信号与系统部分-课件8第八章

离散时间信号与系统的Z1离散时间信号与系统的Z域分离散时间信号的Z离散时间系统的Z2离散时间信号的Z理想取样信号 变Z变换定Z反变Z3§8.2Z换及收一、Z变换双 Fnrn

n

x(n)rn

ejxx(n)znX(z)x(n)rejZ反变换

x[n]

X(z)zk

令Zre4§8.2Z换及收一、Z变换X(zX(z)x[n]zn反单边Zx[nu(n)

X(z)zk 当X(n为因果序列时，即n<0、则单边Ｚ变换和双边Ｚ变5x[n]zx[n]znX(n理想取样信号 变 xs(t)x(t)(tnT x(nT)(tnT nXs(s)L[xs(t)]x(nT)en令e z,L{xs(t)}zeS域到Z域zenx[n]nx[n]zn z右边 xnnu xzxnznnzn

n

n

n0

1z z

7 z二 z左边xnnun Xznun1znnzn n

1

1z

1 11z z

zz

1.z R Rz双边例：x[nanu[nbnu[n

X(z)

1 1az

必须在必须在|b||a|的条件下，序列的Z变换才存在9 R Rz双边 ) )x(n) 1 ) )

n X(z)

11 11

0z 0z有限X(z)

x[n]zn

10nN1

0其 N NX(z)N

zn1 1

z二、收敛域Roc内不包含例Xz例

2z20.5z 1.5z0.5:

(2):

0.5 (3):0.5

z§8.4常用序列的Z变 P414的(n)u(n)

z

1z1 zu(n)nu(n)

1z1z(z1)

zz

anu(n)

z

1az1 zanu(n1)

z1az1 z §8.3Z换的

表8.1中x1(n)X1(z) RocR1x2(n)X2(z) Roca1x1(n)a1x1(n)a2x2(n)a1X1(z)a2X2(z)RocR1∩例：anu(n)anu(n

(n

z zz

全平§8.3Z换的2、时移性X(nn0)X(z)ZX(nn0)X(z)Z0

Roc例anu(n1aian1u(n

iz1

zz zZ换的单右移序x(nm)u(n)ZmX(z)Z x(k)Zkkx(n1)u(n)z1X(z)x(n2)u(n)z2X(z)z1x(1)x(2)§8.3Z换的x(nm)u(n)ZmX(z)Zm x(k)Zkx(n1)u(n)zX(z)x(n2)u(n)z2X(z)z2x(0)例：求有始周期序列的Zx(n)x1(n)x1(nN)"NX(z)x(n)z X(z)

(z)

z2N

X

zmN1 1

zmN

z m N若 1即z N

zNzNX(z)z 1X1(z)

§8.3Z换的3、Z的尺度变换和频移定理0znx(n)0

X(z

Roc00zej znx(n)X(ej000sin

12z10

sin0(z/)0 12(z/)1 (z/0§8.3Z换的4、时间反转ZZx(n)X(zRoc Rx(n)X(1zRoc1R5、卷积定x1x1(n)x2(n)X1(z)X2(RocR1∩§8.3Z换的6、Z

x(n)X(z) Rocnnx(n) Zd2X(zdzdxRoc xzn2xnz2dzdxz d§8.3Z换的anu(n

1

znanu(n)

a(za)

z (n1)au(n)(za)2

za(z1

(1z(n1)anu[n

(1

1)2

z§8.3Z换的7、初值和终初值定终值

x(0)limX(z)z若

limx(n)lim(z1)X 要求X(Z)的收敛域包括单位§8.3Z换的8.复共轭若h(n)为实序列，，X(z)中的多极点或复零点一定是xnXz

XzXzRe[xn]1[XzXz],Im[xn] 1[XzXz 2§ Zx[n]

X(z)zk计算方部分分式展幂级数展开和长留数计算Z部分分式

X(z)

B(z)

bmzm"b1zb0anzn"a1za0nX(z)n

z

z0

X(z)各部分分式的系数为kizziz k

zX(z)k0i

zZ反变部分分式

X(z)

B(z)

bmzm"b1z anzn"a1zmn，分母多项式在z=z1处有rXz

z

rr

(zz1

z01ki1

r(zr

X(z)

zz

,i(ri)!

Z部分分式

X(z)

B(z)

b0b1z1"bmzm1a1z1"anz

X(z)

kizi

:Fz)

(12z1)2(14z1

z4,f[k 解：F(z)

z (z 1z4C(z4)F(z) B(z2)2F(z)z4Ad[F(z)(z2)2] 2 f[n][22nn2n144n

§8.5Z例 X(z)解 X(z)

2z20.5zz21.5z0.52z20.5z(z1)(z0.5)

零极点X(z) 2z (z1)(z z zX(z) z z§8.5Zz 0.5zX1(z)X2(z)

3zzz

z1z0.5x(n)3u(n1)(0.5)nu(nz x(n)3u[n1](0.5)nu[n§8.5Z幂级数展开法——例X(z)

12z112z1

z

X(z)3n12z1

14z17z212z1112z112z14z18z24z3

7z27z2

4z314z37z410z3#§8.5Z幂级数展开法——长除例X(z)

