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等差数列的性质等差数列的性质1或an+1=an+d等差数列AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差

如果一个数列从第2项起,等于同一个常数.......【说明】①数列{an}为等差数列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的,是一个常数。等差数列各项对应的点都在同一条直线上.知识回顾an=a1+(n-1)d或an+1=an+d等差数列AAAAAAAAAAAAA2一、判定题:下列数列是否是等差数列?①.9,7,5,3,……,-2n+11,……;②.-1,11,23,35,……,12n-13,……;③.1,2,1,2,………………;④.1,2,4,6,8,10,……;⑤.

a,a,a,a,……,a,……;√√√××:复习巩固一、判定题:下列数列是否是等差数列?①.9,7,53

(1)等差数列8,5,2,…,的第5项是

AA

AAAAAAA

(2)等差数列-5,-9,-13,…的第n项是A

-4an=-5+(n-1).(-4)10【说明】

在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个,可求出另外一个二、填空题:简言之————“知三求四”(3)已知{an}为等差数列,a1=3,d=2,an=21,则n=(1)等差数列8,5,2,…,的第5项是AAAA4(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…12345678910123456789100●●●●●●●P39例4等差数列的图象1(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…12345675(2)数列:7,4,1,-2,…12345678910123456789100●●●●等差数列的图象2(2)数列:7,4,1,-2,…123456789101236(1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差数列的图象3(1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…1234567897例1已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数,且p≠0,那么这个数列是否一定是等差数列吗?如果是,其首项与公差是什么?分析:由等差数列的定义,要判定是不是等差数列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了解:取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数,所以是等差数列,且公差是p在通项公式中令n=1,得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p,等差数列的性质P382,3例1已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数,8在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即:P37例5等差数列的性质在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它9思考题:已知三个数成等差数列的和是12,积是48,求这三个数.设数技巧已知三个数成等差数列,且和已知时常利用对称性设三数为:a-d,a,a+d四个数怎么设?思考题:已知三个数成等差数列的和是12,积是48,求这三个数10P396,7P396,711在等差数列中,为公差,若且求证:证明:设首项为,则例2.等差数列的性质P3911在等差数列中,为公差,若且求证:证明:设首项为,则例12am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项,否则不成立。如a1+a2=a3成立吗?

【说明】3.更一般的情形,an=,d=1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b(k、b为常数)am+(n-m)db为a、c的等差中项2b=a+c4.在等差数列{an}中,由m+n=p+q注意:①上面的命题的逆命题

是不一定成立的;等差数列的性质P398,105.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有相同13例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20(2)已知a3+a11=10,求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差d.分析:由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10分析:a3+a11=a6+a8=2a7,又已知a3+a11=10,∴a6+a7+a8=(a3+a11)=15分析:a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②,解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31例题分析例2.在等差数列{an}中(2)已知a3+a11=10,141.等差数列{an}的前三项依次为a-6,2a-5,-3a+2,则a等于()

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1,an=an+1+4,则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示:d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中(1)

若a59=70,a80=112,求a101;(2)

若ap=q,aq=p(p≠q),求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6,2a-5,-315300<<5004.在等差数列{an}中,a1=83,a4=98,则这个数列有多少项在300到500之间?d=5,提示:an=78+5nn=45,46,…,84402.已知{an}为等差数列,若a10=20,d=-1,求a3

?1.若a12=23,a42=143,an=263,求n.3.三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的积为12,求此三数.d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da,a+d,则3a=12,a2-d2=126,4,2或2,4,6研究性问题300<<5004.在16练习

梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间

还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽.项数(上)123456789101112数列的项33110项数(下)121110987654321分析:解法一:用{an}题中的等差数列,由已知条件,有a1=33,a12=110,n=12又a12=a1+(12—1)d即110=33+11d所以d=7因此,a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答:梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.练习梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中17am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项,否则不成立。如a1+a2=a3成立吗?

【说明】3.更一般的情形,an=,d=1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b(k、b为常数)am+(n-m)db为a、c的等差中项2b=a+c4.在等差数列{an}中,由m+n=p+q注意:①上面的命题的逆命题

是不一定成立的;等差数列的性质5.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有相同18①前100个自然数的和:1+2+3+…+100=

②前n个奇数的和:1+3+5+…+(2n-1)=

;③前n个偶数的和:2+4+6+…+2n=

.思考题:如何求下列和?n2n(n+1)①前100个自然数的和:1+2+3+…+100=19二、学习新课㈠等差数列前n项和Sn

=

=

.=an2+bna、b为常数Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

(1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1(2)(1)+(2)得2Sn=n(a1+an)二、学习新课㈠等差数列前n项和Sn=20㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫

