等差数列性质课件1

等差数列的性质等差数列的性质1或an+1=an+d等差数列AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差

如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】①数列{an}为等差数列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的，是一个常数。等差数列各项对应的点都在同一条直线上.知识回顾an=a1+(n-1)d或an+1=an+d等差数列AAAAAAAAAAAAA2一、判定题：下列数列是否是等差数列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.

a,a,a,a,……，a，……；√√√××：复习巩固一、判定题：下列数列是否是等差数列？①.9，7，53

(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是

AA

AAAAAAA

(2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A

-4an=-5+(n-1).(-4)10【说明】

在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个，可求出另外一个二、填空题：简言之————“知三求四”(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则n=(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是AAAA4（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●P39例4等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345675（2）数列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…123456789101236（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…1234567897例1已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p在通项公式中令n=1，得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,等差数列的性质P382，3例1已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，8在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即：P37例5等差数列的性质在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它9思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.设数技巧已知三个数成等差数列，且和已知时常利用对称性设三数为：a-d,a,a+d四个数怎么设？思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数10P396，7P396，711在等差数列中，为公差，若且求证：证明：设首项为，则例2.等差数列的性质P3911在等差数列中，为公差，若且求证：证明：设首项为，则例12am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项，否则不成立。如a1+a2=a3成立吗？

【说明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+q注意：①上面的命题的逆命题

是不一定成立的；等差数列的性质P398，105.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有相同13例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31例题分析例2.在等差数列{an}中(2）已知a3+a11=10，141.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-315300<<5004.在等差数列{an}中,a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3

?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6研究性问题300<<5004.在16练习

梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间

还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.项数（上）123456789101112数列的项33110项数（下）121110987654321分析：解法一:用{an}题中的等差数列，由已知条件，有a1=33，a12=110，n=12又a12=a1+(12—1)d即110＝33＋11d所以d=7因此，a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.练习梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中17am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项，否则不成立。如a1+a2=a3成立吗？

【说明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+q注意：①上面的命题的逆命题

是不一定成立的；等差数列的性质5.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有相同18①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=

；

②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=

；③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=

.思考题：如何求下列和？n2n(n+1)①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=19二、学习新课㈠等差数列前n项和Sn

=

=

.=an2+bna、b为常数Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an

(1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1(2)(1)+(2)得2Sn=n(a1+an)二、学习新课㈠等差数列前n项和Sn=20㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫

；②等差数列的前n项和公式类同于

；③{an}为等差数列

，这是一个关于

的

没有

的“

”

倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）例1已知数列{an}中Sn=2n2+3n，求证：{an}是等差数列.㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫21等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：三、课堂练习a1dnansn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为a22

例2

如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？例2如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支23等差数列的性质等差数列的性质24或an+1=an+d等差数列AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差

如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】①数列{an}为等差数列an+1-an=dd=an+1-an②公差是唯一的，是一个常数。等差数列各项对应的点都在同一条直线上.知识回顾an=a1+(n-1)d或an+1=an+d等差数列AAAAAAAAAAAAA25一、判定题：下列数列是否是等差数列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.

a,a,a,a,……，a，……；√√√××：复习巩固一、判定题：下列数列是否是等差数列？①.9，7，526

(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是

AA

AAAAAAA

(2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A

-4an=-5+(n-1).(-4)10【说明】

在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个，可求出另外一个二、填空题：简言之————“知三求四”(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则n=(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是AAAA27（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●P39例4等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…123456728（2）数列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…1234567891012329（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●等差数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678930例1已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p在通项公式中令n=1，得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,等差数列的性质P382，3例1已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，31在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即：P37例5等差数列的性质在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它32思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.设数技巧已知三个数成等差数列，且和已知时常利用对称性设三数为：a-d,a,a+d四个数怎么设？思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数33P396，7P396，734在等差数列中，为公差，若且求证：证明：设首项为，则例2.等差数列的性质P3911在等差数列中，为公差，若且求证：证明：设首项为，则例35am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项，否则不成立。如a1+a2=a3成立吗？

【说明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+q注意：①上面的命题的逆命题

是不一定成立的；等差数列的性质P398，105.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有相同36例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31例题分析例2.在等差数列{an}中(2）已知a3+a11=10，371.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中(1)

若a59=70，a80=112，求a101；(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-338300<<5004.在等差数列{an}中,a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3

?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.d=4n=72a3=a10

+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6研究性问题300<<5004.在39练习

梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间

还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.项数（上）123456789101112数列的项33110项数（下）121110987654321分析：解法一:用{an}题中的等差数列，由已知条件，有a1=33，a12=110，n=12又a12=a1+(12—1)d即110＝33＋11d所以d=7因此，a2=33+7=40a3=40+47…………a11=96+7=103答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.练习梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中40am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项，否则不成立。如a1+a2=a3成立吗？

【说明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+q注意：①上面的命题的逆命题

是不一定成立的；等差数列的性质5.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===am+an=a