12z112z1 xn－3n1u§§8.6离散时间系统响应的Z时域差分方解差分时域时域差分方解差分时域响应ZZ 换Z域代数Z域代数解代数方Z域响应二阶系统响应的Z域求y[n]a1y[n1]a2y[n2]b0x[n]b1x[n初始状态为y[1],对差分方程两边做Z变换，利y[y[nz1Y(z)y[nz2Y(z)y[1]z1Y(z)az1Y(z)ay[1]az2Y(z)ay[2]a bX(z)bz1X( 二阶系统响应的Z域求Y(z)

a1y[1]a2y[2]a2y[1]z1bb011a1z1bb011a1z1a2X( ay[1]ay[2]ay[1]z1Y0(z)1 1az1a Y(z)

b0

X(z) 1az1a y[n]Z1Y(z)Y 例：已知一LTI离散系统满足差分方2y[n]3y[n1]y[n2]x[n]x[n1]x[n由z域求系统零输入响应，零状态响应和完解：对差分方程两边做z2Y(z)3(z1Y(z)y[1])(z2Y(z)y[1]z1(1z1z2)XYY(z)3y[1]y[1]z1y[2]1z1z23z1z223z1zX(例：已知一LTI离散系统满足差分方2y[n]3y[n1]y[n2]x[n]x[n1]x[n由z域求系统零输入响应，零状态响应和完零输入响应Y(z)3y[1]y[1]z1 52z 23z1 23z1z 1z1 10.5zy[n]Z1{Y(z)}[3(1)n1 例：已知一LTI离散系统满足差分方2y[n]3y[n1]y[n2]x[n]x[n1]x[n由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响零状态响Y(z)

(1z

z2

1/ 0.5 5/x23z1

1

1z 1z 10.5z nnyx[n] {Yx(z)}{1/6 (5/6)(0.5) nny[k]yx[n]y0[n]{1/63.5(1)

(4/3)(0.5)例：已知一LTI离散系统满足差分方2y[n]3y[n1]y[n2]x[n]x[n1]x[n由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响2Y(z)3z1Y(z)z2Y(z)(1z1z2)XH(z)

Y(z)

(1z1z2

X

23z1 Y(z)

(1z

z2

[(

(1)nx23z1yx[n]{1/6

1n(5/6)(0.5)n§8.7系统函零极点与时域离散系统的稳定 一、系统函数H(z)的定hnH(z)H(z)YxzXzznHzznH(z)H(z)Z{yxH(z)Z{yx由定义二、H(z)a、从差分方 aky[nk]bkx[nk]k k kazkY(z)kkM

bzkkk

X(z)kbzkNH(z)k Nkazkk 8.34)y(n)3y(n1)1y[n2]x(n)1x[n113113134z118z213z234z8H(z)Y(z) X(z z2参见部分分式展b、从系统的模拟 2Y(z) X(z) a1z Y(z) a2z Y(z2 a1z

a2 )Y(z)X(z)H(z)Y(z)X(z)1

X(z

Y(zD1az1az2D aaazc ：x(n) h(n)(12)nu(n)H(z)

z1

y(n)H例2：y(n)

(1)n(2)n13(2)n13Y(z) 13

z3(z (z 3(zx(n)(2)nu(n) X(z)

z

z2H(z)Y(z) 2X( (z1)(zy(n)3y(n12y(n2)x(n)模拟框图例：一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,当输入x[n]=(0.5)nu[n]时，输出响应为y[n]=4(0.5)nu[n]0.5n(0.5)n1求系统函数H(z),差分方解：对于初始状态为y[1]=8,y[2]=2的一般二阶系bbz1bz2 8a2a8az1Y(z)X(z) 1a1z1a2z2 1a1z1a2z2 30.5z11.5z H(z)(10.5z1)2(10.5z2.51.25z1H(z)

10.25z例：一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,当输入x[n]=(0.5)nu[n]时，零状态响应为y[n]=4(0.5)nu[n]0.5n(0.5)n1求系统函数H(z),差分方程，零输入，全响应y[n5(0.5)nu[nn1)(0.5)nu[n0.5)nY(z)

10.5z

(10.5z

10.5z 30.5z11.5z(10.5z1)2(10.5z1)

zX(z)

z

z 例：一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,当输入x[n]=(0.5)nu[n]时，输出响应为y[n]=4(0.5)nu[n]0.5n(0.5)n1求系统函数H(z),差分方程，零输入，全H(z)

Y(z)X

2.51.25z11y[n]0.25y[n2]2.5x[n]1.25x[n1]0.5x[n三、系统的稳定性1、h[n]和H(z)都反映了系统的固有特2、h[n]代表因果系统时，必须h(n)=0当n<0时 h(n)0当n0，即h(n)是一个右边序列（正式域Hz)的收敛域：zz0为内边界，收敛域就得保证hn是因果的。三、系统的稳定性 Rz收敛域内，等效地说，limHz z 定理：离散LTI系统稳定的充要kkh[k]由H(z)判断系统的稳定性H(H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳因果系统的极点全在单位圆内则该系统例一离散系统如图所示，g[k求a) b)系统稳定时k的范围g[kx[k y[k 解 G(z)z1(k/3)G(z)X(z)Y(z)G(z)(k/4)zH(z)1(k/1(k/3)z

k

系统例：LTI系统H(z)

(10.5z1)(11.5z试判断该系统的稳定解|z|0.5|z||z|

系统稳定，非因果系统系统不稳定，因果系统四、由零极点图确定系统频率j jz

n

1,zejΩ也就是说一个序列的离散时 变换即为单位MjΩjΩ

i1

jΩ

jβ

NjΩ k 离散系统系统的基本离散系统的模拟并联型结 一、系统的基系统的级F

X

YF

YY(z)H2(z)X(z) H2(z)H1(z一、系统的基系统的并F

FY(z)H1(z)X(z)H2(z)X(z)[H1(z)H2(z)]60(z)K一、系K反馈F

E(z)

YY(z)E(z)K(z) E(z)F(z)(z)Y(z)YY(z)K(z)1(z)KF(z)H(z)K(z)1(z)K(z)二、离散系统直接型结 设差分方程中的m=n y[k]ajy[kj]bif[knj nnbznH(z)

nna1niajjHH21

.