最值问题即可求解.［详解］令/(x)=ex_(a+l)x_b得/'(x)=e<_(a+l),当a+lWO时，/'。)>0得f(x)在R上单调递增，当X-—8时，/(工)->-00与/*)之。矛盾.当a+1>0时，f\x)>0=>x>ln(a+l),/r(x)<0=>x<ln(tz+1),当x=］n(a+1)时，/z(x)min=h(a+1)=(a+l)ln(a+l)-/?>0,(a+1)〃<(a+1)2-(a+1)2ln(^+l)(a+l>0),令F(x)=x2-x2lnx(x>0),则F(x)=x(l-21nx),Ff(x)>0=>0<x<>/e,F\x)<0=>x>Ve,所以函数在(0,正)上单调递增，在(、2,+0。)上单调递减，当彳=人时，噎x（X）=|，当a= —T,b=—士时，（a+1）分的最大值为彳.2 2故答案为：—.2三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.已知数列｛”“｝满足：at=l,a,=3,2（a,l+1+1）=an+an+2,neN*.（1）证明数列加向-。“｝为等差数列，并求数列｛《,｝的通项公式.（2）若c“+ 证明：一+—+…+—<1.I4；G。2c.【答案】（1）证明见解析，neN',a„=n2-n+l（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义证得数列｛。田-。“｝是以2为首项，公差为2的等差数列，进而结合累加法即可求出数列｛《,｝的通项公式；1 1 1（2）裂项相消法求出一+—+~+一,即可证出结论.C\C2 Cn

【小问1详解】由4—4=2,(a,.一/+J一(q+i一4)=2，故数列｛““+「4｝是以2为首项，公差为2的等差数列,a〃+1 =(%—aj+(〃-1)x2=2〃,4=(a〃_a,i)+(a,i_々〃一2)+・・・+(%-4)+4=2(〃-1)+2(〃-2)+・・・+2+1当〃=1时，4=1满足—〃+1,故对〃eN”,〃〃=〃2-〃+1.证明:1故一H +…证明:1故一H +…d =1 1 1 + + +.••+ =1 <1133579 2n-\2〃+1 2〃+118.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为G，且满足4\/3sin8cosC=2a-c-(1)求角艮(2)若AC边上的中线长为*,求△45C的面积和周长.2TV【答案】(1)B=|(2)S6ABe=2指,周长为3+屈・【解析】【分析】(1)利用外接圆的半径为G，将4jisinBcosC=2a-c化为乃cosC=2a-c,再根据正弦定理及两角和的正弦公式化为cosB=J,然后根据角8为三角形的内角可求出结果；2(2)设。为AC边上的中点，利用余弦定理和cosNAZM+cosNB£)C=0可求出/+c2=]7,利用余弦定理。2=c2+a2-2qccos8,求出ac=8,利用三角形的面积公式可求出三角形ABC的面积.由9=。2+/—ac及ac=8可求出a+c=y/33，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】由外接圆半径为6得8=2百sinB，由4百sin8cosc=2a-c，得2Z?cosC=2«—c,

利用正弦定理得：2sin8cosc=2sinA-sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)—sinC,化简得sinC=2sinCeosB,由C为aABC的内角，得sinC#O,可得cos5=',2又B为aABC的内角，所以B=1.【小问2详解】由正弦定理得：-2—=26=>。=3,sinB3 5设。为AC边上的中点，则AO=—,3。=一,2 2A259 2--c在中，cosZADB=4/,因为NAD8+NBDC=7t,所以cosNAD3+cosNBDC=0,可得q2+c2=17，由余弦定理〃2=c2+a2—2accosB，即9=c?+〃2—au，qc=8,由三角形面积公式得：^4-sinB=2^，由9=。2+。2一砒，得（a+c>-3ac=9,得a+c=届，所以周长为3+屈.6OJ_CD且19.在三棱锥A—3C。中，aABC的面积为且，点。为8c的中点，6OJ_CD且2 3BD=CD=\、AD=RA(1)求证：平面平面AO£).(2)E为线段AC上的点，若与面BCD所成的角为求CE的长度.6【答案】(1)证明见解析(2)1【解析】【分析】(1)首先求出BC,再由面积公式求出AC,即可得到aABC为正三角形，从而得到AOA.BC,BC,即可证明BCL平面AQ£>,从而得证；(2)作DO,交。。的延长线于点〃，即可得到AHJL平面8CO,即可求出A“，再过点E作EFLCH,垂足为F，则NEDF就是ED与平面所成的角，设。后=》(04》40),根据三角形相似及锐角三角函数计算可得.【小问1详解】证明：•••BOLCO且80=8=1,二8C=&，又NAC8=。，由Svabc=，AC,BC-sinZACB，可得且=1•AC•正•且，2 2 2 2解得AC=&，则AC=8C，所以aABC为正三角形，所以AO_LBC；因为5。=CD,BO=OC,所以OD八8C,因为AOcOD=O,AO,OOu平面AQ0,所以BC_L平面A8,因为BCu平面BCD,所以平面BCDJ■平面A。。.【小问2详解】解:作A”八DO,交。O的延长线于点H,因为平面5C£>_L平面A8,平面BC£)n平面=AHu平面A8,所以AHJL平面8C£>，BCu平面BCD,所以AHJ_”C,在直角三角形BCD中，od=Lbc=^,2 2cosZADOcosZADO=AD2+OP2-AO2

