全国高中物理竞赛专题一运动学

竞赛专题一运动学【基本知识】一、质点的位置、位置矢量和位移1、质点如果物体的大小和形状可以忽略不计，就可以把物体当做一个有质量的点。称该点为质点。2、参考系物理学中把选作为标准的参考物体系统为参考系。3、位置矢量由参考点指向理点所在位置的有向线段称为位置矢量，简称位矢或矢径。r=xi+yj+zk其大小为何=\.：x2+y2+z2方位是 cosa=x/r cosP=y/rcosy=z/r4、位移由初位置指向末位置的矢量称为位移，它等于质点在△t时间内位置矢量的增量，即Ar=r2-r1Ar=Axi+Ayj+Azk其中Ax=x2一xi位移的大小为Ay=y2-y1 Az=z2一z1Ar|=^；''Ax2+Ay2+Az2位移的方位是Axcosa=Arcos二、直线运动的速度和加速度1、速度平均速度质点在t-t+At内产生的位移A与At之比，称为此时间间隔内的平均速度，表”Ar达式是为v=—A瞬时速度当At-0时，平均速度的极限值，即位移矢量对时间的一阶导数，称为质点在t时刻的瞬时速度，简称速度，表达式为口=lim史=d-Af0Atdt2、、加速度平均加速度在t〜t+At内质点速度的增量与时间之比，称为时间间隔内的平均加速度，表达式为a=AvAt瞬时加速度平均加速度的极限值，即速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数，称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度，表达式为a=limV=dV=更AtdtdtAt^0(1)加速度具有瞬时性，即a=a(t)。只有质点做匀变速直线运动时，0=恒矢量，这时有如下运动公式

v=v0+at一x0=v01+a.at21v2-v2=2a(x-x0)（2）加速度具有相对性，对于不同的参考系来说，质点的加速度一般不同。在两个相对做匀速直线运动的参考系中（两个惯性系），质点具有相同的加速度。（3）加速度与速度本身无关，只与速度的变化（包括方向或大小的变化）有关。某时刻速度为零而加速度不为零的是可能的。例如，竖直上抛运动到顶点时，v=0，但a=g丰0三、运动学的基本问题微分问题已知运动方程，求速度、加速度。因求解方法用微分方法，故称此类问题为微分问题。积分问题已知加速度和初始条件，求速度、运动方程。因求解方法用积分方法，故称此类drdr同理由v=d，可得(1)当a=a(t)时，dv=a(t)dt-v=v0+J0a(t)dtr-r0=\0vy(t)dt。（2）当a=a（v）时，（3）当a=a（x（2）当a=a（v）时，（3）当a=a（x）时，由dt a(v”可得「° Jv0a(v)。/、dvdvdx dva(x)=一= =v一Ta(x)dx=vdvdtdxdt dx四、曲线运动的速度和加速度1、曲线运动的速度和加速度物体（质点）运动轨迹是曲线的的运动称为曲线运动。参照直线运动中瞬时速度的概念描写质点在某一时刻运动的快慢情况。平均速度质点在t和t+At时刻位矢分别为r（t）和r（t+At），则在At时间内的平均速度为A与At之比，表达式是为v=ArAt瞬时速度当AtT0时，平均速度的极限值为质点在t时刻的瞬时速度，表达式为v=1加A=贮AtT0Atdt瞬时加速度在t时刻质点位于A点，速度为vA，经过At时间后质点位于B点速度为vb，瞬时加速度为a=limvB-vA=lim竺AtT0At AtT0At2、圆周运动圆周运动是曲线运动的特例，设质点作半径为R的圆周运动，在t时刻质点的n+att，其中切向加速度速度为v，则圆周运动的加速度为a=an+att，其中切向加速度AV v2at=lim=t,反映的是速度大小的变化；法向加速度an=廿，反映的是速度方向的Atf0At R变化。n和t分别为法线方向单位矢量和切向方向单位矢量。若质点做匀速圆周运动，其速率不随时间变化，即at=0，即质点的运动加速度v2a=an=-FTn就是法向加速度，其大小保持不变，方向始终指向圆心。R3、抛体运动物体以一定的速度与抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动地球表面附近，它的运动高度远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度g。抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。（9=00时为平抛运动，。=900时为上抛运动）抛体运动的规律为：ax=0，ay抛体运动的规律为：ax=0，ay=-g；Vx=vocos9,vy=vosin9-gt；x=v0cos91,y=vosin91—；gt2其轨迹方程为y=xtan)-g—x2，飞行时间T=2%sin。，射程R=— 2v2co29 g gV02sin29射高H= g抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间相等；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。五、运动的合成1、运动的合成与分解：包括位移、速度、加速度的合成与分解，合运动与分运动具有独立性、等时性、等效性。2、相对运动:物体相对静止参考系的速度等于物体相对运动参考系的速度和运动参考系相对于静止参考系两者的矢量和。“绝对"相对+”牵连六、刚体的平动和定轴转动1、刚体在无论多大的外力作用下，总保持形状和大小不变的物体叫刚体。刚体是一种理想化模型，实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时，即可看做刚体。刚体运动时，其上各点的运动状态总是相同，这种运动叫平动。如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫转动。刚体的任何一个复杂运动总可视作平动与转动的叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性原理。刚体绕轴转动时，其上的任一质点都绕轴做圆周运动，既可以用线量来描述，又可以用角量来描述，角量与线量的关系为

