2023版高三一轮数学复习电子教参（新高考人教版）：第4-7章

第四章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理双基自测(对应学生用书学案PO75)ZHISHISHULISHUANGJIZICE回画回回知识点一角的有关概念(1)从旋转的角度看，角可分为正角、负角和零角.(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.(3)若夕与a是终边相同的角，则夕用a表示为6=2E+a,k，知识点二弧度制及弧长、扇形面积公式(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(2)角a的弧度数如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么角a的弧度数的绝对值是|a|=：(3)角度与弧度的换算①1。二焉皿②lrad=(^+(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为/,圆心角大小为a(rad),半径为r,则/=也岳扇形的面积为知识点三任意角的三角函数(1)定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sina=j,cosay=x9tana=：(xW0).(2)三角函数的符号三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角a的无弦线，余弦线和正切线..终边相同的角与对称性拓展(1)或，a终边相同0s=a+2E,JtGZ.(2)“，a终边关于x轴对称。邛=-a+2E,k^Z.(3)/1,a终边关于y轴对称今我=7t—a+2航，AGZ.(4加，a终边关于原点对称㈡夕=7t+a+2E,JtGZ..终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角a终边相同的角时,单位必须一致.回国回回题组一走出误区.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)小于90。的角是锐角.(X)(2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(X)(3)角a=hr+W伏GZ)是第一象限角.(X)兀 71(4)若sina=sin,,则a=,.(X)［解析］根据任意角的概念知(1)(2)(3)(4)均是错误的.题组二走进教材.(必修IPi71T3改编)一870。的角的终边所在的象限是(C)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限I解析］-870。=-2X360。-150。，-870。和一150。的终边相同，所以一870。的终边在第三象限..(必修IP176T5改编)下列与詈的终边相同的角的表达式中正确的是(C)A.2fat+45°(JieZ) B.k360°+・MAGZ)C.Jt-360°-315°（A：ez） D.E+7/EZ）TT［解析］由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和孤度，应为£+2®或k360°+45°（&GZ）..他修IP182T4改编）若角。满足tanGO,sinKO,则角。所在的象限是（C）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限［解析］由tanGO知，6是一、三象限角，由sinKO知，。是三、四象限角或终边在y轴非正半轴上，故。是第三象限角.7T.（必修IP176T9（2）改编）一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为全弧度.题组三走向高考.（2020•课标II,2,5分）若a为第四象限角，则（D）A.cos2a>0 B.cos2a<0C.sin2a>0 D.sin2a<0jr［解析|解法1：•；a是第四象限角，二一］+2E<a<2E,AGZ,；.—兀+4也<2a<4E,kGZ,.•.角2a的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，二sin2a<0,cos2a可正、可负、可零.故选D.解法2：sin2a=2sinacosa<0..（2019・浙江，14,5分）已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点［一,，则sin（a+兀）的值为,.解析1由角q的终边过点 一,）得sina=—,,所以sin（a+7t）=-sina=*考点突破互动探究（对应学生用书学案P076）KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点一角的基本概念——自主练透■例1（1）若角6的终边与号的终边相同，则在区间［0,2兀）内终边与冬的终边相同的角（2）若角a的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角a的取值集合是（C）a=2kn—^fjaa=2E+?Aez)|aa=lat+^Mz］\aa=kn—^9左(3)(多选题)已知角a的终边在第二象限，贝反的终边必在第几象限(AC)A.一 B.二C.三 D.四［解析1(1)V。=号+2kn(k£Z)，.二菱=卒+痴(攵£Z).依题意，0W与+Ev2mAWZ,3 11解得一k《Z.：.k=OA,即在区间［0,2兀)内终边与细同的角为与，券(2)因为直线y=y［3x的倾斜角是：，所以终边落在直线y=^x上的角的取值集合为aa=far+；,kez),故选C.(3)由角a的终边在第二象限，所以5+k2兀＜。＜兀+卜2兀，kGZ,“"兀aK、k〜 ,所以不+5271V兀，kGZ,当k=2m,时，^+加2兀号工+加2兀，mGZ,所以彳终边在第一象限；57c (X,37t当k=2m+1, 时，1+%2”5＜了+加2兀，mGZ,所以卷终边在第三象限，综上，1的终边在第一或三象限.故选A、C.［引申］(1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？［答案］为终边在第二或第四象限.(2)在本例题(3)中，条件不变，?的终边所在的位置是在第一、二或四象限.(3)在本例(3)中，条件不变，则兀一a是第二象限角，2a终边的位置是第三或第四象限或y轴负半轴上. 名师直被MINGSHIDIANBO.迅速进行角度和瓠度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2E+a(O<a<27t)(AGZ)的形式，然后再根据a所在的象限予以判断，这里要特别注意是兀的偶数倍，而不是兀的整数倍..终边相同角的表达式的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数依iez)赋值来求得所需角..确定依6N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角a的范围.②写出上的范围.③根据k的可能取值讨论确定系的终边所在位置.(2)等分象限角的方法：已知角a是第制机=123,4)象限角，求多是第几象限角.K①等分：将每个象限分成々等份.②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4,直至回到X轴正半轴.③选答：出现数字机的区域，即为上所在的象限.如F判断象限问题可采用等分象限法.考点二扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研►►■例2已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为/.(1)若a=60。，R=10cm,求扇形的弧长/；jr(2)若a=§,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积；(3)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？I解析］(l)a=60°=1,/=10x1=^(cm).2ir(2)设弓形面积为S弓.由题知l=—cm.S弓=5扇形一S三角形=^X竽X2—3X22Xsin鼻=停一小)cn?.(3)由已知得,Z+2«=20,所以S=：/R=；(20-2R)R=107?-/?2=-(/?-5)2+25.所以当R=5时，S取得最大值25cm2,此时Z=10,a=2.［答案］(1/y^cm(2)停一4§)cm2(3)a=2时，S最大为25cm2 名师克披MINGSHIDIANBO弧长和扇形面积的计算方法(1)在瓠度制下，计算扇形的面积和瓠长比在角度制下更方便、简捷.但要注意圆心角的单位是瓠度.(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.⑶记住下列公式:①/=aR；②S=g/R;③S=、R2.其中R是扇形的半径，/是弧长,a(O<a<27t)为圆心角，S是扇形面积.〔变式训练1〕(1)(多选题)(2022・青岛质检)已知扇形的周长是6,面积是2,下列选项可能正确的是(ABC)A.圆的半径为2B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的弧度数是2(2)(2021•山东潍坊期中)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1(弦X矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现

