定积分的概念讲义

定积分的概念【知识要点】定积分的定义及相关概念分割如果函数地;)在区间［。，b］上连续，用分点a=x<x<„x._<x.<„<x=b,将区间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间［x._1,x］上任取一点£(i=1,2，…，n),区间［x._1，x］的长度*—x—x.］。近似取代“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值.③求和作和式ne)N=私b~^af(^)，^11i=i1④取极限当n-8时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数fx)在区间［a，b］上的定积分，记作Jfx)dx.a即：j"f(x)dx=limE_af(&)aninsi=1注：在Jbfx)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a，b］叫做积分区间，f(x)叫a做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.定积分的几何意义从几何上看，如果在区间［a,b］上的函数f(x)连续且恒有f(x)>0。V=f(x)所围成的曲边梯形的面积。那么定积分jbf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a丰b)，y=0和曲线a(3)定积分的性质jbidx=b—aaJbfx)dx=kjbfx)dx(k为常数).(其中k是不为V=f(x)所围成的曲边梯形的面积。(定积分的线性性质)TOC\o"1-5"\h\zaaJf1(x)±2(x)]dx=J1(x)dx±J(x)dx.(定积分的线性性质)(定积分对积分区间的可加性)aaaJx)dx=Jx)dx+Jx)dx(其中a<c<b).(定积分对积分区间的可加性)aac说明：①推广：jb[f(x)土f(x)土•••土f(x)]dx=jbf(x)dx±jbf(x)dx土••.±jbf(x)a12ma1a2am②推广:jbf(x)dx=jc1f(x)dx+jc2f(x)dxHjbf(x)dxaacc1k③性质解释:性质1y=1曲边梯形AMNB曲边梯形AMPC曲边梯形CPNB【例题精讲】例性质1y=1曲边梯形AMNB曲边梯形AMPC曲边梯形CPNB【例题精讲】例1.计算定积分』2(x+1)办1分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，5面积为5。即：j2(x+1以¥=—12思考：若改为计算定积分j2(x+1)dx呢？-2改变了积分上、下限，被积函数在［-2,2〕上出现了负值如何解决呢?例2.求曲线y=x2与x=1,y=0所围成的区域的面积解：①分割将区间【0,1］等分为n个小区间:ii—11TOC\o"1-5"\h\z，每个小区间的长度为Ax=—-=-nnn②近似取代过各点做x轴的垂线，把梯形分成n个小曲边梯形，在分别用小区间左端(i-1¥.1点的纵坐标为——为高，Ax=一为底作小矩形，于是图中曲线i之下矩形的面积依次Vn)n为：。2•—，n(1¥1(2¥为：。2•—，nVn)n③求和所有这些小矩形的面积之和为Sn=02--+(1)2VnSn=02--+(1)2Vn)1(2)2•一+-nVn)—Po2+12+22+n3L+(n-1)2]1nn3G-l)(2n-l)1'6=6.ivi)1——2——〃人n)④取极限S=limSin—>coiriYi(iVi)=lim-1--2--〃人n)>006【习题精练】j1•1.函数f（x）=X2在区间-一，-上，（）nnA.fG）的值变化很小B./G）A.fG）的值变化很小B./G）的值变化很大c.的值不变化D.当n很大时，fG）的值变化很小答案：Dj1.当n很大时，函数fG）=X2在区间-一，-上的值，可以用下列函数值近似代替的nn是()A./-

\.n)B.fD.f(0)答案：C“以直代曲”中，函数fG）在区间］上的近似值等于（）是()A./-

\.n)B.fD.f(0)只能是左端点的函数值/G）i只能是右端点的函数值fG）Z+1可以是该区间内任一点的函数值］）iiii+1以上答案均正确答案：Crb4,设fG）在［o,。］上连续，将la,b］n等分，在每个小区间上任取贝Ijjf（x）dx是1aA.limEfG)in—>co.<i=lB.limXfGn*「n1=1C.limSy(g)•&D.limXfG).(&—£)iin—>oo.<i=l1=1答案:B

f(a)+f(b)A.5,设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]f(a)+f(b)A.B.f(x)dxC.f(x)dxD.Jf(x)dxa2ab-aa答案：D6,已知和式1P+J2lnxdx.1P+&++nP(p>0)当n-+8时，无限趋近于一个常数A,则AJ2lnxdx.1定积分表示为()Af1bA.jdxB.J1xpdx1C.j1()pdxr1，x、/D.J()pdx0x00x0n答案：B7.下列定积分为1是()1A.j1xdxB.J1(x+1)dx卜.C.j11dxD.j'—dx00002答案：C求由y=ex,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()A.[0，e2]B.[0，2]C.[1，2]D.[0，1]答案：B由y=cosx及x轴围成的介于0与2兀之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为.口答案：j2nIcosxdx或4』2cosxdx0计算』\;，1-x2dx=o0一、n-.…一答案：-0提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。4①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？(1)j4nsinxdx；0(2)j0exdx；-1答案：(1)正(2)正(3)负。②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小.j1xdx，j1x2dx，j1x3dxo答案：j1xdx五j1x2dx五j1x3dxo000计算下列定积分：(2)j4(2)j4(x+3)dx；-1(1)j1(x+1)dx；-23

(3)j2"cosxdx；0(4)』2x3dx。-2答案：(4)』2x3dx。-213.利用定积分表示图中四个图形的面积:答案：(1)S13.利用定积分表示图中四个图形的面积:答案：(1)S=jax2dx；(2)S=j2x2dx；0-1(4)S=jbdx.a⑶S=j0[(x-1)2-1]dx-j2[(x-1)2-1]dx；-1【课下练习】1.设函数f(x)>0，则当avb时，定积分j7(x)dx的符号(A.一定是正的B.—定是负的当0vavb时是正的，当a<bv0时是负的以上结论都不对答案：A2,下列式子中不成立的是(Aj2sinxdx=j?cosxdx

Aj2sinxdx=j?cosxdx

00B.j2sinxdx:j?cosxdx00C.jsinxdx=jcosxdx

00D.j0|sinx\dx=j0|cosx^x答案：C3.j1(x3+tanx+x2sinx)dx=-1A.C.A.C.2j0(x3+tanx+x2sinx)dx-1B.2『(x3+tanx+x2sinx)dx0D。2』1Ix3+tanx+x2sinxIdx0答案：A4.由直线y=x,y=—x+1,及X轴所围成平面图形的面积为(A.『【A.『【G-y)-y^y0C.j2【1-y)-yL0答案：CB。j2K—x+1)-xbx0DojX—K—x+1)bx0TOC\o"1-5"\h\z5.和式二+-^~++-1当n-+8时，无限趋近于一个常数A,则A用定积分可表n+1n+22n示为o…「11，答案：j11+X’Xo曲线y=x2,x=0,y=1,所围成的图形的面积可用定积分表示为.答案：j1(1—x2)dx0计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。(下列公式可供使用：12+22+„+n2=1n(n+1)(2n+1))6答案：13求由曲线y=x+1