北京市西城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

北京市西城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题一、单选题（共8题；共16分）（2分）下列图案中，可以看成轴对称图形的是（ ）A.地・B.1畛 C.@ D.&【答案】B【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意.故答案为：B.【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。（2分）下列运算中，结果正确的是（ ）（a2）3=a5 B.（3a）2=6a2C.a64-a2=a3D.a2■a3=a5【答案】D【解析】【解答】解：A.®2）3=a5,不符合题意；（3a）2=9a2.不符合题意；a6-ra2=a4,不符合题意；a2-a3=a5,符合题意；故答案为；D【分析】根据幕的乘方、积的乘方、同底数塞的除法及同底数塞的乘法逐项判断即可。（2分）在AABC中，作出AC边上的高，正确的是（ ）A.①B.②A.①B.②C.③D.（4）【答案】D【解析】【解答】解：A、图①中BD不是AC边上的高，故A不符合题意;B、图②中EA不是AC边上的高，故B不符合题意；C、图③中BE不是AC边上的高，故C不符合题意；D、图④中BD是AC边上的高，故D符合题意.故答案为：D.【分析】根据三角形高线的定义，逐项进行判断，即可得出答案.（2分）如图是一个平分角的仪器，其中48=40,BC=DC.将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和^ADC是全等三角形的依据是（ ）A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS【答案】A【解析】【解答】在^ADC和^ABC中（AD=AB'：\DC=BC\AC=AC所以^ADCg/XABC（SSS）故答案为：A.【分析】根据SSS证明三角形全等即可。（2分）下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）A-L=l B1।1「1*4c4 *abq+8c_J____1_ Da2-4_曰- a2+4a+4-a+2【答案】B【解析】【解答】A.^=1,所以此选项变形不符合题意；4c4原+含=喏。+，所以此选项变形符合题意;c.£==%=-自，所以此选项变形不符合题意；D.^~4~=（a+2）（a；2）= 所以此选项变形不符合题意.q/+4q+4 （q+2） a十乙故答案为：B.【分析】利用分式的基本性质及分式的加减法逐项判断即可。（2分）已知三条线段的长分别是4,4,m,若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（）A.10 B.8 C.7 D.4【答案】C【解析】【解答】解：条线段的长分别是4,4,m,若它们能构成三角形，则4—4<m<4+4,即0cm<8又m为整数，则整数m的最大值是7故答案为：C【分析】根据三角形的三边关系即可得出答案。（2分）某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品.目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元.已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程（ ）【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：王老师花费20元买了（X-2）本笔记本,则可列方程为当-$1，故答案为：C.【分析】根据题意，设王老师花费20元买了2）本笔记本，即可列出方程。(2分)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2),B(a,0),C(m,n)(m>0).若^ABC是等腰直角三角形，且4B=8C,当0VqVI时，点C的横坐标m的取值范围是( )A.0<m<2 B.2<Tn<3 C.m<3 D.m>3【答案】B:.AO—2,・・ZL48C是等腰直角三角形，且4B=BC,・・Z.ABC=90°=ZA0B=乙BDC,・・4ABO+Z.CBD=90°=Z.ABO+z.BAOf•Z-BAO=乙CBD,在4408和480C中，(Z.A0B=Z.BDC\z-BA0=£.CBD,(AB=BC.%AAOB=ABDC(AAS),•AO=BD=2,BO=CD=九=q,•・0VqV1,vOD=OB+BD=2+a=m,•・2VmV3,故答案为：B.【分析】过点C作CO 轴于D,由“AAS”证明4408三4BQC,可得AO=BD=2,BO=CD=n=a,即可求解。二、填空题（共8题；共9分）（2分）计算：（1）2-1=;（2）（71-1）°=.【答案】:：1【解析】【解答】⑴2-1=1（2）（7T-1）0=1故答案为：1.【分析】（1）利用负指数塞的性质求解即可；（2）利用0指数塞的的性质求解即可。（1分）若分式工有意义，则x的取值范围是【答案】xr2【解析】【解答】解：•••分式工有意义，X—2，x-2#）,解得胖2,故答案为：x#2.【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.（1分）已知一个多边形的内角和为540。，则这个多边形是边形.【答案】5【解析】【解答】设这个多边形是n边形，由题意得，（n-2）x180。=540。,解之得，n=5.【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式（n-2）X180。