有圆心角为甘，半径为6m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（小弋1.73）（C）A.16A.16mD.25mC.20D.25m 1 _J3_5___2sinatana1212 3,［解析］（1）设扇形半径为r,圆心角弧度数为a,2r+ar=6,

2r+ar=6,

则由题意得村,=2,解得r=2,可得圆心角的瓠度数是4或1.27r 71 jr(2)如图，由题意，得乙408=7，O4=6.在Rt△AOO中，可得/AO£)=§,ND4O=4,OZ)=；AO=；X6=3,可得矢=6—3=3.由AD=AOs\n三=6X坐=3小，可得弦AB=2AD=2X34=6\G，所以弧田面积=g（弦X矢+矢2）=|（6a/3X3+32）=9<3+4.5^20（m2）,故选C.考点三三角函数的定义——多维探究角度1定义的直接应用■例3已知角a的终边经过点p（—x,—6）,且cosQ=一宜，则二二十二7二=二是1jsinu.idnct—■?5I解析］因为角a的终边经过点P（一X,—6）,且cosa=一三，所以所以cosa<\/x2+36 ⑶解得x=|或X=一>|（舍去）,所以W-6）,所以sina=一万，角度2三角函数值符号的应用»■例4（1）下列各选项中正确的是（D）A.sin300°>0 B.cos（-305°）<0tan（一音）>0 D.sin10<0COSQ⑵若sinataria<0,且; <0,则角a是（C）【anaA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角［解析］（1）300°=360°-60°,则300。是第四象限角，故sin300。>0,-305°=—360°+55°,则一305。是第一象限角，故cos（—305。）>0,而一手兀=—8兀+于，所以一丁是第二象限角，故lan（一专+0,因为3兀<10〈与，所以10是第三象限角，故sin1（X0.故选D.COSCL（2）由sinatana<0可知sina,tana异号，则a为第二或第三象限角.由而无<0可知cosa,tana异号，则a为第三或第四象限角.综上可知，a为第三象限角.故选C.名帅直彼MINGSHIDIANBO定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角a终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.（2）已知角a的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论.〔变式训练2〕（1）（角度1）若sinGeos0<0,需1>0，则角。是（D）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角（2）（角度2）已知角a的终边与单位圆的交点为P（一去）'），贝Isina-tana等于（C）A•邛 B.十C--2 d-4［解析］（1）由黑~1>0,得/。，cos6t>0,又sin"cos80,所以sinOvO,所以夕为第四象限角，选D.

所以当y,sina—+炉=1,解得y=等.(2)解法1：因为点/(一3所以当y,sina—+炉=1,解得y=等.3当y=,sina所以sina-tana=当y=,sinatanq=小,TOC\o"1-5"\h\z、 3所以sinatana——g.a=X,又因为sin?a+cos2a=1,所9 ) 3 . .sinasin2a 4 3以sin-a=T,sina-tana=sma--—= =-r=一不4 cosacosa 2~2名师讲坛素养提升(对应学生用书学案P078)MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG利用三角舀数线斛三角不等式■例5(1)■例5(1)不等式sin乎的解集为X(2)不等式cos』2一'的解集为＞12E一胃W.iW2E+胃，kez\.［解析］(1)过点(o,里)作平行于X轴的直线，交单位圆于点P&,里)，尸2(一/坐),则以0乃、OP2为终边的角分别为鼻+2E、竽+2E伏GZ),其正弦值为坐，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于半，.,.sinx》学的解集为{x|2E+；〈xW2E+与，&GZ}.。2(。2(一今普(2)过点(一/0)作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Qi则以OQi,0。2为终边的角的余弦值为一；，其对应的角分别为2E+半、2E一尊女£Z),终边落在阴影部分的角的余弦值大于等于一：.27r 2n.•.cosx》一2的解集为尹x2E一名帅支帔MINGSHIDIANBO(1)利用单位圆解三角不等式的步骤为：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集.sina>cosa杪kinsina>cosa杪kinaI>IcoaaI由图可知sina>cosa由图可知sina>cosa的解集美ati 5tt］2kn+^<a<2kn+~^~t攵£Zj,sina<cosa的解集声2fac-,<a<2E+j,%wz1；|sina|>|cosa|的解集..Tt.kit-ik£Zf,|sina|<|cosa|的|sina|>|cosa|的解集..Tt.kit-ik£Zf,|sina|<|cosa|的解集A.sina<tana<cosaa,tana的大小是(C)E+：，.B.cosa<sina<tanaC.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa［解析］(l)V3-4sin2jr>0,利用三角函数线画出X满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),.•.天右出一?E+g)(k£Z).(2)如图所示，作出角q的正弦线MP,余弦线0M,正切线AT,观察可得，AT>OM>MP,故有sina<cosa<tana.故选C.第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理•双基自测(对应学生用书学案P079)ZHISHISHULISHUANGJIZICE回国画回知识点一同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2x+cos2x=1.(2)商数关系：黑上皿宏无GZ)知识点二三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2lat+a(2£Z)兀+a—aTt-an2~a71,正弦sina-sin_a-sin_asinaCOSccos_c余弦cosa-cos_。cos_c-cos_。sin_a-sin_a正切tanatana-tan_a—tan_a画画国画.同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinx=tan笛cosx,tan2x+1 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx等..诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”.“奇”与“偶”指的是诱导公式中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k；+a()tGZ)中，将a看成锐7T角时妗+a(AGZ)所在的象限.回国回回题组一走出误区.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)若a,£为锐角,则sirPa+cos?丑=1.(X)(2)若］£!<,则tan 恒成立.(X)(3)sin(7t+a)=-sina成立的条件是a为锐角.(X)(4)若sin(苧-a)=1(2£Z),则cosa=j.(X)［解析］(1)根据同角三角函数的基本关系式知当a,p为同角时才正确.(2)cosa#0时才成立.(3)根据诱导公式知a为任意角,(4)sin(多一，=—cosa,/.cosa=—题组二走进教材TOC\o"1-5"\h\z- 4.(必修IP⑻练习T1改编)已知。为锐角，且cosa=5，则sinE+a)=(A)3A.—5 B.54 4C.-t D.5 3【解析I由题意得sin cos2a=^,3故sin(n+a)="sina=t.SinCL—COSCL3.(必修1P|86Tl5改编)已知tana=g,则曹，产'=(A)2 3sma十2cosa

