【2022】高中物理万有引力定律知识点总结与典型例题精选

万有引力定律人造地球卫星『夯实基础知识』开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二r3次方的比值都相等．即 T2开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。万有引力定律及其应用(1)内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。FGMm（1687年）r2

定律不再适用，不能依公式算出F近为无穷大。GG1kg1m时相互作用的万有引力．(3)地球自转对地表物体重力的影响。球一起绕地轴自转所需的向心力F向=mRcos·2于地轴指向地轴，而万有引力的另一个分力就是通常所说的mgN地心。FgRmRcos·ω2减小，重力逐渐增大，相应重力加速度g也逐渐增大。ωNO′F心 mOF mgO引甲G6.671011Nm

/kg2

和mg刚好在2向2一条直线上，则有F＝F

＋2g2g=F

mm＝G 1 21kg1m年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。

向2－mRω 2。2自

向 r2万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。（放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大。万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：

物体在两极时其受力情况如图丙所示这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F 和支持力N是引对平衡力，此时物体的重力mg＝N＝F 。引ω N ωFFF引引 Nmm对于地面附近的物体m，有mg G E

（

o o为地球R2 EEgR2半径或物体到地球球心间的距离，可得到m E 。E G(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作r球体，r是两球心间的距离．

乙 丙综上所述他地方介于两者之间，但差别很小。向地心，但与万有引力的夹角很小。由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即

GmMR2

≈mg

可得行星的密度（4）发现未知天体说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。万有引力定律的应用：基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动， F =F万(类似原子模型)心方法：轨道上正常转：Mm v2 42G m m 2rm r2 r T2

人造地球卫星。分析。Mm地面附近：GR2

=mg

GM=gR2(黄金代换式)

1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球（1）天体表面重力加速度问题

心一定在卫星的轨道平面内。通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有mm即m2g＝G 1

，g=GM/R2常用来计算星球表面重力加速R2度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大r而减小，即gh=GM/（R+h）2，比较得gh=（Rh）2·gmg=GMm得

GmM 2 mam m 2rm( )2r2 r T实际是牛顿第二定律的具体体现3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等：aR2g=GM，由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为

向心加速度r的平方成反比。GMR2 g R2 1 2 1g R2 M2 1 2

a =向 r2GM向a max=R2向

当r取其最小值时，a向=g=9.8m/s2

取得最大值。mm

T，圆周运动

vr的平方根成反比中的轨道半径为r，则：

GMv= r h↑，v↓mm由G 中

22m

r得：m 4

2r3r2 T

中 GT2

当r 取其最小值地球半径R 时，v 取得最大值。的质量。可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。

vmax=

GMR = Rg=7.9km/s计算中心天体的密度

角速度

与r的三分之三次方成百比Mρ=V

M=4R3

r2 = = r3GT2R3

∴当h↑，ω↓3 当r取其最小值地球半径R时，取得最大值。由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r

max=

GMR3

gR1.2310－3rad/s周期T与r的二分之三次方成正比。 椭圆运动当卫星的速度等于或大于11.2km/s的时候物体T=2

r3GM

∴当h↑，T↑ 飞到其它行星上去，把v2

11.2km/s叫做第二宇宙速度，rR时，T取得最小值。

第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度。第三宇宙速度：物体挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间

R3GM

=2 R≈84ming

所需要的最小发射速度，又称逃逸速度，其值为：卫星的能量：(类似原子模型)

v 16.7km/s3r增

v减小(EK减小<Ep增加)，所以E增加需克服引力做

(2)当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同功越多，地面上需要的发射速度越大应该熟记常识：11天=24小时=86400s6.4ｘ103kmg=9.8m/s2月球公转30天宇宙速度及其意义(1)三个宇宙速度的值分别为第一宇宙速度（速度：物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称环

①当v＜v1时，被发射物体最终仍将落回地面；v1≤v＜v2③当v2≤v＜v3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”；④当v≥v3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。同步卫星（所有的通迅卫星都为同步卫星）“同步”的含义就是和地球保持相对静止（止轨道卫星T=24h，⑵特点平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上绕速度，其值为：v1

7.9km/s

方，不可能在与赤道平行的其他平面上。这是因为：不是赤道上方的某一轨道上跟着地球的自转同步地第一宇宙速度的计算．方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力．

