垂径定理及其推论课件

垂径定理及其推论垂径定理及其推论问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：

AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDE└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.符号语言图形语言垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●O（1）如何证明？探究：·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.证明：连接OA，OB，则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求证：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC（1）如何证明？探究：·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的垂径定理&三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．垂径定理&三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。解决有关弦的问题经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，垂径定理推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴

CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE垂径定理推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。·OABCD（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中

1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD课堂讨论根据已知条件进行推导：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。①②③④⑤只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.课堂讨论根据已知条件进行推导：（1）平分弦（不是直径）的直径试一试1.判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.()(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.√√试一试1.判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于

.EDCBAPO2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM的长是多少？OMA1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3c2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,则过P点的弦中，（1）最长的弦=

cm（2）最短的弦=

cm（3）弦的长度为整数的共有（）

A、2条b、3条C、4条D、5条巩固：AOCD54P3B2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,3、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=

。43、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点OABOAB

已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。EEDD练习OABOAB已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝64Cm1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么归纳：

已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。归纳：∴AM＝BM，

CM＝DM⌒⌒⌒⌒垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．MOABNCD证明：作直径MN垂直于弦AB∵AB∥CD

∴直径MN也垂直于弦CD∴AM－CM

＝BM－DM

⌒⌒⌒⌒⌒⌒即AC＝BD∴AM＝BM，⌒⌒⌒⌒垂径定理的推论2圆的两条平行弦所ABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：OOABCDABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2CDABE已知：AB．求作：AB的中点．⌒⌒点E就是所求AB的中点．⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线CD，交AB于点E．⌒小练习CDABE已知：AB．求作：AB的中点．⌒⌒点E就是所求ABABCDE已知：AB．求作：AB的四等分点．⌒⌒作法：1．连结AB．3．连结AC．2．作AB的垂直平分线，交AB于点E．⌒4．作AC的垂直平分线，交AC于点F．⌒5．点G同理．点D、C、E就是AB的四等分点．⌒ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分点．⌒⌒作法：1．ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？

等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？CABO你能确定AB的圆心吗？⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线，交AB于点C．⌒3．作AC、BC的垂直平分线．4．三条垂直平分线交于一点O．点O就是AB的圆心．⌒CABO你能确定AB的圆心吗？⌒作法：1．连结AB．2．垂径定理及其推论课件你能破镜重圆吗？ABCmnO

作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．作法：依据：

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．你能破镜重圆吗？ABCmnO作弦AB、AC及它问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒实践应用解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题某圆直径是10,内有两条平行弦,长度分别为6和8

求这两条平行弦间的距离.某圆直径是10,内有两条平行弦,长度分别为6和8

求这两条平垂径定理及其推论垂径定理及其推论问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：

AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDE└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.符号语言图形语言垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●O（1）如何证明？探究：·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.证明：连接OA，OB，则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求证：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC（1）如何证明？探究：·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的垂径定理&三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．垂径定理&三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。解决有关弦的问题经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，垂径定理推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴

CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE垂径定理推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。·OABCD（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中

1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD课堂讨论根据已知条件进行推导：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。①②③④⑤只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.课堂讨论根据已知条件进行推导：（1）平分弦（不是直径）的直径试一试1.判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.()(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.√√试一试1.判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于

.EDCBAPO2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为2厘米，则OM的长是多少？OMA1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3c2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,则过P点的弦中，（1）最长的弦=

cm（2）最短的弦=

cm（3）弦的长度为整数的共有（）

A、2条b、3条C、4条D、5条巩固：AOCD54P3B2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,3、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=

。43、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点OABOAB

已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。EEDD练习OABOAB已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米，求1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝64Cm1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么归纳：

已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，即可根据勾股定理求出另外的两个量。归纳：∴AM＝BM，

CM＝DM⌒⌒⌒⌒垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．MOABNCD证明：作直径MN垂直于弦AB∵AB∥CD

∴直径MN也垂直于弦CD∴AM－CM

＝BM－DM

⌒⌒⌒⌒⌒⌒即AC＝BD∴AM＝BM，⌒⌒⌒⌒垂径定理的推论2圆的两条平行弦所ABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：OOABCDABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2CDABE已知：AB．求作：AB的中点．⌒⌒点E就是所求AB的中点．⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线CD，交AB于点E．⌒小练习CDABE已知：AB．求作：AB的中点．⌒⌒点E就是所求ABABCDE已知：AB．求作：AB的四等分点．⌒⌒作法：1．连结AB．3．连结AC．2．作AB的垂直平分线，交AB于点E．⌒4．作AC的垂直平分线，交AC于点F．⌒5．点G同理．点D、C、E就是AB的四等分点．⌒ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分点．⌒⌒作法：1．ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？

等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×ABC作