-材料力学总结课件

课程总结课程总结1绪论一. 材料力学的任务构件的设计在力学上有一定的要求（承载能力）强度：构件在载荷作用下，抵抗破坏的能力。刚度：构件在载荷作用下，抵抗变形的能力。稳定性：构件在载荷作用下，抵抗失稳的能力。合理地解决安全与经济这一矛盾，为实现既安全又经济的工程构件设计提供理论依据和计算方法。绪论一. 材料力学的任务构件的设计在力学上有一定的要求（承载2绪论1.构件按几何形状分类构件杆块板壳直杆曲杆等截面直杆变截面直杆大曲率杆小曲率杆二.材料力学的研究对象绪论1.构件按几何形状分类构件杆块壳直杆曲杆等截面直杆变3FFMeMeFM（2）剪切（3）扭转（4）弯曲FF（1）轴向拉伸或压缩绪论2.杆件变形的四种基本形式FFMeMeFM（2）剪切（3）扭转（4）弯曲FF（1）轴向4梁的弯曲梁的弯曲5梁的弯曲一、弯曲的概念受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为曲线。梁的弯曲一、弯曲的概念6梁的弯曲x梁的轴线FqmAFFBy

纵向对称轴AM梁上的外力支撑——支座反力（支反力）载荷集中力分布力集中力偶1.平面弯曲（外力通过形心的主惯性轴）梁的弯曲x梁的轴线FqmAFFBAM梁上的外力支撑——支座反7梁的弯曲FyFzzxy2.斜弯曲（通过形心，不过主惯性轴）斜弯曲：弯曲变形后,梁的轴线将不在位于外力的作用面内.梁的弯曲FyFzzy2.斜弯曲（通过形心，不过主惯性轴）8左上右下为正FssF上压下拉为正MMFMFlFsFsMFFlFnnF上图中的剪力和弯矩均为负值梁的弯曲二、弯曲内力——剪力

Fs和弯矩

M正负号规则：左上右下为正FssF上压下拉为正MMFMFlFsMFFlFn9梁的弯曲0sM(x)

FxF(x)

F剪力图FM以横坐标

x

表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值剪力图：正的剪力画在x轴上方弯矩图：负的弯矩画在x轴上方Fsx x0弯矩图FlFFxFsM三、剪力图和弯矩图梁的弯曲0sF(x)F剪力图FFsx x0弯矩图F10梁的弯曲四、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系d

xsd

xdM

(

x

)

F

(

x

)d

2

M

(

x

)d

x2

q(x

)微分关系dFs(x)

q(x

)几何意义剪力图上某点处切线的斜率等于梁上该点处的分布载荷集度qs弯矩图上某点处切线的斜率等于梁上该点处截面上的剪力

F弯矩图的凸向取决于分布载荷集度

q 的正负梁的弯曲dxsdxdM(x)F(x)11梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律dx1.梁段上无分布载荷：(1)

dFs

(

x

)

q(

x

)

0sdx(2)

dM

(

x

)

F

(

x

)

常数

00

0Fs(x

)弯矩图为平直线弯矩为增函数，下斜直线弯矩为减函数，上斜直线弯矩为一次函数弯矩图直线剪力图切线斜率为零Fs为常数，剪力图为平直线梁的弯曲dx1.梁段上无分布载荷：sdx(2)dM(x12梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律1.梁段上无分布载荷：若梁段没有分布载荷，只有集中力和集中力偶剪力图和弯矩图不可能出现曲线图形其中剪力必为常数，弯矩可能是常数或一次函数梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律13剪力为增函数，上斜直线剪力为减函数，下斜直线剪力为一次函数剪力图为斜直线0

0q(x

)dx(1)

dFs

(

x

)

q(

x

)

常数

0梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数剪力为增函数，上斜直线剪力为减函数，下斜直线剪力为一次函数14sdx(1)dM(x)

F(x

)

一次函数

M

(

x

)

为二次函数，

弯矩图为二次曲线0

0q(x

)M

(

x

)

应有极小值弯矩图为上凸曲线M

(

x

)

应有极大值弯矩图为下凸曲线梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数sdx(1)dM(x)F(x) 一次150

0q(x

)M

(

x

)

应有极小值弯矩图为上凸曲线M

(

x

)

应有极大值弯矩图为下凸曲线梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数M

(

x

)

极值的位置在

Fs

(

x

)

0 的截面00q(x)M(x) 应有极小值弯矩图为上凸16111sQxxx

2

q(x)dxdx

dFs

(x)

q(x)dxQ2dF

(x)

x2

q(x)dx

Fs2

Fs1

dFs

x

q

x

22221sM xsM1x1xsx1dM

xdxF

(x)dxF

(x)dx

F

xdM(x)

