北京平谷区2022届高三零模数学试卷（解析版）

平谷区2021-2022学年度第二学期高三年级质量监控

数学试卷2022.3注意事项L本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共4页.共150分，考试时间为120分钟..试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效..考试结束后，将答题纸交回，试卷按要求保存好.第I卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，一个选项符号题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）.已知集合人={川0<%<3},且AcB={l},则集合8可以是（）A.{x|x<l} B. C.1-1,0,1） D.|x|x>l|【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算，将选项逐个代入进行排除即可.【详解】对于A：Ac8={x[0<x<l},故A错；对于B：Ac8={x|0<xW1},故B错；对于C：Ac3={l},故C正确；对于D：AnB={x|l<x<3},故D错故选：c2.在复平面内，复数z=-7，则Z的虚部是（）+1A.-1 B.1 C.2 D.-2【2题答案】【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法解题即可.2 2(1-1) 2-2i,.【详解】由题2=「=4777"4=丁—=1-1，所以z的虚部为-1，1+1(l+i)(l-i) 2故选：A.下列函数中，定义域为R的偶函数是()]A.y=2* B.y=|tanH C.y=— D.y=xsinx【3题答案】【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A,根据指数函数的性质知，函数y=2*为非奇非偶函数，不符合题意；对于B,函数/(x)=陶可满足/(-力=211(-何=1311(刈=〃力为偶函数，但定义域为{xlxH1+k乃,kez},不为R,不符合题意；对于C,函数'为偶函数，但定义域为{x|x#O},不为R,不符合题意；对于D,函数y=xsinx,定义域为R,且满足/(70=一心皿一力=4皿%=/3)为偶函数，符合题意.故选：D..已知a<b<O<c,下列不等式正确的是()A.->y B.a2<c2 c.2a<2r D.logt.(-a)<log(.(-/?)ab【4题答案】【答案】C【解析】【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令。=-2,。=1即可判断正误；C根据指数函数的单调性判断大小关系；D令c>l,利用对数函数的性质判断即可.【详解】A：I，/一"又。<人<0,则从-/(o，">0,故即2<@,错误；abab ababB：当a=-2,c=l时，/<c2不成立，错误；C：由。<0<c,则0<2"<l<2,，正确;D：由a＜b＜0,即一a＞—力＞0,当c＞l时有log,.（-a）＞log«（-。），错误.故选：C.设抛物线的焦点为产，准线为/,抛物线上任意一点M.则以点M为圆心，以为半径的圆与准线/的位置关系是（）A.相切 B.相交 C.相离 D.都有可能【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义判断即可；【详解】解：根据抛物线的定义可知抛物线上任意一点M到焦点F的距离等于到准线/的距离,即以点M为圆心，以M/为半径的圆与准线/的相切；故选：A.已知函数"x）=log2（x+l）-W，则不等式〃x）＞。的解集是（）A.（-1,1） B.（0,1） C.（-1,0） D.0【6题答案】【答案】B【解析】【分析】分别画出函数y=log2（x+l）和y=W的图象，利用函数的图象，即可求解.【详解】不等式〃x）＞Oolog2（x+l）＞W，分别画出函数y=log2（x+l）和y=|x|的图象，由图象可知y=log2（%+l）和丁=国有两个交点，分别是（0,0）和（1,1）,由图象可知log2（x+l）＞|x|的解集是（0,1）即不等式/(X)>0的解集是(o,1).故选：B7.已知边长为2的正方形ABC。，设P为平面ABC。内任一点，则“0W福•衣W4”是"点在正方形及内部”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【7题答案】【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算可证明必要不充分性.【详解】解：必要性证明：边长为2的正方形ABC。，设尸为正方形ABC。及内部任意一点，以4为原点建立直角坐标系如图：由题意可知40,0),8(2,0),P(x,y)(0<x<2)则通=(2,0),/=(x,y)ABAP=2x<0<2x<4故0W福•丽W4••ll0<ABAP<4”是"点在正方形及内部”的必要条件；充分性证明：•.・福・丽=2x若0W2xW4,则0KxW2,但是可以为任意值，故点户不一定在正方形及内部.所以“0S荏•丽W4”是"点在正方形及内部”的不充分条件.故”0V荏•9W4"是''点在正方形及内部”的必要非充分条件.故选：B

