现金流的时间价值

第1章现金流的时间价值一个公司、企业、机构或投资者在投资或经营过程中的支出和收入的货币或款项称为现金流(CashFlow),—般用C,C，…,C来表示，其中C,1<t<T表示在时1 2 T t间t的(或第t期)现金流，对一个具体的现金流，除了明确每笔支出或收入现金的具体数额之外，我们还需要或者知道每笔现金C支付的具体时间，或者每两笔t现金收入或支付之间的时间跨度(也称时间周期)，一个现金流可以用图1-1表示。Jl AJl Atttt1234图1-1现金流图示现金流的现值和将来值在不同时间支付的相同数量的现金流，它们的价值是不一样的。例如现在的100元现金和一年后的100元现金，它们的经济价值或说效用是不一样的。以简单的例子来说，假如你把现在的100元钱存入银行，设存款利率为5%，一年后100元钱成了105元，这就是现金流的时间价值。为比较不同现金流的价值，需要确定现金流在某一特定时间的价值，常用于现金流比较的有现金流的现值(PV,PresentValue)和现金流的将来值(FV,FutureValue)。要计算一个现金流的现值或将来值，首先需要知道折现率，又称利率(InterestRate)或机会成本(CostofBorrowingMoney)，机会成本是一个用于对所作投资的收益率进行比较的基准收益率，一般常取为一种无风险资产如国债的收益率作为折现率(见第2章)。本章介绍现金流将来值，现值，净现值的计算，投资收益率和内部收益率的计算。其中第1.1节介绍折现因子，折现率和现金流现值的计算，第1.2节给出现金流将来值的计算方法，第1.3节叙述现金流净现值的计算以与年金支付额的计算方法，第1.4节给出投资收益率的计算，包括多期收益率，单期收益率，复合收益率和连续复合收益率，第1.5节用于介绍内部收益率的计算以与同此有关的贷款分期还款的计划和退休金计划的计算。§1.1现金流现值的计算设C,C，…,C为一现金流，其中C表示第t次(第t年末)支付的现金流，共有T次1 2 T t支付。已知年利率(年折现率)为r，则该现金流的现值为TOC\o"1-5"\h\zPV=Z^C=另—Ct, (1-1)tt (1+r)tt=1 t=1其中d=1/(1+r)t(1-2)t称为第t年的折现因子，dC=C/(1+r)t表示第t笔现金流C的折现值，简称现ttt t值.例1：考察某个5年期息票率为5%的债券的现金流，该债券每年付息一次，最后一次付息时同时返还本金，债券的面值为50000元，则投资该债券的现金流为2500，2500，2500，2500，52500。已知未来5年的折现率保持在6%的水平，表1-1给出了投资该债券每年的现金流，每年的折现因子，以与每笔现金流的现值，这里第5年末的现金流包括利息2500加上本金50000。年份第1年第2年第3年第4年第5年总现值现金流250025002500250052500折现因子0.94340.89000.83960.79210.7473现值2358.492224.992099.051980.2339231.0547893.82表1-1 现金流，折现因子和现值事实上，该现金流的总现值可直接计算为250025002500250052500PV= + + + +1+0.06 (1+0.06)2 (1+0.06)3 (1+0.06)4 (1+0.06)5=2358.49+2224.99+2099.05+1980.23+39231.05=47893.82.也就是说这一现在投资50000所得现金流的现值仅为47893.82。在式(1-1)中，如果现金流的支付不是一年一次，而是m次(如m=2为半年支付一次，m=4为每3个月支付一次)，则式(1-1)需改写为PV=^LdC=〉 Ct , (1-3)tt (1+r/m)tt=1 t=1这里T表示总的支付次数，如支付现金流的年数为n则T=nm，C还是表示t第t次支付的现金流，但不一定在年末，其数值等于每年的利息用m来除，d=1/(1+r/m)t为第t次支付现金的折现因子。以例1为例，息票率还是5%，t但每年支付两次，则每次支付的现金流为2500/2=1250。还是以例1为例，将债券的每年付息一次改为每年付息两次，其它数据不变，则现金流、折现因子、现金流的现值由表1-2给出。计算其现值的表达式为=47867.45.1250 50000=47867.45.