M

M

dM

(x)

Fs

(x)dx梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积梁的弯曲五、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系111sQxxxdxQ2dF(x) x2q(x)17l

/2

B梁的弯曲qCl

/2

8AR

3ql A8BR

ql83ql②8qlFsM①④③①②③16ql

21289ql

2l/2B梁的弯曲Cl/28AR3ql A8BR18梁的弯曲１.纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。2.横力弯曲梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。MxFsxFaFF六、

纯弯曲和横力弯曲的概念aaFBAF梁的弯曲１.纯弯曲2.横力弯曲MxFsxFaFF六、纯弯曲19yxM

z中性轴MZyσmaxσmaxM

yI

z

梁的弯曲七、

梁横截面上的正应力弯曲正应力计算公式yxM zMZyσmaxσmaxMyIz 梁的弯20梁的弯曲yxMZ(1)（中性轴为形心轴）yA（y轴为对称轴，自然满足）zydAσz(3) M A——弯曲变形计算的基本公式1

M

EIZ（三）、静力学条件：由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。F

y E ENx

A

dA

0

A

E

dA

A

ydA

SzA(2) M

zdA

0

EAy

dA

M

EyzyzdA

E

Iz

y

2

dA

E

IyzI

0zE

I

MSz

0梁的弯曲yxMZ(1)（中性轴为形心轴）yA（y轴为对称轴21梁的弯曲ZI

MyymaxIWZ

Z Wz

——抗弯截面模量最大正应力的确定⑴ 截面关于中性轴对称ztWc

Mmaxmax

矩形截面bh3IZ

126bh2WZ

圆截面d

4IZ

64d

3WZ

32ZmaxI

Mymaxzbhyzdy梁的弯曲ZIMyymaxIWZ Z Wz——22梁的弯曲ztItMymaxmaxzcIcMymaxmax⑵

截面关于中性轴不对称最大拉应力和最大压应力不相等，分别计算梁的弯曲ztItmaxzcIcmax⑵截面关于中性23梁的弯曲梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力

max

WzM

max中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁

t

max

[

t

]

cmax

[

c

]Ozytmaxycmaxtmax tmaxtmax

[

]

zIM yccmax

[

]

zImax

ycmaxM[

c][

] tmax

t

ycmaxyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为梁的弯曲材料的许用弯曲正应力max24hzyτybFsF SI

zbs z

梁的弯曲七、

梁横截面上的切应力矩形截面1、假设：⑴

横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。⑵

切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。2、切应力表达式hzτFsF SIzbs z 梁的弯曲25梁的弯曲弯曲切应力的强度条件

I

bS

Qzmax z

maxmax需要校核剪应力的几种特殊情况：梁的跨度较小

或

载荷作用点靠近支座时（M 较小，而

Q

较大）铆接或焊接的组合截面，如工字梁，由于腹板的宽度较窄，腹板切应力可能较大各向异性材料（如木材），其顺纹方向的抗剪能力较差，梁的弯曲IbSQzmax zmaxm26梁的弯曲θ=θ(x)

……转角方程。由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。挠度和转角的关系挠度：横截面形心沿垂直于转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”

表示。y =

y（x）

……挠曲线方程。挠度向下为正；向上为负。轴线方向的位移。

用“y”

表示。dxtg

dy

y(x)

y

tg

yFCy八、

弯曲变形梁的弯曲θ=θ(x)……转角方程。挠度：横截面形心沿垂直于27y

B

0 y

D

0

D

0

C

左 C

右y 右C连续条件：y 左C边界条件：

y

A

0DPPABC梁的弯曲积分法计算梁的变形1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分EIy

(x)

M

(x)EIy(

x)

M

(

x)dx

C1EIy(x

)

(

M (

x

)

dx

)

dx

C1x

C

23、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。FyB 0 yD 0 D 0 y 28梁的弯曲悬臂梁