D.7D.71人…_ sina_cosatana-1 2［解析］I0 =7- I0= j-.故选A.4.（必修1P186T16改编）化简cos1—sina,~~+sin1-rsina1—-.故选A.4.（必修1P186T16改编）化简cos1—sina,~~+sin1-rsina1—cosa1+cosasina+cosa~22-sina-cosaC.sina-cosaD.cosa-sina［解析1原式=cos(1—sina)2,F^+sina(1-cos疗

sin2a3 ・.n<a<^n,•.cosa<0,sina<0.原式=—(1—sina)—(1—cosa)=sina+cosa-2.题组三走向高考5.(2019•全国卷I,7,5分)tan255。=(D)B.—2+*\/3B.—2+*\/3D.2+小C.2一小［解析］由正切函数的周期性可知，tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=州 近=2+小，故选D.3另：tan225°=tan75°>tan60°=^3»・••选D・6.(2015•福建)若sina=~13'且a为第四象限角，则tana的值等于（D）6.(2015•福建)若sina=~13'且a为第四象限角，则tana的值等于（D）C.1212B.一彳D.一五［解析］因为sina=-・且。为第四象限角,12 5所以cosQ=jj,所以tana=一五，故选D.7.. 4(2017•全国卷川，4,5分)己知sina—cos则sin2a=(A)A.C.I解析］将sinq—cosa=Q的两边进行平方，得sin2a—2sinacosa+cos2a="^",即sinla7一§,故选A.考点突破•互动探究(对应学生用书学案P080)KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点一同角三角函数的基本关系式——师生共研►►1^■例1(1)已知a是第三象限角，cosa=一而，则lana=(D)(2)已知a是三角形的内角，且tana=则sina+cosa的值为二(3)若角a的终边落在第三象限，则+2sina,的值为二工—sin2ayj1-cos2aQ［解析］(1)因为。是第三象限角，COSQ=一百，(2)由tana=-y得sina=-geosa,将其代入sin2a+cos2a=1,得Ucos2a=1,9所以cos2a 易知cosa<0,所以cosa一噂，sina=嚅,故sina+cosa(3)由角a的终边落在第三象限,得sina<0,cosa<0,|cosa\|sina\—cosa—sina

名师直被MINGSHIDIANBO名师直被MINGSHIDIANBO(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin1+tan2a*(变式训练1〕(1)若a是第二象限角，tana=一1+tan2a*(变式训练1〕(1)若a是第二象限角，tana=一合则sina=(C)1A.§ B.-5一5C・百 D・一Ecos0(2)若sinOcosf)=q,则tan’々=2.2 sinu~~(3)已知已为第四象限角，sin8+3cos0=1,则tan。=二§... 5 .sina5［解析］(l»tana=一五，••古=一夜.Vsin2a+cos2a=1,..2.f12.Y.. 5..sin-a+l-^-sinaF=1,..sma=±yq.又a为第二象限角，・,.sina=卷，故选C.gos9sin。cose 1 ()tan+§访9-cos。+sin0~cos0sin0~'(3)由(sin0+3cos0)2=1=sin20+cos20,得6sin8cos0=-8cos20,又因为。为第四象限4角，所以cosJWO,所以6sin8=-8cos仇所以tan8=一亍考点二诱导公式及其应用——多维探究角度1利用诱导公式化简三角函数式»■例2⑴化简：(2)遇sina,cosa的齐次式常“弦化切”，如：asina+bcosaatana+b. sinacosa;j] ।j；sin6tcosct=—.csina-racosactana-td 1sinacosa tanasin2a+cos2a1+tan2a'sin2a+sinacosa_2cos2a=sin%+sinqcosq-2cos2asin2a+sinacosa_2cos2a=ta/a+tana-2

Q)化简志工罂黑1.I解析］(1)原式=cosa(—cosa)tan2a

sina(-sinq)(—sina)Q)化简志工罂黑1.I解析］(1)原式=cosa(—cosa)tan2a

sina(-sinq)(—sina)sin-acos-asin3asina(2)Vcos10°>sin10°,.1l—2sin100cos10、1§沛10。-2§皿10°cos100+cos2i()。•泉式=sin10°-cos10°=sinIO°-cos10°|sin100-cos10°|cos10°-sin10°sin10°-cos10°=-(cos10°-sin10°)角度2 “换元法”的应用例3已知cos^—。)=小则cos管+J)+sin停一。)的值是0.［解析］因为cos管+e)=cos［兀_(*一夕)=_cos.-。)=_a疝停_'=sin所以cos管+@+sin管一0=a+a=0.名抑支捷MINGSHIDIANBO(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有5一a与1+a；1+a与聿-a；；+a与;一a等，互补关系有三+a与专一a；；+a与华一a等.〔变式训练2〕(1)(角度1)(1)(角度1)已知＜。)=cos(一兀—a)tan(jc-a)(2)(角度2)(202(2)(角度2)(2021・唐山模拟)已知a为钝角，sin仔+a)$则34-34-coscos(-ii-a)tan(7t-a)=coscoscos(-ii-a)tan(7t-a)=cosa所以•｛一驾=。3（_第=3.（花、.「兀（兀I （nI（2）sinlal=sin2^\4'aJ=co\4'a因为Q为钝角，所以3兀4+口弓兀,名师讲坛•素养提升（对应学生用书学案P081）MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENGsinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx之间的关条■例4（2022•北京东城模拟）已知sin0+cos9=R。£（0,兀），则lan。=二不7［解析］解法一：因为sin夕+cos。=百，夕£（0,九）49所以（sin6+cos9）2=1+2sin8cos0=y^,,cc60sm0cos0=~77n-169由根与系数的关系，知sin。，cos。是方程x2—专一器=0的两根，所以xi=11,X2=5百因为夕£（0,兀），所以sin0>0.所以sin cos6=-\,tan6=笔=一.13 13cos6 5解法二：同解法一，得sin"cos。=解法二：同解法一，得sin"cos。=60169'-sin6teos0 60小八」,口tan6 60…口八12八八5所以诉求百=一旃，弦化切,付高而=一项,解行30=一5或tan6=一亘7 60又夕£(0,7t),sin夕+cos0=yj>O,sinffcos9=-y^<0.，夕£(3'兀)'且k皿0|>|cos外sin0 12=|tan・・・tan8=y.解法三：解方程组1解法三：解方程组17sin0+cos9=E，ksin20+cos20=l.1213'13,cos0=一专13'13,cos0=一专cos0=^.（舍去）12故tan9=一予名抑支技MINGSHIDIANBO名抑支技MINGSHIDIANBOsinx+cosx,sin%—cosx.sinxcosx之间的关系为(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx9(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值.〔变式训练3〕irjr(1)已知sin29=w，且W<&5，则cos。一sin®=(B)A・坐jr（2）（2021・山东师大附中模拟）已知一于a<0,sina+cosa=g,则嬴工。五的值为（C）C.苧3【解析1(l)l(cos0—sin0)2=1—2sin0cos0=1—sin26=j,