作匀速圆运动，卫星的向心力为地球对它引力的一个分力F1，而另一个分力F2的作用将使其运行轨道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。mM v2 GMG=mh，v=

r

。当h↑，v↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。其大小为r＞＞h（地面附近）时，V1

GMr =7．9×103m/s引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．v2

自转周期相同。h处，且h是一定的．mg

r1h

r＞＞h时．gh≈g

Gr2

m2rv1＝

gr=7．9×103m/s第二宇宙速度（脱离速度：

而小于

11.2km/s

，卫星将做

3得r

GM hrR35800km2 故地球同步卫星的线速度：环绕速度 D．月球绕地球运动的周期将变短★解析：设地球和月球的质量分别为M、m，它们之间的引力由Gr2

mr

v GM3.08km/s得 r

为F

Mmr2 运行方向一定自西向东运行

知识，当Ｍ＝m时，Ｍ·m取最大值，Ｍ、m相差越多，Ｍ·m人造天体在运动过程中的能量关系当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。反之，如

越小，

FG

Mmr2 越小。地球比月球的质量大，还要把月过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。

球上的矿藏搬运到地球上，就使得Ｍ，m相差更多，所以Ｍ·mFGMm

就越小，

r2 越小。答案：B、DK动能为E GMm，由于重力加速度g随高度增大而减小，K2r所以重力势能不能再用计算，而要用到公式

gh表面重力加速度：Mm GME GMm（以无穷远处引力势能为零，M为地球质量，P rm为卫星质量，r）因此机

G mgg R2 0 0 R2轨道重力加速度：GMm

GMm

mg g GM械能为E2r

。同样质量的卫星，轨道半径越大，即 Rh2

h h Rh2离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。『题型解析』类型题：万有引力定律的直接应用mm

【例题】设地球表面的重力加速度为g是地球半径g/，为（）、1； B、1/9； C、1/4；D、1/16。FG的是（C）

1 2的说法中正确r2

Mg=GR

，=

M(R3R)

g/=1/16，A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体BC．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D．公式中万有引力常量G的值是牛顿规定的

即D选项正确。1 1【例题】火星的质量和半径分别约为地球的10和2，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（B）mMR，则物体与地球间的万有引力是（C）GMm

(A)0.2g(C)2.5g

(B)0.4g(D)5gA．R2C．零

B．无穷大D．无法确定

类型题：用万有引力定律求天体的质量和密度通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力

加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较B．地球与月球间的万有引力将减小C．月球绕地球运动的周期将变长

Mm 2 Mr由 Mrr2 T4又M R3 得43

2r3GT23r3GT2R3r=1.49101，公

1大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=30s。问该中转的周期T=3.16 107s，求太阳的质量M。得：

(Mm 2 G=6.671011m32)G m rr2 TM2rMGT=1.96GT2

1030kg

引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。MR，自转角速度为t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点2

GMmR2

m2R

T

M4R33地点之间的距离为

3L。已知两落地点在同一水平面上，该

GT2，星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。★解析：设抛出点的高度为h，代入数据解得：

1.271014kg/m3。2 H2

h2

可得h设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得： 双星问题h12

gt2g

宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不由万有引力定律与牛顿第二定律得：mgGMmR2

计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。M

2 3LR22 。

此周期也必然相同。⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提【例题】某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测量出的物理是（D）

供的，因此大小必然相等，由F=mω2rr1，于是有m1 D1

r m21 mm1

L,r mL12 mmL11 2ωT，则可估算此恒星的密度为多少?★解析：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆

m1 rO r2 mMm周运动，则有 G

=mR

4，

2R3 ⑶列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距R2 T24

GT3

Lrr1、r2，千万不可混淆V=3πR3ρ=V

=GT2。 【例题】在天文学中，把两颗相距较近的恒星叫双星，已知两

恒星的质量分别为m和M，两星之间的距离为L，两恒星分别围绕共同的圆心作匀速圆周运动，如图所示，求恒星运动的半径和周期。 对M

M1M2

2＝M（

）2l

∴M

42R2l22 R2

2 T 2，

GT2M1 o M＋M1

42R2（l＋l）＝GT2 1 2

2R3。GT2m解析：两颗恒星在万有引力作用下围绕共同点O(把它叫做质心)作匀速圆周运动，O点在两颗恒星的连线上，Or、RT万有引力定律和牛顿第二定律

m1mm=2mrr比为（）1 2 1 r1 1 2 1 m的恒星有M

GMml2Gl2

m22rTTTM2T

A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．1∶2★解析：两球向心力、角速度均相等，由公式r M

ml R

1 r m 1r+R=L。由以上三式解得

Mm Mm

得r

r2

= 2=2。答案：Dm1mT2

l3(Mm)Gr M l

R m l

颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作R答 案 ：Tl3

Mm

Mm

的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体(Mm)G技巧点拔：解圆周运动问题，确定圆心的位置是很重要的。另外，双星系统在宇宙中是比较普遍的，如果两颗星的质量相差l3悬殊，如则r=L，R=O，TGM，这是可以把大质量星看作静止的，小质量星围绕大质量星运动。RT，求两星的总质量。11 MMO点作周期T12Ol1l2。M11