AB受力如图所示，已知AC段的抗弯刚度为2EI，CB段为EI。试求自由端B处的转角B和挠度B。2EIEIBACPll梁的弯曲悬臂梁AB受力如图所示，已知AC段的抗弯刚度为2E29梁的弯曲111

x

2l

dy1

1

1Px2

2Plx

C

dx 2EI

21

y

x

1Px3

Plx2

Cx

D 2EI

61

由于是变截面（梯形）梁，必须分段积分AC段

a解：方法1

积分法1）写M

x，积分

M

x=

Px

2Pl

32221 12Plx

C dx EI

22

y x

Px

Plx

Cx

DEI

62 CB段dy2

1

1

Px2bcd2EIEIBACPll梁的弯曲111x2ldy1 130梁的弯曲2 24 32）定积分常数由固定端A处的约束条件

10=0

，y10=0

代入式（a）、（b）得

C10，D1

由C面的连续条件

1

l

=2

l

，y1

l

=y2

l

分别代入（a）、（c）和（b）、（d）得C

3

Pl

2 ，D

1

Pl3

2EIEIBACPll梁的弯曲2 24 32）定积分常数131梁的弯曲

2223 2 23341 13143Bdy 1

1Pldx3Pl32EIx

2l

P

4l

2Pl

2l

EI

22

5Pl4EIP

8l

Pl

4l

Pl

2l

PlEI

6B 23）求B、yB将求得的常数代入式（a）-（d）便得到AB、CB段的

x和

x，由此可计算

y

y 2l

=

2EIEIBACPll梁的弯曲 2223 2 2331 13143Bdy 1 32梁的弯曲aaF=+例1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.解、a)载荷分解如图b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。Fay

FC3FL

36

EI48 EIFA4

EI16 EI2FL

2 Fa

y

qC5

qa45qL

424 EI384 EIqaqA3

EI24 EI3qL

3

aaqFCA

Aaaq叠加法计算梁的变形梁的弯曲aaF=+例1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度33梁的弯曲=+ABLaCqBLCqaM=qa2/2

A（b）例3：求图示梁B截面的挠度（EI

已知）。解：1) 结构分解如图2)

查梁的简单载荷变形表3) 叠加BCq（a）yBbyBa3EI1( qa )L2;8EIqa

3L2qa

4a

6EI

Cb

a

y

B

qa (3a

4

L

)324

EI

qa

4

qa3

L8

EI 6

EI

y

Ba

y

Bb梁的弯曲=+ABLaCqBLCqaA（b）例3：求图示梁34梁的弯曲刚性EIBACP（b）Byb

b

BBbBbPl

2Pl3方法2 叠加法）如图（b）所示，将

AC段暂看成刚性梁，即C面成为固定端，查表有

（a）2EI

yB

3EI

（b）2EIEIBACPll梁的弯曲刚性EIBACP（b）BybbBB35梁的弯曲

23cCcC6EI

4EI

12EI

Pl

Pll

3Pl2Pl

Pl

l24EI 2EI 4EI3

5Pl2）如图（c）所示，AC段恢复为刚度为2EI的梁。此时CB段无变形只有由C面带动的位移，分别按C处由P和m作用查表得（注意刚度为2EI）PByc2EIBACm

Pl

cCc

B

BCCyc（c）梁的弯曲23cCcC6EI 4EI 12EI36梁的弯曲P

cB2EIBACm

Pl

cCc

B

BC

cC（c）

2ccBCcBc

cCC3Pl4EI

l

5Pl3

3Pl3

7Pl312EI 4EI 6EI由CB段位移到斜直线CB，有（c）（d）梁的弯曲PcB2EIBACmPlc37梁的弯曲Bb

cBBb

cPl2 3Pl2 5Pl2

3 3 3Pl

7Pl

3Pl3EI 6EI 2EIB B B3)图（c）CB段应有图（b）所示的变形与位移，所以最后结果分别由式（a）与式（b），式（c）与式（d）叠加得到

2EI 4EI 4EI两种方法得到的结果相同。P

cB2EIBACm

Pl

ccC

B BC

cC（c）梁的弯曲Bb cBb cPl2 3Pl2 538梁的弯曲C3

05ql

4 R l C 384EI 48EI5RC

8

qL,ABql2l2RCABqRARBRC例

已知梁的EI，梁的长度，求各约束反力。解：1)研究对象，AB梁，受力分析：RA

,

RB

,

RC

,

qlY

0, RA

RB

RC

ql

0

MA

0, RBl

0.5RCl

0.5ql

2

0２)选用静定基，去Ｃ支座３)变形协调方程yC

yCq

yCR

0４)物理条件yCRC,384EI5ql

4 Rl

3

C 48EIyCq

联立求解：3qlRA

RB

16九、解超静定梁梁的弯曲C305ql4 R l C 5RC839组合变形组合变形40组合变形1.

折杆ABC如图所示（在x

z平面内），分别于C处x方向和y方向作用有载荷P1

和P2，则I-I截面上内力分量有

。

P1 My

P1a Mz

P2l T

P2

a答案：FNxyz1P2PaABCIIl组合变形P1 MyP1a MzP2l T41组合变形答案：A二、选择题1.

