一元一次方程应用1课件

一元一次方程》全章复习与巩固学习目标

1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；

2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；

3．会根据实际问题列方程解应用题．一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．要点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：

等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：．

【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．(x-4)(278+463×2-888×7)＝0【变式】解方程：278(x-4)-463(8-2x)-888(7x-28)＝0解：原方程可化为278(x-4)+463×2(x-4)-888×7(x-4)＝0

x-4＝0

x＝4类型三、一元一次方程的应用

5．(南京)甲车从A地出发以60km／h的速度沿公路匀速行驶，0.5h后，乙车也从A地出发，以80km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．

解：设乙车出发后x小时追上甲车

依题意得60×0.5+60x＝80x

解得x＝1.5．答：乙车出发后1.5小时追上甲车．【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．

6.(南昌)剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)．有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?解：设这段时间内乙厂家销售了x把刀架．依题意，得(0.55-0.05)·50x+(1-5)x＝2×(2.5—2)×8400，解得x＝400．

销售出的刀片数：50×400＝20000(片)．甲厂家利润×2＝乙厂家利润．

【变式】某文具店为促销X型计算器，优惠条件是一次购买不超过10个，每个38元，超过10个，超过部分每个让利2元(即每个36元)，问李老师用812元共买了多少个？

解：设李老师用812元共买了x个，依题意可得：【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的一元一次方程．类型二、一元一次方程的解法

解：去分母，得：2(4-6x)-6＝3(2x+1)．

去括号，得：8-12x-6＝6x+3．

移项，合并同类项，得：-18x＝1．4．解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．解：把2x-1看做一个整体．去括号，得：

3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．

合并同类项，得-6(2x-1)＝14本题也可以考虑换元法：设2x-1＝a，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．

2．解含绝对值的方程

6.解方程|x-2|＝3．解：当x-2≥0时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．当x-2＜0时，原方程可化为-(x-2)＝3，得x＝-1．所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|＝3的解为x＝-1和x＝5．类型四、一元一次方程的应用

7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?

【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时,则有：

【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？实际问题与一元一次方程要点二、常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

类型一、和差倍分问题

1.2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米依题意，得5.8-x＝3x+0.6解得x＝1.35.8-x＝5.8-1.3

＝4.5（亿立方米）【总结升华】相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：x+2x+4x＝2800，解得：x＝400

类型二、行程问题1.一般问题

2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：

4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．2.相遇问题（相向问题）

3．A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？解:设甲经过x小时与乙相遇.

解得，x=2.75【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?

解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2.5)千米，

根据题意，得：3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，根据题意，【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．4.航行问题（顺逆流问题）

5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，（16+4）×3=60（千米）【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．类型三、工程问题

6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?

解：设乙管还需x小时才能注满水池．x＝9．【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?解：设乙中途离开x天，由题意得:类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）

7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?

【总结升华】用同一未知数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数．

解：设从甲队调出x人到乙队.由题意得，实际问题与一元一次方程（二）(基础)类型一、利润问题1．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？解：设该商品的成本为a元，则商品的现价为(1+30%)a元，依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a·(1+40%)(1-50%)=0.91a.【总结升华】分清售价、进价、数量、利润之间的关系【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？解：设该商品打x折，依题意，则：解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20＝x-12，解这个方程得：x＝160．

类型二、存贷款问题2．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元.

解：设爸爸开始存入x元.根据题意，

x＋x×2.7％×5＝17025.解之，得x＝15000【总结升华】本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数．类型三、数字问题

3．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.

【总结升华】：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；(3)三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，然后把所得的结果和个位数字相加．解：设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x

由题意得：x+14-2x-x=2x+2

解得：x=3

∴x=3，2x=6，14-2x-x=5【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求这个两位数.类型四、方案设计问题

4．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为80元．

(1)篮球和排球的单价分别是多少元?

(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?

解：(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2元．依题意3x+2x＝80，

解得x＝16即3x＝48，2x＝32

由列表可知，共有三种购买方案：方案一：购买篮球26个，排球10个；方案二：购买篮球27个，排球9个；方案三：购买篮球28个，排球8个．【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴．采用列表的方法探索方案，值得学习．【变式】(武昌区期末调考)某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．(1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?

解：设有x位学生参加考察．按方案一购票费用为：25×88%(10+x)＝22x+220按方案二购票费用为：20×25+25×80%(x+10-20)＝20x+300

(1)当x＝30时：

22x+220＝660+220＝880(元)

20x+300＝600+300＝900(元)

(2)设22x+220＝20x+300，解得：x＝40类型一、利润问题1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店盈利188元，其中打9折的钢笔有几支?

解：设打折的钢笔有x支，则有：

6(100-x)+6×90%x＝100×4+188此外还可以列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作为相等关系来构建方程的，其结果一样．【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：

(900×0.9-100)-x=10%x，类型二、存贷款问题

2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，

x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,

解得,x≈9436(元)

16000-9436=6564(元).类型三、数字问题3．一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，求原数．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1．根据题意得：10(4x+1)+x＝10x+(4x+1)+63，解得x＝2，

∴4x+1＝4×2+1＝9，故这个两位数