大学专业课程《线性代数》试题及答案(二)

大学专业课程《线性代数》试题及答案（二）

a 1 1

3 ba（1）已知3 0 1 =6，则a

= 0 ；b -3 . 3 3

a 1 13 b a303 0 1

a6

936 4ab

a0

2ab3

b3.0 2 13 b 2a3b 0 1 0

2 0 0 0 2 0.A.

1 0

0则A

3A2=

0 0 2 0 0 1 0 1 0 1 1 解：A1 0 0A2 1 ，A4 1 E，0 0 1

1 1 A20103A2A200823A2A23A22A2 2 . 若B均为3阶方阵，且A2，B2E，则AB -16 .解：ABAB22E33

223E16.A

A2A 1 3 1A3A=

2，A=

，则 3A

= 6 . 2 A2AAA1 2 A2A3 1

A3 1A、、3.A 2A A A3 1 3 1解： 3A2A1

3A2A1

3A2A1

3A2A1

03A2A3

3A6.5）已知=（，11，| |= 0 .T

11111 1111111 1110.1111111 0 （6）设A= 0 2 0 满足A2BABE，则B

1 . 2 0 1 解：A2BABEA2EBAEAEAEBAE两边取行列式得：

AEAEBAE，AE6，AEB1.21 1 0

0 1 0 2 1 0.（7）设A=2 0 0，则A*=. 0 0

0 0 2 A11

1

0，A21

211 00 1

1，A31

311 000 00001A 000112

2 02，A0 1

2

1 01，A0 1

1 002 0A 13

2 00，A0 0

2

1 10，A0 0

1 122 0A A A 0 1 0 11 21 31 A A A 2 1 033 12 22 32 33A A13

A 0 0 21 1 6 10设矩阵B2 5 a

的秩为2，则a 3 . 1 2 1 a 解：由B的秩为2，则B的所有3阶子式为0

11 611611611625 a011 611611611625 a03a1201501512 101503a1200a3k1A111

1 1 1k 1 1，且R(A)3，则k -3 .1 k 11 1 kk111k3k3k3k311111k1k111k3k3k3k311111k111k1130k10011k111k100k10111k111k000k1Ak3k

0k1,31 1 1 1若k1，则A1 1 1 1，RA1，与已知矛盾，故k1；1 1 1 133111131111311113k3A

RA3，因为有一个三阶子式3 11 31 1

11 160k3.3（10）A为5阶方阵，且R(3，则R( 0 .解：关于原矩阵与伴随矩阵秩的关系有如下结论：解：关于原矩阵与伴随矩阵秩的关系有如下结论：R A RAn时n, RA时n5R3R A0.0, RAn时RAn