.已知公差不为零的等差数列首项卬=一5,若々，%，％成等比数列，记(=4々…(«=1,2,-,),则数列｛*｝()A.有最小项，无最大项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，无最小项 D.有最大项，有最小项【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据等差数列、等比中项可求出公差，得出通项公式，由4=4々…的项的特点求解即可•【详解】设｛勺｝的公差为d,则(一5+J)(-5+4d)=(-5+3d)2,解得d=l，，=-5+(〃-1)x1=〃-6,/.Tn=(-5)x(-4)x(-3)x(-2)x(-1)xOx1x…当〃=5时，有最小值，当〃=4时有最大值.故选：D.已知函数/(x)=Asin®x+°)(A>0,o>0,时<])部分图象，如图所示.则下列说法正确的函数f(x函数f(x)一个单调递减区间是A.函数/(x)的最小正周期为]B./0)</(2)C.

D.若/(%)=/(%2)=G(%二%2)，则|与一七|的最小值是1【9题答案】【答案】c【解析】【分析】由函数的图像求得函数的解析式为f(x)=2sin2x-?,利用函数的周期公式可判断A,利用函数/(X)关于直线x=?对称结合?-1<2-1可判断B；求函数的单调减区间可判断C；令/(x)=JLTOC\o"1-5"\h\z71 34可得x=—+攵乃或l=——+攵万，keZ、进而判断D.4 12【详解】根据函数图象可得：A=2,71nr伯- 2%一=一,可得7=乃，:、8=—=2124 T又图象过点2712=又图象过点2712=2sinf2xy+99j,解得Q=-(+2k;r,keZ由M<5，:.(p71专，/.f(x)=2sin(2x-对于A,函数/(x)的最小正周期为兀，故A错误;对于B,函数/(x)关于直线x对称，结合图形由<2-。，可得/0)>/(2),故B错误it tt 34 71 57r对于C,令—f2Z乃<2x W—+2k兀,kwZ,解得—i-k/rWx< Fk冗,kwZ对于C,2 6 2 3 6对于D,令/(x)=2sin(2x-f=6,即5皿(2》一力=^，解得2》一看=?+2收■或r\兀27r,c7r72x=—+2k兀,k£Z,6 3即x=?+&%或x=^+&乃，keZ,则|王一百的最小值是普-；■=，故D错误；故选：C.生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数性模型：lnf=ln& （其中/是脉搏率（心跳次数/min）,体重为W（g）,4为正的待定系数）.已知一只体重为300g的豚鼠脉搏率为300/min,如果测得一只小狗的体重5000g,那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（）A.130/min B.120/min C.110/min D.100/min【10题答案】【答案】B【解析】【分析】理解题意，将数据代入解析式，即可求解.【详解】由条件可知ln300=lnZ-也迎，求得Ink=ln300+9^U,3 3—J山上工一!「17In5000.“AIn300In5000小狗的体重5000g时，In/=In左 ——=In300d ——31n/=31n3OO+ln3OO-ln5O（X）=41n3OO-ln5OOO,In/3=lnl620000,/3=1620000比较选项，1303=2197000，1203=1728000，1103=1331000，1003=1000000，最接近的脉搏率/=120/min.故选：B第n卷非选择题（共iio分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）.在的展开式中，常数项为.