要求cossin仇只需判断cos0—sin0的符号.:<0<冬.,.cos0<sin0,BPcos0—sin0<O. A/.cos0-sin0=—yl(cos0-sinff)2=(2)解法一：Vsina+cosa=£，A(sina+cosa)2=^,Asinacosa=一首，又（又（甘，0）,/.sina<0,cosa>0,cosa-sina=<\/(sina-cosa)2=^1—2sinacosa=25''cos2a-sin25''cos2a-sin2a(cosa-sina)(cosa+sina)7,故选C.sina+cos解法二：由7得解法二：由7得sina—cosa=一予..tanasina 3cosa 4'.1sin2a+cos2a1+lan%**cos2a-sin2acos2a—sin2a1-tan2a第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式第一课时三角函数公式的基本应用知识梳理双基自测（对应学生用书学案P082）ZHISHISHULISHUANGJIZICE回回回圆知识点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式(l)sin2a=2sinacosa；(2)cos2a=cos%-sin2a=2cos2a-1=1—2sin2a；“、 -2tana, ,7ta».n，一~、(3)tan 了+［且0工也+亍keZ).知识点三半角公式(不要求记忆)a /I-cosa⑴sin菱=々『一：a1+cosa(2)cos2=±\ 2 ；a1-cosasina1-cosa(.)tan2-1+cosa-1+cosa-sina*画画圆图.阳苴八# 2 1+cos2a. 1-cos2a.降稚公式：cos2a- 2 ，sm」Q- ..升塞公式：1+cos2a=2cos2q,1—cos2a=2sin2a..公式变形：tana±tanp=tan(a±/?)(1+tanatan尸).1-tana(it\1+tana(n\77^ ^tanl7—aI；-~; =lanl7+alTOC\o"1-5"\h\z1+tana14J1—tana )sin2a.-2tana_ 1—tan%.._ .. 、.cosa~9sjnafs】n2a=1+碗"cos2a=।+均."1±sin2a=(smq±cosq)一.4.辅助角(“二合一”)公式：asma+hcosa=yja2+b2sin(a ,其中8'。=曙^

国国回回题组一走出误区1.判断正误(正确的打“J"错误的打"X")(1)存在实数a,夕使等式sin(a+0=sina+sin4成立.(V)(2)在锐角△48C中，sinAsinB和cosAcos8大小不确定.(X)(3h/§sina+cosa=2sin(a+§.(X)(4)y=3sinx+4cosx的最大值是7.(X)(5)公式tan(a+夕)=:3;:可以变形为tana+tan£=tan(a+£)(l—tanatan£),且对任意角a,£都成立.(X)［解析］根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(5)是错误的，(1)是正确的.题组二走进教材... 42.A.10C.7小10（必修IP217T3改编）已知cosa=2.A.10C.7小10［解析］VaG4Y,V2.. ［解析］VaG4Y,V2..sina=157a/25A2十（一歹入2――10..（必修IP219例4改编）计算sin43°cos13°+sin47°cos103°的结果等于（A）A.1 B.手C.坐 D.当I解析］原式=sin43°cos130-cos43°sin13°=sin（43°-13°）=sin30°=；.故选A.另解：原式=cos47°cos13°—sin47°sin13°=cos（47°+13°）=cos60°=］.故选A..（必修IP220T3改编）tan100+tan50。+小tan10°tan50°=^3.,tan100+tan50° .［解析］tan60°=tan（10°+50°）=_—~/.tan100+tan50°=tan60°（l—tan1tan1vtan10°tan50°）=巾一小tan10°tan50°,工原式=小一小tan10°tan50°+于tan10°tan50°=小.题组三走向高考