A0，A 0R n；n1②若RAn1，则n1

A0A有一个0A有一个代数余子式不为，R1.因为AAE0，所以RRAn【见书P11：例9R

1

A

1；③若RAn2，则A的所有n1阶子式全为0，于是A所有代数余子式全为0， AOnn

，R 0.AATA

= n .解：方法一RRTRA，由上题结论可知RRAnor 0，由已知A为非零方阵，则R1，故RRAn；

AE

na2

na a a

a 1jj

1j nj11

1n

n1

j1

j1

a

a a

1n

n

n 2 nn

j

aanj1j

a jnj A为非零方阵，故的对角线元素不全为0，从而为非零方阵0，则RAn.20A00

0 0 03 0 00 0 000 3

1 02110 30 00 0

0 000 01 .0 31 02 22000030000030020

2 0 0 2A1OOA2，A A1OOA2 1 0 3

2 3 01 0 0 02 1 0 0 0A O

O 3 A1 1

1

2O A 2

A1

0 0 0 12 32 1 n

0 0 0 2 n2n2A满足2AkA，k0，则k .n2n2解：由

A是可逆方阵知AA0，2AkAknAkn2，由k0k .设n阶方阵A满足A2，则ATA 4 ，A1 1 ，2

1

3nA = 2n1 ，A

2

，A

A

2 ，2 2A1

AA1

3n .2AA

22

4，A1A121

1，A2

A

2n1，

An2

AAn2

A

n122n

12，

A AA AA A3n21A1232 1A1232 3nA1

AA1

A

AA1A1

AA13A1A3A121 1 1

nAnAA

3，则4

A 15A

1 3 .1 1

1 n解：44

A 15A

4A115AA1

4A115 A13

A1 1

3.A A A 2 2 016）设 的伴随阵，则

1A .10解：A

A1

A1A.A10A设A,A1分别为n阶方阵A的伴随阵和逆阵，则AA1解：A1A1An1A1An2.1 2 2

An2 .设A4 a 1，B为三阶非零矩阵，且ABO,则a= -1 . 3 1 1 A0：ABO

A0AABOBO矛盾，故0；方法二：ABO，设Bb1 2

bO3

bi

O31

,i1,2,3，Abi

O ，即31Ax04.2.1RAnA0.综上有0.122122122122122A4a1311077701170113114a10a890a8900a17a10a1kx11

k2x1

k3x1

k41线性方程组kxkx2kx

k2x2 k2x

k3x2 k3x

k2k4

，满足条件kkk123

0,k,k1

,k互不相等时有3惟一解.

31 3 2 3 3 3解：由克莱姆法则：A0时有唯一解.k k

k3 1 k k21Ak

1 1 1k2 k3kkk 1 k

1k2kkk

k

k

k02 2 3

123

2 2 123 2 1

3 1 3 2k k3 3

k3 1 k k23 3 3kkk123

0,且k,k1 2

,k互不相等.3

2x

x

3x 0（20）=

113 64113 641

29x

34x

0有非零解.2 4x1x 2x 30Ax0A0

1 2 313 6412 13 641A4

9 42131180 .1 1 2选择题An阶方阵，则下面结论正确的是（B）（A）AA必可逆；（B）AA必不可逆；（C）AA+必可逆；（D）AA+.AA0AA0（A若AB不可逆A0,B0，ABAB0AB（A）错误；（B）A0B0ABAB0，故（B）正确；（C）

ABAABAAO不可逆，故（C）（D）A0 0，B1 0均不可逆，但AB1 0可逆，故（D）错.0 1

0 0

0 1

AnA(E)=O，则（B）（A）AO或BE； （B）A或BE0；（C）A或B1； （D

A=BA.解：ABEO正确；

ABE0A0BE（B）（A）反例：AB1 00 00 0O；0 00 1 0 0 （C）BE0 B1，故（C）错；（D）ABEOABAOABA

ABA，故（D）.AnABOA的秩（D）（A）必有一个为零； （B）一个等于n，一个小于n；（C）都等于n； （D）都小于n.ABOP1109RARBnAB均为非零矩RA1RB1RAnRBn1nRBn，故（D）正确；ABOA、n

A、均不可逆RAn，RBn反证：若

AABBOBO矛盾；若B可逆，则AABB1OB1O，与AO矛盾.nAB，则（D）（A）AB； （B）AB；（C）B0； （D）若0,则B0.ABPQPAQ,P0,Q0，PAQ00A0B0（D

A（B（CPAQBP、Q（A）（B（C）.

A、均为n阶方阵，EABEBAEB1（C.（A）EA1B1； （B）EB1A1；（C）EB(EAB)1A； （D）B(EAB1)A.解：经验证知（C）正确，即 EBA1EBEAB1AEBAEBEAB1A EBABEAB1ABABEAB1AEBABEABEAB1AEBABAE.nB,CABCE，则必有（D）（A）ACBE； （B）BACE；（C）CBAE； （D）BCAE.解：ABE，则A、B均可逆，且BAE，即ABBAEEABCABCBCACAB，故（D）.nBC均是可逆方阵，则

