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文档简介
一元一次方程》全章复习与巩固学习目标
1.理解方程,等式及一元一次方程的概念,并掌握它们的区别和联系;
2.会解一元一次方程,并理解每步变形的依据;
3.会根据实际问题列方程解应用题.一元一次方程的概念1.方程:含有未知数的等式叫做方程.2.一元一次方程:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程①只含有一个未知数,未知数的次数为1;②未知数所在的式子是整式,即分母中不含未知数.3.方程的解:使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解.4.解方程:求方程的解的过程叫做解方程.要点二、等式的性质与去括号法则1.等式的性质:
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.2.合并法则:合并时,把系数相加(减)作为结果的系数,字母和字母的指数保持不变.3.去括号法则:(1)括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.(2)括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题:路程=速度×时间2.和差倍分问题:增长量=原有量×增长率3.利润问题:商品利润=商品售价-商品进价4.工程问题:工作量=工作效率×工作时间,各部分劳动量之和=总量5.银行存贷款问题:本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期数6.数字问题:多位数的表示方法:例如:.
【总结升华】由于两个方程的解相同,所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中,从而求得问题的答案.(x-4)(278+463×2-888×7)=0【变式】解方程:278(x-4)-463(8-2x)-888(7x-28)=0解:原方程可化为278(x-4)+463×2(x-4)-888×7(x-4)=0
x-4=0
x=4类型三、一元一次方程的应用
5.(南京)甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶,0.5h后,乙车也从A地出发,以80km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶,求乙车出发后几小时追上甲车.
解:设乙车出发后x小时追上甲车
依题意得60×0.5+60x=80x
解得x=1.5.答:乙车出发后1.5小时追上甲车.【总结升华】此题的等量关系为:甲前0.5h的行程+甲后来的行程=乙的行程.
6.(南昌)剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换).有关销售策略与售价等信息如下表所示:某段时间内,甲厂家销售了8400把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍,乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍,问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?解:设这段时间内乙厂家销售了x把刀架.依题意,得(0.55-0.05)·50x+(1-5)x=2×(2.5—2)×8400,解得x=400.
销售出的刀片数:50×400=20000(片).甲厂家利润×2=乙厂家利润.
【变式】某文具店为促销X型计算器,优惠条件是一次购买不超过10个,每个38元,超过10个,超过部分每个让利2元(即每个36元),问李老师用812元共买了多少个?
解:设李老师用812元共买了x个,依题意可得:【总结升华】因为两方程的解相同,可把a看做已知数,分别求出它们的解,令其相等,转化为求关于a的一元一次方程.类型二、一元一次方程的解法
解:去分母,得:2(4-6x)-6=3(2x+1).
去括号,得:8-12x-6=6x+3.
移项,合并同类项,得:-18x=1.4.解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}=5.解:把2x-1看做一个整体.去括号,得:
3(2x-1)-9(2x-1)-9=5.
合并同类项,得-6(2x-1)=14本题也可以考虑换元法:设2x-1=a,则原方程化为3[a-(3a+3)]=5.
2.解含绝对值的方程
6.解方程|x-2|=3.解:当x-2≥0时,原方程可化为x-2=3,得x=5.当x-2<0时,原方程可化为-(x-2)=3,得x=-1.所以x=5和x=-1都是方程|x-2|=3的解.【总结升华】如图所示,可以看出点-1与5到点2的距离均为3,所以|x-2|=3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数,即方程|x-2|=3的解为x=-1和x=5.类型四、一元一次方程的应用
7.李伟从家里骑摩托车到火车站,如果每小时行30千米,那么比火车开车时间早到15分钟;若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟,现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站,求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?
【思路点拨】本题中的两个不变量为:火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变.解:设李伟从家到火车站的路程为y千米,则有:李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时,设李伟骑摩托车的速度为x千米/时,则有:
【变式】某商品进价2000元,标价4000元,商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品?实际问题与一元一次方程要点二、常见列方程解应用题的几种类型1.和、差、倍、分问题(1)基本量及关系:增长量=原有量×增长率,现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.(2)寻找相等关系:抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等.2.行程问题(1)三个基本量间的关系:路程=速度×时间(2)基本类型有:
①相遇问题(或相向问题):Ⅰ.基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ.寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ.寻找相等关系:第一,同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.③航行问题:Ⅰ.基本量及关系:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度,顺水速度-逆水速度=2×水速;
Ⅱ.寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析.3.工程问题如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式:
(1)总工作量=工作效率×工作时间;(2)总工作量=各单位工作量之和.4.调配问题寻找相等关系的方法:抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.