+t=1(1+0.03)t(1+0.03)10t=1付款时间现金流折现因子现值第1次12500.9708741213.592第2次12500.9425961178.245第3次12500.9151421143.927第4次12500.8884871110.609第5次12500.8626091078.261第6次12500.8374841046.855第7次12500.8130921016.364第8次12500.789409986.7615第9次12500.766417958.0209第10次512500.74409438134.81总现值47867.45表1-2每年支队两次的现金流,折现因子和现值在具体用式(1-1)或式(1-3)编程计算一个现金流的现值时,可以采用图1.2所示的格式：输入：T,y,C(1<i<T)；i置：PV二0;d二1/(1+y);Fori=1toTPV二PV+C*d；id=d/(1+y);Nexti输出：PV;图1-2计算现金流现值框图这里y是单期的利率(折现率)，如一年支付一次，则y=r，如一年支付m次，则y=r/m，T=nm为总的支付次数。§1.2现金流将来值的计算现金流的将来值是指现金流在将来某个特定时间的价值，对于一项投资来说，通常指该投资项目在投资期内所产生的现金流到投资期末的价值。例如有一笔总数为V0的资金，在年初以年利率r存入一个银行户头，存期为m年，问题为m年后户头内的资金有多少，这是一个典型的现金流的将来值的问题。记第1年末户头

内的现金为V，由于利率为r，因而有V二V+VXr=Vx(1+r)，其中Vxr为110000第一年的利息。对于第2年其本金不再是V而是V(称为复利，即每经过一个计01息期，要将所生利息加入下期本金计算利息)，由此有可得第2年末户头内的现金为V二Vx(1+r)二Vx(1+r)2。由此计算此现金流的将来值的模型为，210FV=Vx(1+r)m, (1-4)0假如每年年初都有资金V存入该XX,还是存m年，m年后该XX内的资金(现0金流的将来值)为FV=Vx(1+r)m+Vx(1+r)m-1+ +Vx(1+r)=2^Vx(1+r)t(1-5)0000t=1对一般情况，设现金流为C,C，…,C,年收益率(折现率)为r，每年支付1次，TOC\o"1-5"\h\z1 2 T总共支付T次，计算现金流在整个期末的价值。如果每次支付在每期期初发生，则该现金流在期末的价值为FV=Cx(1+r)t+1-t, (1-6)tt=1如果每次支付在每期期末发生，则该现金流的将来值为FV=工Cx(1+r)T-t, (1-7)tt=1如果每年支付m次，则根据每次是在期初或期末支付分别由式(1-6)或(1-7)计算,只不过分母中的r应由r/m代替。对于例1的债券在一年一次性在年末支付的情况下，该现金流的将来值为FV=工2500x(1+0.06)5-t+52500=3156.20+2977.54t=1+2809+2650+52500=64092.73但是如果有一个支付额同其完全相同的现金流，但每次在年初支付，则该现金流在第5年末的将来值为FV=工2500x(1+0.06)6-t+50000x(1+0.06)=67938.3t=1图1-3给出了计算现金流将来值的算法，其中变量t是支付时间判别量，如果在期初支付，输入t=0,如果在期末支付，输入t=1，变量y的意义和输入法同现金流现值的计算。输入：T,y,C(1<i<T),t；i置：FV置：FV=0;d=(1+y)AT;Ift=1Thend：=d/(1+y)；图1-3计算现金流将来值的算法§1.3净现值的计算投资需要资本，即必须先期投入资金以获取收益，投资期内所收益的现金流的现值减去投资所付出资金的现值，称为现金流的净现值（NetPresentValue）。净现值反映了一项投资的实际效益。设投资某项目需初期投资资金为C（取负值），项0目在包括今年在内的T年内每年的收益或支出的现金流为C（假设支或付都在年t末发生，收益时C为正，支出时C为负），如果年平均折现率为r，则该项目投tt资的净现值为1-8)NPV=C+£1-8)0 (1+r)tt=1例2:考察某个期限为5年的项目投资，期初需投入资金8000万元，其后5年内每年末收益的现金流分别为：500万，1000万，2000万，3000万和4000万。另一方面已知投资5年期国债的到期收益率为7%，以此作为该项投资收益现金流的折现率，可得该项目投资的净现值为NPV=-8000+NPV=-8000+r°71000+1.07220003000 4000+++1.073 1.074 1.075=113.9546式（1-1）和（1-8）表明，无论是现金流的现值还是净现值，它们都是折现率r的单调降的非线性函数，正是这一种非线性引发了这样一种有趣的现象，两个不同的现金流，不妨设为甲，乙两个现金流，在某个折现率下现金流甲的现值高于现金流乙的现值，而在另一个折现率下，情况则完全相反，现金流乙的现值高于现金流甲的现值。