1

（D） （A

； （B）

1BTBT （C）B1C1A1； （D）B1TC 解：ACBT

1

C1A1

B1

C1A1，故（D）.a

a a

a a a 11 1221 设A21

13 14 14 2324 ,B 2423

13 12a a23 22

11a21，aa

a a a a a a

33 34

33

31a a41 42

a a43

a a a a44 43 42 410 0 0 1 1

0 0P0

1 0 0，P0 0

1 0AB

（C）1 0 0 1 0 2 0 1 0 01 0 0 0 0 0 0 11 （A）A1PP；

（B）

A1P；1 2 2 1（C）PPA1； （D）PA1P.1 2 1 2解：A

，则B

APP

APP，其中1 2 3 4

4 3 2

12 21PE，P1

E对初等方阵有：Ei,j

Ei,j,Eik1

1,Ejk,iEEi

Ejk,iP1

P,P1P

1 1 2 2B1APP

P1P1A1

PP

A1，故（C）.21 1 2 12B1APP

1

P1P1A1

PPA112 2 1 21AmnBnm矩阵，则（A）（A）mn时必有=0； （B）mn时必有AB=0； （C）mn时必有AB 0； （D）mn时必有AB 0. 解：对（A（

）mn

mmAB

RA

nmAB0，故（A）正确；mm （B（D有mnR AB R A mm 故（B（D）错误.a b b

AB

mAB0均有可能，mmAB设A=b a b，A的伴随阵的秩为1，则（B）. b b a （A）a或a0 ； （B）ab且a0；（C）a或a0； （D）ab且a0.n, RAn 3, RA3解：R1, RAn1，此题有R1, RA2 0, RAn2 0, RA 由R1RA2A0b bAb a ba3b3ab2ab2ab0aborab0b ab b b 若ab，Ab b b，RA1与RA2 b b b 0 0 0 若a2b0，a2b，此时b0，若b0，则a2b0，A0 0 0 0 0 0 2b b

b bRA2矛盾故b0. A b 2b b ， 0故RA2. b b b 2b 综上所述，ab且ab0（B）正确.A(a)ijaijaij

ij3×2矩阵；ij的的4阶方阵.0 1）Aaij

1 02 32 2 1 2 3 4（2）Aa

2 4 6 8 ij44设矩阵

3 6 9 124 8 12 1641 1 2 1 2 3A1 1 1；B1 2 2， 求3AB2及AB)T.

2 1 1 0 3 1 0 6 3 解：AB0 3 6，

1 1 2 1 1 1，AB

0 0 3 6 3 9 3 9 3 2 1 1 3 6 3 0 6 3 1 1 2 0 18 9 2 2 4 16 53AB2AT30 3 621 1 10 9 182 2 22 11 20 3 9 3 2 1 1 9 27 9 4 2 5 29 7 计算下列矩阵的乘积

2

4 0

1 3 10 1 2（1）

；1 1 3 31 3 12 0 1 2 1 31 2 0（2）0 1 10 1 7； 0 0 5

0 0 3 3（3）2 32；1 2（4）

12；3 4 3 2x1 2 51（5）

x；3 1 023 x3a a

a xx

xa11 12 13 1（6）

a a x.1 2 3 21 22 23 23a a a x331 32 331 3 12 1 4 00 1 2

6 5 0）

1 1 3 31 3 1

10 7 12 0 1 2 1 31 2 0 2 5 2（2）0 1 10 1 70 1 10 0 0 5

0 0 3

0 0 15（3）2

3213223141 2 0 4（4）

10 20 2 3

0 6 4 3 2

4x

2x 1 2 5

1x

1 (2)

53 （5）

x

x x3 1 0 2

2 33x3 x 3a a a a

x1 2a xx

x 11 12aa

13 1（6）1 2

3 21

22 23 23a a a331 32

x

x

xa

xa x a x

x a x

a x

x

xx111

212

313

121

222

323

131

232

333 2a x2

x2

x2

a x

a x

x3a xx111 22

333

12 21 1

13 31 1

23 32 231 0设A 1，求Ak (k为正整). 1 0 1 0

1 0

1 0解：A 1，

2 1，

A2A1

k 1 用数学归纳法证明： ①当k1时，A1 0 1 1 0②设当kn1时，An1成立， 1 01 0 1 0则当kn1时，An1AnA1 1n1 1成立，1 0故由数学归纳法知Akk 1

1 0 设0 1，求Ak (k为正整).0 0 1 0 0 0 0 1 0 解：A0 10 0 0 0

B，且 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 ，B2 0 0 0 ，B3 0 0 0 O ，BkO,k3，