（用数字作答）[11题答案】【答案】12【解析】【分析】由二项式写出展开式的通项，进而确定常数项对应的/■值，即可求常数项.【详解】由题设，7；+|=q（x2）3-r（-）r=2rC；x6-3r,当r=2时，常数项为4=2?。；=12.故答案为：12..已知向量3，b,"在正方形网格中的位置，如图所示.则仅.【12题答案】【答案】6【解析】【分析】将b，2平移至同一个起点并构建直角坐标系，令单元格长度为1,标出相关向量的坐标，再应用向量数量积的坐标表示求倒+B".【详解】将£,B，"平移至同一个起点位置，如下图。点位置，并构建宜角坐标系xOy,若每个单元格长度为1,又£+石=砺，则砺=(4,1),2=(1,2),所以(a+B>c=QA.c=4xl+lx2=6.故答案为：6..双曲线C：=-丁=1的离心率为或，则。=.焦点到渐近线的距离为.【13题答案】【答案】①.2 ②.1【解析】【分析】由双曲线离心率及参数关系求。，再写出渐近线方程和焦点坐标，应用点线距离公式求焦点到渐近线的距离.【详解】由题设，£=好，又/+02=a2+i=c2,解得a=2,a2丫2 Y I—所以双曲线C:--y2=\,故渐近线方程为丁= 且焦点为(土括,0),4 2近则焦点到渐近线的距离为-j-2—=1.卜少故答案为：2,1..能说明“若"X),g(x)的定义域［-2,2］上是增函数，则〃x>g(x)在［-2,2］上是增函数”为假命题的一组函数：/(x)=,g(x)=.【14题答案】【答案】①./(x)=x+l②.g(x)=x-l(答案不唯一)【解析】【分析】利用增函数与增函数的积不一定是增函数可分析.【详解】y(x)=x+l在［-2,2］上是增函数，g(x)=x-1在［-2,2］上是增函数，但〃x>g(x)=x2-i在卜2,0］上是减函数，在［0,2］上是增函数，故答案：/(x)=x+l,g(x)=x—l.设棱长为2的正方体ABC。—A4GA,E是A。中点，点、M、N分别是棱A3、GA上的动点，给出以下四个结论：①存在EN//Mg；②存在MN_L平面ECG；③存在无数个等腰三角形EMN；-24'④三棱锥C-M八任:的体积的取值范围是---.则所有结论正确的序号是.【15题答案】【答案】③@【解析】【分析】结合正方体的性质，利用棱锥的体积公式以及空间向量的坐标运算逐一判断即可.【详解】对于①：取8C中点P,当点N在。G上移动时，直线ENu平面EPG。，同时当点M在直线AB上移动时MC,u平面ABCtDt,因为EPCRcABC,D,=CQ,故EN与不可能平行，①错误.对于②：如图，以。为原点建立空间直角坐标系，所以E(1,O,O),C(0,2,0),G(0,2,2)A&N(0,a,2)(O<67<2),M(2,b,0)(O</?<2),所以比=(-1,2,0),Cq=(0,0,2),NM=(2,b-a,-2),设平面ECC]的法向量为n=(x,y,z),TOC\o"1-5"\h\zn-EC=0 f—x+2y=0 一, 、则{ 即上二,令y=l得x=2,z=0,所以〃=(2,1,0),n-CC.=0 2z=0 ' 'I 1 、所以而=4+a-bw0，故MN与平面ECG不垂直，②错误.对于③：|}VE|=|W|g|J^(l-O)2+(O-a)2+(O-2)2=y/(2-O)2+(b-a)2+(O-2)2，化简得3 3 r~h~-2ab+3=0>即2a=b+:，2ae(0,4),b+—>2V3,因为26<4,所以该式在h b0<a<2,0<b<2的范围中存在无数组解，故说明有无数组。与b可使|诟|=|而"，故③正确.对于④：根据等体积性质可知所以该三棱锥高可以看作CG，所以体积的取值范围即底面积Smme的取值范围，根据点M位置的变化可知，当点M在A点时S.cme最小，当点M在8点时1 2 「24S^CME最大,计算得SaCmee[l，2],Vn-CME=JCC\*S&CME=§S.cme，所以V'-CME£§'§

