考点专练49：抛物线-2023届高考数学一轮复习（附答案）人教A版2019

考点专练49：抛物线一、选择题1.若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝()A.1B.eq\f(1,2)C.2D.eq\f(1,4)2.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为()A.2eq\r(6)mB.4eq\r(6)mC.4eq\r(2)m D.12m3.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(5，3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为()A.10B.11C.12D.134.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQ⊥l于点Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP5.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P是C上一点，且|PF|＝4，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为2，则p＝()A.2B.4C.2或4D.2或66.已知直线l：y＝x－1与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(ON,\s\up7(→))(O为坐标原点)，则抛物线C的方程为()A.y2＝8xB.y2＝4xC.y2＝2xD.y2＝x7.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′．若四边形AA′PF的面积为14，且cos∠FAA′＝eq\f(3,5)，则抛物线C的方程为()A.y2＝xB.y2＝2xC.y2＝4xD.y2＝8x8.(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq\r(3)，则()A.|BF|＝3B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2＝6x9.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A.C的准线方程为y＝－1B.线段PQ的长度最小为4C.M的坐标可能为(3,2)D.eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))＝－3恒成立二、填空题10.抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线C的标准方程为____________11.(2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝________12.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________13.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点M(－1,4)作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AM))，设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为________14.直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝_________三、解答题15.已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右顶点重合．(1)求抛物线C1的标准方程；(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A，B，F是抛物线C1的焦点，且eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝1，求直线l的方程．16.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．17.已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－3)2＋y2＝4，F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于点D，点D是线段AB的中点．(1)求抛物线的准线方程；(2)求△OAB的面积．参考答案：一、选择题1.D2.B3.B4.B5.D6.B7.C8.BCD9.BCD二、填空题10.答案：y2＝16x11.答案：eq\f(16,3)12.答案：eq\f(4,3)13.答案：－114.答案：2，1三、解答题15.解：(1)由题意可知，双曲线C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右顶点为(2,0)，则eq\f(p,2)＝2，解得p＝4，所以抛物线C1的标准方程为y2＝8x．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2,0)．当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝8x，))可得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，由Δ＞0，可得(2k－8)2－4k2＞0，解得k＜2，所以x1＋x2＝－eq\f(2k－8,k2)，x1x2＝eq\f(1,k2)．因为eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝1，所以eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝1，则x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5＝1，即k2＋4k－5＝0，解得k＝1或k＝－5，所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－5x＋1．16.解：(1)设抛物线的方程为y2＝2px，把P(1,2)代入得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1．(2)因为直线PA和PB的倾斜角互补，所以kPA＋kPB＝0，所以eq\f(y1－2,x1－1)＋eq\f(y2－2,x2－1)＝eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＋eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝0，所以eq\f(1,y1＋2)＋eq\f(1,y2＋2)＝0，所以y1＋y2＝－4，kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2),4)－\f(y\o\al(2,1),4))＝eq\f(4,y2＋y1)＝－1．17.解：(1)因为抛物线C1：y2＝4x，所以准线方程为x＝－1．(2)设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×(－4)>0．由根与系数的关系可得y1＋y2＝4m，故x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，所以D(2m2＋1,2m)．将点D坐标代入圆方程得(m2－1)2＋m2＝1，解得m＝±1(0舍去)．根据抛物线的对称性，不妨设m＝1，联立eq\b\lc\{\rc\(