330 0 0

0 0 0

0 0 0 Bkk1 1 2 2 可得：AkBk CikiBikCkBCkBBkk1 1 2 2 ki0

k k k122 k 2 AkkC1k1BC2k2B2k k

k2

0 2 k 2 0 0 00 2 0 0

0 0 2 设 ，求Ak(k为正整).1 0 2 00 1 0 2 O

2 0

O O 2 OA

，A2

，E

0 2

E E

22 O O 3 O k OA3

，假设Ak ，2 2E

3

k kk O O kO Ak1

k kE

k1

k

0 0 00 2k 0 0Ak k2k0 2k 023000023002230000230022023002322023222200022022 0 220220

0 方法二：A2

0，0

23 22

0 0 0假设Ak假设Aka 0 2k k

，则0 a 0 2kk

2k0002k000200002k0200

0 0 Ak

00

0

2k1

0 0 a 0 2k k

1 0 2 0

2a k

0 2k0k0 a 0 2k0 1 0 2k

0 2ak

0 2ka a 1 a 1 a kak

2ak

2k

k 2k

2

1 k2 2 2k 2a k2kk 2k

0 0 0Ak Akk2k0 2k 0 0 k2k0 2k求下列矩阵的秩3 1 0 2 1 0 1 1

1 0 1（1）1 1 2 1； （2） 1 3 4 4

0 1 1 1 1 1 -2 0 11220112202152 1 1 5

－1（3）1 0 1 2 （4）2 0 3 30 1 1 1 3 1 2

1 1 0 4 3 1 0 2

1 1 2

1

2 111解）1 1 2 111

rr22

3 1 0 2r3r22

0 4

6 5 1 3 4 400400406 50 0

1 3 4 RA2

rr3

0

6 51011101011011101011001100210021（2）

1 0 1

0 1 1 0 000 1 1 101 1 2 01

0 1 1 10 1 3 1 0

0 2 1

100 0 00RA31212302110115201113127

1 2 3

0 1 2

3 0 0 5 5 5

0 1 1 1（3）

00212112000 00 000 0 7 7 7

0 0 0 0 RA2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 10 2 1 5 1 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1（4）

2 0 3 1 3 0 2 1 5 1

0 0 2 2 21 1 0 4 1 0 0 2 2 2

0 0 0 0 0 RA3

求下列矩阵的秩及行的最简形1 2 1 0 2 3 2 0 12 4 2 6 6

0 2 2 1（1） ；（2） .2 1 0 2 3 1 2 3 23 3 3 3 4

0

2 11 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 22 4 2 6 6 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1）

2 1 0 2 3

0 3 2 2 1

0 0 0 6 3 3 3 3 4 0 9 6 3 2 0 0 0 1 1 2 1 0 2 1 2 1

2 1 0 1

0 160001232 13 001 130012301 901230 001 1911

3 9 3

3 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0 RA3231105231105013 2 0 1

1 2 3 2 100 2 2 1 0 2 2 1 0 rr 2（2）1 2 3 2

3 1r

0 4 9 5 30 1 2 13 10 1 2 1 1 23110123110100

0 2 1

1 2 3 0 1

0 0 1 0 0 00101220001001101000001000101000001 00 10 01000 10

2RA4求下列方阵的逆1 2 1（1）3 4 2；

cos（2）

sin； sin cos5 4 1 1 0 0 0 5 2 0 01 2 0 0 2 1 0 0（3） ； （4） ；2 1 3 01 2 1 4

0 0 4 20 0 1 3 3 2 0 1

0 0 1 3 0 0 0 2 80 2 2 1 （5）1 2 3 2； （6）1

0 1 0 0. 2 3 2 0 00 1 2 1 3 1 1 0 0 2110420141002110420141002110213114650）3

0r3r0 02121 5101 r5101

5r 1 21102110213101167r7r03 3

0 1201572013201572013601167

1 1 01 0

0 1 00 13 1 01011 01011

0

16 1 0 0 2 1 0 2 1 001 13 101

13 10 3 A1 3 2 2 2 2 0 0 1 16 7 cos sin（2）A

sin cos

1，A11

cos，A12

sin，A21

sin，A22

cosAA

A

cos

sinA1

11

21 （3）

A A12 22

sin10010001000200110013020110001001200010213000100

cos 000141 000141 00000100200110030311

0 2 1

1100100000 1 42021220100 0 412560001000110001000002003001311010331 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 1