2ADOD,2xgx也2xgx也33+2~2在直角三角形AHD中，AH=ADsinZADO=V3x—=3HD=\/aD-AH2=>/3^T=a/2-过点E作砂_LCH，垂足为尸，则即〃AH,所以EF_L平面BCD，所以NEDF就是££)与平面BCD所成的角，2丁 小//小EFCE俎SAHCEX&lxCE=x(0<x<v2),ffl =,Er— — -x»AHAC \C\J2. 2由AD?=AC2+c。？，得ac_lcd,在直角三角形CDE中，DE=yjc^+CDr=&+1，女—X因为E£)与平面BCD所成角为30°,所以Ef_q_1,即x=l,即CE=1.£D'V?7T-2即在线段AC上是存在一点E，使E£)与面38成30°角，且CE=1.20.华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”.通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走.不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解4x4数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解4x4数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者.(1)小明一周训练成绩如表所示，现用丁=八+&作为经验回归方程类型，求出该回归方程.

第X（天）1234567用时y（秒）105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6,在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7,若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5,比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少.参考公式：对于一组数据（%，匕1生,%），…，。，匕），其回归直线）=&+应的斜率和截距的最小二乘估计公式分别：2 ，a=v-fiu/=17 7参考数据：»；=140,Zx/=994i=l i=l【答案】(1)y=-14.5%+108（2）0.6855【解析】【分析】（1）先求出冗9，套公式求出8和6,得到回归方程；（2）记小明获胜时比赛的局数为X,则X的可能取值为3、4、5.分别求出其对应的概率，利用概率的加法公式即可求解.【小问1详解】由题意，根据表格中的数据，可得x=1(14-2+3+4+5+6+7)=4,7=y(105+84+49+39+35+23+15)=50,7 7 .Zx,y,-7xy7 一(=1994-1400 … =-14.528因此y关于x的回归方程为：y=-14.5%+108.【小问2详解】记小明获胜时比赛的局数为X,则X的可能取值为3、4、5.p（X=3）=0.6x0.7x0.7=0.294,P(X=4)=0.4x0.5x0.7x0.7+0.6x0.3x0,5x0.7+0.6x0.7x0.3x0.5=0.224P(X=5)=0.6x0.7x0.3x0.5x0.5+0.6x0.3x0,5x0.3x0.5+0.6x0.3x0.5x0.5x0.7+0.4x0.5x0.5x0.7x0.7+0.4x0.5x0.3x0.5x0.7+0.4x0.5x0.7xO.3xO.5=O.l675.P,,m=0.294+0.224+0.1675=0.6855.'J、明状2 221.已知双曲线(7邑-齐=1(a>0/>0)过点(2,2),且离心率为5(1)求双曲线C的方程.(2)设直线/是圆O:f+y2=4上的动点/>(%,%)(/%/())处的切线，/与双曲线C交于不同的两点A,B,证明：以A5为直径的圆过坐标原点.2 2【答案】(1)二一匕=12 4(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据双曲线的基本量关系求解即可；(2)解法1：先求得圆在点△(/，九)处的切线方程为％x+y0y=4,再代入双曲线方程化简可得(为2+4)(，]+2,xQy0'—+(Xq2—8j=0>再设/4(内,凶),8(%2，%)，根据韦达定理代入求得kOAk()B=-1证明。4_L08即可；解法2：同解法1,联立直线与双曲线的方程得(3x02-8)x2-8x0x+32-4x；=0,再结合韦达定理计算可得方•砺=0证明即可.【小问1详解】由题意得：£=G，故C?=3/="+力2,故62=2/.a44 4 4 r2v2又过点(2,2)可得二一7T=1,即二—二=1,解得/=2,〃=4,则双曲线C的方程为二一2-=1a2b2 a22a2 24【小问2详解】解法1：因为点？(%%)(毛%¥°)在圆V+y=4上，所以圆在点P(线，几)处的切线方程为y-y0=-^-(x-xQ),化简得占"+%丫=4.则直线/的方程为xx0+yy0=4,代入双曲线C的方程2/一y2=4,变形为4(2--/)=(/+yy0)2,整理得(y02+4)9+2xoyoxy+(V-8)x2=0等号两边同除以Y(x2h0),得到(%?+4)[?)+ ,9+(*()2-8)=0.

设A(x[,y)，W孙％)，则kM="必=44=("々2二8=_1,为W%+4 %+4故Q4_LO8,即以A8为直径的圆过坐标原点.解法2：因为点？5，%)(%%彳。)在圆/+尸=4上，所以圆在点尸(％,人)处的切线方程为丫一为二一一1^-%),化简得XoX+x°y=4%(2 2x__y_=i2 4 及X：+y(；=4得(3xO〜—8)X?—8xox+32-4x；=0,/x+%y=4・・•切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<与2<4,・•・3%2-8/0,且△=64x02-4（3x02-8）（32-4x02）＞0,设A、8两点的坐标分别为（3,%）,（9,%），e 8xn32-4x02则+“=而手中2=30二8，则OA•OB=x）x2+X必=x\xi+