《几何与代数》-第一章-行列式和线性方程组的求解课件

教学内容和基本要求

第一章行列式和线性方程组的求解教学内容学时数课件§1.1二阶、三阶行列式

111-16§1.2n阶行列式

116-28§1.3行列式的性质和计算4§1.4线性方程组的求解

2教学内容和基本要求第一章行列式和线性方程组的求解教学趣味思考题二、若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？

(1)行列式D有两行或两列的元素相同；(2)行列式D有两行或两列的元素成比例；(3)行列式D有至少有一行或一列元素都是零

；(4)主对角线上至少有一个元素等于零的对角行列式；(5)主(次)对角线上至少有一个零元素的三角行列式；(6)所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式．趣味思考题二、若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？三、设D’=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,证明:D’=(1)mnD1D2.D2

=,b11…

b1n

bn1…

bnn……0…0a11…

a1m……………………,0…0am1

…ammb11…

b1n

c11…

c1mbn1…

bnncn1…

cnm证明:将第n+1列与左边的各列逐次对换相邻两列，

可将其移到第一列，以此类推，共做mn次相邻对换，即可得到所以D’=

=

(1)mn|A|

|B|.三、设D’=a11…a1mD1=……,证明:D二.行列式的主要计算方法§1.3行列式的性质及计算1.化为三角形行列式

|AT|=|A|.

3.行列式按行(列)展开

2.箭形行列式的计算4.降阶递推法5.分解行列法|A|

=ai1Ai1+…+ainAin=a1j

A1j+…+anj

Anj二.行列式的主要计算方法§1.3行列式的性质及计算1§1.3行列式的性质及计算例6.124221342

1

24

0

67

0

1014=14.3.行列式按行(列)展开

例10.

=2.注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行(列)只有一个非零元素；再按此行(列)展开计算.第一章行列式和线性方程组的求解

§1.3行列式的性质及计算例6.12§1.3行列式的性质及计算4

36

314

6

35=6A31+3A32+5A33.那么4A31

+3A32

+6A33

=4A31

+3A32+6A33

=4

363144

36=0.A31,A32,A33与a31,a32,a33的取值无关0?第一章行列式和线性方程组的求解

§1.3行列式的性质及计算43§1.3行列式的性质及计算a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33=a12A12+a22A22+a32A32.下面来看a11A12

+a21A22

+a31A32

=

a11A12

+a21A22

+a31A32

=a11

a13

a21

a23

a31

a33=0.推广到一般情形,我们有如下结论:推论1.3.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).A12,A22,A32与a12,a22,a32的取值无关0?第一章行列式和线性方程组的求解

a11a21a31§1.3行列式的性质及计算a11a12a13§1.3行列式的性质及计算

推论1.3.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理.|B|

=a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=b1jA1j+b2jA2j+…+bnjAnj证明：aikAjk

=k=1n|A|,i=j

0,ij=0第一章行列式和线性方程组的求解

akiAkj

=k=1n|A|,i=j

0,ij§1.3行列式的性质及计算推论1.3.ai1Aj例11.

2A21+4A228A23=124221342124

342248=0M13M233M33=A13+A233A33122234=113122234030=30定理.aikAjk

=k=1n|A|,i=j

0,ijaki

Akj

=k=1n|A|,i=j

0,ij§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

例11.2A21+4A228A23=1例12.证明n阶(n2)范德蒙Vandermonde行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-2

a2n-2

…

ann-2a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1证明:当n=2时,D2=(a2a1).现设等式对于(n1)阶成立.(a1)(a1)(a1)…111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an

(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn

rna1rn-1…r3a1r2r2a1r1§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

例12.证明n阶Dn=11=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1

a2a1

a3a1…an

a1a2(a2a1)a3(a3a1)…an

(ana1)…………a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn=§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

=(a2a1)(a3a1)…(ana1)1第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(未写出的元素都是0).例12.计算2n阶行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………4.

降阶递推法第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质(第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……解:第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1

D2=(adbc)n.D2nD2n=a(1)2(2n1)dD2(n1)b(1)(2n1)+1cD2(n1)第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质=Dn=(a+

b)Dn1

abDn2

解：按第一行展开Dn=(a

+b)

Dn-1+ab(1)1+2Dn-2=…=bn2

(D2aD1)例13.Dn=双轮形DnaDn1=b(Dn1aDn2)=…=an2

(D2bD1)DnbDn1=a(Dn1bDn2)

D1=a+b,

D2=a2+b2

+ab

4.