类型一、和差倍分问题
1.2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?设生产运营用水x亿立方米,则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米依题意,得5.8-x=3x+0.6解得x=1.35.8-x=5.8-1.3
=4.5(亿立方米)【总结升华】相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量=5.8亿立方米【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍.第三个季度销售量是第一个季度的2倍,试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?解:设第二个季度麻商集团销售冰箱x台,则第一季度销售量为2x台,第三季度销售量为4x台,依题意可得:x+2x+4x=2800,解得:x=400
类型二、行程问题1.一般问题
2.小山娃要到城里参加运动会,如果每小时走4千米,那么走完预订时间离县城还有0.5千米,如果他每小时走5千米,那么比预订时间早半小时就可到达县城.试问学校到县城的距离是多少千米?
解:设小山娃预订的时间为x小时,由题意得:
4x+0.5=5(x-0.5),解得x=3.所以4x+0.5=4×3+0.5=12.5(千米)..
【总结升华】当直接设未知数有困难时,可采用间接设的方法.即所设的不是最后所求的,而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量.【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶,上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时,求汽车的平均速度.2.相遇问题(相向问题)
3.A、B两地相距100km,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行,甲的速度是23km/h,乙的速度是21km/h,甲骑了1h后,乙从B地出发,问甲经过多少时间与乙相遇?解:设甲经过x小时与乙相遇.
解得,x=2.75【总结升华】等量关系:甲走的路程+乙走的路程=100km【变式】甲、乙两人骑自行车,同时从相距45km的两地相向而行,2小时相遇,每小时甲比乙多走2.5km,求甲、乙每小时各行驶多少千米?
解:设乙每小时行驶x千米,则甲每小时行驶(x+2.5)千米,
根据题意,得:3.追及问题(同向问题)
4.一队学生去校外进行军事野营训练,他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟时,学校要将一紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?解:设通讯员x小时可以追上学生队伍,根据题意,【总结升华】追及问题:路程差=速度差×时间,此外注意:方程中x表示小时,18表示分钟,两边单位不一致,应先统一单位.4.航行问题(顺逆流问题)
5.一艘船航行于A、B两个码头之间,轮船顺水航行需3小时,逆水航行需5小时,已知水流速度是4千米/时,求这两个码头之间的距离.解法1:设船在静水中速度为x千米/时,则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时,逆水航行的速度为(x-4)千米/时,由两码头的距离不变得方程:3(x+4)=5(x-4),解得:x=16,(16+4)×3=60(千米)【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度;逆流速度=静水速度-水流速度,根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程.类似地,当物体在空中飞翔时,常会遇到顺风逆风问题,解题思路类似顺逆流问题.类型三、工程问题
6.一个水池有两个注水管,两个水管同时注水,10小时可以注满水池;甲管单独开15小时可以注满水池,现两管同时注水7小时,关掉甲管,单独开乙管注水,还需要几小时能注满水池?
解:设乙管还需x小时才能注满水池.x=9.【总结升华】工作效率×工作时间=工作量,如果没有具体的工作量,一般视总的工作量为“1”【变式】修建某处住宅区的自来水管道,甲单独完成需14天,乙单独完成需18天,丙单独完成需12天,前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间,后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?解:设乙中途离开x天,由题意得:类型四、调配问题(比例问题、劳动力调配问题)
7.星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务,已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条,一件上衣和一条裤子为一套,计划用750m长的这种布料生产学生服,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?
【总结升华】用同一未知数表示上衣总件数与裤子的总件数,等量关系:上衣总件数=裤子的总件数.
解:设从甲队调出x人到乙队.由题意得,实际问题与一元一次方程(二)(基础)类型一、利润问题1.以现价销售一件商品的利润率为30%,如果商家在现有的价格基础上先提价40%,后降价50%的方法进行销售,商家还能有利润吗?为什么?解:设该商品的成本为a元,则商品的现价为(1+30%)a元,依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a·(1+40%)(1-50%)=0.91a.【总结升华】分清售价、进价、数量、利润之间的关系【变式1】某个商品的进价是500元,把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动,请你计算一下广告上可写出打几折?解:设该商品打x折,依题意,则:解:设李明上次购买书籍的原价为x元,由题意得:0.8x+20=x-12,解这个方程得:x=160.