图示受拉杆件材料相同，对于如图（a）、（b）所示情况，正确的安全程度排序为

。（A）（a）>（b）（B）（a）<（b）

（C）（a）=（b）aa . a .aa2PP（a）（b）组合变形答案：A二、选择题aa . a .aPP（a）（b42组合变形答案：222zM

yTNA W2WM

yNM

My

M

N2

T

2

y

W

A W

M2

N

2

T

2

y

A

W

W C2.

钢杆的圆截面上作用有轴力N，弯距M

y，扭距T。若已知许用用力

，截面积A，抗弯截面系数W，正确的强度条件为

。

（A）

=

，

（B） A W

（C）

（D）

组合变形答案：222MyTN2WMyNMMy43组合变形y z

M

yMzmax钢轴的圆截面上作用有弯距M

y与M

z，已知其抗弯截面系数W，则利用叠加原理即可写出其危险点的最大正应力

1

M

M

。（

）Wy Wz W答案： 组合变形y zMyMzmax钢轴的圆截面上作用有弯距44截面图形的几何性质截面图形的几何性质45静距、惯性矩、惯性积、§3.4.1 静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩）yAS

AzdAS

z

ydAyzdA1、定义：yzodA对z轴的微静矩:dA对y轴的微静矩:dSz

ydAdSy

zdA2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。3、静矩的值可以是正值、负值、或零。静距、惯性矩、惯性积、§3.4.1 静矩和形心yAS 46静距、惯性矩、惯性积、yzdAyzo可知AAAz

dAy

dAAy

C ,

z

C CAyzdA

AzS CAzydA

AyS 静矩和形心的关系4、静矩和形心的关系由平面图形的形心公式结论：

图形对过形心的轴的静矩为零。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。静距、惯性矩、惯性积、yzdAyzo可知AAAzd47dA对z轴的惯性距:dA对y轴的惯性距:2、量纲：m4、mm4。yzdAz静距、惯性矩、惯性积、§3.4.2 惯性矩和惯性积1、惯性矩的定义：yo2y dA,AzdI

y2dAydI

z

2dA3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4、惯性矩的取值恒为正值。5、极惯性矩：（对o点而言）AoI 2

dAp

I

2

z2

y2图形对z轴的惯性矩:

I

z A图形对y轴的惯性矩:

I

y

z dA2dA对z轴的惯性距:dA对y轴的惯性距:2、量纲：m4、48静距、惯性矩、惯性积、6、惯性矩与极惯性矩的关系：图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。pI

2dA

(y2

z2)dAA A

A Ay dA

z

dA2 2z

I

I

yyzdAzyo静距、惯性矩、惯性积、图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之49静距、惯性矩、惯性积、二、惯性半径：AI

zI

Ai2

i z z zAI

yyI

Ai2

i y y三、惯性积1、定义：3、惯性积是对轴而言。I

zy

zydA4、惯性积的取值为正值、负值、零。yzdAzA2、量纲：［长度］4，单位：m4、mm4。yo5、规律：两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。静距、惯性矩、惯性积、二、惯性半径：AIzI Ai250静距、惯性矩、惯性积、a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负zczabAIzy

IzcycI

y

I

ycI

I

a2Ab2

AzyozcyczcdAycycazb——平行移轴公式注意：ZC、YC 为形心轴静距、惯性矩、惯性积、a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值51静距、惯性矩、惯性积、yzI I IzI

y11上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩将前两式相加得22 22zyz1

y1zyy1zyz1IIIIysin2

I cos

2

I

zIycos

2

I sin

22

I

z

I

y

I

zIycos

2

I sin

2

I

z

I

y

I

zzyOyA z BCDEdA静距、惯性矩、惯性积、yzI I IzIy11上52静距、惯性矩、惯性积、zyIz

I

y2I0tg2

0dIz1d20 zy

0

2Iz

Iy

sin2

2I cos

2

0可求得

0 和

090

两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。且I

z

y

00 02maxmin22zyz0y0Iy)2

I

Iz

I

y

(

IzI

I由yzzyI

I2I0tg2

求出sin

2

0

,

cos

2

0

代入转轴公式可得：静距、惯性矩、惯性积、zyIzIy2I0tg2 53轴向拉压轴向拉压54轴向拉压FN1FN2FN2ABCF一、轴线拉压的概念1.受力特点：

外力合力作用线与杆轴线重合。2.变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。FN1轴向拉压FN1FN2FN2ABCF一、轴线拉压的概念55轴向拉压二、轴线拉压的内力——轴力FN拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。FFFN （＋）FNFFFN （－）FN轴向拉压二、轴线拉压的内力——轴力FNFFFN （＋）FNF56AFN