及多边形的内角和等于540。即可建立方程，求解即可。（1分）计算：2ab（3a?-5b）=.【答案】6a3b—10ab2【解析】【解答】解：2ab（3a2—5b）=2ab-3a2—2ab-5b=6a3b—10ab2,故答案为：6a3b-10ab2.【分析】利用单项式乘多项式的计算法则求解即可。（1分）若a?+ka+9是一个完全平方式，则k的值是.【答案】±6【解析】【解答】解：；a2+ka+9是一个完全平方式，即a2±2ax3+3?是一个完全平方式，k=±6故答案为：±6【分析】根据完全平方式的性质和特征求解即可。(1分)如图1,将一个长为2a,宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形(如图2),设图2中的大正方形面积为S],小正方形面积为Sz，则Si-Sz的结果是(用含a,b的式子表示).【解析】【解答】「Si为图2大正方形的面积；Sz为小正方形面积，.♦.S1-S2为图1长方形面积/.Si—S2=2ax2b=4ab故答案为：4ab【分析】利用图形可得：工-S2为图1长方形面积，再计算即可。(1分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(2,0),B(4,2),若点P在x轴下方，且以0,A,P为顶点的三角形与AOAB全等，则满足条件的P点的坐标是.【答案】(4,—2)或(—2,—2)【解析】【解答】解：如图，①作B关于*的对称的点Pi，连接OP】，APi・•・OB=OP],AB=AP1v0A=0A・•・△OAPOAB•••B(4,2),则Pi(4,-2)②作Pi关于，(x=l)对称的点P2,连接OP2,APz，则研=仍，0P1=AP2又•••OA=OAOAPi£△OAP2・•・△OAP2=△AOB则点P2(—2,—2)故答案为：(4,一2)或(一2,-2)【分析】先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出P点坐标即可。（1分）如图，Rt/iABC中，Z.ACB=90°,ZS=30°,AC=2,。为BC上一动点，EF垂直平分4。分别交4c于E、交AB于F,贝UBF的最大值为.【答案】5【解析】【解答】如图所示:本题实际上相当于，以F为圆心，AF为半径作一个圆F,当。F与CD相切或相交时，使AF=DF=半径，据题意，当AF逐渐增大时，到。尸与BC相切时，即为AF最小值，即BF最大值，此时，FD1BC,2FD=FB,.".AF：BF=1：2."：aACB=90°,ZF=30°,AC=2,：.AB=2AC=4,BF=jAB=qx4=?,故答案为：【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF=FD,从而通过圆与BC相切来解决问题。三、解答题供10题；共91分)(10分)分解因式：(1)(5分)3q2—6ab+3d2；(5分)x2(m—2)+y2(2—m).【答案】(1)解：3a2—6ob+3b2=3(a2-2ab+b2)=3(a—b)?：(2)解：x2(m—2)4-y2(2—m)=（m-2）（x2-y2）=（m-2）（x+y）（x-y）.【解析】【分析】（1）先提取公因式3,再利用完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因式（m・2）,再利用平方差公式因式分解即可。（10分）（5分）计算:（x-8y）（x+y）；（5分）先化简，再求值：（q+1———）+-六[4,其中q=-3.'a-Vq2-2q+1【答案】（1）解：原式=产+ -8xy—8y2,=x2-7xy—8y2；（2）解：缶+l—言）+六_q2_4二q2_4Q_] a2—2a+l，__2_4-2_2q+1q-1 q2—4_q2-4（g-1）2a-1,a2-49=Q-1,当a=-3时，原式=-3—1=—4.【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算法则求解即可；（2）先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。（5分）解方程：曷一号=1・【答案】解：给方程两边乘以（x+1）（x-1）,得：（X—1）2—2=X2—1,X2—2%4-1—2=%2—1,—2x=0,解得：%=0,经检验，x=0是原方程的解.【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。（10分）如图，点A,B,C,D在一条直线上，AE||DFfAE=DF,AB=CD,（5分）求证：4AEC三&DFB.（5分）若乙4=40。，Z.ECD=145°,求NF的度数.【答案】（1）证明：•••AE||DF・•・Z/4=Z-D,•・,AB=CD•**AB+BC=BC+CD即AC=BD又•・・AE=DF,*••△AEC=△DFB（2）解：•••/.A=40°,4ECD=145°,/.ECA=180°-乙ECD=35°ZE=180°-Z.A-Z.ECA=105°AECSADFB"=/E=105°【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得NA=ND,再证明AC=BD,最后利用“SAS”证明△AEC三△DFB即可；（2）先利用三角形的内角和求出NE,再根据全等三角形的性质可得NF=/E=105。。（10分）如图，8x12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点.点A,B,C都是格点.