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交通大学2013-2014学年第一学期《几何与代数B》期末考试卷（A卷）一．（本题满分30分，每题3分）请把答案填在空格或括号中．1．若混合积，则混合积【4】．2．若非零向量满足，则的夹角为【】．3．已知阶方阵，则的伴随矩阵的秩为【1】．4．若向量不能由向量组线性表出，则=【】．5．已知矩阵，其中都是维列向量．若，则【40】．6．设向量均是维行向量．若不能由向量组线性表示，而向量能由向量组线性表示，则向量组的一个最大线性无关组是【】．7．若二次型的秩为，则的值为【】．8．设是阶方阵，为阶单位矩阵．若，则【D】．（A）或；（B）；（C）；（D）．9．若阶方阵相似于，为阶单位矩阵，则相似于【C】．（A）；（B）；（C）；（D）10．方程在中表示的图形是【A】．（A）单叶双曲面；（B）椭球面；（C）椭圆柱面；（D）双叶双曲面．二．（本题满分8分）计算行列式．解：将第行的倍加到第+1行（=4,3,2,1）……4分将最后一列加到前面各列得……8分三．（本题满分10分）设直线过点且与直线相交．若垂直于轴，求的方程．解：设所求直线的方向向量为．由垂直于轴，得．……3分又与直线相交，所以，即．得直线的方向向量为．……9分于是的方程为．……10分四．（本题满分10分）在所有过直线的平面中，求与原点的距离最大的平面．解：设通过直线的平面束方程为……4分原点到该平面束距离是……6分当时，达到最大值．所求平面方程是……10分五．（本题满分8分）已知向量组．若矩阵满足，求矩阵．解：记，则可逆，且．所以，．……3分又……6分故．…8分六．（本题满分14分）设列向量组．记，为阶单位矩阵．1）计算矩阵；2）求线性方程组的所有解（用导出组基础解系表示）．解：1）．，…4分所以，．…8分2）方程组等价于它有一个特解，导出组的基础解系为，所求方程组的通解是为任意数．…14分七．（本题满分14分）设实矩阵，且的特征值之和为，特征值之积为．1）求的值；2）求正交矩阵，使为对角矩阵．解：1）由的特征值之和为，特征值之积为，得，解得．……3分2），得的特征值2（二重）和-3．……6分对特征值2，解方程组，得基础解系正交化，单位化得……10分对特征值-3，解方程组，得基础解系单位化得．……12分令，则．……14分八．（本题满分6分）设为阶正定矩阵，为的伴随矩阵．证明：还是正定矩阵．证明：首先是对称矩阵，……1分因为为对称正定矩阵，所以

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