人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件

人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件

这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础.这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础.人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件基本不等式aabbb几何解释基本不等式aabbb几何解释算术平均数几何平均数几何解释OabDACB

可以用来求最值(积定和小，和定积大)

算术平均数几何平均数几何解释OabDACB可以用来

注意:利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:

一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.注意:利用算术平均数和集合平均人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件1.已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件即x=时ymax=∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜则1-3x＞0；∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

当且仅当3x=1-3x

可用均值不等式法精题解析配凑成和成定值1.已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的精题解析：2.已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值即的最小值为过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：解：精题解析：2.已知正数x、y满足2x+y=1，求的2.已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值正解：当且仅当即:时取“=”号即此时“1”代换法精题解析2.已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值正解：特别警示：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。特别警示：且练习、已知，求

的最小值解：

当且仅当

即

时

且练习、已知，求的最小值解：当且仅当即时人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！三个正数的算术--几何平均数书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少定理3语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。定理3语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。推论:推论:关于“平均数”的概念：1．如果

则：

叫做这n个正数的算术平均数。叫做这n个正数的几何平均数。2.基本不等式：

≥

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．推广关于“平均数”的概念：1．如果则：叫做这n人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件例２:解:构造三个数相加等于定值.例２:解:构造三个数相加等于定值.练习:解:构造三个数相加等于定值.练习:解:构造三个数相加等于定值.例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解:设剪去的小正方形的边长为则其容积为:例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四解:设剪去的小人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件练习:解:(错解:原因是取不到等号)正解:练习:解:(错解:原因是取不到等号)正解:练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件推论练习由这个图，你还能发现什么结论？推论练习由这个图，你还能发现什么结论？人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件≤≤1、|a+b|-|a-b|2|a||a+b|+|a-b|≤≤|a+b|-|a-b|2|b||a+b|+|a-b|≤≤想一想试一试2.已知|a-c|<1,求证|a|<|c|+1提示：|a|=|a-c+c|≤|a-c|+|c|<1+|c|证明：

|x+2y－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z|=|x|＋2|y|＋3|z|

∵|x|＜

，|y|＜

，|z|＜

∴|x|＋2|y|＋3|z|＜

∴|x＋2y－3z|＜ε

≤≤1、|a+b|-|a-b|求证

.变1

已知，证明：求证.变1已知

求

的最小值。

1++-=xxy31解：

法三：利用三角形不等式变2:练习解决引例求的最小值。1例2:已知二次函数，若，证明：证明：因为

所以……例2:已知二次函数例4设，函数证明：证：所以利用在条件不等式证明中比较常用例4设，函数证明：证：所以利用人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件0-1不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.1所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}探索：不等式|x|<1的解集.方法一：利用绝对值的几何意义观察①当x≥0时，原不等式可化为x＜1②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论0-1不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合探索：不等式|x|<1的解集。对原不等式两边平方得x2<1即

x2－1<0即(x+1)(x－1)<0即－1<x<1所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.

从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.oxy11－1y=1所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}方法四：利用函数图象观察探索：不等式|x|<1的解集。对原不等式两边平方得x2<1即一般地，可得解集规律:

形如|x|<a和|x|>a

的含绝对值的不等式的解集:①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a}0-aa0-aa一般地，可得解集规律:①不等式|x|<a的解集为{x|-人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件1.试解下列不等式：课堂练习：1.试解下列不等式：课堂练习：2.

解不等式：

解：原不等式或或或∴原不等式的解集是

另解：∴原不等式的解集是

2.解不等式：解：原不等式3.解不等式|x-1|+|x+2|≥5解：１０当x>1时，原不等式同解于x≥2x<-2-(x-1)-(x+2)≥5(x-1)+(x+2)≥5x>1-(x-1)+(x+2)≥5x≤-3综合上述知不等式的解集为3０当x<-2时，原不等式同解于2０当-2≤x≤1时，原不等式同解于方法一：利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想．3.解不等式|x-1|+|x+2|≥5解：１０当x>1时，原3.解不等式|x-1|+|x+2|≥5解原不等式化为|x-1|+|x+2|-5≥0(x-1)+(x+2)-5(x>1)-(x-1)+(x+2)-5(-2≤x≤1)-(x-1)-(x+2)-5(x<-2)f(x)=2x-4(x>1)-2(-2≤x≤1)-2x-6(x<-2)令f(x)=|x-1|+|x+2|-5,则-312-2-2xy由图象知不等式的解集为f(x)=方法二：通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思想．方法小结3.解不等式|x-1|+|x+2|≥5解原不等式化为|x-3.试解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法三：利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想．-212-3解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2所以原不等式的解为方法小结3.试解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法三：利用绝对值的1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1解：１０当x>2时，原不等式可化为x>23０当x<-3时，原不等式可化为2０当-3≤x≤2时，原不等式可化为x<-3-(2x-4)+(3x+9)<1(2x-4)-(3x+9)<1x>2-(2x-4)-(3x+9)<1x<-13综上所述,原不等式的解集为1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1解：１０当x>2时3.不等式有解的条件是()1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1B3.不等式有解的条件是()1.人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件解（2）原不等式等价于：或或解之得或或