0 0

24 0 0 0 2 2

112 12 0 0 1 10 0 1 0

1 A10

2412 4 8 02 6 32

6 3 5 2 60 0 0 1 1

5 1 10 0 1 3520 0 1 3520021000042（4）A

24 12 AA1OOA2 5 2

1 2

4 21 13 2A1

2 1

2 5，

1 3

141 41 2 A O

A1

1 2 0 02 5 0 0O 3 1A1 1

1

0 0 2O A 2

A12

14 770 0 1 27 14 （5）

0 1 02320012210232001221010495103121000320110002210101232001rr 3 10 0 00 1 2 1

0 0 0 1

r3r3 1

1111021315212312010122110 0100002121212000120300001020102101122231101000 00 13 52020 1500000200112210001010101136001216101230421101101030101011360012161010001124100011240100010100101136 A1

0 1 0 1 1 1 3 6 0 0 0 1 2 1 6 10 2 1 6 100 0 0 1 30 0 0 2 8

O A（6）A1

0 1 0 0 A 12O 3 2 0 0 2O3 1 1 0 03

1 1 1 3 1 0 11 6

6 21 31

4 2

2 1 A1

，A12 3 2

011 2 81

1

2 3 1 1

3 3 2

7 1 12 26 6 001 1 100 6 6 2 2 1 0

3 3 0O

1

A1 7 1 1AA1A 2

1 O A11

2 0 0O 3

6 6 24 2

0 0 01 1 0 0 0 2 求解下列矩阵方程1 2 1 1（1）3 4 2X0； 2 2 2

1 1 4

2 1

1 1 3（2）

X2 1 0 ；1 2 4 3 21 1 12 1 0

1 2（3）A1 2 1， C3 4，AXXC； 0 1 2

2 1 4 2 3（4）A

1 1 0ABA2BB.1 2 3 1 2 1 1解）AXb，其中A3 4 2，b0 2 2 2

1A b初等行变换E Ab102102221103110220111311020 1103030002010

3 4 2 02 2 2 1 1 0 0 2 201 3 010 X 2 2 0 0 1 0 （2）AXBCX1 4

12 4

2 1 1 A1 2，

61

，B2 1 0

1 1 1 2 1 1 1 0 011101111010011100

2 1 1 0 0 2 0

0 0 1 1 0 0 1 1 0 2

3 31 1

3 3 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0 2 2 2 1010012 0 0 2 0 2 1 0 0 1010012 0 1 0

3 3 3 3 2 20 1

0 1 0

21 0 1 0 2

21 2 3 3

3 3 3 30 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 13 3

8 712 41 1 3

2 9

3 9XA1CB1 1 61 14 3 2 3 3

7 11 1 0

6 18 1 1 0 1 2 3）AXXCXAE1C，其中AE1 1 1，C 初等行变换E 0 1 1初等行变换E AE C

AE1C101210001221 1 0 1 2 1 1 0 1 2 101210001221 1 1 3 4 0 0 1 2 2 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 2 0 100100010 0 0 1X 1 2 2

4 2 3

2 2 3ABA2BBA2E1A其中A1 1 0A2E1 1 0 1 2 3 1 2 1A2E A

初等行变换EA2E1初等行变换E2 2 3 4 2 3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 01 1 0 1 1 0 0 4 3 2 0 3 0 1 1 0 3 3 1 2 1 1 2 3 0 1 1 0 3 3 1 1 0 1 1 0

