多元函数积分概念与性质

关于多元函数积分概念与性质第一页，共四十八页，2022年，8月28日1.曲顶柱体的体积曲顶柱体：以XOY平面上的闭区域D为底，以D

的边界曲线为准线，母线平行于Z

轴的柱面为侧面，并以z=f(x,y)为顶的空间立体.一.两个实例：如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想.分割：把D

任意分成n

个小区域(同时用表示第i

个小区域的面积），分别以的边界为准线作母线平行于z

轴的柱面，则原曲顶柱体分成了n

个小的曲顶柱体。第二页，共四十八页，2022年，8月28日近似

：任取，则以为底的小曲顶柱体体积:yxzDo求和：取极限：区域中任意两点距离的最大值称为该区域的直径，记则：第三页，共四十八页，2022年，8月28日设有一物体对应于空间曲面

,(x,y,z)

为密度函数(连续），现要求该物体的质量m。2.质量：分割：把任意分成n

小块，表示第i

小块曲面的面积。近似：任取，则第i小块曲面的质量取极限：求和：第四页，共四十八页，2022年，8月28日二.数量函数积分的概念定义1第五页，共四十八页，2022年，8月28日二重积分；三重积分：其中称为积分域，f称为被积函数，f(M)d称为被积式或积分微元。几种具体的类型：第六页，共四十八页，2022年，8月28日第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）：第一型曲面积分（对面积的曲面积分）：L称为积分路径。第七页，共四十八页，2022年，8月28日数量函数积分的几何意义：当时，=以D为底,以为顶的曲顶柱体的体积；第八页，共四十八页，2022年，8月28日数量函数积分的物理应用之一：第九页，共四十八页，2022年，8月28日三.积分存在的条件和性质.

必要条件:

f在上可积，则f在上有界。第十页，共四十八页，2022年，8月28日1.线性性质：2.可加性3.积分不等式若则第十一页，共四十八页，2022年，8月28日5.中值定理特别地，有若则第十二页，共四十八页，2022年，8月28日的边界为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面，D为底面，曲面由二重积分的几何意义知：以xoy平面上的区域为顶面的曲顶柱体的体积为第2节二重积分的计算一.直角坐标系中二重积分的计算：xbxaoyz第十三页，共四十八页，2022年，8月28日任取，过x

轴作平行于yoz坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为，则先y后x的二次积分(累次积分)而该体积也可用定积分的方法求得:bxaoxyz第十四页，共四十八页，2022年，8月28日X-型区域：任一平行y

轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。上面假定，但实际上上公式对一般的也成立。对各种不同类型的积分区域D，二重积分化为二次积分的情况总结如下：第十五页，共四十八页，2022年，8月28日DaboyxoyxDab第十六页，共四十八页，2022年，8月28日DdcoyxDcdoyxY-型区域：任一平行x

轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。第十七页，共四十八页，2022年，8月28日oy第十八页，共四十八页，2022年，8月28日例1计算解oxy11第十九页，共四十八页，2022年，8月28日解法一先对y后对x积分oyx例2第二十页，共四十八页，2022年，8月28日法二先对x后对y积分oyx第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日解由于的原函数不能用初等函数表示，故不能先对y积分例3计算oyx1D第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日注意：在例2中，法1比法2简便，在例3中，由于被积函数中含有，只能先对x积分.因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。例4

作出积分域，并改变积分次序：解原积分=(4,2)o第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日解原积分=o(2,1)o解原积分=第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日解原积分o第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日例5求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。解第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日二.极坐标系下二重积分的计算则得极坐标系下的二重积分计算公式:作极坐标变换第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日oxD第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日若区域D可用极坐标的不等式oxDoxD第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日若区域D可用极坐标的不等式oxD第三十页，共四十八页，2022年，8月28日若区域D可用极坐标的不等式oxD第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日若区域D可用极坐标的不等式oxDab第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日解令则在极坐标系中，于是例6

计算第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日显然由于从而例7

计算反常积分解设例6例6第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日而从而因此第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日例8

将下列二次积分化为极坐标形式下的二次积分：解第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日积分区域：D:在极坐标下，D：于是解第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日在极坐标下，将D分为二部分表示：于是解第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日在极坐标下，D分为二部分表示：于是解第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日例9

求Bernoulli双纽线围成的面积A.解双纽线在极坐标下的方程为：第四十页，共四十八页，2022年，8月28日由的周期性得图形的对称性，而且当从增加到时，由零增加到，再减少到零，于是可得如图所示的双纽线图形。第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日（2）变换T：把uov平面上的区域一对一的变为D，定理1设（1）（3）(u,v),(u,v)在上具有一阶连续偏导数，且：三.二重积分的换元法二重积分的换元公式第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日例10

计算解于是第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日例11

求由曲线

所围区域D的面积S。解令D第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日于是第四十五页，共四十八页，2022年，8月28日例12

求椭圆围成区域的面积A。解令广义极坐标，第四十六页，共四十八页，2022年，8月28日作业P93-97习