(教师版)立体几何专题一：表面积体积计算

立体几何专题复习一：空间几何体的表面积与体积【高考会这样考】考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大.【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题.基础梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧=2刘V=Sh=<2h圆锥S侧=一v=3sh=3<2\/l2-r2圆台S侧=兀Ri+r2）l1一一 1V=W（S上+S下+^S上Sr）h=,3 3z2. 2, 、,K门+r2+r”2）h直棱柱S侧=ChV=Sh正棱锥S侧=2Ch，1V=aSh3正棱台S侧=1(C+C，)h，V=1（S上+S下+、/s上Sr）h球S球面=4tiR22.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.

两种方法（1）解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或 “切点”、“接点”作出截面图.（2）等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形 （或几何02体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值.02KAOXIANGTANJIUDAOXI 情折老向宗炯案碰*考向探究导析情折老向宗炯案碰考向一几何体的表面积

【例11?（2011安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积().；iF（主）浇图；iF（主）浇图A.48A.48D.80C.D.80［审题视点］由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积.解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4,故腰长为师，所以该几何体的表面积为48+8后答案C方法总结.以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.【训练11若一TOC\o"1-5"\h\z个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于 （ ）.A.^3 B.22a D.6解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2X1X3=6.答案D考向二几何体的体积【例2】？（2011广东）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左A.18比 B.12g C.9\/3 D.6s［审题视点］根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解.解析该几何体为一个斜棱柱，具直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为小,aV=3X3Xy/3=9/3.答案C方法总结“以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.【训练2】（2012东莞模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等a28a28A-九3C.ott+83c16B.-7九312几解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为 2,高为2的圆柱和半径为1的球TOC\o"1-5"\h\z4 28的组合体，则该几何体的体积为冗x22X2+4'k28冗.3 3答案A考向三几何体的展开与折叠【例3】？（2012广州模拟）如图1,在直角梯形ABCD中，/ADC=90°,CD//AB,AB=4,AD=CD=2, ADC沿AC折起，使平面ADC，平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(1)求证：BC，平面ACD;(2)求几何体DABC的体积.［审题视点］(1)利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直于平面ACD内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明.(1)证明在图中，可得AC=BC=2@,从而AC2+BC2=AB2,故ACLBC,取AC的中点O,连接DO,则DOXAC,又平面ADS平面ABC,平面ADCA平面ABC=AC,DO?平面ADC,从而DO,平面ABC,aDOXBC,又AC^BC,ACADO=O,•.BCL平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC=242,Saacd=2,Vbacd=1s“cdBC=1X2X2啦=4^2,3 3 3由等体积性可知，几何体DABC的体积为平.方法轼结.(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.⑵研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题.【训练3】已知

在直三棱柱ABCAiBiCi中，底面为直角三角形，/ACB=90°,AC=6,BC=CCi=小,P是BCi上一动点，如图所示，则CP+PAi的最小值为.解析PAi在平面AiBCi内，PC在平面BCCi内，将其铺平后转化为平面上的问题解决.计算AiB=ABi=440,BCi=2,又AiCi=6,故3iBCi是/AiCiB=90°的直角三角形.铺平平面AiBCi、平面BCCi,如图所示.CP+PAi>AiC.在AACiC中，由余弦定理得AiC=q62+V22-26^2cosi35=晒=5也故（CP+PAi）min=5\/2.答案52考向四转换法一一等体积法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量 （底面积或高）不易求出时,可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解， 该方法尤其适用于求三棱锥的体积.例4在边长为a的正方体ABCDA〔B1cR中，M,N,Pi.一分别是棱AB〔，AiDi,AA上的点，且满足AM —AiBi,23… - AN2NDi,AP—AA（如图i）,试求三棱锥AiMNP的4 1I；体积.i 分析：若用公式V-Sh直接计算三棱锥AMNP的体积，则需要求出4MNP的面3积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥AiMNP的顶点和底面转换一

下，变为求三棱锥PAiMN的体积，便能很容易的求出其高和底面 4AMN的面积，从而代入公式求解.解：1 - 1 1 ... 11123 13VAMNP VP AMN S>AAMN h 二 二 AM ANAP -二Ta~a'~a 777a,, "31 3 2 32234 24评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据.考向五分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法， 在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法.例5如图2,在三^柱ABCAB1cl中，E,F分别为AB,AC的中点，平面EBQF将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比.分析：截面EB1clF将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEFAB1C1;另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得.解：设棱柱的底面积为S,高为h,其体积VSh.1则三角形AEF的面积为一S.4—Sh,12一 1S_—Sh,12由于VAEFA1B1C1 3力.-S2则剩余不规则几何体的体积为八7c5c则剩余不规则几何体的体积为VVVAEFABQSh-Sh-Sh,所以两部分的体积之比为VAEFABC：V7:5.AEFAB[C] ♦评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出具体积，再进行计算.

03KADTlZHUAIMXdANlGrLJPO03考题・示名师第读,考题专项突破考题・示名师第读难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点， 解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式， 其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键.【示例11?（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为().【示例2】？（2011全国新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底3 面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为

《空间几何体的表面积与体积》练习.（人教A版教材习题改编）圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）.A.46 B.2623cC.S D.263解析设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则r=、/与又h=2r=2>]~S,•S圆柱侧=（2\l_iS）2=4S.答案A（2012东北三校联考）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）.A.3旧2 B.6必2 C.12旧2 D.24旧2

解析由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,则长方体的体对角线长为y2a2+a2+a2={6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，「•2R=V6a.「S球=4：R2=6a2.答案B（2011北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）.A.8 B.672C.10 D.8\/2解析由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为 6,6/2,8,10,所以面积最大的是10,故选择C.答案C（2011湖南）设俯视51右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（俯视51右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（)•9A.2TT+9A.2TT+129B.2兀+18C.9C.9什42D.36什183,3,长方体解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为24339的底面是边长为3的正万形，局为2,故所求体积为2X32+3tt]3=5冗+18.答案B若一个球的体积为4巾冗，则它的表面积为.解析V=~3"R3=4y3兀，.旧=，3,S=4R2=4兀W12九.答案12九“祖国在我心中”教师演讲稿敬爱的老师、同学们：大家上午好！今天我怀着无比激动的心情站在这里为大家演讲，我演讲的题目是《祖国在我心中》 o滔滔的江水，滚滚的黄河，连绵不断的山岭，都属于我们伟大的祖国。祖国的山川雄奇，祖国的河水秀逸，祖国的胸怀无比广阔。在爬满甲骨文的钟鼎之上，读祖国童年的灵性；在布满烽火的长城之上，读祖国青春的豪放；在缀满诗歌与科学的大地之上，读祖国壮年的成熟，我也曾看到祖国的孱弱：在圆明园烧焦的废墟之上，我看祖国是 1摊血；在邓世昌勇猛的“致远舰”上，我看祖国是1团火。但我的祖国没有沉没，她用宽厚的肩膀，挽起高山大海，将炎黄子孙龙的传人揽于怀中，用茅草和土砖修复残缺的岁月，用野菜和稀粥喂养饥饿的生命。那 1个个令我们刻骨铭心的事件，令我们悲愤！清政府的腐败无能令我们走绝望的边缘，使人们陷入水深火热之中，但我们的祖国并未由此而倒下，新中国成立后，我们中国人终于可以昂首挺胸地向前走！是啊，那1次次大规模的侵略令我们痛心疾首，但中国的日益强盛却让我们无比自豪与骄傲！耻辱和不幸已经成为过去，中华民族迎来了新的辉