所以原不等式的解：35YX0y=41-12.52解（2）原不等式等价于：或或解之得或练习:（2003年全国）已知，设P：函数在R上递减，Q：不等式的解集为R，如果P与Q有且仅有一个正确，求c

范围。解：函数在R上递减，则

记0xyy=1由于的最小值为2c不等式的解集为R所以P正确时：；Q正确时：010.5满足条件的c取值范围是：练习:（2003年全国）已知，设P：函数在R上递减，Q：不等例2已知函数

（1）判断的奇偶性；（2）解关于x的不等式解（1）当a=0时，是奇函数

当时，是非奇非偶函数（2）当a=0时，当时，当时，综上所述：例2已知函数（1）判断的奇偶性；（2）解人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件

这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础.这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础.人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件基本不等式aabbb几何解释基本不等式aabbb几何解释算术平均数几何平均数几何解释OabDACB

可以用来求最值(积定和小，和定积大)

算术平均数几何平均数几何解释OabDACB可以用来

注意:利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:

一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.注意:利用算术平均数和集合平均人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件1.已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件即x=时ymax=∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜则1-3x＞0；∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

当且仅当3x=1-3x

可用均值不等式法精题解析配凑成和成定值1.已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的精题解析：2.已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值即的最小值为过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：解：精题解析：2.已知正数x、y满足2x+y=1，求的2.已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值正解：当且仅当即:时取“=”号即此时“1”代换法精题解析2.已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值正解：特别警示：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。特别警示：且练习、已知，求

的最小值解：

当且仅当

即

时

且练习、已知，求的最小值解：当且仅当即时人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！三个正数的算术--几何平均数书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少定理3语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。定理3语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。推论:推论:关于“平均数”的概念：1．如果

则：

叫做这n个正数的算术平均数。叫做这n个正数的几何平均数。2.基本不等式：

≥

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．推广关于“平均数”的概念：1．如果则：叫做这n人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件例２:解:构造三个数相加等于定值.例２:解:构造三个数相加等于定值.练习:解:构造三个数相加等于定值.练习:解:构造三个数相加等于定值.例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解:设剪去的小正方形的边长为则其容积为:例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四解:设剪去的小人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件练习:解:(错解:原因是取不到等号)正解:练习:解:(错解:原因是取不到等号)正解:练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件推论练习由这个图，你还能发现什么结论？推论练习由这个图，你还能发现什么结论？人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件≤≤1、|a+b|-|a-b|2|a||a+b|+|a-b|≤≤|a+b|-|a-b|2|b||a+b|+|a-b|≤≤想一想试一试2.已知|a-c|<1,求证|a|<|c|+1提示：|a|=|a-c+c|≤|a-c|+|c|<1+|c|证明：

|x+2y－3z|≤|x|＋|2y|＋|－3z|=|x|＋2|y|＋3|z|

∵|x|＜

，|y|＜

，|z|＜

∴|x|＋2|y|＋3|z|＜

∴|x＋2y－3z|＜ε

≤≤1、|a+b|-|a-b|求证

.变1

已知，证明：求证.变1已知

求

的最小值。

1++-=xxy31解：

法三：利用三角形不等式变2:练习解决引例求的最小值。1例2:已知二次函数，若，证明：证明：因为

所以……例2:已知二次函数例4设，函数证明：证：所以利用在条件不等式证明中比较常用例4设，函数证明：证：所以利用人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件0-1不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.1所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}探索：不等式|x|<1的解集.方法一：利用绝对值的几何意义观察①当x≥0时，原不等式可化为x＜1②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论0-1不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合探索：不等式|x|<1的解集。对原不等式两边平方得x2<1即

x2－1<0即(x+1)(x－1)<0即－1<x<1所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.

从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.oxy11－1y=1所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}方法四：利用函数图象观察探索：不等式|x|<1的解集。对原不等式两边平方得x2<1即一般地，可得解集规律:

形如|x|<a和|x|>a

的含绝对值的不等式的解集:①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a}0-aa0-aa一般地，可得解集规律:①不等式|x|<a的解集为{x|-人教版高中数学选修第一讲-不等式和绝对值不等式综合课件1.试解下列不等式：课堂练习：1.试解下列不等式：课堂练习：2.

解不等式：

解：原不等式或或或∴原不等式的解集是

另解：∴原不等式的解集是

2.解不等式：解：原不等式3.解不等式|x-1|+|x+2|≥5解：１０当x>1时，原不等式同解于x≥2x<-2-(x-1)-(x+2)≥5(x-1)+(x+2)≥5x>1-(x-1)+(x+2)≥5x≤-3综合上述知不等式的解集为3０当x<-2时，原不等式同解于2０当-2≤x≤1时，原不等式同解于方法一：利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想．3.解不等式|x-1|+|x+2|≥5解：１０当x>1时，原3.解不等式|x-1|+|x+2|≥5解原不等式化为|x-1|+|x+2|-5≥0(x-1)+(x+2)-5(x>1)-(x-1)+(x+2)-5(-2≤x≤1)-(x-1)-(x+2)-5(x<-2)f(x)=2x-4(x>1)-2(-2≤x≤1)-2x-6(x<-2)令f(x)=|x-1|+|x+2|-5,则-31