尸"\<a=rpTa=r32in2、角位置与角位移角位置刚体上任一点在t时刻到达P点，刚体的方位可由0P=r与Ox之夹角°来确定，称为t时刻的角位置，亦称角坐标。如图所示。角位移若t时刻刚体的角位置为°，t+At时刻角位置为°+A®，则八°称为刚体在△t时间内的角位移。3、角速度与角加速度平均角速度刚体在t-t+At内产生的角位移A9与At之比，称为At时间内的平均角速度。表达式为3=A1At瞬时角速度At-0平均角速度的极限值。表达式为3=1mA°=胆AtT0At出平均角加速度在t-t+At内刚体角速度的增量与时间之比，称为时间间隔内的平均角加速度。表达式为p=A3At瞬时角加速度AtT0时平均角速度的极限值。表达式为p=mA3=妈=心Att0At dt dt2七、刚体定轴转动的基本问题微分问题已知角运动方程，求角速度、角加速度。因求解方法用到微分方法用到积分方法，故此类问题称为微分问题。积分问题已知叫加速度和初始条件，求角速度、角运动方程。因求解方法用到积分方法，故此类问题称为积分问题。d° d3⑴描述刚体定轴转动时，如下对应关系：°T3=dTp=/⑵当p=p«）时，可利用定义p=dtd3=p（t）dt，求得3=3o+J；p(t)dt, °=°o+J；3(t)dt当p=p（3）时，据定义对变量进行调整p（3）=d3tdt=pd3），然后取积分并代人初始条件就可以求出角速度方程，进一步可以求出角运动方程d3d3d° d3当p=p（°）时，需作如下变换p=d=d___=3d°，然后分离变量取积分，求出角速度方程和角运动方程.⑶考虑如下两种特殊情况:

当刚体做匀变速转动时（p=c），如下公式成立:3=3。+Pt0=0Q+3。t+2pt232=3^2+2P(0-0q)当刚体做匀速转动（P=0））时，公式成0=0Q+3t成立.【例题解析】例1质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mrw2,当3一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度3,r应取最大值.如图1-1所示，在圆环上取一小段AL，对应的圆心角， ——4 A0一「-……图1-1为A0,其质量可表示为Am=M,受圆环对它的张图1-12兀TOC\o"1-5"\h\z…A0 ,八力为T,则同上例分析可得2Tsin--=Amr32乙A0 A0因为AB很小，所以sin ~,即2 2cA0A0 '2KT2T.下=元M32解得最大角速度3二丫而注释微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。例2一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s,问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2=?老鼠从A点到达B点所用的时间t=?解析：我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v与牵引力F成反比，即v=P,由此可F把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动。由此分析，可写出：v=P=上Fkx当X=s1时，v=v1将其代入上式求解，得：k=—=—vsvs所以老鼠到达B点时的速度匕=1匕=-X2Q=10cm/s2s122再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，Pt=Xks2—1ks22 2 2 1