降阶递推法§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

Dn=(a+b)Dn1abDn2解：DnaDn1=bn2

(D2aD1)(3)DnbDn1=an2

(D2bD1)(4)由(3)b

(4)a可得，

D1=a+b,

D2=a2+b2

+ab

=bn=an§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

DnaDn1=bn2(D2aD1)5.

分解行列法解：将第一列拆成两列的和Dn=bDn-1+D’n例13.Dn=D’n=anDn=b

Dn-1+an=b(bDn-2+an-1)+an§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

=b2

Dn-2+an-1b+an=…5.分解行列法解：将第一列拆成两列的和Dn=bDn-二.行列式的主要计算方法§1.3行列式的性质及计算1.化为三角形行列式3.行列式按行(列)展开

2.箭形行列式的计算4.降阶递推法Ajk=(1)j+kMjk计算三四阶行列式5.分解行列法

|AT|=|A|.

Ex.aikAjk

=k=1n|A|,i=j

0,ij二.行列式的主要计算方法§1.3行列式的性质及计算1a11a12a21a22记D=,b1a12b2a22D1=,a11b1a21b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21推广到n元线性方程组——Cramer法则§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

a11a12记D=,b1a12D1=线性方程组：高斯消元法：初等变换列向量矩阵行向量线性方程组：高斯消元法：初等变换列向量矩阵行向量例1.

某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150

单价

(元/箱)重量

(Kg/箱)数量(箱)南京苏州常州啤酒(瓶装)2016200180190啤酒(易拉罐)5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150一.矩阵与向量§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.A=205例2.

四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市到j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为1423A=[aij]=0111100001001010①②③④①④③②§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路.从图中易得到上下两条路：显然上面一条较短，路长为7;下面一条路长为8.(3,2,3)(5,3,0)(2,5,1)(8,0,0)(0,5,3)(2,3,3)(7,0,1)(7,1,0)(4,1,3)(4,4,0)(1,4,3)(1,5,2)(6,2,0)例3：某二人有一只8升的酒壶装满了酒,还有两只空壶,分别为5升和3升.问如何尽快将酒平分?(3,5,0)(5,0,3)(6,0,2)用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量则平分酒的问题化一.矩阵与向量1.mn矩阵

(Matrix)元素:

aij(i=1,…,m,j=1,…,n)注:

元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.

今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵(Rm×n).复矩阵(Cm×n).

Am×n==(aij)m×na11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amnn阶方阵:

nn矩阵

2.方阵主对角线元素:

aii(i=1,…,n)

§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

一.矩阵与向量1.mn矩阵元素:aij(i=3.向量(Vector)

n维行向量:1n矩阵ai=(ai1,ai2,…,ain)n维列向量:n1矩阵Aj=

常用希腊字母,,表示.5.同型矩阵

A=(aij)mn与B=(bij)mn6.相等矩阵A=B

aij

=bij,

1im,1jn

同型矩阵a1ja2j…anj4.11矩阵

(a11)

=a11

7.零矩阵

Omnaij=0，1im,1jn§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

3.向量(Vector)n维行向量:1n矩阵ai1.对角矩阵(diagonal)=diag(1,2,…,n)=10…002…0

…

…

…

…00…n2.数量矩阵3.单位矩阵引入Kronecker记号ij=1,i=j

0,ij=

(ij)=

(ij)=

(iij)几种特殊方阵§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

1.对角矩阵(diagonal)=diag(1,4.三角矩阵

a11a12…a1n

0

a22…a2n

…

………

0

0

…

anna110…0

a21a22

…0…………an1

an2…anna11…a1n-1

a1n

a21…

a2n-1

0………

…

an1

…0

0

0

…0

a1n

0…

a2n-1

a2n

…………

an1…a1n-1

ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为0§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

4.三角矩阵a11a12…a1na11§1.4线性方程组的求解二.克拉默法则(CramerRule)四.矩阵的初等行变换

1.矩阵的初等行变换

2.阶梯形矩阵与行简化阶梯阵3.阶梯阵的形状与线性方程组的解五.齐次线性方程组有非零解的充分条件

三.Gauss

消元法与方程组的初等变换第一章行列式和线性方程组的求解一.矩阵与向量§1.4线性方程组的求解二.克拉默法则(CramerR§1.4线性方程组的求解记D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann,D1=b1

a12…a1n

b2a22…a2n…………bn

an2…ann,D2=a11b1

…a1n

a21b2

…a2n…………an1bn

…ann,…,Dn=.a11

a12

…b1a21

a22

…b2…………an1

an2…bn二.克拉默法则(CramerRule1750瑞士)在D=|A|0有唯一解

x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD.第一章行列式和线性方程组的求解

n元线性方程组|A|0方程数与变量数不等时不能用§1.4线性方程组的求解记D=a11a12…§1.4线性方程组的求解一.克拉默法则(CramerRule)在D=|A|0有唯一解

