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文档简介

复变函数项级数第一页，共二十五页，2022年，8月28日一、复变函数项级数定义其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

2第二页，共二十五页，2022年，8月28日部分和级数收敛3第三页，共二十五页，2022年，8月28日称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那末它的和一定和函数

4第四页，共二十五页，2022年，8月28日二、

幂级数（函数项级数的特殊情形）或级数称为幂级数.5第五页，共二十五页，2022年，8月28日1.幂级数的收敛集合

定理1(阿贝尔定理)6第六页，共二十五页，2022年，8月28日所以由定理4.3因此存在一个正常数M,对于任意的非负正数n均有，证明：7第七页，共二十五页，2022年，8月28日收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，收敛，从而级数绝对收敛.8第八页，共二十五页，2022年，8月28日定理1的几何意义说明：9第九页，共二十五页，2022年，8月28日推论推论的几何意义10第十页，共二十五页，2022年，8月28日11第十一页，共二十五页，2022年，8月28日12第十二页，共二十五页，2022年，8月28日2.收敛半径的求法方法1:比值法:那末收敛半径方法2:

根值法那末收敛半径说明:如果13第十三页，共二十五页，2022年，8月28日解答课堂练习试求幂级数的收敛半径.14第十四页，共二十五页，2022年，8月28日3.幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?注意:

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.例1：求下列级数的收敛半径,并讨论它们在收敛圆周上的敛散性。15第十五页，共二十五页，2022年，8月28日例2求幂级数的收敛半径:(并讨论时的情形)解说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，16第十六页，共二十五页，2022年，8月28日三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算17第十七页，共二十五页，2022年，8月28日2.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.18第十八页，共二十五页，2022年，8月28日19第十九页，共二十五页，2022年，8月28日20第二十页，共二十五页，2022年，8月28日性质设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质21第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即22第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日例3

求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为23第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛

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