所得税缴费点选址问题研究报告

所得税缴费点选址问题研究报告摘要本文讨论某区域所得税缴费点选址优化的问题。基于该区域各点居民数的数据表，我们首先将一些数值变量〔如居民人数、两地距离〕用符号变量的形式表示。然后，针对设定合理的缴费点选址方案这一问题，我们提出了基于Floyd算法的模型，并先分别讨论居民所走路程最短的方案和各缴费点效劳人数最平均的方案，经过分析比拟，发现单独考虑“居民所走路程最短〞或“各个缴费点效劳人数均衡〞这两个指标都是不全面的，故引入了“所有居民在路上和排队过程中花费的总时间〞这一参数，将“居民所走路程最短〞转化为“居民在路上花费的时间最少〞，将“各个缴费点效劳人数均衡〞转化为“居民在排队过程中花费的时间最少〞，同时考虑两种因素对模型进行检验和优化。接着，针对原来选址方案合理性的问题，我们结合前一问题所得结论做分析，并综合考虑“居民所走路程〞和“各缴费点效劳人数〞两个指标进行判断。而针对迁移1个缴费点的问题，我们结合控制变量法，对每种移动方案都求解其“所有居民在路上和排队过程中花费的总时间〞这一数据，并进行分析比拟，找出最优的移动方案，并对其进行深入研究。最后，针对增加1个缴费点的问题，我们利用之前所得的结论数据，同时综合考虑找到新增加缴费点的最优解。我们共得到如下结论：合理的缴费点选址方案为,,,；原来的选址不合理，在这种情况下居民在路上和排队过程中花费的总时间很多，同时缴费点效劳人数最大差值也很大；如果考虑迁移1个缴费点，应该迁移缴费点，迁到点；如果在原方案中增加一个新的缴费点，该点最好设在点；该区域可以利用我们最终改良的模型建立合理的所得税缴费点。在建立模型的过程中，我们综合利用了EXCEL、及等软件协助分析问题，使数据分析变得高效、方便、准确。希望本文对地区缴费点合理化选址提供帮助。关键词：虚拟变量、图论、控制论、运筹学、Floyd算法问题重述所得税缴费点选址问题所得税管理部门方案对某个区域中的缴费点进行重新设计。该区域原来有4各缴费点，分别位于图1的2,6,13,15位置。图1是该区域的一个实际简化，其中连接线表示有道路相通，连接线上数字表示两地距离〔单位百米〕，圆圈内数字是位置序号。各点代表的居民数见表1表1各点居民数〔单位千人〕位置123456789人数504545484040363232位置101112131415161718人数303036252015201010需解决的问题：〔1〕给出合理选址的标准。〔2〕根据设定的标准，分析原来的选址是否合理？〔3〕如果考虑迁移1个缴费点，应该迁移那个缴费点，迁到那里？〔4〕如果在原方案中增加一个新的缴费点，该点最好设在那里？模型的假设本文模型的假设条件:(1)每个数据点人流量没有限制；(2)每个人会选去缴税所需花费的时间最少的缴费站；(3)每个点的居民会到同一个缴费点缴费；(4)缴费人之间没有区别；(5)忽略不同地点选址可能产生的固定资产构建、劳动力本钱等差异；(6)所有人都会去缴税，即不存在逃税的情况；(7)任意两点间的交通时间只与距离有关；(8)缴税的居民会在不同时间段到缴费点缴费，每个缴费点在人数小于141人的时候不需要等待；(9)每个站点的承受能力是相同的；符号说明通过对题目的分析，在建立模型的过程中有不少定性变量，如某一个居民点是否被选为缴税点、i居民点的居民是否去j居民点缴税等，所以我们需要将其转换为定量变量才能进行进一步的统计分析研究。这就需要用到一些量化虚拟变量的知识。虚拟变量的性质在一般的数学分析中，解释变量通常都会在一个连续的区域上取值，因变量此时受到的是定量变量的影响。但在现实生活中，解释变量有时候是离散的定性性质的变量〔如性别、种族、国籍、战争、地震和一些分类变量〕。例如，我们想用一个变量表示某个地方被选择为缴费点，而某个地方没有被选择为缴费点，由于这个变量实际上是指某一属性出现或者不出现，因此我们可以用量化的虚拟变量来表示：某个地方被选择为缴费点时它取1，某个地方没有被选择为缴费点时它取0。