x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD.第一章行列式和线性方程组的求解

按第一列展开记D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann,D1=b1

a12…a1n

b2a22…a2n…………bn

an2…ann,=a11A11=b1A11+…+an1An1+…+bnAn1Dj=b1A1j+…+bnAnj,j=1,2,…,n§1.4线性方程组的求解一.克拉默法则(CramerR§1.4线性方程组的求解一.克拉默法则(CramerRule)在D=|A|0有唯一解

x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD.第一章行列式和线性方程组的求解

Dj=b1A1j…+bnAnj,j=1,2,…,n①(1)先证①是方程组的解.aijAkj

=j=1nD,i=k

0,ik§1.4线性方程组的求解一.克拉默法则(CramerR§1.4线性方程组的求解一.克拉默法则(CramerRule)在D=|A|0有唯一解

x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD.第一章行列式和线性方程组的求解

Dj=b1A1j…+bnAnj,j=1,2,…,n①(2)再证方程组解的唯一性.A1j+A2j+…+Anj=DjaikAij

=i=1nD,k=j

0,kj§1.4线性方程组的求解一.克拉默法则(CramerR§1.4线性方程组的求解记D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann,D1=b1

a12…a1n

b2a22…a2n…………bn

an2…ann,D2=a11b1

…a1n

a21b2

…a2n…………an1bn

…ann,…,Dn=.a11

a12

…b1a21

a22

…b2…………an1

an2…bn一.克拉默法则(CramerRule)在D=|A|0有唯一解

x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD.第一章行列式和线性方程组的求解

齐次线性方程组推论1.4§1.4线性方程组的求解记D=a11a12…齐次线性方程组Ax=

0,它必然有一组零解

x1=x2=…=xn=0,若有一组不全为零的数构成Ax=

0的解,则称之为Ax=

0的非零解.推论1.4a.设ARnn,若齐次线性方程组Ax=

0的系数行列式|A|0,则它只有零解.

推论1.4b.设ARnn,若Ax=

0有非零解，则|A|=0§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

齐次线性方程组的非零解

定理1.3设ARnn,|A|0时Ax=b有唯一解

xj=Dj/|A|,j=1,…,n.齐次线性方程组Ax=0,它必然有一组零解推论1.4a.(A)

填空题选择题：作为课下练习一.(A)1(1-7),(B)1,2,3(B)

留作业每周三交作业(C)

课下提高题：有时间的话尽量做二.(A)2(1-5)(B)4(1,3,4,6),5(1,2)三.(A)1(8),2(6,7)(B)5(4,6,7,8),6(2),7四.(A)1(9,10),2(8,9,10)(B)9,11,12(A)填空题选择题：作为课下练习一.(A)1(1-7)趣味思考题

一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊与菜不能独处.你能给出几种给出渡河方法？哪种方法的渡河次数最少呢？趣味思考题现代谜题（据说是微软的面试题哦！）有4个女人要过一座桥。她们都站在桥的某一边，要让她们在17分钟内全部通过这座桥。这时是晚上。她们只有一个手电筒。最多只能让两个人同时过桥，且必须要带着手电筒。手电筒必须要传来传去，不能扔过去。每个女人过桥的速度不同(甲乙丙丁分别需要1,2,5,10分钟)，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。怎样让这4个女人在17分钟内过桥？还有其他方法吗？现代谜题（据说是微软的面试题哦！）思考题：交通网络流量分析问题

（线性方程组应用）城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。问题：某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。思考题：交通网络流量分析问题

（线性方程组应用）城市道路网中思考题：交通网络流量分析问题

（线性方程组应用）（1）建立确定每条道路流量的线性方程组；（2）请写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵.300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12思考题：交通网络流量分析问题

（线性方程组应用）（1）建立确教学内容和基本要求

第一章行列式和线性方程组的求解教学内容学时数课件§1.1二阶、三阶行列式

111-16§1.2n阶行列式

116-28§1.3行列式的性质和计算4§1.4线性方程组的求解

2教学内容和基本要求第一章行列式和线性方程组的求解教学趣味思考题二、若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？

(1)行列式D有两行或两列的元素相同；(2)行列式D有两行或两列的元素成比例；(3)行列式D有至少有一行或一列元素都是零

；(4)主对角线上至少有一个元素等于零的对角行列式；(5)主(次)对角线上至少有一个零元素的三角行列式；(6)所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式．趣味思考题二、若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？三、设D’=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,证明:D’=(1)mnD1D2.D2