,故④正确.故答案为：③④三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）.在AAfiC中，a=2y/3,a2+c2-y/3ac=b2.（1）求E>8；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使aABC存在且唯一确定，求△ABC的面积.条件①：Z?=3；条件②：cosA=1；条件③：“tBC的周长为4+26.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【16〜17题答案】【答案】⑴56（2）选①：aABC不唯一；选②：s=4+36；选③：5=732【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件可得解；（2）选①，余弦定理知c2—6c+3=0,知c有两个，不符合题意：选②，由正弦定理知6,再利用sinC=sin（A+B）结合面积公式即可得解:选③：由已知得力+c=4,再结合余弦定理及面积公式求解.【小问1详解】利用余弦定理结合a1+C1—>/3ac=b2，2ac即2ac即cosB=—，2TT因为0<8<］，所以N8=一；6【小问2详解】选择条件①：因为a=2jj，b=3,5=工，由余弦弦定理知a2+c2-J5ac=〃,6即一6c+3=0，解得c=3+C或c=3-后都符合三角形的性质，

故此时满足条件的aABC有两个，不符合题意.选择条件②：4” . 3因为cosA=—,所以sinA=g因0因0=273.由正弦定理sinBsinA4+3x/3又sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=——才二所以△ABC的面积5=』a。sinC=生史叵2 2选择条件③:因为aABC的周长为4+2月，a=2y/3,即b+c=4①又a1 -Mac=b\即12+c?—6。=/②由①②解方程组b=c=2所以aABC的面积S=Lacsin8=Ji.2.如图，矩形A8C。和梯形ABE/LAF±AB,EF//AB,平面A6EE_L平面A8CD,且AB=AF=2<AD=EF=\,过。。的平面交平面 于MN.(1)求证：DC//MN-,(2)当(1)求证：DC//MN-,(2)当M为BE中点时，求点E到平面DCMN的距离;EM(3)若平面A8CO与平面oaw/v的夹角的余弦值为出，求工的值.(3)5EB【17〜19题答案】【答案】（1）证明见解析

⑵—2(3)0或2.【解析】【分析】(1)先证明线面平行，再由线面平行的性质定理可证；(2)建立空间直角坐标系，用向量法可解；EM(3)利用比值——设点M坐标，然后用向量法可得.EB【小问1详解】因为矩形ABC。，所以。C//AB,AB\平面ABEF, 平面ABEF,所以。C〃平面ABEF.因为过DC的平面交平面ABEF于MN,由线面平行性质定理，得DC//MN；【小问2详解】由平面他所1■平面A8CD其交线为A8，AF1AB,Abu平面ABEF所以AbL平面ABCO又四边形ABC。为矩形，所以以A为原点，以A。、AB>A尸为％y,z轴建立空间直角坐标系.由AB=AE=2,AD=EF=l,得B(0,2,0),E(0,l,2), £>(1,0,0),C(l,2,0),则2y=0即-x+|y2y=0即-x+|y+z=。'取z=l得〃设平面£>CMN法向量〃=(x,y,z)设平面£>CMN法向量〃=(x,y,z),则n-DM=0一 |n-CE|i亚因为C£?=(-1,-1,2),所以点E到平面DCMN的距离d=―rn—=一尸=:几V22【小问3详解】设M(x,y,z),因为普=之，即丽=大丽，则M(0"+l,2—2/1),EBDM=(-1,2+1,2-22)-, 、[n-DC=0设平面DC7W/V法向量〃=(x,y,z),贝叫 [n-DM=0即tt+l)y+(23)z=(r取z=l得7(230,1)记平面A8CD与平面DCMN的夹角为e,因为AF，平面ABCD,所以cos(9=, ....= , =阿〃| 2x4+(2-24)2解得4=0或2.pu即2=0或2.EB18.为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀(>90分)的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为s：,s；,现在再从参加活动的男生中抽取学生，成绩为89分，组成新的男生样本，方差计为s；,试比较s：、s；、s；的大小.(只需写出结论)【答案】（1）—;363（2）分布列见解析，一；47 9 9（3）【解析】【分析】（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率.（2）由题设，成绩优秀人数X可取0,1,2,3且服从X〜分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可.（3）应用方差公式求出s：、s；、进而比较它们的大小关系.【小问1详解】设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件4,由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有C：C：=36种组合，其中男生成绩高于女生（81,72）,（8L80）,（84,72）,（84,80）,（86,72）,（86,80）,（86,84）,（86,72）,（86,80）,（86,84）,（88,72）,（88,80）,（88,84）,（91,72）,（91,80）,（91,84）,（91,88）,所以事件4有17种组合，因此尸（A）=一；【小问2详解】由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（＞90分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为4因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数*可取0,1,2,3且*~3[3,；）,P（X=。"目备唉=1）=吟解磊，P（X=2）=吟（步去所以随机变量X的分布列X0123P2764276496416427 9 1 483数学期望E(X)=O+lx—+2x二+3x—=一=一.64 64 64644【小问3详解】_( ,,,,,_ 81+84+86+86+88+91o, 215^,一、2c4幺(男生平均成绩为xi= =86,则s：=2£U,.-xi)«9.667；TOC\o"1-5"\h\z6 61,AA-r-~ 72+80+84+88+92+97___ .21G,一、2cc女生的平均成绩为%2= =85.5,则52=工二(七一笈)«65.92；6,=|由于从参加活动的男生中抽取成绩为89分的学生组成新的男生样本，所以■= =——，则片=7e(七一七)«9.388；7 71=]所以s；<s；<$.19.设函数=aln(x+l)+x2(aeR).(1)当a=-4时，①求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；②求函数/(x)的最小值.(2)设函数g(x)=曲>1,证明：当aW2时，函数H(x)=/(x)—g(x)至多有一个零点.【19~20题答案】【答案】(1)①y=-4x：②1一4ln2(2)证明见解析【解析】【分析】(1)①利用求导求出切线的斜率，然后写出直线方程；②求导后分析函数的单调性可求得最小值；(2)对参数进行分类讨论，利用倒数来分析函数的单调性来确定函数的零点.【小问1详解】解：由题意得：函数/(©定义域为(一1,+8)，