用这种方法我们还可以很容易地考虑虚拟变量取两个以上不同值时的情况以及定性变量与定量变量混合使用时的情况。：18个居民点组成的18维向量〔表示第个居民点的编号〕：18个居民点的居民数量组成的18维向量〔表示编号为的居民点的居民数量〕：一个居民走过单位路程所用的时间：居民点到缴费点的距离：居民总人数：缴费点总数问题分析 本问题是一个所得税缴费点的选址问题,要求我们提出合理的选址标准，对多个缴费点的位置进行规划设计,建立数学模型,使得居民的满意度和方便度最大。并利用提出的标准判断其原有的缴费点是否合理，进而对缴费点的迁移和增加问题提出合理的方案。通过阅读题目和相关资料，我们发现该问题属于图论和运筹学的范畴。此类适用的算法有Dijkstra算法和Floyd算法。Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Floyd算法是一种动态规划算法，其稠密图效果最正确，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。综合比拟这两种算法的优缺点，我们决定选用Floyd算法。经过分析研究，我们对该问题做出了如下分析：(1)本问题是一个基于图论的离散选址优化问题，各个居民点和缴税点都位于网络节点上，居民点区位确定，缴税点作为被选点，各个居民点之间有连线〔交通线路、网线〕相连。但所给图中很多因素是定性变量，为了用数学模型分析，必须先将这些变量进行量化，因此需要用到了虚拟变量的知识。(2)对于问题一，可以利用以下三个标准来判断缴税点的设立是否合理：第一，各个居民点的居民与最近的缴费点的平均距离的长短；第二，各个缴费点缴费的居民数量的方差；第三，引入参数“时间〞，根据居民在去缴税点的路上花的时间和在缴税点排队所花的时间的和的长短，把前述两个标准结合起来，判断缴税点的设立是否合理。具体实现时，应先列出各个居民点之间的带权邻接矩阵，然后利用Floyd算法，得到各个点之间的最短距离矩阵和最短路径矩阵。之后，根据最短路径矩阵，分别根据三个标准，建立相应的模型，利用穷举法，选出四个居民点设立缴费点，并根据结果来选择最优的标准。(3)对于问题二，利用问题一中选择出来的最优标准，可以得到一组最正确的选址方案。然后利用问题一中最优标准的模型，测试原方案，即可对原方案是否合理作出判断。(4)对于问题三，同样是利用在问题一当中得到的最正确标准，分别把设在2、6、13、15的缴费点移动到其他点，分别得到四个最正确方案，再从中遴选出最正确方案。(5)问题四，在原有的方案上增加一个缴费点，这样的结果一方面可以让局部居民点的居民多一个选择，减少他们去缴费时所需走过的路程，另一方面可以增大缴费点的“容量〞，分流一局部居民，使去各个缴费点缴费的居民的数量更趋于平均。这两个方面都同我们在第一个问题中对选择标准的分析相符，所以我们依然可以利用第一个问题当中的标准来选择最正确的增址方案。模型的建立图论是数学的一个分支，它以图为研究对象。图论中的图是由假设干给定的点及连接两点的边所构成的图形，用连接两点的边表示相应两个事物间具有某种特定关系。在缴费点的选址问题中，点表示居民小区，而其间的连线那么表示小区距离。图论中的最短路径算法包括指定的顶点对之间的最短路径算法和全部顶点间的最短路径算法。前者可用具体居民到缴费点路径的合理化决策分析，而后者很适合于缴费点的选址，使得整个地区居民到缴费点的总路径最短。floyd算法模型简介全部顶点间最短路径算法具有代表性的是1962年由Floyd提出的算法。它的主要思想是从代表任意2个顶点vi到vj的距离的带权邻接矩阵开始，每次插入一个顶点vk，然后将vi到vj间的最短路径与插入顶点vk作为中间顶点〔一条路径中除始点和终点外的其他顶点〕时可能产生的vi到vj路径距离比拟，取较小值以得到新的距离矩阵。