5.（2021.全国乙，6,5分）cos?盍-cos2y^=（D）A.C.B.A.C.［解析］解法一:、Tl,5兀-f71cos-五一cos-T2=cos〜万一cos一|cos哈71［解析］解法一:、Tl,5兀-f71cos-五一cos-T2=cos〜万一cos一|cos哈71-sin2-j^=cos解法二：）兀 ,5兀 -co铲Y2—cos2^2=cos（兀兀、 /兀।哈（冗兀।_cosl4+6j=lcos4cos6+s,n（cos和渥一sin；sin沪停X坐+乎x?一停X坐邛X；＞=（呼今—2=（#+啦卜加一**（#+啦旗-陋）=亚2 16.（2020•课标II,13,5分）若sinx=一则cos2x=§.2［解析］Vsinx=yJcos2x=1—2sin2x=1—2X（一款=1.7.（2020・浙江，13,5分）已知tan9=2,则cos2。=tan（T4I解析］因为tan6=2,所以cos20=cos20—sin20=cos-0—sin-8cos2（9+sin26»1—tan，。1+tanWtan"；）=兀tan6/—tan7o〔4 2-1177~~1=1+2=*1+tan仇an7考点突破•互动探究（对应学生用书学案PO83）KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点一三角函数公式的直接应用自主练透»■例1（1）（2022・湖南益阳、湘潭质量统测）已知sina=g（角a为第二象限角），则=（D）=（D）cos4-4-A-6小一2B-6TOC\o"1-5"\h\z4+^2 心J6 u- 6(2)(2020•全国卷I)已知a£(0,兀)，且3cos2a—8cosa=5,KOsina=(A)人走 「2A. 3 B. 3C. | D.坐(3)(2020.全国卷川)已知sinJ+sin0+号=1,则sin(0+^)=(B)A.1 B.半c2 D应J3 Ur 2(4)(2020・全国III・9)已知2tan0—tan(e+g=7,贝han0=(D)A.-2 B. -1C.1 D. 2[解析]⑴因为角a为第二象限角，且sina=g，所以cosa=一4左所以cos(ati,..冗 2也、，啦।1、，45媳一4।…_otcos^+sinasm[=一―^-X卞+gX甘—.故选D.(2)V3cos2a-8cosa=5,/.3(2cos2a_1)—8cosa=5,/.6cos2a——8cosa-8=0,3cos2a—4cosa—4=0,解得cosa=2(舍去)或cosa=y7c),/.sina=y[1—cos-=4-.故选A.7c),(3)sin9+sin(e+9=|sin9+(3)sin9+sin(e+9=|sin9+察o$6=4§sin(0+]=l,/.sin(e+/)=乎，故选B.⑷本题考查两角和的正切公式的应用.•.2anOfn(0+*7,。-黑^,.'.2tan0—2tan29—1—tand—l—ltm9,即tan?。一'4tan。+4=0,解得tan®=2.名帅支披MINGSHIDIANBO(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二三角函数公式的逆用与变形用——多维探究角度1公式的逆用降■例2下列函数值*的是(C)A.江 .，5兀 D1—tan222O30'A.sinj2sm12 B.322°30'］sC.sin105°sin15° D.$亩1。。-cos10°［思路I通过适当变形，创造适合公式的条件.A由sin*=cos喈，利用二倍角公式求解；B.由倒数关系，分子、分母同乘以2以后利用倍角公式求解：C.利用诱导公式及倍角公式求解；D.通分后利用两角差的正弦公式和倍角公式求解.I解析］A.原式=cos韦一sin^ncos知(Tl\ 兀，§=C0S(L制=_cos2・2 2原式=2tan22O30，=tan45°=2・l-tan222030,C.原式=sin15o-sin（180°-75°）=sin150-sin75°=sin15°-cos15°=zsin30。=；.cos10°—>/5sin10°D.原式=sin10ocos10o2生os10。一坐sin10。）sin10°cos10°4（sin300cos10。-cos300sin10。）2sin10°cos10°4sin20°=sin20。=4角度2公式的变形应用例3⑴（2021•天津耀华中学模拟）已知sin（a+夕）=3,sin（a—夕）=；,则2欢（黑力』（B）A.5 B.4C.3 D.2J2（2）在△A3C中，若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC=2"(3)(2021.陕西吴起高级中学模拟)已知sin2a=1,则cos2fa+j)=(A)1-61-6A.BC.2 II解析］(1):sin(a+夕)=；,sin(a—^)=|,/.sinacos夕+cosasin£=工,sinacos夕一cosasin夕=g，sinacosQ=今,cosasinS=*，二箫=5,.FoW喘分=1。非52=%故选民(2)由tanAtanB=tanA+tanB+l,可得tanA+tanB可得1—tanAtanB即tan(A+8)=-l,又因为A+8£(0,7t),所以A+B=牛，贝|JC=；,cosC=2-名婶堂被(3)Vsin2a=yMINGSHIDIANBOl-sin2a名婶堂被(3)Vsin2a=yMINGSHIDIANBOl-sin2a_1~3_l2 -2一不故选A.(1)注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.②注意特殊角的应用，当式子中出现3,I,坐，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式.(2)熟记三角函数公式的2类变式①和差角公式变形：sinasin夕+cos(q+£)=cosacos夕，cosasin夕+sin(a-0=sinacos0.tana±tan£=tan(a3)•(l^tanatan份.②倍角公式变形：收自八4 2 “xz兀小

=2Xtan3=“xz兀小

=2Xtan3=2,综上，式子的运算结果为小的是ABC.故选D.(2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式.z*cos(X- 2 9sin~a― ? ,

配方变形：1土sina=^sin^±cos^j*由sina+cosfi=I,cosa+sin夕=0,两式平方相加，得2+2sinacos£+2cosasin夕由sina+cosfi=I,cosa+sin夕=0,两式平方相加，得2+2sinacos£+2cosasin夕=I,整理得sin(a+4)=一爹.利用平方关系：si/a+cos2a=1,进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟练掌握.(3)原式=l+tan17°+tan280+tanl70-tan280=I+tan45°(l-tanl70-tan28°)+tanI7°tan28°=I+1=2.故选D.(变式训练1〕(1)(角度1)(2021•河北武邑中学调研)下列式子的运算结果不等于小的是(D)A.B.tan250+tan35°+小tan25°tan35°A.B.2(sin35°cos250+cos35°cos65°)C.1+lanC.1+lan15。1—tan15°D.71tan不D.1—tan2^(2)(角度2)(2018.课标II,15)已知sina+cos4=l,cosa+sin4=0,则sin(a+份=二/(3)(1+tan17°)(1+tan28。)的值为(D)A.-1 B.0C.ID.2C.II解析］(1)对于A,tan25°+tan35°+小tan25°tan35°=tan(25°+35°)(l—tan25°tan35°)+小tan25°tan35°=小一5tan25°tan35°+小tan25°tan35°=小.对于B,2(sin35°cos250+cos35°cos65°)=2(sin35°cos250+cos35°sin25°)=2sin60°=小.对于C,对于D,1+tan15°tan45°+tan15°对于C,对于D,1-tan15o=l-tan450tan150==tan60="7T 7ttanT.2tan7o1o =tX I—tan*^I—tan-不

1ntl1ntl3=§,则tana=2-►►1例4(1)(2018•课标全国II,15)已知tan(2)己知a、=：,cos(a+/?)=~(2)己知a、(3)(2018•课标全国II,15)(3)(2018•课标全国II,15)设q为锐角，若cosla+w=-的值为(B)则7A・257A・257币—8B・18D*I解析］(1)本题主要考查两角差的正切公式.解法一：tana=tan,5兀解法一：tana=tan,5兀+T1-tan|atan+tanT_j+i_3