横截面上正应力的计算公式F

NF2Nm

单位 =Pa

横截面上任意一点属于单向应力状态符号规定——同内力轴向拉压三、轴线拉压的应力1.横截面上应力应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布AFN横截面上正应力的计算公式F 57轴向拉压三、轴线拉压的应力2.斜截面上的应力F

pFN

2

p

cos

cos

2

p sin

sin

2pFpAAAcos

FN

Fcos

cosFF

FNx轴向拉压F pFN 258n

极

限轴向拉压四、轴向拉压杆的强度计算

max

[

]许用应力max

A

FN

max（其中

n

为安全系数,值

＞

1）提高拉压杆强度的措施：1.选用高强度的材料2.增大杆件的横截面积sb

,

极

限n 极限轴向拉压max[]59轴向拉压

cr

a

bsPSP2cr

2E欧拉公式。i

l五、压杆稳定性计算

cro——直线型经验公式中柔度杆短粗杆大柔度杆轴向拉压cr absPS2cr60轴向拉压FL

N

L EA1、轴向变形：轴向的线应变：

F L

N EALL1a1ab1bEA－抗拉（压）刚度l－伸长为正，缩短为负七、轴向拉压的弹性变形轴向的绝对变形

L

2、横向变形：

横向变形系数（泊松比）：a b

a

b轴向拉压FL N1、轴向变形：轴向的线应变：F61三）画节点位移图求节点位移以垂线代替图中弧线。一）分析受力确定各杆的内力

FNi二）求各杆的变形量△li；L2ABL1CN

2FFN1CF1Cl1C2l2C

'FC

''CC

''

就是C点的近似位移。就是C点的节点位移图。轴向拉压八、节点位移图三）画节点位移图求节点位移以垂线代替图中弧线。一）分析受力确62、联立方程(1)、(2)、(3)可得:解：、平衡方程:

X 0

FN1sin

FN2sin

0 (1)Y0

FN1cos

FN2cos

FN3

F

0 (2)、几何方程——变形协调方程：

l1

l

2

L3cos

、物理方程－变形与受力关系3 331 13 331 1EA

FFN1

FN

2

1 1 ;

FN3

3 3 2E

A

cos

E

A2E

A

cos

E

AEAFcos2

(

3

)补充方程cos

F

N

3 L

3E3A

3

F

N

1 L1E1

A1BC1D32轴向拉压例1：图示杆系结构，l1

l2

,

E1

A1

E2

A2

,

E3

A3，求：各杆的内力。FN1AyxFFA3FN3

FN2

1Al12Al2A3l、联立方程(1)、(2)、(3)可得:解：、平衡方程:363轴向拉压三、装配应力、温度应力1）装配应力由于构件制造尺寸产生的误差，在装配时产生变形而引起的应力。1、静定问题无装配应力2、超静定问题存在装配应力。A BllFRAFRB轴向拉压三、装配应力、温度应力llFRAFRB64轴向拉压2）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。温度引起的变形量

—L

tL1、静定问题无温度应力。2、超静定问题存在温度应力。ltltFRAlFRB轴向拉压2）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）65C122、几何方程：a3a解：解除1杆约束，使其自由膨胀；AB横梁最终位置在A’B

’

AlT

A'B'

1、平衡方程:

l2

Mc

0, FN1

a

FN2

3a

0BN

2FFN

1ABCRCA'' l1a 3alT

l1

l2EATN11l

TL,

l

,2

2 EAFN

ll F L3、物理方程：101102N

9EAlT

, N

3EAlT

,

RC

6EAlT

,5轴向拉压例2

已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求：当1杆 温度升高T

时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数C122、几何方程：a3a解：解除1杆约束，使其自由膨胀；66轴向拉压L1

2L1.列静力平衡方程

MA

012m

F

F

4m

F2F1

2F2

F2.变形协调方程L12m

L24m

E1

A!F1L1L1

g

TL122 22 22E

AF

LtL

TL2 2

E

A F2

L2t 2 1 !E

A g 1

TL

2(

F1L1

TL

)例3

图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2，A铜=2000mm2。当F=200kN，且温度升高20℃时，试求1、2杆内的应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa，线膨胀系数αl钢=12.5×10-6

℃-1；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨胀系数αl铜=16.5×10-6

℃

-1；2m2m1F1FA

4mF22

1mL2

2L13.建立补充方程轴向拉压L1 2L1.列静力平衡方程12mF67轴向拉压1L2LF1

2F2

F22 2E

AF2

L2t1 !1

1E

AF

L

TL

2(

g

TL1

)4.计算1，2杆的正应力

38.5MPa11AF

1231000mm

38.5210

N2AF

2

22000mm2119.26

103N

59.6MPa例3

图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2，A铜=2000mm2。当F=200kN，且温度升高20℃时，试求1、2杆内的应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa，线膨胀系数αl钢=12.5×10-6