r(xr(x)=2x〜+2x+aX4-1t41 \2x2+2x—42(x+2)(x—1)当a=T时f(x}= = 八 J') x+1 x+1①〃O)=O，r(O)7所以曲线y=/(x)在点(o,7(o))处的切线方程是y=~4x.②令/'(x)=0,x=l,当T<x<lJ'(x)<0,即函数/(x)递减区间为(-1,1)；当x>l时，/'(x)>0,即函数/(x)递增区间为(1,”)所以函数/(x)的最小值/(l)=l-41n2；【小问2详解】因为“，(力=叱：7)a>_])令H(x)=O,^1=0,x2=^-1①a=2时，//(x)>0,函数H(x)定义域(T+o。)上单调递增，至多有一个零点；②a40时，^-1<-i.令”(x)>0,得x>0,令"(x)<0,得-l<x<0所以函数”(x)在区间(TO)单调递减，在区间(0,+。)单调递增则函数”(x)在x=0时有最小值〃(0)=1>0,此时函数”(x)无零点.③。<a<2时，一1<@一1<0,令"(x)>0,得一或x>0令H(x)<0,得葭―l<x<0所以函数H(x)在区间(一句一1),(0,+8)单调递增，在区间《一1可单调递减因为函数〃(0)=1>0,所以〃仁—1)>0,且H(x)>0在区间仁一1,+8)上恒成立.所以函数H(x)在区间(-1,^|一1)上至多有一个零点.综上，当a«2时，函数"(x)=/(x)—g(x)至多有一个零点.

r2v"20.已知椭圆C：三+2T=1（。>6>0）上一点P到两个焦点的距离之和为4,离心率为彳.Ih1 2（1）求椭圆。的方程；（2）设椭圆。的左右顶点分别为A、B,当P不与A、8重合时，直线AP,8P分别交直线x=4于点M、N,证明：以MN为直径的圆过右焦点F.（20-21题答案】2 2【答案】（1）—4-^=14 3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，列出关于的式子，即可求解：（2）解法一：首先设P伉,%），M（4,y）,N（4,%），利用相似关系，求得坐标间的关系，并且证明加•标=0；解法二：首先设直线AP方程y=%（x+2）（ZhO）,与抛物线方程联立，求得点P,M,N的坐标，可用％表示，最后利用坐标表示数量积赤.标=0.【小问1详解】c1 r2v2由题干可得。=2,—=一，所以b2=/_c2=3,即椭圆c的方程—+21=1.a2 43【小问2详解】解法一：设P（%,%），M（4,y）,N（4,%）因为直线AP交直线x=4于点M,所以3=吗刍，贝"凹|=里!由于M、N异于x轴两侧，因此,、％异号•所以 +所以 + =9+12yo2（小+2乂/-2）又因为3/2+4%2=]2,所以赤•标=9+4岁一=0-4即MFINF以MN为直径的圆过右焦点F.解法二：设直线”方程y=A(x+2)(攵/0),P(%％),M(4,y),N(4，M)3x2+4y2=12 / ,八、八、\ / 、，(3+4公)f+16&2》+16公一12=0y=k(x+2) 1 )得—2%」得—2%」6仁7之,即° 3+4/ °12k3+4二'3+4二因为直线AP交直线x=4于点M,即M（4,6Z）.因为直线期交直线I于点N,则由三点共线，得必=瓷=一捺所以标.标=(3,y>(3,%)=9+x%=0即MF17VF，以MN为直径的圆过右焦点F.21.已知S“21.已知S“=={x1X=(4,4，生,…,。“),。：=0或l,i=l,2,…,〃（n>2）,对于4=（4,4「・，4,）,8=8=伯也,…也）eS“