如此循环迭代下去，依次构造出n个矩阵vi，到D(1)，D(2)，…D(n)，当所有的顶点均作为任意2个顶点vi到vj中间顶点时得到的最后的带权邻接矩阵D(n)就反映了所有顶点对之间的最短距离信息，成为距离矩阵。最后对距离矩阵中各行元素求和值并比拟大小，决定最正确的缴费点建设地点。模型建立及改良模型一〔居民路程长度最优解〕模型建立设为18个居民点，居民点有居民人，由道路相连的居民点和的距离为，现在选择个居民点建立缴费点。使得居民到最近的缴费点的平均路程最小。这里的平均路程是指每一个居民点中的居民人与他们到最近的缴费点之间的距离的乘积之和除以所有居民点的总人数，即由于居民总数为定值，那么只需考虑。此题从目标函数来看是求平均距离的最小值，即。目标函数：约束条件：其中，式(1)为效劳中心个数的约束条件；式(2)为同一个点的居民会到同一个缴费点缴费的约束条件；式(3)表示如果不在建立缴费点，其他点的居民就不会到缴费，即当时时，所有的；式(4)为每个缴费点效劳人数小于居民总人数的约束条件；式(5)为每个缴费点的效劳人数都大于零的约束条件。由题意假设为18个居民点，相应的居民量为模型一求解第一步：给出任意两个居民点之间的直线距离〔由图1得〕，如果这两个居民点之间没有直接的路，那么把这两个居民点之间的距离记为，再将这些距离写成矩阵的形式，记为，其中中的元素表示居民点和之间的距离。第二步：在MATLAB中用Floyd算法算出每两个居民点之间的最短距离矩阵和最短路径矩阵，分别记为和最短路径矩阵其中表示从点到点沿图1中所示连接线所走的最短距离最短路径矩阵其中表示从点到点沿图1中所示连接线所经过的第一个点〔比方，要寻找从到的路径。根据，，，，那么说明从到经过，从到经过，到直接相连，路径为{,,,}；如果，说明与直接相连；，说明与直接相连。〕第三步：把距离矩阵代入建立的规划模型中，该模型建立的方程是以所有居民所走的总路程最短为最优，由穷举法计算得到的结果可得：选择2，4,7,14居民点为缴税点，此时所有居民所走的最短路程为10850百米，即1085公里将数据整理如下表：表2模型一数据分析缴费点24712到缴费点的居民2,9,101,3,4,5,6,8,14,15,16,177,1811,12,13到缴费点的总人数1073204691居民总数564所有人走的总路程10850.00千米平均每位居民所走路程,6百米各个居民点居民的具体缴税去向如下列图所示：图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点数据分析：从上表和上图中可以看出，在该模型下，大多数人选择了去4缴费点，为了更清晰地表达去各个缴费点的人数的比照，利用MATLAB，重新作图如下：从上图可以看出，去四个缴费点的人数相差很大，经计算，方差到达了，其中，去缴费点4的人数在总人数中比重到达了57%，而去其他几个缴费点的人数比重均缺乏25%，其中到缴费点7的居民数量更是缺乏总数量的10%。这样导致的后果是：去缴费点4缴费的居民数量过多，缴费点4的负荷过大，不但造成缴费点4的工作人员工作压力巨大，而且到缴费点4缴费的居民将不得不排队等候办理缴费业务。而其他几个缴费点的资源却被闲置。按此模型的结论，居民为了路程短就宁愿去拥挤的缴费点花大量时间排队缴费，而不去稍微远一点却不用排队等候的地方缴费，这种情况是不符合实际的，所以该模型还有待改良，以更好地符合实际情况。模型二〔各缴费点效劳人数均衡最优解〕通过之前计算和分析，我们发现到各个缴费点的人数非常不平均，人数最多的缴费点4的数量将近是人数最少的缴费点7的八倍。在实际问题中，这势必会使一些缴费点的工作压力过大，而另一些缴费点近乎形同虚设，导致人力物力的不平均分配，且有的缴费点人数过多，过于拥挤，必然会导致居民花大量时间排队等候，这对于方便民众、节省民众时间来说显然是不合理的，所以在建立缴费点时，应该使建立缴费点后到各点缴费的居民的数量尽可能的均衡〔即方差最小〕。