请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分别是（一3,1）,（—1,4）,（5分）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；②点C的坐标是▲,点C关于x轴的对称点g的坐标是A；（5分）设1是过点C且平行于y轴的直线，①点A关于直线1的对称点儿的坐标是▲:②在直线1上找一点P,使PA+PB最小，在图中标出此时点P的位置；③若Q（m,n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线I的对称点Qi的坐标（用含m,n的式子表示）.【答案】（1）解：平面直角坐标系xOy如图所示y由图象可知C点坐标为（1,2）点的是C点关于x轴对称得来的则G的横坐标不变，纵坐标为c点纵坐标的相反数即C1点坐标为（1,-2）.（2）①（5,1）②连接①所得4B,AiB交直线x=l于点P由两点之间线段最短可知P&+PB为&B时最小又•：点Ai是点A关于直线1的对称点：.PAX=PA.•/4+。3为4$时最小故P即为所求点.③设任意格点Q（m,n）关于直线x=l的对称点出为（x,y）有（m+x）+2=1,y=n即x=2-m,y=n则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2即对称点Q1坐标为（2-m,n）.【解析】【解答】（2）如图所示，由C点坐标（1,2）可知直线1为x=l①A点坐标为（-3,1）,关于直线x=l对称的公坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1,纵坐标不变则为A坐标为（5,1）【分析】（1）①根据A、B两点坐标作出平面直角坐标系即可；②根据轴对称的性质解决问题即可；（2）①利用轴对称的性质解决问题；②作点A关于直线1的对称点Ai,连接BAi交直线1于点P,连接AP,点P即为所求；③利用中点坐标公式解决问题即可。（10分）已知：如图1,线段a,b（a>b）.i । it h .图1（5分）求作：等腰AABC,使得它的底边长为b,底边上的高的长为a.作法：①作线段4B=b.②作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.③在MN上取一点C,使DC=a.④连接AC,BC,贝SABC就是所求作的等腰三角形.用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；Ab8图2（5分）求作：等腰4PEF,使得它的腰长为线段a,b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a,b中另一条线段的长.作法：①作直线1,在直线1上取一点G.②过点G作直线1的垂线GH.③在GH上取一点P,使PG=▲.④以P为圆心，以▲的长为半径画弧,与直线1分别相交于点E,F.⑤连接PE,PF,则4PEF就是所求作的等腰三角形.请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）.（2）解：作法：①作直线1,在直线I上取一点G.②过点G作直线1的垂线GH.③在GH上取一点P,使PG=a.④以P为圆心，以b的长为半径画弧，与直线1分别相交于点E,F.⑤连接PE,PF,则4PEF就是所求作的等腰三角形.如图，4PEF就是所求作的等腰三角形.故答案为：a,b.【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可;(2)根据要求作出图形即可。(7分)(2分)如果(x—3)(%4-2)=x2+mx+n»那么m的值是,n的值是;(5分)如果(x+q)(x+b)=—2%+方①求(a-2)(b—2)的值；②求-2+1+1的值.Q乙b【答案】(1)-1；-6(2)解：V(%+a)(x4-b)=%2—2%4-2»]x2+ax+bx+ab=X2—2x+2f••+(q+b)x+ub=，-2x+4，.•.a+b=-2,ab=^；①(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=l-2x(-2)+4,17F：②3+j+1=^+la2b_(a+b)2—2ab[= 7 （5分）如图1,当点E与点D重合时，求证：AB=2AF-,(ab)=14=13.【解析】【解答]解：(1)V(x—3)(x+2)=%2+mx-I-n,/.x1（5分）如图2,当点E在线段AD上，且与点A,D不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB,AF,AE之间的数量关系，并证明.（5分）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB,AF,AE之间的数量关系.（5分）如图2,当点E在线段AD上，且与点A,D不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB,AF,AE之间的数量关系，并证明.（5分）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB,AF,AE之间的数量关系.【答案】（1）解：=47,...△4BC是等腰三角形，VZB4C=120°,:.4B="=30°,/.FAC=180°-120°=60°,VAD^aABC的中线，J./lBAD=/.CAD=60°,/.ADC=90°,J.Z.DAF=/.CAD+"AC=60°+60°=120°,VzCEM=60°,AZi4DF=90o-60°=30°,/.m=-1,n=-6,故答案为：-1,-6；【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再根据待定系数法可得m、n的值；（2）①先根据同3）的方法求出a、b的值，再代入计算即可；②利用分式的加减化简，再计算即可。