一阶电路的零输入响应课件

2.一阶电路的零输入响应、零状态响应；3.一阶电路的全响应（三要素法）；1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；下页第七章一阶电路和二阶电路的时域分析重点4.一阶电路的阶跃响应、冲激响应；5.二阶电路的零输入响应、零状态响应。初始条件的确定三要素法含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。特点1.动态电路当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例0ti过渡期为零电阻电路+-usR1R2（t=0）i下页上页7.1动态电路的方程及其初始条件K未动作前，电路处于稳定状态K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUSRCi

(t→)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuCt0?i有一过渡期电容电路K+–uCUSRCi

(t=0)下页上页K未动作前，电路处于稳定状态K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路电感电路K+–uLUSRLi

(t=0)+–uLUSRLi

(t→)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0uL有一过渡期Us下页上页K未动作前，电路处于稳定状态K断开瞬间注意工程实际中的过电压过电流现象(t→)+–uLUSRLiK+–uLUSRLiK下页上页过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化下页上页应用KVL和电容的VCR得：2.动态电路的方程+–uCuS(t)RCi(t>0)+－下页上页应用KVL和电感的VCR得：+–uLuS

(t)RLi(t≥0)+－一阶电路一阶电路中只有一个动态元件，描述电路的方程是一阶线性微分方程。二阶电路二阶电路中有二个动态元件，描述电路的方程是二阶线性微分方程。下页上页高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i及其各阶导数的值0tf(t)下页上页0＋0－当u()为有限值时(3)电感的初始条件t=0+时刻0换路瞬间，若电感电压保持为有限值，电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论下页上页+–uLLi（4）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。注意换路瞬间，若电容电流（或电感电压）保持为有限值，则电容电压（或电感电流）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。下页上页5.电路初始值的确定(2)由换路定律(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)(3)由0＋等效电路求iC(0＋)例1求iC(0+)电容开路下页上页+－10ViiC+uC－k10k40k+－10VuC(0－)10k40k+－电容用电压源替代+－10ViC(0+)8V10k0＋等效电路+－iL(0＋)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求uL(0＋)0+电路先求由换路定律:电感用电流源替代解电感短路iL+uL－L10VK14下页上页10V14＋10V142A－求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0＋)和iL(0＋)。3.画0＋等效电路。4.由0＋电路求所需各变量的0＋值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0＋时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。下页上页例4求K闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：由0＋电路得：iL2+－48V32+－uC2iL+uL－LK+－48V32C+uC－iC下页上页12A24V+－48V32iiC+－uL+－0＋电路例5求K闭合瞬间流过它的电流值。解（1）确定0－值（2）给出0＋等效电路1A+200V－100+100V100100－+uL－iCiL+200V－LK100+uC100100C－下页上页代入初始值

uC

(0＋)=uC(0－)=U0A=U0下页上页tU0uC0I0ti0令=RC,称为一阶电路的时间常数（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；下页上页工程上认为,经过3－5,过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。时间常数

还可以用次切距来获得：tuC0t1t2U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下页上页（3）能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设uC(0＋)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C下页上页例已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：+uC45F－i1t>0等效电路i3K3+uC265F－i2i1下页上页－RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；下页上页令=L/R,称为一阶RL电路时间常数。L大W=Li2/2起始能量大R小

P=Ri2放电过程消耗能量小放电慢大大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短物理含义时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短=L/R电流初值i(0)一定：下页上页（3）能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR下页上页iL

(0＋)=iL(0－)=1AuV

(0＋)=－10000V造成V损坏。例1t=0时,打开开关K，求uv。电压表量程：50V解iLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10ViLK(t=0)R10VL下页上页例2t=0时,开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解t>0iL+–uLR下页上页K(t=0)+–24V6H3446+－212小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值按指数规律衰减为零的函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路=RC

,RL电路=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路下页上页动态元件初始能量为零，由t≥0时电路中外施激励作用所产生的响应。列方程：非齐次线性常微分方程解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0下页上页7.3一阶电路的零状态响应与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0＋)=A+US=0

A=－US由初始条件uC

(0＋)=0定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解下页上页-USuC′uC″USti0tuC0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）+下页上页（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；

大，充电慢，小充电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+－US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下页上页例t=0时,开关K闭合，已知uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题。（2）设经过t1秒，uC＝80V50010F+－100VK+－uCi下页上页2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00iLK(t=0)US+–uR+–uLRL下页上页例1t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路。t

>0iLK+–uL8010A2003002HiL+–uL10AReq2H下页上页例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压u。解t>0iLK+–uL102A105+–u2HiL+–uLUSReq+－2H下页上页电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。uC

(0－)=U0以RC电路为例，电路微分方程：=RC1.全响应全响应uC

(0＋)=A+US=U0A=U0

－US由起始值定AiK(t=0)US+–uRC+–uCR下页上页7.4一阶电路的全响应稳态解暂态解2.全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uC全解tuC0（1）全响应可以分解为暂态分量和稳态分量之和下页上页（2）全响应可以分解为零状态响应和零输入响应之和零输入响应零状态响应iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0+=下页上页零状态响应零输入响应tuC0US零状态响应全响应零输入响应U0下页上页例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL、uL解零输入响应：零状态响应：全响应：K(t=0)+–24V4+－uL8iL0.6H下页上页例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解稳态分量：全响应：A=－10+–10V1A1+－uC1+－u1下页上页3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0＋其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0＋等效电路求解用t→的稳态电路求解用0＋等效电路求解下页上页例1已知：t=0时开关闭合，求换路后的uC(t)。解tuC2(V)0.66701A213F+－uC下页上页例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：应用三要素公式+–20V0.5H55+–10Vi2i1iL下页上页例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)。解三要素为：4+－4i12i1u+－2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12下页上页例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。解三要素为：+–1H0.25F52S10Vi下页上页例5已知：电感无初始储能，t=0时合k1,t=0.2s时合k2，求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解i10Vk1(t=0)k2(t=0.2s)321H下页上页(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262下页上页单位阶跃函数1下页上页7.5一阶电路的阶跃响应是一种奇异函数，定义为：otRC1V下页上页1.用阶跃函数可以起始任意一个函数f(t)otott02.用阶跃函数表示矩形脉冲ott1t21下页上页在单位阶跃函数作用下电路引起的响应，记为s