℃-1；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨胀系数αl铜=16.5×10-6

℃

-1；2m2m1F1FA

4m2F1m2F1

38.52kN（压）F2

119.26kN（压）轴向拉压1L2LF12F2F22 2EAF68剪切剪切69剪切名义切应力计算公式：A

Fs§3.2.2剪切的实用计算剪切面上的内力——剪力用截面法——sFFFmmFFSFmmFFFSmm剪切强度条件：A

Fs

——名义许用切应力常由实验方法确定

剪切名义切应力计算公式：AFs§3.2.2剪切的实用70剪切3.2.3 挤压的实用计算FFsF铆钉受挤压时，挤压面为半圆柱面bsF

挤压力Fbst

板的厚度tdbsA

td计算挤压面积d

max

0挤压力分布假设挤压应力在挤压面积上均匀分布bsFbs

bs=

A剪切3.2.3 挤压的实用计算FsF铆钉受挤压时，挤压面为半71剪切例2

已知：F

=80kN,

=10

mm,

b

=80mm,

d

=16 mm,[

]=100MPa,[]bs=300MPa,[

]=160

MPa试校核接头的强度搭接接头剪切例2已知：F=80kN, =10mm,72剪切解：1. 接头受力分析当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过铆钉群剪切面形心时，通常即认为各铆钉剪切面上的剪力相等若有n个铆钉，则每一个铆钉受力F/

nF/

nmm剪切解：1. 接头受力分析当各铆钉的材料与直径均相同，且外力73剪切4S

99.5

MPa

[

]Fπd

2 πd

2

4FS

bsbs

125

MPa

[

]

Fb

FSd d1N11

125

MPa

[

]

FA (b

d

)F22

125

MPa

[

]3FA 4(b

2d

)

FN2

2. 强度校核剪切强度：

FF 挤压强度：拉伸强度：F/

4F/

4接头强度足够剪切4S99.5MPa[]Fπd2 πd74圆轴扭转圆轴扭转75圆轴扭转2.求扭转内力的方法—截面法ⅠⅠ3 受扭圆轴横截面上的内力、内力偶矩—扭矩，ＴITI圆轴扭转2.求扭转内力的方法—截面法Ⅰ76圆轴扭转T

T

扭矩符号规定：4

扭矩的符号规定—右手螺旋法则IITITITMeI I右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。IITMe圆轴扭转TT扭矩符号规定：4扭矩的符号规定—右手螺77单位:r/min圆轴扭转轴传递的功率

P单位:kW轴的转速n,rpmenM

9554

P单位:r/min圆轴扭转轴的转速nenM 9554P78圆轴扭转根据精确的理论分析,当t≤r0/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。

r0

dA

Tr0

2

r0t

T3.

横截面上切应力的计算公式0r

dAd0 00A2r

t

r

d

T0dA

t

r

d0 0T T2A

t2

r

2

t

圆轴扭转根据精确的理论分析,r0dATr079圆轴扭转I

p

T

圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。dAT圆轴扭转IpT圆轴扭转时横截面上任一点的切80圆轴扭转横截面上

—PPWIPIT

Tmaxmaxmax

T

PWmax

Tmax整个圆轴上——等直杆：

二、圆轴中τmax的确定Ip—截面的极惯性矩，单位：m4

, mm4—抗扭截面模量，单位：m3

, mm3.maxPI

pW PW圆轴扭转横截面上—PPWIPIT Tmaxmaxmax812、强度条件应用：33

16

16实心,(1

4

) 空心.DDW PTmax1）校核强度:

max

≤

max[

]TWP2）设计截面尺寸:WP

≥3）确定外荷载:Tmax≤WP[

]

m一、

扭转强度计算1、强度条件：

max

[

]pmaxW

T

max

WpT

max

max等截面圆轴:变截面圆轴:圆轴扭转3.3.3扭转切应力强度条件2、强度条件应用：331616实心,(182圆轴扭转四、圆截面的极惯性矩Ip

和抗扭截面系数WpAI 2p

d

Aπd

3IpWp

d/

2

1602d2

d

)