1 0 0 3 8 6 3 8 60 1 0 2 9 6

0 1 0 2 9 6B2 9 6 0 0 1 2 12 9

0 0 1 2 12 9 用克莱姆法则求解下列方程组 xx xx 5x 1 2 3 4（1）

2x x4x 21 2 3 42x3x x1 2

5x4

23xx1

2x3

042xx 5xx 8 1 2 3 4（2）

x3x 6x 91 2 42x x2 3

2x4

5x4x1

7x3

6x 04111112142311111214231531211

142

A可逆A B

3 1 2 11

0 2 1 815

1111115111151111512142012370123723152053712001380 0 5 14 29 10001 11 20 130 013814247751001 11 20 130 000016 1394000 01 00 10 000011231420101x1,x1

2,x3

3,x4

121511302151130602121476

270，并且8 1 5 1 2 8 5 11521220152122051204761076

81，

1 9 0 6

108，2 1 8 1 2

5 830252402302524021514061470

27，

1 3 0 9

27，DA1xA11

3,x 2

D A2A34,A2A33

DA41,x A44已知线性方程组有非零解，求解下列方程中的参数x x 0 2 3（1）

2

x x 0 34x2x 1x 01 2 3x x 0（2）x

1 2 3x 01 2 3xx x 01 2 3解：齐次方程组Ax0有非零解A0；齐次方程组Ax0有唯一解（零解）A0（1）A

304

122

11 3214422313133103，41 1 12）A1 1311322201 1 1或2下列等式是否正确，说明理由或举反例说明，其中Bn.（1）AB=BA；（2）(AB)(AB)A2B2；（3）(AB)2

A2

2ABB2.解：对于ABABABBAB2B2ABBA对于3）式，AB

A2ABBAB2

A22ABB2

ABBAnB

ABBA（交换律，故（3）均错误。反例：A1 2，B0 3，则AB8 5，BA3 0，1 0

4 1

0 3

3 8 显然ABBA。特殊情形下有ABBA：0①A为数字阵：A0

0E，ABEBBABEB； 0 0 0A1

1 ,B

ABBA1 1 ②

均为对角阵， 。0 0 0 n n n n下列等式或结论是否正确，说明理由或举反例说明，其中,Bn.

O，则AO；A，则AO或AE；AXAY,XY；方阵A和B的乘积ABO（其中O为零矩阵，且AO，则BO；BA1B1. 解）A0 0 0

A2O

AO；（2）A1 0

A2A

AO

AE0 0

，但 或 ； （3）A 0 0

1 1XY1 1XY

1 10 1

AXAY，但

XY； （4）A1 0

B0 0

AB1 00 00 00 0， 1 1

0 01 1 0 0；

（5）A1 0

B1 0

AB0 0.0 1

0 1

0 0 1（1设A是mn矩阵，B是nm矩阵，mnAB∣∣BA∣？ABmn矩阵，是否一定有RARBB.3A2，3B3AB2吗？为什么？设A是n阶方阵，已知Ax0有非零解，对任意的自然数k，方程Akx0 是也有非零解？为什么？解）不一.可以举出例子说明AB，现举例说明AB.1A

B ，则1n

11n1AB

1 1n，ABn；BA

11

1，BA01 11 1 11显然ABBA.

可以举例说明RARB，现举例说明RARBBRAnBARBRAn，RARBRABRO0AB的秩为2. B的秩为3，则B为可逆阵，B是一系列初等方阵的积，AB就相于给A实施一系列初等变换，而初等变换不改变矩阵的.Akx0.Ax0Akx0.AkxAkAxAk00方法二：Ax0有非零解A0Akx0的非零解AkAk

0，k为任意的自然数18．设矩阵A是n阶对称阵，B是n阶方阵，则BTAB，BTB都是对称阵.An

A，BTAB

BT

BT

BTAB；

BTB

BT

BT

BTBBTB19、5.证明：由A1BABE知： 1性质2：A1

AA1AE 性质：A111A1A1 性质5：AT

A1

AT

A1T

A1A

ETE20．证明同阶正交阵相乘是正交阵.ABnEBBTEABABTABBTTAETATEAB. 021．设A1

，f(x)a

ax

n

0）,n为正整数，证明:0 0 1 n n2f() 0 f(A) 1 0

f( .)2)k 0

k1 知0 k2aAnnaAnn

a

0f0 f 0 0ff Aa0

EaA1

0 11annann1

aa