这说明了收益率在进行投资和风险控制中的重要性.下面的例提供了这种现象的一个例子。例3:考察如下两个现金流：现金流1：550，650，750，1050；现金流2：1050，750，650，400。两个现金流的支付时间相同，设同为每年年末支付.图1-3给出了这两个现金流关于折现率的现值曲线(为明显起见，图中的曲线由现值减去2000后获得，也就是说，现值应等于图中的现值再加2000)，从图可以看出，(1)现金流的现值是关于折现率r的凸函数；(2)两现金流的现值曲线在折现率等于0.086处有一个交点，说明在折现率为0.086时这两个现金流的现值相同，而当折现率小于这个值时，现金流2的现值小于现金流1的现值，而当折现率大于0.086时，现金流2的现值要大于现金流1的现值。对于一个公司、企业或投资者，在选择投资项目时，考虑的是极大化其投资的净现值。如果假定，这两个项目的初期投资是相同的话，那么，在投资者认为有可能获得大于8.6%的收益率时，会选择第2个现金流的项目，而在其相信收益率不可能超过8.6%时，他会选择第1个项目。1-4现金流现值与折现率关系曲线年金年金(Annuities)是现金流计算中一种最为简单的特例，所谓年金，是在整个期限内，设为n年，每年支付固定数额的现金流，每次的现金流包括利息和部分本金的偿还，由于每次支付的现金流相同，现金流现值和将来值的计算就成为一个等比数列的有限项求和，利用等比数列的求和公式，计算相对要简单。设年金每次的支付额为C，每年m次，期限为n年，每年的折现率相同为r。如果每次在每期的期末支付，则该年金的现值为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"PV=^C(1+亠=C1一(1+r/m)一nm， (1-9)m r/mt=1如果每次的支付发生在期初，则该年金的现值为PV=^C(1+—)-(t-1)=C(1+—)1-(1+r/m)，(1-10)m m r/mt=1这两种情况下该年金的将来值分别为：如果支付发生在期末，则1-11)FV壬（1+工）一=C°+厂加）nm一1m r/m1-11)t=1如果支付发生在期初，则FV=^C（1+二t=C（1+=（1+厂加）nm一1, （1-12）m m r/mt=1对于无到期日的永^年金（PerpetualAnnuity）,由于支付没有到期日，因而计算该现金流的现值是一个收敛的无穷级数之和，其和为PV=£C(1+—)-t=mC.(1-13)mrt=1§1.4收益率的计算对于不同的投资，如何比较它们的收益，例如一个投资500万1年后收益为45万，以与一个投资8万1年后收益为9千的两个项目，究竟那一个投资项目的收益高。单纯从收益的多少，显然第1个项目高。但不考虑投资的风险，单纯从投资的总额来看，第1个项目所需的投资要比第2个项目的投资多得多。收益率用于衡量投资回报好坏的物理量，它表示每单位资金的投资收益，即收益值占投入资金的百分比。单期收益率对于一个投资期为T的投资，其单期收益率可用下式计算V-Vr=to， （1-14）V0其中V为期初用于投资的资金，V为到投资期末（包括投资期内）从投资所获0T回报资金的总和，r表示整个投资期内的投资收益率，对于存入银行的存款，利率就是其年收益率，一年期债券的息票率就是该类债券投资的年收益率。而对于股票，证券等市场流通性强的金融投资，根据投资期的长短，可以有日收益率，周收益率，月收益率等不同期限的收益率。以某股票价格为例，设其相邻两工作日的收盘价为P,P，则该股票第t+1日的日收益率为tt+1P-Pr=+旷， （1-15）t+1 Pt如果P,P表示的是该股票相邻两周周末的收盘价，则r就是该股票第t+1周的tt+1 t+1周收益率。由式（1-14），如果已知单期投资收益率r，则对于期初为V的投资，0其期末的现金流（包括收益和本金）为V=Vx（1+r）， （1-16）T0这就是m二1时的式(1-4).多期收益率一个长的时间期限是由多个短的时间期限组成的，例如，5年期的投资包括5个1年，一年的期限可以包括4个季度的期限，每个季度的期限包括3个月期限。对某个资产的一个包含多个周期投资的收益，我们可以计算若干个短期的单期收益率，也可以计算一个包含整个周期的单期收益率，称多期收益率。记某资产在k个连续的周期内的每个单期的收益率分别为r,t=1,2,…，kt—1,t这里r表示第t期的单期收益率。设资产在起始时间的价格为P，则反复应用t—1,t 0式(1-16)得资产在整个期末的价格为P二P(1+r)(1+r)-(1+r)二P(1+r),k0 0,1 1,2 k—1,k 0 k其中r表示包含这k个期限的多期收益率。