竽-Tx「2・解法二：tan(a一•5ntana-tan .4tan解法二：tan(a一•5ntana-tan .4tan。-11… 5兀1+tana591+tanatan3解得tana=2-(2)因为已知aefo,5且COSQ=/,COS(q+#=S，所以sina=y]1—cos2a=s\n(a+p)=yj1—cos2(a+)8)=^^,则sinQ=sin[(q+£)—a]=sin®+尸)cosa-cos(a+/?)sina5^3xl_rHx4^3_^314X7-(-14)X7cos|a+6>-y得COS/?=cos|a+6>-y得COS/?=一§,⑶:a为锐角，「.Ocaq,5"+季＜卷设a=a+/由7-9名帅支拔MINGSHIDIANBO名帅支拔MINGSHIDIANBO(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2a=(a+4)+(a—份，a=(a+夕)一夕={a—pyA-p,40°=60°—20°, a)=会,2X券.(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.〔变式训练2〕4 1 , 13(1)已知a,0均为锐角,cosa=7>tan(a—fi)=—则tanQ=k.J 5 ，(2)已知a,4都是锐角，cos(a+夕)=*，sin(a—^)=|,则cos2a=一患.(3)已知cosa+2cos(a+§=0,则lan(a+*=(C)A.一4 B.小C.3巾 D. 一3小(4)(2021•深圳市统一测试)已知tan。=-3,则sin2(a+；)=(D)TOC\o"1-5"\h\z3 八 3A.T B. 一§-4 4C.j D.一g[解析]⑴由于a为锐角，且cosa=T,故sina=-\Jl-cos2a=T,tan "=：.由tan(aD D COSCt13解得tan13解得tanp=~^.“)1+tanatan[i 3⑵丁a,夕都是锐角，/.0<a+。<虱,一^<a—华冬5 3又•.・cos(a+jff)=记,sin(a一4)=亍12 4.•・sin(a+4)=Yj,cos(q—S)=g,54123则cos2a=cos[(a+/?)+(a—)8)J=cos(a+yff)cos(a—sin(a+)ff)sin(a—^)=Y^X~——X-1665,⑶由cosa+2cos^a+^J=0,

a)=0,得cosa+2忤osa所以2cosa-巾sina)=0,得cosa+2忤osa所以2cosa-巾sinq=0,则lana=^^.所以tan(a+m=兀2由Stana十tanw 、十oo3 3r6 3 3sinct(4)解法一：因为tana=-3,所以;=—3,贝Usina=-3cosa,代入sii^a+cos2a=1cosex.得9cos2a+cos2a=1,所以cos2a=^,所以sin2(a+宁71+z=cos2a=2cos2a-4—1=-5,故选D.解法二：sin2«+t.cos2a-sin2a1-tan2a1—9=cos2a=cos2a-sirra~; =—;-sm-Q十cos-ataira十19十14—5，故选D.名师讲坛素养提升（对应学生用书学案P085）MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG辅助利公式的应用应用1求值*1^■例5（2022•安徽江淮十校联考）已知cos（x*）=一乎，则cosx+cos（x—鼻）=C.-1 C.-1 D.±1应用2求最值■例6⑴（2017・全国II）函数y（x）=2cosx+sinx的最大值为心.⑵函数於）=2于sinxcosx—2sin解析]函数/(x)=cos2x+巾sinxcosx=5+]cos2x+2s>解析]函数/(x)=cos2x+巾sinxcosx=5+]cos2x+2s>n2x=sinjr37r Jr 2兀k+2E,kGZ,得 A£Z「・”£[0,7t],，当女=0时，可得单02 o j调递减区间为I，专]故选B. 名林支技MINGSHIDIANBO用辅助角公式变形三角函数式时：（1）遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组;（2）遇高次时，要先降嘉；（3）熟记以下常用结论：①sina±cosa=V^sin（ag）；@y［3sina±cosa=2sinla±7）；［分析I（1）直接利用辅助角公式化为Asin（Gx+e）；（2）高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为Asin（5+s）.I解析I（1次^）=小（8§£^+§足毛乎）=小§皿*+3）（其中COS5显然40的最大值为小.(2)j(x)=y[3s\n2x+cos2x—1=2sin^2x+^—1.显然义X）max=l,«T）min=-3.故的值域为［-3,1］.应用3求单调区间►►■例7函数凡r）=cos2x+小sinxcosMxWQ，兀］）的单调递减区间为（B）((2x+§+£.由2E+5〔变式训练3〕(1)(2021・湖南浏阳一中期中)已知sin修+a)+cosa=一半，则cos一a)=(C)A r2^2A.3 03（2）（2021•北京，14）若函数；W=sin（x+3）+cosx的最大值为2,则常数3的一个取值为当JT（取值满足0=3+2版优£Z）即可）.⑶已知函数段）=sin停一x）sinx—，5cos2不，则危）在*y上的增区间为（B）「5兀27fl 「花57flA・［kTj B.岳司C.nn6fC.nn6f2D.7C2tc-rT［分析］⑴将sin《+a）展开后重组再用辅助角公式化简.［解析］⑴•.,5访（5+。）+（：0§。=—乎，ain«+cosa=-^ina+zcosa即sin(a+1)=一；,ain«+cosa=-^ina+zcosa即sin(a+1)=一；,(2)本题考查三角恒等变换及辅助角公式的应用.y(x)=sin(x+^)+cosx=sinxcos_+cosxsing+cosx=cos-sinx+(sin+l)cosx=-\/cosV+(sin+1)2sin(x+。)(其中tan0=J),由fix)的最大值为2,所以ylcos2^+（sin^+1）2=2,化简可得sin°=l,则0可为看其取值满足9=］+2E（k£Z）即可.（3）J［x）—sin（2-xIsinx-\3cos2x=cosxsinx—"^"（l+cos2x）=］sin2x一^""cos2r—^~=sin（2x一5一半，当/牛］时，有黑兀，从而当0W2x—时，即看《招时,/）单调递增；综上可知，危）在总，言上单调递增，故选B.第二课时三角函数式的化简与求值考点突破•互动探究(对应学生用书学案P086)KAODIANTUPOHUDONGTANJ1U考点一三角函数式的化简一师生共研■例1化简下列各式：、sin(a+尸)-2sinacosfi"2sinasinjff+cos(a+/?)*⑵1_1.tan01+tan。'⑶(2021・开封模拟)化简：sin2asin2^?+cos2acos2)ff—^cos2acos20=g.［解析］⑴原式sina・cos夕+cosa・sin2sina・cosff2sinasin夕+cosacos.一sinasinp一(sinacos夕一cosa・sinfi)cosacos夕+sinasin夕-sin(a-0)-sin(a-0)

cos(q一夕)——tan(a-/?).(2)原式=(1+tan，)一(1—tan0)