代入有关量可得：Pt=—--L（S2—S2）2vs2i11由此可解得：tM's2二］=22T2=7.5s2sv 2xlx0.2注释等效法是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。例3如图1-2所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取g=10m/s2，求所需的最小初速及对应的发射仰角。解析水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。图1-2x=vcosa・t图1-2根据平抛运动的规律，水流的运动方程为］ 0. 1y=v°sma・t--gt2<2把A点坐标(d、h)代入以上两式，消去t，得：v2=-gd2/2cos2a・(h-dtana)0=gd2/[dsin2a-h(cos2a+1)],，二——. d .入 h …，=gd2/%d2+h2[. —•sin2a- -•cos2a]-h弋d2+h2 vd2+h2令h/d=tan0,则d/%'d2+h2=cos®,h/、；d2+h2=sin0,上式可变为v2=gd2/\d2+h2sin(2a-0)-h,显然,当sin(2a-0)=1,即2a-0=90。00 1h_ 4亦即发射角。=45。+—=45。+arctan—=45。+arctan—=71.6。时,v最小,2 2d 3 01 i 且最小初速v=、;g（\；d2+h2+h）=3<10m/s=9.5m/s.0%注释极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易。例4有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h。同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4.0km/h，在水中游的速度为2.0km/h，问此人能否追及小船？解析：费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此可以证明，光在平面分界面上的折射是以时间为极小值的路程传播。本题求最短时间问题，可类比类在平面分界面上的折射情况，这样就把一个运动问题通过类比可转化为光的折射问题求解。如图1-3所示，船沿OP方向被刮跑，设人从O点出发先沿湖岸跑，在A点入水游到OP的B点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。根据折射定律：sin90o4.0siny2.0sin90o4.0siny2.0，解得：Y=30°a=180°-15°-(90°+y)=45°在这最短时间内，若船还未到达B点，则人能追上小船，若船已经通过YB点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达B点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速vm。根据正弦定理：=-tL=±L ①sin120osin45osin15o又：t=t1+t2由以上两式可解得：v=—V1V2sin120o一=2<2km/h②mvsin15o+vsin45o此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有2.5km/h，小于2<2km/h，所以人能追上小船。注释类比法是在于发现和探索发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性，其中包括数学表达式上的相似性和物理图像上的相似性，利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的物理规律。例5一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地。A、B两地相距s，火车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，由此可可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为 。解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图象法来解。根据题意作v—t图，如图（4）所示。f-由图可得:f-va2=一2t2s=1v(t,+t)=1vt由①、②、③解得：t=2s(a+由①、②、③解得：t=2s(a+a)

aa注释图象法是把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图象，将物理量 图1-4间的代数关系转变为几何关系，运用图象直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题。例6A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。由题意作图图1-5-11-5-1，设顶点到中心的距离为s，则由已知条件得：s=-图1-5-13由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为:, 。Qv'=vcos30=—v2由此可知三角形收缩到中心的时间为：t=包=冬v'3v注释对称法由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使

对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。解法（2）三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图1-5-2要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。解法（2）三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图1-5-2要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△%，在每一个△%内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△右正三角形的边长分别为a「a2、a3、an，显然当a口一。时三只猎犬a=a一AA一BBcos60°相遇.a3=a23, -3,—-vAt=a-2x—vAt,2,c3,--vAt=a-3x—vAt,2 2B图1-5-2因为a-n•—vAt=0,即nAt=t