由此得单期收益率与多期收益率之间k的关系r=丄丄(1+r)—1, (1-17)k t—1,tt=1尽管可以对长短不同的期限计算资产的收益率，但我们日常所说的收益率，如利率、息率等都是以年为一个周期的年收益率(即每单位资金一年的投资收益)，并利用式(1-17)在年收益率和不同时间期限的收益率之间进行转换。例如年收益率R和月收益率r(设每月收益率相同)之间的转换为R=(1+r)12—1 (1-18)例如，已知年收益率为6%，由(1-18)可求得月收益率为0.49%。反之，如果已知月收益率为0.8%，则由(1-18)可得年收益率为10%。当单期收益率比较小时，通常对式(1-17)取一阶泰勒展开作为近似，即有r=》r, (1-19)k t—1,tt=1这时式(1-18)可近似为R=12r, (1-20)这就是为什么在很多的金融计算中取短期收益率为多期收益率的平均值的原因.对于一个由n个资产组成的投资组合，如果已知各资产在同一时间期限内的收益率为r,i=1,2,…,n，每个资产在该组合中所占比例为x,i=1,2,…,n(满足ii工nx=1),则该资产组合在该时间期限内的收益率为i=1ir=工xr, (1-21)x iii=1

连续复合率连续复合率是收益率计算的另一种方式，也是在金融计算中用得最普遍的收益率。在这一部分我们以银行利率为例来说明什么是连续复合率与其计算方法。假设年初在某银行户头存入50000元，已知年利率为6%，问年末XX内应有多少钱？这看似简单的问题，却由于付息的方式不同有很多的答案。如果利息只在年末一次付清，则年末XX内的资金总数为50000+50000*0.06二(1+0.06)*50000二53000，如果利息分两次給付，即每半年付一次，则根据复利的计算原则，年末XX内的资金总数为50000*(1+0.06/2)2二53045，这是因为年中给付的利息50000*0.06/2二1500加上本金50000合计65000都成了下半年的本金，称这样的利率为二次复合利率。依据二次复合利率计算的实际收益率要高于名义收益率6%，这是因为53045-53045-5000050000二6.09%。如果按月计息(称为月复合利率)，则年底XX内资金数为50000*(1+0.06/12)12二53083.89，其实际收益率为6.17%。如果按日计息，则年末XX内资金总额(一年按360日计)为50000*(1+0.06/360)360二53091.56实际收益率为6.183%。一般说来，对于n次复合率，年末XX内资金数额为50000*(1+°^)»，n在上式中，令n趋于无穷取极限得lim5000*(1+°06)n二50000e0.06二53091.83n* n称这样的计息方法为连续复利计息，计算的利率称为连续复合率。从上面过程可以看出对于给定的收益率，随着付息次数的增加，实际所得利息也随之增加，但总不超过n趋于无穷时的极限值。根据上述连续复合率的定义，如果V,V为投0T资期初的资本和投资期末的总现金流收益，则该投资单期的连续复合收益率为=ln1-22)=lnrv)irv)=ln―—…ln丿1V丿1匕丿—1V(1-23)如果投资期为—1V(1-23)TOC\o"1-5"\h\z.V V=ln―—•t1•・・IV V'T-1 T-2=r+・+r,T-1,T 0,1其中r为第t年的连续复合收益率。如果每年的收益率相同，则投资期内的年t—1,t连续复合收益率简化为r二r/T, (1-24)tT式(1-23)同式(1-19)形式相同，但意义不同，(1-23)反映了在连续复合率意义下的多期收益率和单期收益率之间的真正的关系，而(1-19)只是在通常的收益率意义下，多期收益率和单期收益率之间的近似关系。反之，如果某项投资的初始资本为V，项目投资的时间跨度为t，经预测得知项目的年复合收益率为r，则该项0投资的预计回报为V—V二Vetr—V二V(etr—1),(1-25)t0 0 0 0这里的时间t以年为单位，可以小于1(不足1年)，也可以大于1(超过1年).更一般，在连续复合率和n次复合率之间有如下的关系(1+-)n=erc， (1-26)n其中r表示连续的年复合收益率，r表示等价的n次年复合率，由此得连续复合c率可表示为n次复合率的函数(八r=nln1+—， (1-27)cI n丿而n次复合率也可用连续复合率表示r二n(er(yn一1). (1-28)§1.5内部收益率的计算内部收益率(IRR,InternalRateofReturn)是指使得投资的净现值为零的收益率。