1—tan(2)原式=2tan02tan01—tan?，=tan20.(3)解法一：(从“角”入手，化复角为单角)原式=sin2asin2£+cos2acos2£—%2cos2a—1)(2cos2£—1)=sin2asin2/?—cos2acos2/^+cos2a+cos2/5—=sin2asin2)ff+cos2asin2/?+cos2)ff—=sin2/?+cos2/?—2=1-2=2«解法二：(从“名”入手，化异名为同名)原式=5亩2公出为+(1—sin%)cos2在一；cos2acos2人=cos2我一sin2a(cosR-siM夕)一；cos2acos2夕

=cos2/?—sin2acos2^—tcos2acos邛=cos2y3—cos2s(sin%+gcos2a)1+cos2尸1 12 -2cos2/?=2-解法三：(从“嘉”入手，利用降嘉公式先降次)原式=1-cos2a1原式=1-cos2a1-cos+ ) -2COS2a-cos2p=W(1+cos2acos2尸一cos2a—cos2尸+1+cos2acos2y?+cos2<x+cos2夕)一2cos2acos2万=；+gcosacos^cos2acos2夕=；.解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方原式=(sina-sin夕一cosacos/?)2+2sinasin夕・cosacos尸一,cos2a-cos2万=cos2(a+jff)+zsin2asin2/?—^cos2a-cos2夕=cos2(a+/?)—2*cos(2a+2夕)cos2(a+夕)-[2cos2m+夕)-1]=；.名帅支帔 MINGSHIDIANBO(1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用.(2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确.(3)对asinx+Aosx化简时，辅助角(p的值如何求要清楚.〔变式训练1〕I解析](1)解法一：原式=sinxcosj+cosxsin^+2sinxcos2cosxsin三一，5cos年cosx-V§sin竽sinx=(cos：+2cos胃一小sin与｝inx+(sisin3-2sin鼻一小cos33).isin2X^jcosx=0.n-Ji=2sinLr+^+^j+2sinLr解法二：原式=sin^x+^J—小cosx+1)+2sin(x cos2a2sin^+a^cos^+asincos2asincos2a]cos2a•考点二求值问题——多维探究角度1给角求值»■例2求下列各式的值.sin7°+cos15°sin8°(1)cos70-sin15°sin8O；V3tanl20-3'"sin120(4cos2120-2),［解析］sin(15°-8°)+cos15°sin8°［解析］(D原式=cos(15°-8°)-sin15°sin8°sin15°cos8°cos15°cos8°sin15°cos8°cos15°cos8°=tan15°=tan(45°-30°)tan45°-tan30°1+tan45°tan30°tan45°-tan30°1+tan45°tan30°―亚r3小一1i+亚小+11,3—2—y/3.、 小tan12°—3 小(sin12°~•小cos12°)25sin(12°—60°)(2)sin12°(4cos2120-2)=2cos24°sin12°cosl2°=I.”。。2sm4o名师支披MINGSHIDIANBO名师支披MINGSHIDIANBO给角求值问题的解题思路给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分；(2)观察名，尽可能使函数统一名称；(3)观察结构，利用公式，整体化简.角度2给值求值»■例3已知coslVio

io4-3^3［解析］由题意可得8*+：)=1+cos(28+52=J_=To,cos(2e+?=4—sin2。=一亍即sin-42。=亍因为cos(e+因为cos(e+；)=迎.10根据同角三角函数基本关系式，可得cos20=|,由两角差的正弦公式，可得7C .7C . 71sin20coscos29sinj4l__3 4-373■"52-52-10名帅直彼 MINGSHIDIANBO给值求值问题的解题关键给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要等.7T等.注意角的范围的讨论.如a=(a+P)一<，2a=(a+H)+(a一夕)，4^a=2~且sin8=鸣，则且sin8=鸣，则A+B■例4已知A,8均为钝角，sin^+cosb+W”=(C)［解析］由题意知)(1—cosA)+JcosA一坐sinA=J-得sinA=害，sin4 4 乙 乙1U J 1VJ今俱，cos(今俱，cos(4+B)=cosAcos8一A,8均为钝角，n<A+B<2ntcosA——j;-,cosB=sinAsin那么，^<A+B<2n,所以sinAsin那么，^<A+B<2n,所以A+B=牛，故选C.名师点被MINGSHIDIANBO（1）已知三角函数值求角的解题步骤：①求出角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确定角.（2）给值求角的原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是（0,习，选正、余弦皆可；若角的范围是（0,兀），选余弦较好；若角的范围为（一会选正弦较好.〔变式训练2〕（1）（角度1）（2021湖南永州二模加1150。（1+，^1110。）=（A）TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.1C.2 D.小（2）（角度2）（2021.新高考1）若tan。=-2,则晅空兽等=（C）sm〃十cos6A. B. -|「2 c 6C-5 D- 5（3）（角度2）（2021•黑龙江哈师大附中模拟）已知aG（0, 且2cos2a=cos住一。），则sin2a的值为（C）1-871-87-8

A.c1-87-8

_-

氏D.(4)(角度3)已知sina—,sin(a/?)—--喀，a,£均为锐角，则角£等于（C）a5nA-72B,三C三J4c兀D-6［解析］(l)sin50°(l+小tan100)/.r-sin10°A=疝50。(1+小玄词cos100+小sin100~Sin500- 8sl。。2(gcos10°+坐sin10°)=sin5O0-