^2所小寸注释递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况.即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论.再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式例7已知地球半径约为6.4x106m,又知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m.（结果只何留一位有效数字）解析因为月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，所以可根据月球所受的万有引力提供月球做匀速圆周运动所需要的向心力及月球公转周期求解此问题，也可根据地球上的光经月球反射2秒后返回地球的知识估算.根据运动定律及万有引力定律得：GMm /2人、 =m（——）2rr2 TGMm'_,~R mg两式代入数据可得r=4.1x108m（其中T是月球绕地球旋转周期，T=30天）注释估算法是在我们解决问时题缺乏必要的已知条件，无法用常规的方法来求出物理问题的准确答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住问题的主要本质，充分应用物理知识进行快速数量。例8如图1-6-1所示，质点自倾角为a的斜面上方定点O沿光滑的斜槽从静止开始下滑，为使质点在最短时间内从O点到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角p应等于多少？

解析：如图1-6-2所示，以经过O点的竖直线上的一点0'为圆心，00,为半径作圆，并使该圆与斜面恰好相切于A点，与00,延长线交于B点。已知从0点由静止出发沿倾角不同的光滑斜面下滑的质点，到达圆周上不同点所需时间相等，显然，质点沿0A方向从静止开始滑到斜面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。连接0'A，由几何关系得：NA0'B=a所以所用时间最短时，斜槽与竖直方向的夹角：P=-2注释作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便例9（第21届预赛题）如图1-7所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆，被固定的光滑套仅约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mb=2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A,A、8便开始运动。设A杆的位置用0表示，0为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小（表示成0的函数）。解析由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以B为参考系，从B观测，则UA杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为V4。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图-7得：VAsm0因而vB=vAcot0由能量守恒mAgRcos0=因而vB=vAcot0由能量守恒mAgRcos02AA2BB且知mb且知mb=2mA得：v=sin0、,2"A 1+cos202gRco€Svb=co%E0例10（第24届复赛题）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度①转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l,BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度晨的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）

与CD杆之间的夹角表示）解法一因为B点绕A轴作圆周运动，其速度的大小为。B=3l(1)B点的向心加速度的大小为aB=321 (2)因为是匀角速转动，B点的切向加速度为0，故aB也是B点的加速度，其方向沿BA方向.因为。点绕D轴作圆周运动，其速度的大小用。表示:方向垂直于杆CD，在考察的时刻，由图可知，其方向沿杆BC方向.因BC是刚性杆，所以B_点和C点沿BC方向的速度必相等，故有n<2TOC\o"1-5"\h\zv=vcos—= 31 (3)CB4 2此时杆CD绕D轴按顺时针方向转动，C点的法向加速度a=f (4)cCD由图可知CD=2五1，由(3)、(4)式得a=呈321，方向沿CD方向 (5)Cn8下面来分析C点沿垂直于杆CD方向的加速度，即切向加速度aCt.因为BC是刚性杆，所以C点相对B点的运动只能是绕B的转动，C点相对B点的速度方向必垂直于杆BC.令vCB表示其速度的大小，根据速度合成公式有0尊=vC-vB由几何关系得v=<v2—v2=—v一=2231一 (6)CBBC2B2由于C点绕B作圆周运动，相对B的向心加速度a=4 (7)CBCB因为CB=J21，故有a=旦321，方向垂直杆CD(8)CB4(9)由(2)式及图可知，B点的加速度沿BC杆的分量为(aB)BC=a(9)所以C点相对A点(或D点)的加速度沿垂直于杆CD方向的分量3<2 , ,、a=a+(a)= 321 (10)CtCBBBC4C点的总加速度为C点绕D点作圆周运动的法向加速度a与切向加速度a的合加速度，即CtCnCt--<74+a2= 31(11)Ct8a的方向与杆CD间的夹角e=arctanaCt-=arctan6=80.54。(12)C aCn解法二通过微商求C点加速度。以固定点A为原点作一直角坐标系A町,Ax轴与AD重合，Ay与AD垂直.任意时刻t，连杆的位形如图所示，此时各杆的位置分别用e,p和a表示，且已知AB=1,BC=<21,CD=2<21,AD=31,段=-3,C点坐标表示为(1)(1)(2)x=1cose+V21(2)y=1sine+、：21sinpcde将(1)、(2)式对时间tde(3)dyCdyC=11cos0d0-+%：2cos中(4)把(3)、(4)式对时间t求一阶微商，得d2% Cd12=一1cos0=1-sin0根据几何关系，有+sind2% Cd12=一1cos0=1-sin0根据几何关系，有+sin0吧+d12+cos0 -<2sin9d12(d9、2+42cos9(5)CDsina=ABsin0+BCsin9CDcosa+ABcos0+BCcos9=312、2sina=sin0+v2sin①2v2cosa=3-cos0-J2cos①(7)、(8)式平方后相加且化简，得»2sin0sin①+v2cos0cos9-3cos0-3\;2cos9-2=0(9)n n(9)式对时间t求一阶微商，代入0=—，9=，2 4(9)式对时间t求二阶微商，并代入上述数据，得d0阳d91 =—3，^得 =-3\o"CurrentDocument"dt dt 2d29 3--=-32d0 (d0 (10)、(11)式以及0，9，一的数值代入(5)、(6)