经过统计，18个居民点总共有564为居民，按问题一所得结论设立4个缴费点，那么使各个缴费点效劳的居民均衡的最正确情况是每个缴费点效劳141位居民，这样可使到每个缴费点的人数相同。为到达这个目标，我们建立的模型如下：目标函数：约束条件：其中，式〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔5〕、〔6〕、〔7〕的含义同模型一所述。式〔4〕为到每个缴费点人数不超过142的约束条件〔最正确情况是到每个缴费点的人为141人，但为了不出现个人的情况，故把条件放宽为142人。模型二求解步骤第一步：仍然根据矩阵在matlab中用Floyd算法算出每两个居民点之间的最短距离矩阵和最短路径矩阵。最短路径矩阵最短路径矩阵第二步：把距离矩阵代入建立的规划模型中，该模型建立的方程是以到各个缴费点缴费的居民数量相等为最优，由计算得到的结果可知，选择2,3,4,5居民点为缴税点时所有居民所走的路程最短，为13114百米，即公里，将数据整理如下表：表2模型一数据分析缴费点2345到缴费点的居民2,9,10,13,173,11,12,14,184,6,7,151,5,8,16到缴费点的总人数142141139142居民总数564所有人走的总路程千米平均每位居民所走路程,00百米各个居民点居民的具体缴税去向如下列图所示：图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点表3模型一与模型二比拟模型一模型二缴费点效劳人数最大差值2743居民总数564564所有人走的总路程平均每位居民所走路程4为更清楚的比拟模型一与模型二，利用MATLAB绘出如下列图形：由以上图表和数据可以看出，显然模型二与模型一相比，到各个缴费点缴费的居民数量的方差大幅减小，几乎等于0，即各个点效劳的人数根本一样，但与模型一相比居民所走的总路程和每位居民所走的平均路程都有较大增加，并且可以从居民区缴费点的路径图可以看出，居民点13的人去缴费点3更近，却不得不去缴费点2缴费，居民点14的居民紧靠着缴费点4，但是却不得不去缴费点5缴费，居民点17，18的人同样如此。这种舍近求远、要求居民区更远的地方缴费的结果是与事实不相符的。所以该模型虽然让各个缴费点效劳的居民的数量接近相等了，但依然不是最正确标准。模型三仔细分析模型一和模型二，我们发现：“居民所走路程最短〞和“各个缴费点效劳人数均衡〞。这两个目标不能同时满足，为了协调路程长短与缴费点承受量，我们将路程除以速度折算成行走时间，将缴费点人数过多的局部折合成排队时间，引入这两个时间相加得到的新的变量“t〞，表示所有居民在路上和排队过程中花费的总时间。模型三假设：1.所有人都是步行去纳税点，每个人的时速是5km；2.每个缴费点在人数不多于141人的时候，不需要进行排队，当人数超过141人过后，需要排队，且假设每个人排队时间是20分钟(1/3小时),。。最优方案即是使所有人在纳税过程中花的总时间最少，建立模型如下：目标函数：因为题目中给定的距离单位是百米,所以要乘以0.1,转化成千米,再除以速度5km/h,所以表示路程上花费的时间约束条件：模型三求解步骤第一步：同模型一、二，根据矩阵在matlab中用Floyd算法算出每两个居民点之间的最短距离矩阵和最短路径矩阵。第二步：把距离矩阵代入建立的规划模型中，用求解。求解结果：建立4个缴费点，为,,,。表4模型三数据分析缴费点2345到缴费点的居民2,9,10,133,11,12,144,6,5,16,17,181,5,7,8到缴费点的总人数137126143158图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点根据此标准在中运行计算得所有居民在路上和排队过程中花费的总时间为小时。