设某项投资所需的初期资金为P，投资回收的现金流为C,C, ,C，记该项投1 2n资的内部收益率为y*，则y*应满足工C(1+y*)-1=P， (1-29)tt=1例如某银行贷给某客户250000住房贷款，分10年共120次偿还，每月还款额为2700，由此可以算出银行从这笔贷款的收益率(或者说客户贷款的利率)为5.39%，这是因为我们有250000q男2700*(1+0.0539/12)-1。t=1在式(1-8)的现金流表示中，某个现金流可以是表示收益的正值，也可以是表示支出的负值，再记C0二-P，则包含支付现金流的净现值可以用净现值函数表示f(y)= (1+y)-t， (1-30)tt=0其中y为计算现值的折现率。则内部收益率y*就是方程f(y)=》C(1+y)-t=0， (1-31)tt=0的解。这是一个只有一个变量的非线性方程，有许多成熟的方法可以用于求解，其中最简单的方法是二分法。由于0<y<1,方法先选定y的两个值，设为y<y?要求满足f(y)f(y)<0，即两点处的函数值异号，由于函数f(y)的连续性，在12区间［y,y］内必有满足f(y)=0的点y*(见图1-5)。为确定这样的点，取区间12图1-5函数f(y)的零点［y,y］的中点y=(y+y)/2，计算点y处的函数值f(y)；如果f(y)f(y)<0，12121则在区间［y,y］肯定有f(y)的零点，用y代替y得到缩小一半的新区间［y,y］,1212如果f(y)f(y)<0，则用y替换y得到缩小的区间［y,y］。重复这一过程直至2112或者有f(y)=0，或者区间［y,y］充分小为止。图1-6给出了二分法的算法。不12难明白，二分法以0.5为收敛因子线性收敛于内部收益率y*。求解方程(1-30)确定内部收益率的方法还有很多，如收敛比较快的牛顿法，收敛速度介于牛顿法和二分法之间的割线法等等，但这些方法需要额外的保护措施确保收敛。另一种直接的方法是利用Excel工作薄工具栏下的宏指令”规划求解”,只要在打开的Excel工作薄中按(1-31)设置好模型，再点节工具栏后在显示的子菜单中点节”规划求解”,再在打开的求解参数对话框内选好目标单元格,变量单元格,再把求解目标设置值为0,即可求得所需要的内部收益率。输入：£，人<J2(/(叩/(Y彳)<°)；当Y2_Y1>£时执行[J=(J1+Y2)/2；If/(J)二0thenreturnJElseIf )<012ElseJi•=YEndIfEndIf]输出：J图1-6求内部收益率的二分法分期还款分期还款(Amortization)是另一个同方程(1-31)有关的金融基本计算问题，所谓分期还款是根据借贷款的额度,借款的年利率,借款期限(年数),以与每年的还款次数,确定借款人每次的还款额,它可便于借款人根据其偿还能力选择贷款的种类。一旦选定了借款的额度(PV)，年利率(厂)，期限(年数n)和每年还款次数(M),每次的还款额(C)可由式(1-9)得C=(PVXr/M)/[l-(1+r/m)-讪], (1-32)例如，额度为220000，利率为5%的10年期房屋贷款，每月的还款额为C二220000*0.05/12/[1-(1+0.05/12)-120]二2333.44。在这样的分期还款额度中有一部分用于归还部分本金，有一部分用于归还剩余本金的当月利息。随着还款次数的增加，每月还款额中归还本金的比例逐渐加大，还息的比例逐渐缩小，表1.3给出了上述例子期初和期末的几次还款中的本金和利息的变化情况，从表中看出借款后第一个月还款的2333.44中有1416.77用于月份月初欠额本月还款归还本金归还利息月末欠款12200002333.441416.77916.67218583.232218583.232333.441422.68910.76217160.553217160.552333.441428.61904.84215731.94■■■.■■■.■■■.■■■.

1186942.392333.442304.5128.934637.881194637.882333.442314.1219.322323.761202323.762333.442323.769.680.00总计280012.9622000060012.96表1-3贷款分期还款计划书归还本金，而916.67是用于归还220000元借款的当月利息，在归还1416.77元本金后，欠款的本金数额减为218583.23，因而第二个月归还的利息要减少，在每月归还金额不变的情况下，归还的本金数额增加。继续这个过程，直至最后第2个月（月份119），在月初欠本金数为4637.88，在该月归还的2333.44元中，利息只有19.32元，归还的本金达到2314.12元，而最后一月归还的包括月初所欠的本金23