(2π32πd

4d

A

2π

d

04d/

2

4

2π( )实心圆截面：Od圆轴扭转AI 2p dAπd3IpWp d/83223pdI 2π

d

43416

1

πD16D

πD4

d D

/

2Wp 圆轴扭转空心圆截面：Dd

A

2π

d

32

d

4

π

D44432Ip1

πDdD

ODd223pdI 2π d43416 1 84圆轴扭转注意：对于空心圆截面3 3pD

d

W p32π16I

π

D4

d

4

ODd圆轴扭转注意：对于空心圆截面3 3pD d W p85dx GIPd

TGILP

T dx扭转角单位：弧度（rad）GIP——抗扭刚度。d

T dxGIPGI

p

TlpiGITili——单位长度的扭转角mrad圆轴扭转二、扭转杆的变形计算1、扭转变形：（相对扭转角）扭转变形的基本公式扭矩不变的等直轴Pd

T

dx GI各段扭矩为不同值的阶梯轴

dx GIPd TGILP T dx扭转角单86圆轴扭转2、刚度条件：

PGITmaxmax

maxP0

Tmax

180GI m3、刚度条件应用：1)、校核刚度；max

≤

G[

]TI

p

max2)、设计截面尺寸:3)、确定外荷载:

Tmax

GIp

[

]

m圆轴扭转PGITmaxmaxm87课程总结课程总结88绪论一. 材料力学的任务构件的设计在力学上有一定的要求（承载能力）强度：构件在载荷作用下，抵抗破坏的能力。刚度：构件在载荷作用下，抵抗变形的能力。稳定性：构件在载荷作用下，抵抗失稳的能力。合理地解决安全与经济这一矛盾，为实现既安全又经济的工程构件设计提供理论依据和计算方法。绪论一. 材料力学的任务构件的设计在力学上有一定的要求（承载89绪论1.构件按几何形状分类构件杆块板壳直杆曲杆等截面直杆变截面直杆大曲率杆小曲率杆二.材料力学的研究对象绪论1.构件按几何形状分类构件杆块壳直杆曲杆等截面直杆变90FFMeMeFM（2）剪切（3）扭转（4）弯曲FF（1）轴向拉伸或压缩绪论2.杆件变形的四种基本形式FFMeMeFM（2）剪切（3）扭转（4）弯曲FF（1）轴向91梁的弯曲梁的弯曲92梁的弯曲一、弯曲的概念受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为曲线。梁的弯曲一、弯曲的概念93梁的弯曲x梁的轴线FqmAFFBy

纵向对称轴AM梁上的外力支撑——支座反力（支反力）载荷集中力分布力集中力偶1.平面弯曲（外力通过形心的主惯性轴）梁的弯曲x梁的轴线FqmAFFBAM梁上的外力支撑——支座反94梁的弯曲FyFzzxy2.斜弯曲（通过形心，不过主惯性轴）斜弯曲：弯曲变形后,梁的轴线将不在位于外力的作用面内.梁的弯曲FyFzzy2.斜弯曲（通过形心，不过主惯性轴）95左上右下为正FssF上压下拉为正MMFMFlFsFsMFFlFnnF上图中的剪力和弯矩均为负值梁的弯曲二、弯曲内力——剪力

Fs和弯矩

M正负号规则：左上右下为正FssF上压下拉为正MMFMFlFsMFFlFn96梁的弯曲0sM(x)

FxF(x)

F剪力图FM以横坐标

x

表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值剪力图：正的剪力画在x轴上方弯矩图：负的弯矩画在x轴上方Fsx x0弯矩图FlFFxFsM三、剪力图和弯矩图梁的弯曲0sF(x)F剪力图FFsx x0弯矩图F97梁的弯曲四、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系d

xsd

xdM

(

x

)

F

(

x

)d

2

M

(

x

)d

x2

q(x

)微分关系dFs(x)

q(x

)几何意义剪力图上某点处切线的斜率等于梁上该点处的分布载荷集度qs弯矩图上某点处切线的斜率等于梁上该点处截面上的剪力

F弯矩图的凸向取决于分布载荷集度

q 的正负梁的弯曲dxsdxdM(x)F(x)98梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律dx1.梁段上无分布载荷：(1)

dFs

(

x

)

q(

x

)

0sdx(2)

dM

(

x

)

F

(

x

)

常数

00

0Fs(x

)弯矩图为平直线弯矩为增函数，下斜直线弯矩为减函数，上斜直线弯矩为一次函数弯矩图直线剪力图切线斜率为零Fs为常数，剪力图为平直线梁的弯曲dx1.梁段上无分布载荷：sdx(2)dM(x99梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律1.梁段上无分布载荷：若梁段没有分布载荷，只有集中力和集中力偶剪力图和弯矩图不可能出现曲线图形其中剪力必为常数，弯矩可能是常数或一次函数梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律100剪力为增函数，上斜直线剪力为减函数，下斜直线剪力为一次函数剪力图为斜直线0

0q(x

)dx(1)

dFs

(

x

)

q(

x

)