;②等差数列的前n项和公式类同于

;③{an}为等差数列

,这是一个关于

没有

的“

倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数(注意a还可以是0)例1已知数列{an}中Sn=2n2+3n,求证:{an}是等差数列.㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫21等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n项为an,前n项和为Sn,请填写下表:三、课堂练习a1dnansn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n项为a22

例2

如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔?例2如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支23等差数列的性质等差数列的性质24或an+1=an+d等差数列AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差

如果一个数列从第2项起,等于同一个常数.......【说明】①数列{an}为等差数列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的,是一个常数。等差数列各项对应的点都在同一条直线上.知识回顾an=a1+(n-1)d或an+1=an+d等差数列AAAAAAAAAAAAA25一、判定题:下列数列是否是等差数列?①.9,7,5,3,……,-2n+11,……;②.-1,11,23,35,……,12n-13,……;③.1,2,1,2,………………;④.1,2,4,6,8,10,……;⑤.

a,a,a,a,……,a,……;√√√××:复习巩固一、判定题:下列数列是否是等差数列?①.9,7,526

(1)等差数列8,5,2,…,的第5项是

AA

AAAAAAA

(2)等差数列-5,-9,-13,…的第n项是A

-4an=-5+(n-1).(-4)10【说明】

在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个,可求出另外一个二、填空题:简言之————“知三求四”(3)已知{an}为等差数列,a1=3,d=2,an=21,则n=(1)等差数列8,5,2,…,的第5项是AAAA27(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…12345678910123456789100●●●●●●●P39例4等差数列的图象1(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…123456728(2)数列:7,4,1,-2,…12345678910123456789100●●●●等差数列的图象2(2)数列:7,4,1,-2,…1234567891012329(1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差数列的图象3(1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…12345678930例1已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数,且p≠0,那么这个数列是否一定是等差数列吗?如果是,其首项与公差是什么?分析:由等差数列的定义,要判定是不是等差数列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了解:取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数,所以是等差数列,且公差是p在通项公式中令n=1,得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p,等差数列的性质P382,3例1已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数,31在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即:P37例5等差数列的性质在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它32思考题:已知三个数成等差数列的和是12,积是48,求这三个数.设数技巧已知三个数成等差数列,且和已知时常利用对称性设三数为:a-d,a,a+d四个数怎么设?思考题:已知三个数成等差数列的和是12,积是48,求这三个数33P396,7P396,734在等差数列中,为公差,若且求证:证明:设首项为,则例2.等差数列的性质P3911在等差数列中,为公差,若且求证:证明:设首项为,则例35am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项,否则不成立。如a1+a2=a3成立吗?

【说明】3.更一般的情形,an=,d=1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b(k、b为常数)am+(n-m)db为a、c的等差中项2b=a+c4.在等差数列{an}中,由m+n=p+q注意:①上面的命题的逆命题

是不一定成立的;等差数列的性质P398,105.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有相同36例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20(2)已知a3+a11=10,求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差d.分析:由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10分析:a3+a11=a6+a8=2a7,又已知a3+a11=10,∴a6+a7+a8=(a3+a11)=15分析:a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②,解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31例题分析例2.在等差数列{an}中(2)已知a3+a11=10,371.等差数列{an}的前三项依次为a-6,2a-5,-3a+2,则a等于()

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1,an=an+1+4,则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示:d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中(1)

若a59=70,a80=112,求a101;(2)

若ap=q,aq=p(p≠q),求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6,2a-5,-338300<<5004.在等差数列{an}中,a1=83,a4=98,则这个数列有多少项在300到500之间?d=5,提示:an=78+5nn=45,46,…,84402.已知{an}为等差数列,若a10=20,d=-1,求a3

?1.若a12=23,a42=143,an=263,求n.3.三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的积为12,求此三数.d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da,a+d,则3a=12,a2-d2=126,4,2或2,4,6研究性问题300<<5004.在39练习

梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间

还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽.项数(上)123456789101112数列的项33110项数(下)121110987654321分析:解法一:用{an}题中的等差数列,由已知条件,有a1=33,a12=110,n=12又a12=a1+(12—1)d即110=33+11d所以d=7因此,a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答:梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.练习梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中40am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项,否则不成立。如a1+a2=a3成立吗?

【说明】3.更一般的情形,an=,d=1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b(k、b为常数)am+(n-m)db为a、c的等差中项2b=a+c4.在等差数列{an}中,由m+n=p+q注意:①上面的命题的逆命题

是不一定成立的;等差数列的性质5.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=a

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