dt式，得由图知，aC与％轴的夹角为P 由图知，aC与％轴的夹角为P tanp=d21 5, d2y 7, C-=132， C-= 132Q2%=1.4所以求得p=arctan1.4=54.46，这个夹角在第三象限，为234.46，故a。与CD的夹角y=80.54例11(第25届预赛题)为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境。在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。现要求一架飞机在速率为匕=500m/s时进入失重状态试验，在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验。重力加速度g=10m/s2。试问：(i)在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何种运动，方可在一定范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素。(ii)飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？解析当飞机作加速度的大小为重力加速度g，加速度的方向竖直向下的运动时，座舱内的

试验者便处于完全失重状态。这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动，也可以是斜抛运动。当进入试验的速率和退出试验的速率确定后，飞机模拟前两种运动时，失重时间的长短都是一定的、不可选择的。当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时，失重时间的长短与抛射角有关，可在一定范围内进行选择。TOC\o"1-5"\h\z考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动。设开始试验时飞机的初速度的大小为匕，方向与水平方向成e角，起始位置为a点，经做抛物线运动在b点退出试验，如图所示。以t表示试验经历的时间，在退出试验时的速率为V2,则有V2X』1cose (1)V2y=V]Sine-gt (2)而v2=V2+V2 (3)由(1)、(2)、(3)式得g212-2V]gtsin0+V2-v2=0 (4)、/vsin0+、v2sin20+(v2一v2)(4)]信 g ⑸由(5)式可知，当进入试验时飞机的速度v1和退出试验时飞机的速度v2确定以后，失重时间的长短可通过角e来调节。(ii)当e=90°时失重时间最长，由(5)式可求得最长失重时间tmax=150s (6)当e=90°时，失重时间最短，由(5)式可求得最短失重时间tmin=50s (7)失重时间的调节范围在150s到50s之间。【训练题】练习1在进行“飞镖”训练时，打飞镖的靶上共有10环，且第10环的半径为1cm，第9环图1-9的半径为2cm，……，依此类推，如图1-9所示，当人离靶的距离为5m，将飞镖对准10环中心以图1-9水平速度v投出，则(g=10m/s2)( )A、当vN50m/s时，会射中第8环线以内B、当v=50m/s时，会射中在第6环线上C、若要击中第10环以内，速度v至少应为50<5m/sD、若要击中靶子，速度v至少应为25-<2m/sA4yHet练习2如图1-10所示，长度为L的直杆上端连着一个半径不计的小球A,下端固定在转轴O上，物体B与转轴O在同一水平面上，球A顺时针转动时，A、B紧密接触，当杆与水平方向的夹角等于0时，物体B水平移动的速度等于v，那么，此时，球A转动的角速度是A4yHet1 -1-bofIh•I图1-11——练习3如1-111 -1-bofIh•I图1-11——为多少？在以后的运动过程中，球是先碰墙还是先碰地？（已知A处离墙水平距离为l，球离地高度h=21）练习4如图1-12所示，质量为m的带电小球静止在绝缘水平面上，某时刻给小球加上某方向上的范围足够大的匀强电场，小球腾空沿着与水平面成300角的直线飞去。