=,b11…

b1n

bn1…

bnn……0…0a11…

a1m……………………,0…0am1

…ammb11…

b1n

c11…

c1mbn1…

bnncn1…

cnm证明:将第n+1列与左边的各列逐次对换相邻两列，

可将其移到第一列，以此类推，共做mn次相邻对换，即可得到所以D’=

=

(1)mn|A|

|B|.三、设D’=a11…a1mD1=……,证明:D二.行列式的主要计算方法§1.3行列式的性质及计算1.化为三角形行列式

|AT|=|A|.

3.行列式按行(列)展开

2.箭形行列式的计算4.降阶递推法5.分解行列法|A|

=ai1Ai1+…+ainAin=a1j

A1j+…+anj

Anj二.行列式的主要计算方法§1.3行列式的性质及计算1§1.3行列式的性质及计算例6.124221342

1

24

0

67

0

1014=14.3.行列式按行(列)展开

例10.

=2.注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行(列)只有一个非零元素；再按此行(列)展开计算.第一章行列式和线性方程组的求解

§1.3行列式的性质及计算例6.12§1.3行列式的性质及计算4

36

314

6

35=6A31+3A32+5A33.那么4A31

+3A32

+6A33

=4A31

+3A32+6A33

=4

363144

36=0.A31,A32,A33与a31,a32,a33的取值无关0?第一章行列式和线性方程组的求解

§1.3行列式的性质及计算43§1.3行列式的性质及计算a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33=a12A12+a22A22+a32A32.下面来看a11A12

+a21A22

+a31A32

=

a11A12

+a21A22

+a31A32

=a11

a13

a21

a23

a31

a33=0.推广到一般情形,我们有如下结论:推论1.3.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).A12,A22,A32与a12,a22,a32的取值无关0?第一章行列式和线性方程组的求解

a11a21a31§1.3行列式的性质及计算a11a12a13§1.3行列式的性质及计算

推论1.3.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理.|B|

=a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=b1jA1j+b2jA2j+…+bnjAnj证明：aikAjk

=k=1n|A|,i=j

0,ij=0第一章行列式和线性方程组的求解

akiAkj

=k=1n|A|,i=j

0,ij§1.3行列式的性质及计算推论1.3.ai1Aj例11.

2A21+4A228A23=124221342124

342248=0M13M233M33=A13+A233A33122234=113122234030=30定理.aikAjk

=k=1n|A|,i=j

0,ijaki

Akj

=k=1n|A|,i=j

0,ij§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

例11.2A21+4A228A23=1例12.证明n阶(n2)范德蒙Vandermonde行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-2

a2n-2

…

ann-2a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1证明:当n=2时,D2=(a2a1).现设等式对于(n1)阶成立.(a1)(a1)(a1)…111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an

(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn

rna1rn-1…r3a1r2r2a1r1§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

例12.证明n阶Dn=11=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1

a2a1

a3a1…an

a1a2(a2a1)a3(a3a1)…an

(ana1)…………a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn=§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

=(a2a1)(a3a1)…(ana1)1第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(未写出的元素都是0).例12.计算2n阶行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………4.

降阶递推法第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质(第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……解:第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1

D2=(adbc)n.D2nD2n=a(1)2(2n1)dD2(n1)b(1)(2n1)+1cD2(n1)第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质=Dn=(a+

b)Dn1

abDn2

解：按第一行展开Dn=(a

+b)

Dn-1+ab(1)1+2Dn-2=…=bn2

(D2aD1)例13.Dn=双轮形DnaDn1=b(Dn1aDn2)=…=an2

(D2bD1)DnbDn1=a(Dn1bDn2)

D1=a+b,

D2=a2+b2

+ab

4.

降阶递推法§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

Dn=(a+b)Dn1abDn2解：DnaDn1=bn2

(D2aD1)(3)DnbDn1=an2

(D2bD1)(4)由(3)b

(4)a可得，

D1=a+b,

D2=a2+b2

+ab

=bn=an§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

DnaDn1=bn2(D2aD1)5.

分解行列法解：将第一列拆成两列的和Dn=bDn-1+D’n例13.Dn=D’n=anDn=b

Dn-1+an=b(bDn-2+an-1)+an§1.3行列式的性质及计算

第一章行列式和线性方程组的求解

=b2

Dn-2+an-1b+an=…5.分解行列法解：将第一列拆成两列的和Dn=bDn-二.行列式的主要计算方法§1.3行列式的性质及计算1.化为三角形行列式3.行列式按行(列)展开

2.箭形行列式的计算4.降阶递推法Ajk=(1)j+kMjk计算三四阶行列式5.分解行列法

|AT|=|A|.