常数

0梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数剪力为增函数，上斜直线剪力为减函数，下斜直线剪力为一次函数101sdx(1)dM(x)

F(x

)

一次函数

M

(

x

)

为二次函数，

弯矩图为二次曲线0

0q(x

)M

(

x

)

应有极小值弯矩图为上凸曲线M

(

x

)

应有极大值弯矩图为下凸曲线梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数sdx(1)dM(x)F(x) 一次1020

0q(x

)M

(

x

)

应有极小值弯矩图为上凸曲线M

(

x

)

应有极大值弯矩图为下凸曲线梁的弯曲分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数M

(

x

)

极值的位置在

Fs

(

x

)

0 的截面00q(x)M(x) 应有极小值弯矩图为上凸103111sQxxx

2

q(x)dxdx

dFs

(x)

q(x)dxQ2dF

(x)

x2

q(x)dx

Fs2

Fs1

dFs

x

q

x

22221sM xsM1x1xsx1dM

xdxF

(x)dxF

(x)dx

F

xdM(x)

M

M

dM

(x)

Fs

(x)dx梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积梁的弯曲五、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系111sQxxxdxQ2dF(x) x2q(x)104l

/2

B梁的弯曲qCl

/2

8AR

3ql A8BR

ql83ql②8qlFsM①④③①②③16ql

21289ql

2l/2B梁的弯曲Cl/28AR3ql A8BR105梁的弯曲１.纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。2.横力弯曲梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。MxFsxFaFF六、

纯弯曲和横力弯曲的概念aaFBAF梁的弯曲１.纯弯曲2.横力弯曲MxFsxFaFF六、纯弯曲106yxM

z中性轴MZyσmaxσmaxM

yI

z

梁的弯曲七、

梁横截面上的正应力弯曲正应力计算公式yxM zMZyσmaxσmaxMyIz 梁的弯107梁的弯曲yxMZ(1)（中性轴为形心轴）yA（y轴为对称轴，自然满足）zydAσz(3) M A——弯曲变形计算的基本公式1

M

EIZ（三）、静力学条件：由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。F

y E ENx

A

dA

0

A

E

dA

A

ydA

SzA(2) M

zdA

0

EAy

dA

M

EyzyzdA

E

Iz

y

2

dA

E

IyzI

0zE

I

MSz

0梁的弯曲yxMZ(1)（中性轴为形心轴）yA（y轴为对称轴108梁的弯曲ZI

MyymaxIWZ

Z Wz

——抗弯截面模量最大正应力的确定⑴ 截面关于中性轴对称ztWc

Mmaxmax

矩形截面bh3IZ

126bh2WZ

圆截面d

4IZ

64d

3WZ

32ZmaxI

Mymaxzbhyzdy梁的弯曲ZIMyymaxIWZ Z Wz——109梁的弯曲ztItMymaxmaxzcIcMymaxmax⑵

截面关于中性轴不对称最大拉应力和最大压应力不相等，分别计算梁的弯曲ztItmaxzcIcmax⑵截面关于中性110梁的弯曲梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力

max

WzM

max中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁

t

max

[

t

]

cmax

[

c

]Ozytmaxycmaxtmax tmaxtmax

[

]

zIM yccmax

[

]

zImax

ycmaxM[

c][

] tmax

t

ycmaxyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为梁的弯曲材料的许用弯曲正应力max111hzyτybFsF SI

zbs z

梁的弯曲七、

梁横截面上的切应力矩形截面1、假设：⑴

横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。⑵

切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。2、切应力表达式hzτFsF SIzbs z 梁的弯曲112梁的弯曲弯曲切应力的强度条件

I

bS

Qzmax z

maxmax需要校核剪应力的几种特殊情况：梁的跨度较小

或

载荷作用点靠近支座时（M 较小，而

Q

较大）铆接或焊接的组合截面，如工字梁，由于腹板的宽度较窄，腹板切应力可能较大各向异性材料（如木材），其顺纹方向的抗剪能力较差，梁的弯曲IbSQzmax zmaxm113梁的弯曲θ=θ(x)

……转角方程。由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。挠度和转角的关系挠度：横截面形心沿垂直于转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”

表示。y =

y（x）

……挠曲线方程。挠度向下为正；向上为负。轴线方向的位移。

用“y”

表示。dxtg

dy

y(x)

y

tg

yFCy八、

弯曲变形梁的弯曲θ=θ(x)……转角方程。挠度：横截面形心沿垂直于114y

B

0 y

D

0

D

0

C

左 C

右y 右C连续条件：y 左C边界条件：

y

A

0DPPABC梁的弯曲积分法计算梁的变形1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积