的质量均为m。试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；体之间的距离应为多少？★解析：12MM 12G ＝M（ ）2l

2R2l1，∴M＝1R2 1 T 1

2 GT2

人造卫星的一组问题【例题】“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小 P 3方向使飞船能保持在预定轨道上稳定运行如果不进行轨道 21维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低在这种情况下飞船的动能重力势能和机械能变化情 Q况将会是A．动能、重力势能和机械能都逐渐减小B．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变C．重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变D．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小解析：由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每

3上的速率大于在轨道１上的速率3上的角速度小于在轨道１上的角速度1Q2上Q点时的加速度卫星在轨道2P3P点时的加速度★解析：从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产生运理，卫星的重力势能减小；由v

GM

1可知，卫星动

（F

ma

），所以卫星在轨道１上经过Ｑ点时r r n n能将增大。这也说明该过程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正。答案选D【例题】如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地P（该椭

２上经过Ｐ点时的加速度等于它在轨道３上经过Ｐ点时的加v2

（a n r

2r），由于卫星在不同的轨道上经过相同点在近地圆轨道上运行的速率为1在P点短时间加速后的速为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3v4的大小，并用小于号将它们排列起来 。Qv3v4 v1Pv2PQ两点点火加速过程中，卫星速度将v2>v1、v4>v3v1、v4是绕地球做匀速圆周运r1<r4

时，不但线速度、角速度不同，而且轨道半径（曲率半径）不同，所以不能做出判断。案：B、D【例题】欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该（左右南美洲的法属圭亚那的12状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为3状态将下列物理量按从小到大的顺用不等号排列这三个状态下卫星的线速度大小 向心加速度大小 ；③周期大。2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因r2<r3v3<v2；比较13状态，周期相同，即角速度相r1<r3vv1<v3<v22、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r2<r3，而向心加速1 4 2 1 4 以v>v。把以上不等式连接起来，可得到结论：v>v>v>v。度就是卫星所在位置处的重力加速度 g=GM/r2∝1/r21 4 2 1 4 （P→Q运行时，由于只有重力做负功，卫a3<a213r1<r3a=rω2∝r，星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2>v3）（98上海）12312Q点。轨23P点（如图123上正常运行时，以下说法正确的是（）

a1<a3a1<a3<a212状态，可以认为它们轨v13状态卫星在同24hT3=T1T2<T1=T3卫星的追及问题BOATBT，在1 2某一时刻两行星第一次相（即两行星距离最近（BD 。经过时间

甚至在有的问题中，数学知识起关键作用。用比值法求解有关问题【例题（81全国高考）假设火星和地球都是球体，火星的量为M 和地球质量M 之比M ／M ＝p，火星半径R 火 地 火 地 火t

T2T

之比R 地 火

＝q，那么火星表面重力加速度g地 火TT2 1

之比为（A ）地t1TT p pＣ．经过时间

12T

，两行星第一次相距最远A．

B．pq2 C．

D．pq2 1tTT

q2 qD．经过时间

122两行星第一次相距最远 2．割补法的运用【例题】A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运

【例题】如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的动，运行方向相同，A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，球体中心2R处有一质量为m的质点对m的万有引力的已知恒星质量为 r＜r。若在某一时刻两行星相距最近，试FMr。1 2求： 求M中剩下的部分对m的万有引力的大小。o o′r m再经过多少时间两行星距离又最近？再经过多少时间两行星距离最远？（1、B、B与恒星在同一条圆半径上，A、B运动方向相同，A2π、B与恒

★解析：根据万有引力定律，FG Mm(2R)2

，挖去的球体星又位于同一条圆半径上，距离最近。（1）B的角速度分别为ωω，经过时间A转

m

F

Mm(1.5R)2

，而M R 。所3M r331 2ωωB距离最近的条件是：1 2ωt=n(n

以剩下的部分对质点m的引力为1 2恒星对行星的引力提供向心力，则：Gmmmr2,即 Gm，r2 r3

FF

9R316r39R3 F。由得得出1

Gmr31

， Gm，2 r32

答案：

9R316r3F求得：t

Gmr3r1

Gmr3r2

(n

9R33．代数知识的运用tB转过的角度相差πA、B相距最远，即tt(2k(k。

【例题】地球同步卫星到地心的距离r

a2b2c可由r3 求1故t

2(2k

。把ω

代入得：

42 1 21