2sin50°cos500sin100°cos10°俳cos10°=cos100=cos10。=1•二选A・sin<9(l+sin2。)⑵sin0+cos0sine(sin5+cos2"+2sin夕cos8)sin0+cos0sin8(sine+cos4sin0+cos6=sin8(sin0+cos0)=sin20+sin夕cos0sirPJ+sin6・cos0sin20+cos20ta/J+tan9(一2户一22=ta*J+l=(—2>+1=5.故选C・兀 兀(3)由题意可得2(cos2q—sin2a)=costcosa+sinTsina,即2(cosa+sina)(cosa-sina)=2"(=2"(cos«+sina).由q£(0,引，可得cosa+sinaWO,所以。平方，可得1—sin2a=：,所以sin2a=9，故选C.o o兀 花 77 7t(4).0<a<2，0<^<2，.•一E〈a一4<2，. _n_f2小•.cosa—yj1-sin-ct一 ,cos(a—^)—y]1—sin-(«—/?)—1sin£=sin[a—(a-夕)]=sinacos(a-/?)—cosasin(a一尸)聿嚼邛《普)=枭,7C.•/=；,故选c.名师讲坛•素养提升osa—sina—,等式两边（对应学生用书学案P087）三角形中的恒等变换问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A+B=lC；2A+2B+2C=2n；三角函数的结论有：sin(A+3)=sinC,cos(A+B)=~cosC,tan(A+B)=~tanC,sin―-CA+B.C=cosy,cos-—=sin3.A>B<=>sinA>sin80cosA<cosB.TOC\o"1-5"\h\z3 5■例5⑴设A,3是△ABC的内角，且cos4=W，sin8=a，则sinC=(D)63T16 16A-布或—a B- 65「16363 一63C-君或一益 D- 65(2)(2022•河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A-8)=1+2cos(B+0sin(A+O，则4ABC的形状一定是(D)A.等边三角形 B.不含60。的等腰三角形C.钝角三角形 D.直角三角形［分析］(1)由sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin8知求sinA、cosB即可.(2)利用cos(B+0=-cosA,sin(A+O=sinB及两角差的正弦公式求解.3［解析］(l)：cosA=§,0<4<兀，为锐角，且sinA ［一cos2A=1.又sinB4<sinA,：.B<A, 121•B为锐角且cos 1-sin2B=y^.63sinC=sin［兀一(A+3)］=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin8=行.故选D.(2)Vsin(A-5)=1+2cos(3+C)sin(A+。,sinAcos8—cosAsinB=1—2cosAsinB,sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=l,sinC=1,又0<C<7t,/.C=^9•・.△ABC为直角三角形，故选D.［误区警示］本题(1)极易求得两解，问题出在上，因为由sinB="^,可得两个3值,考虑A的因素，只有一个适合，因此sinC只有一个结果.MINGSHIDIANBO

利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值.本题应用三角形中大角对大边，也可知尔hsinA>sinB,知B为锐角.〔变式训练3〕⑴在△ABC中，若sin(27t—A)=一正sin(7t—8),小cosA=一•cos(Tt-B),则C=(D)C.713D.C.713D.7兀(2)(2021•宁夏平罗中学期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足sinA=2sinBcosC,则△ABC一定是(A)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形f—sinA=—y［2sinB①，［解析］由已知得I厂二…h/3cosA="\/2cos8②，①2+②2,得2cos2A=1,即cosA=当cosA=半时，cos8=坐，又A,8是三角形的内角，TT IT /Tt所以A=w，8=4，所以C=7T—(A+8)=五.当cosA=一当时，cosB=一坐,又A,8是三角形的内角，3 5所以A=%,不符题意，舍去.7tt综上可得。=石，故选D.(2)由题意知sin(8+C)=2sin8cosC,整理化简得sin3cosC-cosBsinC=0即sin(B-Q=0,又一：.B-C=0,BPB=C9故选A.第四讲三角函数的图象与性质知识梳理双基自测（对应学生用书学案PO88）ZHISHISHULISHUANGJIZlCE

回画回回知识点一周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数Hx),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有y(x+7)=犬x),那么函数(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的同期.如果在周期函数y(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，2E-eZ,y0)都是它们的周期,最小正周期是27t.知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数性质y=sinxy=cosxy=tanx图象37r\开芽271/rW"4定义域{小£R}{小ER}{x|x^R5+E,且X#kGZ)值域{M-lWvWUR单调性在2k£在kw7T-彳+2k7t,L2+2fac],"上递增；「+2fac,*+2履],过上递减在「(2&-1)兀，2M,AGZ上递增；在12E,(2%+1)兀1,kGZ上递减在(++tat,5+E),%£Z上递增最值7Tx=a+2E仅ez)时,Jmax=1；X=TT—Z)2时，ymin=~1x=2E伏eZ)时，ymax=l；X=兀+2far仅£Z)时，ymin=—1无最值奇偶性偶直对称性对称中心伙兀，0）,kGZfcezJ佟0）,对称轴犬=而+',k£Z.i=E,kRZ无对称轴最小正周期2n2nn回回回国.函数y=sinx,xe[0,2制的五点作图法的五个关键点是9@、思_[）、&Q）、-1\（2元，0）.函数产cosx,xG[0,2扪的五点作图法的五个关键点是皿、&_Q）、（兀，一1）、（罢_2）、（2兀，1）..函数y=sinx与y=cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y=cosx的对称轴为x=kn（kGZ）,而不是x=2E（2£Z）..对于y=tanx不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间（E—全E+加IGZ）内为增函数.回国回回题组一走出误区.判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）（l）y=sinx在第一象限是增函数.（X）（2）正切函数丫=1211》在定义域内是增函数.（X）（3）y=sin凶是周期为兀的偶函数.（X）（4）由sin《+Usin看知，号是正弦函数y=sinx（x《R）的一个周期.（X）（5）已知y=Zsinx+l,x£R,则y的最大值为k+1.（X）题组二走进教材.（必修IP207Tl改编）函数y=tan2x的定义域是（D）A.卜扭#攵兀+去B.卜卜工券+余C.jxlxWE+去Mz] D.1小[解析]由+k《Z,得xH苧+：,k《Z,所以y=tan2x的定义域为fI,kn,n,*产万+［,AGZj..（必修IP207T3改编）下列关于函数y=4sinx,xG［-7t,扪的单调性的叙述，正确的是（B）A.在［一兀，0］上是增函数，在［0,扪上是减函数.在［甘，2上是增函数，在一兀，一］及，，兀上是减函数C.在［0,扪上是增函数，在［一兀，0］上是减函数D.在任，兀］及［―兀，—上是增函数，在［甘，\上是减函数［解析］函数y=4sinx在［一兀，一外和g，小单调递减，在［一会外上单调递增.故选B..（必修IP207T2改编）函数y=3—2cos（x+：）的最大值为$,此时x=^+2E（A©Z）.［解析|函数y=3—2cos（x+：）的最大值为3+2=5,此时x+：=it+2hr,kWZ,即x=^+2E（%£Z）.题组三走向高考（2021•新高考I,