电场力的大小恒为F=、回mg，小球经过一段时间t的飞行后，将所加电场方向逆时针旋转1200，t再经过/撤去电场。小球在重力的作用下落回水平面，试求： 30077777777777⑴落回点与出发点相距多远；⑵小球的飞行时间？ 图1-12图1-13练习52007年春节期间，城乡许多家庭为了增添节日的热闹气氛，燃放了不少组合“春雷”花炮，组合“春雷”花炮一般由炮筒、炮体和引线等部分组成。组合“春雷”花炮有16响、25响、36响……不同的组合方式，如图1-13所示为16响“春雷”的示意图。燃放“春雷”的过程一般是先点火，炮体在炮筒中经过一段匀加速运动的过程后，从炮筒口以较大的速度冲向天空，在最高点炸裂，然后落地。已知炮筒的高度 h=50cm，炮体在炮筒中的加速度为图1-13400m/s2，炮体与炮体间的水平距离为1=8cm，导入炮体的引线长度与炮筒高度相同，如图所示，引线的燃烧速度为v=2cm/s，不计空气阻力，试求：（1）从点火到最后一个炮体离开炮筒的时间；（2）炮体能达到的最大高度?练习6为了测量一高楼的高度，某人设计了如下实验，在一根长为1的绳两端各拴一重球，一人站在楼顶上，手执绳的上端无初速度释放使其自由落下，另一个人在楼下测量两球落地的时间差At，即可根据1,At,g得出楼的高度（不计空气阻力）。请问：（1）从原理上讲，这个方案是否正确？（2）从实际测量来看，你估计最大困难是什么？（3）若测得1=10m,At=0.4s，g取10m/s2,估算楼高多少？练习7一把雨伞边缘的半径为厂，且高出水平地面h.当雨伞以角速度①旋转时，雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周.这个大圆的半径为.练习8羚羊从静止开始奔跑，经过50m距离能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这个速度4.0s.设猎豹距离羚羊1m时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑.求：（1）猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，1值应在什么范围？（2）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，1值应在什么范围？练习9我们在电影或电视中经常可以看到这样的惊险场面：一辆汽车从山顶落入山谷，为了拍摄重为15000N的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车代替实际汽车设模型汽车与实际汽车的大小比例为—，那么山崖也必须用—的比例来代替真实的山崖.设电影25 25每1min放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以达到以假乱真的视觉效果.问：在实际拍摄的过程中，电影摄影机每1s拍摄的胶片数应是实景拍摄的几倍？练习10飞机以恒定的速度％沿水平方向飞行，飞行高度为2000m，在飞行过程中释放一炸弹，在30s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声假设此爆炸声向空间各个方向的传播速度都为20m/s,炸弹受到的空气阻力可以忽略，取g=10m/s2.则炸弹经 s时间落地，该飞机的飞行速度%=m/s.（答案保留两位有效数字）练习11如图1-14所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的轻绳相连，用手拉着绳子另一端，使小球在水平板上绕O点做半径为a、角速度为3的匀速圆周运动.求：（1）此时绳上的拉力有多大？（2）若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使小球绕O做半径为b的匀速圆周运动.从放松到拉直这段过程经历了多长时间？（3）小球做半径为b的匀速圆周运动时，绳子上的拉力又是多练习12如图1-15所示