24.（15分）在AABC中，Z.BAC=120°,AB=AC,AD为AABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE,作4CEM=60。，射线EM与射线BA交于点F.：.^AFD=180°一(120°+30°)=30°,：.AD=AF,在Rt△ADB中，△B=30°,：.AB=2AD=2AF；(2)解：AB=AF+AE,证明如下：如图2,在线段AB上取点G,使EG=E49：LBAC=60°,•••△AEG是等边三角形，：.LAEG=60°,乙BGE=Z.FAE=120°,,•.△ABC是等腰三角形，AD为^ABC的中线，；・EB=EC,乙BED=cCED,：./.AEB=匕AEC,即ZAEG+乙GEB=Z.CEF+Z.AEF,VzCEF=/.AEG=60°,J.Z.GEB=Z/IFF,在与AFAE中，ZGEB=£.AEFEG=EA,乙BGE=Z.FAEJ.^BGE三△凡4E(4SA),：.GB=AF,：.AB=GB-^AG=AF+AE；(3)解：当AD>ED时，如图3所示:E图3与(2)同理：在线段AB上取点H,使EH=EA,VZ5/1D=60°,•••△4EH是等边三角形，C.Z.BHE=LFAE=120°,Z-AEH=60°,••.△ABC是等腰三角形，AD为△ABC的中线，:•乙BED=乙CED,・"CEF=Z.AEH=60°,，乙HEB=Z.AEF,:.&BHE=^FAE(ASA),：.HB=AF,：.AB=HB+AH=AFAE,当4DVED时，如图4所示：在线段AB的延长线上取点N,使EN=瓦4,：/.BAD=60°,••△4EN是等边三角形，J.Z.AEN=Z-FNE=60°,VzCFF=乙AEN=60°：.Z-NEF=乙4EC,在尸与△AEC中，Z.FNE=Z-CAE=60°EN=EA,Z.NEF=Z.AEC:・>NEF会△4EC(4S4),：.NF=AC=AB,：.BN=AF,：.AB=AN-BN=AE-AF,：.AB=AE-AF.【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出NB二NC,证出AD=AF,则可得出结论；（2）①由题意画出图形即可；②在AC上截取AG=AE,连接EG,证明△3GE仝△凡4EG4s4）,再由全等三角形的性质可得AF=GC,则可得出结论；（3）方法同（2）可得结论。（2分）观察下列等式：1lx2;13x4;15x6;根据上述规律回答下列问题：（1分）第⑤个等式是;（1分）第n个等式是（用含n的式子表示，n为正整数）.【答案】⑴J-1-^=-9^io（2） -= n2n—12n2n（2n—1）【解析】【解答】（1）第5个等式为：

(2)第(2)第n个等式为:111n-2n—1~2n~~2n(2n-l)-【分析】(1)通过观察前几项的算式和序号的关系可直接求出第5个等式的值;(2)根据前几项的算式和序号的关系归纳总结可得规律。(12分)对于面积为S的三角形和直线1,将该三角形沿直线1折叠，重合部分的图形面积记为S。，定义能为该三角形关于直线I的对称度.如图，将面积为S的“BC沿直线I折叠，重合部分的图形为AC'DE,将分的图形为AC'DE,将△C'DE的面积记为So，则称或为AABC关于直线I的对称度.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),B(一3,0),C(3,0).(2分)过点M(m,0)作垂直于x轴的直线L，①当m=1时，AABC关于直线匕的对称度的值是：②若△ABC关于直线。的对称度为1,则m的值是.(5分)过点N(0,n)作垂直于y轴的直线％，求△ABC关于直线％的对称度的最大值.(5分)点P(-4,0)满足AP=5,点Q的坐标为(t,0),若存在直线，使得AAPQ关于该直线的对称度为1,写出所有满足题意的整数t的值.【答案】⑴y；0(2)解：过点N(0,n)作垂直于y轴的直线，2,要使得△ABC关于直线的对称度的最大值，则需要使得Sac，de最大，如下图：当n='时,Sac取到最大，根据y=5，可得E,。为△ABC的中位线,1：・ED=诃=3,1 3 9S^c/de=2X3><2=4，? 1ABC关于直线G的对称度的最大值为：-^0=1;9-充3(3)解：若存在直线，使得4APQ关于该直线的对称度为1,即△APQ为等腰三角形即可，①当AP=AQ时，Zk^PQ为等腰三角形，如下图：・・.po=Q0=4,・•・t=4；②当AP=PQ=5时，△APQ为等腰三角形，如下图:③当4Q=PQ时，A4PQ为等腰三角形，如下图:设OQ=x,则PQ=4—x,根据勾股定理：PQ=AQ=Vx2+32>•・（4—x）2=/+%解得：工=1O•.t=—:（不是整数，舍去），O综上：满足题意的整数t的值为：4或1.【解析】【解答］解：（1）①当巾=1时，根据题意作图如下:04=0C=3,•.RtA40c为等腰直角三角形，•・CE=DE—2,1Sri&dec=]X2x2=2，根据折叠的性质，***sbC，DE=2,Srabc=]X6x3=9,・•.△ABC关于直线h的对称度的值是：高=",y—乙/故答案是：I②如图：

根据等腰三角形的性质，当巾=0时，有_1SaC'DE=2S&abc，△ABC关于直线匕的对称度为1,故答案是：0；【分析】（1）①根据对称度的定义，求出So和S的值即可；②当三角形ABC关于直线匕的对称度为1时，So=2,此时m=0；（2）求出So的最大值，可得结论；（3）由题意三角形APQ关于该直线的对称度为1,推出三角形APQ是等腰三角形，求出整数t的值即可。试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：116分分值分布客观题（占比）16.0(13.8%)主观题（占比）100.0(