类型二、存贷款问题2.爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄,年利率为2.7%,五年后取出本息和为17025元,爸爸开始存入多少元.
解:设爸爸开始存入x元.根据题意,
x+x×2.7%×5=17025.解之,得x=15000【总结升华】本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期数.类型三、数字问题
3.一个三位数,十位上的数是百位上的数的2倍,百位、个位上的数的和比十位上的数大2,又个位、十位、百位上的数的和是14,求这个三位数.
【总结升华】:(1)求的是一个三位数,而不是三个数;(2)这类应用题,一般设间接未知数,切勿求出x就答;(3)三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100,10位上的数字乘以10,然后把所得的结果和个位数字相加.解:设百位上的数为x,则十位上的数为2x,个位上的数为14-2x-x
由题意得:x+14-2x-x=2x+2
解得:x=3
∴x=3,2x=6,14-2x-x=5【变式】一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大4,这个两位数又是这两个数字的和的4倍,求这个两位数.类型四、方案设计问题
4.为鼓励学生参加体育锻炼.学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为3:2,单价和为80元.
(1)篮球和排球的单价分别是多少元?
(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个,且购买的篮球数量不少于26个.请探究有哪几种购买方案?
解:(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2元.依题意3x+2x=80,
解得x=16即3x=48,2x=32
由列表可知,共有三种购买方案:方案一:购买篮球26个,排球10个;方案二:购买篮球27个,排球9个;方案三:购买篮球28个,排球8个.【总结升华】本例设未知数的方法很独特,值得借鉴.采用列表的方法探索方案,值得学习.【变式】(武昌区期末调考)某校组织10位教师和部分学生外出考察,全程票价为25元,对集体购票,客运公司有两种优惠方案可供选择:方案一:所有师生按票价的88%购票;方案二:前20人购全票,从第21人开始,每人按票价的80%购票.(1)若有30位学生参加考察,问选择哪种方案更省钱?(2)参加考察的学生人数是多少时,两种方案车费一样多?
解:设有x位学生参加考察.按方案一购票费用为:25×88%(10+x)=22x+220按方案二购票费用为:20×25+25×80%(x+10-20)=20x+300
(1)当x=30时:
22x+220=660+220=880(元)
20x+300=600+300=900(元)
(2)设22x+220=20x+300,解得:x=40类型一、利润问题1.文星商店以每支4元的价格进100支钢笔,卖出时每支的标价6元,当卖出一部分钢笔后,剩余的打9折出售,卖完时商店盈利188元,其中打9折的钢笔有几支?
解:设打折的钢笔有x支,则有:
6(100-x)+6×90%x=100×4+188此外还可以列方程:(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x=188,这是以利润作为相等关系来构建方程的,其结果一样.【变式】某种商品的标价为900元,为了适应市场竞争,店主打出广告:该商品九折出售,并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率(相对于进货价),问此商品的进货价是多少?(用四舍五入法精确到个位)解:设此商品的进货价为x元,依题意,得:
(900×0.9-100)-x=10%x,类型二、存贷款问题
2.某公司从银行贷款20万元,用来生产某种产品,已知该贷款的年利率为15%(不计复利),每个产品成本是3.2元,售价是5元,应纳税款为销售款的10%.如果每年生产10万个,并把所得利润(利润=售价-成本-应纳税款)用来偿还贷款,问几年后能一次性还清?解:设x年后能一次性还清贷款,根据题意,得(5-3.2-5×10%)·10x=20+20×15%x.【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法,把贷款与存款相类比,贷款金额相当于存款本金,贷款的年利率相当于存款的年利率,每年产品的利润=售价-成本-应纳税款,产品的总利润等于本息和.【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费,在她上初一时参加教育储蓄,准备先存一部分,等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期(年利率为2.88%),上大学贷款的部分打算用8年时间还清(年贷款利息率为6.21%),贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等,小华父母用了多少钱参加教育储蓄?还准备贷多少款?解:设小华父母用x元参加教育储蓄,依题意,
x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,
解得,x≈9436(元)
16000-9436=6564(元).类型三、数字问题3.一个两位数,十位数字比个位数字的4倍多1,将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63,求原数.解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为4x+1.根据题意得:10(4x+1)+x=10x+(4x+1)+63,解得x=2,
∴4x+1=4×2+1=9,故这个两位数
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