Ex.aikAjk

=k=1n|A|,i=j

0,ij二.行列式的主要计算方法§1.3行列式的性质及计算1a11a12a21a22记D=,b1a12b2a22D1=,a11b1a21b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21推广到n元线性方程组——Cramer法则§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

a11a12记D=,b1a12D1=线性方程组：高斯消元法：初等变换列向量矩阵行向量线性方程组：高斯消元法：初等变换列向量矩阵行向量例1.

某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150

单价

(元/箱)重量

(Kg/箱)数量(箱)南京苏州常州啤酒(瓶装)2016200180190啤酒(易拉罐)5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150一.矩阵与向量§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.A=205例2.

四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市到j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为1423A=[aij]=0111100001001010①②③④①④③②§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路.从图中易得到上下两条路：显然上面一条较短，路长为7;下面一条路长为8.(3,2,3)(5,3,0)(2,5,1)(8,0,0)(0,5,3)(2,3,3)(7,0,1)(7,1,0)(4,1,3)(4,4,0)(1,4,3)(1,5,2)(6,2,0)例3：某二人有一只8升的酒壶装满了酒,还有两只空壶,分别为5升和3升.问如何尽快将酒平分?(3,5,0)(5,0,3)(6,0,2)用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量则平分酒的问题化一.矩阵与向量1.mn矩阵

(Matrix)元素:

aij(i=1,…,m,j=1,…,n)注:

元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.

今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵(Rm×n).复矩阵(Cm×n).

Am×n==(aij)m×na11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amnn阶方阵:

nn矩阵

2.方阵主对角线元素:

aii(i=1,…,n)

§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

一.矩阵与向量1.mn矩阵元素:aij(i=3.向量(Vector)

n维行向量:1n矩阵ai=(ai1,ai2,…,ain)n维列向量:n1矩阵Aj=

常用希腊字母,,表示.5.同型矩阵

A=(aij)mn与B=(bij)mn6.相等矩阵A=B

aij

=bij,

1im,1jn

同型矩阵a1ja2j…anj4.11矩阵

(a11)

=a11

7.零矩阵

Omnaij=0，1im,1jn§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

3.向量(Vector)n维行向量:1n矩阵ai1.对角矩阵(diagonal)=diag(1,2,…,n)=10…002…0

…

…

…

…00…n2.数量矩阵3.单位矩阵引入Kronecker记号ij=1,i=j

0,ij=

(ij)=

(ij)=

(iij)几种特殊方阵§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

1.对角矩阵(diagonal)=diag(1,4.三角矩阵

a11a12…a1n

0

a22…a2n

…

………

0

0

…

anna110…0

a21a22

…0…………an1

an2…anna11…a1n-1

a1n

a21…

a2n-1

0………

…

an1

…0

0

0

…0

a1n

0…

a2n-1

a2n

…………

an1…a1n-1

ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为0§1.4线性方程组的求解第一章行列式和线性方程组的求解

4.三角矩阵a11a12…a1na11§1.4线性方程组的求解二.克拉默法则(CramerRule)四.矩阵的初等行变换

1.矩阵的初等行变换

2.阶梯形矩阵与行简化阶梯阵3.阶梯阵的形状与线性方程组的解五.齐次线性方程组有非零解的充分条件

三.Gauss

消元法与方程组的初等变换第一章行列式和线性方程组的求解一.矩阵与向量§1.4线性方程组的求解二.克拉默法则(CramerR§1.4线性方程组的求解记D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann,D1=b1

a12…a1n

b2a22…a2n…………bn

an2…ann,D2=a11b1

…a1n

a21b2

…a2n…………an1bn

…ann,…,Dn=.a11

a12

…b1a21

a22

…b2…………an1

an2…bn二.克拉默法则(CramerRule1750瑞士)在D=|A|0有唯一解

x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD.第一章行列式和线性方程组的求解

n元线性方程组|A|0方程数与变量数不等时不能用§1.4线性方程组的求解记D=a11a12…§1.4线性方程组的求解一.克拉默法则(CramerRule)在D=|A|0有唯一解

x1=D1D,x2=D2D,…,xn

=DnD.第一章行列式和线性方程组的求解

按第一列展开记D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann,D1=b1

a12…a1n

b2a22…a2n…………bn