同样按此标准计算得模型一、模型二中所有居民在路上和排队过程中花费的总时间，并与模型三比拟：表5居民花费的总时间比拟所有居民在路上和排队过程中花费的总时间模型一小时模型二小时模型三小时注意:模型二与模型三虽然选址是一致的,但是交税点覆盖的地区是不同的〔下面加了两张截图〕结论：综合考虑“路程最短〞和到“各个缴费点人数均衡〞这两个指标，模型三应该是最优解。第二问：按模型三的标准，将原题图1中指定的四个点代入目标函数中计算得所有居民在路上和排队过程中花费的总时间为小时。表6图1数据分析缴费点261315到缴费点的居民1,2,3,5,8,9,104,6,7,1811,12,13,1415,16,17到缴费点的总人数27413411145图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点通过分析比拟得，按原题图1所给的缴费点居民在路上和排队过程中花费的总时间比已得出的三个模型都大，同时缴费点效劳人数最大差值为229，该数值也很大。故可得出结论：原来的选址不合理第三问：原题方案中选择的缴费点为：,,,采用控制变量法讨论。1,,位置不变，移动按模型三的标准，在中运行计算得最优方案把缴费点移到了，在这种情况下所有居民在路上和排队过程中花费的总时间为小时。表7移动缴费点情况分析缴费点561315到缴费点的居民1,2,5,7,8,93,4,6,1810,11,12,13,1415,16,17到缴费点的总人数23516514145图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点2,,位置不变，移动按模型三的标准，在中运行计算得最优方案把缴费点移到了，在这种情况下所有居民在路上和排队过程中花费的总时间为小时。表8移动缴费点情况分析缴费点251315到缴费点的居民2,3,9,101,4,5,6,7,811,12,13,1415,16,17,18到缴费点的总人数152246111553,,位置不变，移动按模型三的标准，在中运行计算得最优方案把缴费点移到了，在这种情况下所有居民在路上和排队过程中花费的总时间为小时。表9移动缴费点情况分析缴费点25615到缴费点的居民2,9,10,11,121,5,7,83,4,6,1813,14,15,16,17到缴费点的总人示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点4,,位置不变，移动按模型三的标准，在中运行计算得最优方案把缴费点移到了，在这种情况下所有居民在路上和排队过程中花费的总时间为200小时。表10移动缴费点情况分析缴费点25613到缴费点的居民2,3,9,101,5,7,84,6,15,16,17,1811,12,13,14到缴费点的总人数152158143111图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点图示说明：同一颜色圈内的居民到同一点缴费，其中带黑框的圈为缴费点表11移动缴费点情况比拟移动的缴费点261315居民花费的总时间到缴费点的人数方差23516514145经过比拟可得：移动缴费点到的情况是最优解，此时，所有居民在路上和排队过程中花费的总时间最少，且去各个缴费点效劳人数的方差最小。第四问目标函数：约束条件：其中，式〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕、〔5〕、〔6〕、〔7〕的含义同模型一所述。式〔8〕表示,,,为的缴费点。以所有居民在路上和排队过程中花费的总时间最少为标准〔即目标函数〕，在中运行计算得增加缴费点。表12增加缴费点情况分析缴费点2561315到缴费点的居民2,3