微分方程建模实例一研究报告课件

4.1微分方程建模实例(一)4.1.1.一个简单的例

4.1.2.万有引力定律的发现4.1微分方程建模实例(一)4.1.1.1在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题.在连续变量问题的研究中，或可化为连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一.在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导24.1.1一个简单的例问题：某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陈代谢(即自动消耗).在健身训练中，他所消耗的热量大约是69(焦/公斤•天)乘以他的体重(公斤).假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868(焦).试研究此人的体重随时间变化的规律.4.1.1一个简单的例问题：某人的食量是10467(3模型准备

在问题中并未出现“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重(记为W)关于时间t的函数.如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的的微分方程.模型准备在问题中并未出现“导数”这样的关键词，但要寻找的4微分方程建模实例一研究报告课件5模型构成

由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，体重的变化/天=输入/天-输出/天.某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陈代谢.输入/天=10467-5038=5429(焦/天).在健身训练中，他所消耗的热量大约是69(焦/公斤•天)乘以他的体重(公斤).输出/天=69×W(t)=69W(t)(焦/天).模型构成由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，6输入/天=10467-5038=5429(焦/天).输出/天=69×W(t)=69W(t)(焦/天).假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868(焦).解微分方程，有输入/天=10467-5038=5429(74.1.2万有引力定律的发现宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和两者距离的平方成反比,比例系数是绝对常数.艾萨克-牛顿(IsaacNewton)1643-17274.1.2万有引力定律的发现艾萨克-牛顿(Isaa8十五世纪中期，波兰天文学家哥白尼提出了震惊世界的日心说.丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况.第谷的学生和助手开普勒对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的开普勒三大定律.牛顿根据开普勒三大定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律.十五世纪中期，波兰天文学家哥白尼提出了震惊世界的日心说.9模型准备

1.行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上.2.行星在单位时间内扫过的面积不变.3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变

(绝对常数).开普勒三大定律

模型准备1.行星轨道是一个椭圆，开普勒三大定律10模型构成开普勒第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上.以太阳为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为行星r太阳其中，a,b为椭圆的长、短半轴，模型构成开普勒第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太11牛顿第二定律：行星运动时受到的力等于行星加速度和行星质量的乘积，即

用向径表示行星的位置，则称为径向速度.称为径向加速度.于是，牛顿第二定律：行星运动时受到的力等于行星加速度和行星质量的乘12为计算行星的加速度，建立两种不同的坐标架:第一个是以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记为,沿短轴方向的单位向量记为

.第二个是以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是于是，行星r太阳urul为计算行星的加速度，建立两种不同的坐标架:于是，行星r太13于是，因此，为计算角速度和角加速度，需要用到开普勒第二定律.于是，因此，为计算角速度和角加速度，需要用到开普勒第二定律.14开普勒第二定律：行星在单位时间内扫过的面积不变，即单位时间向径扫过的面积是常数A，

于是，=0开普勒第二定律：行星在单位时间内扫过的面积不变，即单位时间向15由由16下面需要证明A2/p是绝对常数，即它与哪一颗行星无关.这要用到开普勒第三定律:开普勒第三定律：行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变，即

下面需要证明A2/p是绝对常数，即它与哪一颗行星无关.17下面需要证明A2/p是绝对常数，即它与哪一颗行星无关.因为A是单位时间内向径扫过的面积，行星运行一个周期T向径扫过的面积恰是以a、b为长、短半轴的椭圆面积，所以

TA=πab.开普勒第三定律：(λ是绝对常数)由下面需要证明A2/p是绝对常数，即它与哪一颗行星无关.18与熟悉的万有引力定律比较，只需再验证其中，k

为万有引力常数，M为太阳质量.与熟悉的万有引力定律比较，只需再验证其中，k为万有引力常数194.1微分方程建模实例(一)4.1.1.一个简单的例

4.1.2.万有引力定律的发现4.1微分方程建模实例(一)4.1.1.20在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题.在连续变量问题的研究中，或可化为连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一.在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导214.1.1一个简单的例问题：某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陈代谢(即自动消耗).在健身训练中，他所消耗的热量大约是69(焦/公斤•天)乘以他的体重(公斤).假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868(焦).试研究此人的体重随时间变化的规律.4.1.1一个简单的例问题：某人的食量是10467(22模型准备

在问题中并未出现“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重(记为W)关于时间t的函数.如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的的微分方程.模型准备在问题中并未出现“导数”这样的关键词，但要寻找的23微分方程建模实例一研究报告课件24模型构成

由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，体重的变化/天=输入/天-输出/天.某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陈代谢.输入/天=10467-5038=5429(焦/天).在健身训练中，他所消耗的热量大约是69(焦/公斤•天)乘以他的体重(公斤).输出/天=69×W(t)=69W(t)(焦/天).模型构成由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，25输入/天=10467-5038=5429(焦/天).输出/天=69×W(t)=69W(t)(焦/天).假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868(焦).解微分方程，有输入/天=10467-5038=5429(264.1.2万有引力定律的发现宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和两者距离的平方成反比,比例系数是绝对常数.艾萨克-牛顿(IsaacNewton)1643-17274.1.2万有引力定律的发现艾萨克-牛顿(Isaa27十五世纪中期，波兰天文学家哥白尼提出了震惊世界的日心说.丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况.第谷的学生和助手开普勒对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的开普勒三大定律.牛顿根据开普勒三大定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律.十五世纪中期，波兰天文学家哥白尼提出了震惊世界的日心说.28模型准备

1.行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上.2.行星在单位时间内扫过的面积不变.3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变

(绝对常数).开普勒三大定律

模型准备1.行星轨道是一个椭圆，开普勒三大定律29模型构成开普勒第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上.以太阳为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为行星r太阳其中，a,b为椭圆的长、短半轴，模型构成开普勒第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太30牛顿第二定律：行星运动时受到的力等于行星加速度和行星质量的乘积，即

用向径表示行星的位置，则称为径向速度.称为径向加速度.于是，牛顿第二定律：行星运动时受到的力等于行星加速度和行星质量的乘31为计算行星的加速度，建立两种不同的坐标架:第一个是以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记为,沿短轴方向的单位向量记为

.第二个是以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是于是，行星r太阳urul为计算行星的加速度，建立两种不同的坐标架:于是，行星r太32于是，因此，为计算角速度和角加速度，需要用到开普勒第二定律.于是，因此，为计算角速度和角加速度，需要用到开普勒第二定律.33开普勒第二定律：行星在单位时间内扫过的面积不变，即单位时间向径扫过的面积是常数A，

于是，=0开普勒第二定律：行星在单位时间内扫过的面积不变，即单位时间向34由由35下面需要证明A2/p是绝对常数，即它与哪一颗行星无关.这要用到开普勒第三定律:开普勒第三定律：行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变，即

下面需要证明A2/p是绝对常数，即它与哪一颗行星无关.36下面需要证明A2/p是绝对常