几何与代数：第一章 矩阵3,4节

第一章矩阵

§1.3分块矩阵

一.基本概念1001201045001763210065400§1.3分块矩阵

1001201045001763210065400=E3

BC

O2分块矩阵第一章矩阵

§1.3分块矩阵

A=[A1,A2,…,An]二.常用的分块法1.A=a11

a21

am1

a12

a22

am2

……

…a1n

a2n

amn

…………,A1=,a11

a21

am1

…An=,a1n

a2n

amn

…A2=,a12

a22

am2

…第一章矩阵

§1.3分块矩阵

A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,称为分块对角矩阵(或准对角矩阵),其中A1,A2,…,As都是方阵2.分块对角矩阵例如2100002100002000001200034.第一章矩阵

§1.3分块矩阵

三.基本运算分块加法A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr

+Bsr

.A+B=设矩阵A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,为常数.A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.则A=2.分块数乘第一章矩阵

§1.3分块矩阵

3.分块乘法设A为ml矩阵,B为l

n矩阵,将它们分块如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,其中Ai1,Ai2,…,Ait的列数分别与B1j,B2j,…,Btj的行数相等.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,则AB=k=1t第一章矩阵

§1.3分块矩阵

10

1012011041112

0B=,求AB.

10

00010012101101例.设A=,解:A=,E

OA1

EB=,B11EB21

B22其中E=,10011211A1=,

1012B11=,

10

11B21=,412

0B22=.于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22,B11

EA1B11+B21

A1+B22

=第一章矩阵

§1.3分块矩阵

于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22B11

EA1B11+B21

A1+B22

=,而A1B11=1211

10123402=,A1B11+B21=3402

10

11+A1+B22=1211412

0+2411=,333

1=.B11

EA1B11+B21

A1+B22

从而AB==.

10

1012012

4331

13

1第一章矩阵

§1.3分块矩阵

设矩阵A=A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.则AT=4.分块转置第一章矩阵

§1.3分块矩阵

第一章矩阵

§1.3分块矩阵

1

=[a11,

a12,…,

a1n],1

2…mA=.2.a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

…………

am1

am2…amn

A=2

=[a21,

a22,

…,

a2n],m

=[am1,

am2,

…,

amn],…例如Q=[q1,q2,…,qn],

第一章矩阵

§1.3分块矩阵

…,其中q1=,q11

q21

qn1

…qn=,q1n

q2n

qnn

…q2=,q12

q22

qn2

…QT=,q1T

q2T

qnT

…

QTQ=q1T

q2T

qnT

…

[q1,q2,…,qn].=第一章矩阵

§1.3分块矩阵

QTQ=q1T

q2T

qnT

…

[q1,q2,…,qn]………q1Tq1q1Tq2

q1Tqn

…q2Tq1q2Tq2

q2Tqn

…qnTq1qnTq2

qnTqn

…第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

2x1

3x2+4x3

=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2一.初等变换用高斯消元法考察下例:第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262

121

32

34

411311/2121

30

12

201

222(1)121

3012200001第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0(2)121

301220000x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0(2)10

5

101220000x1=5c+1x2=2c2

x3=c其中c为任意实数.100

0

01220000(2)2105

101220000(1)5100

0

010

0

0000第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

1.初等行变换初等列变换(1)对换变换:ri

rj,(2)倍乘变换:ri

k,(3)倍加变换:ri+krj.初等变换

(1)对换变换:ci

cj,(2)倍乘变换:ci

k,(3)倍加变换:ci+kcj.初等行变换初等列变换第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵

若矩阵A经过有限次初等变换化为B,则称A与B等价记为A

B.(1)反身性:A

A,容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质:(2)对称性:A

B

BA,(3)传递性:A

B,BC

A

C.行阶梯形矩阵特点:可画一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为本行)后面的第一个元素为非零元.行最简形矩阵特点:第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵A中非零行的数目为A的阶梯数.1100401022000230000411204013220002300000,行阶梯形注意不是阶梯形矩阵!11004010220202300004第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

则称A为行最简形矩阵如果阶梯阵A还满足如下条件:各非零首元全为1,非零行首元所在列的其余元素全为0,1

0

201013020001000000注

任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵.例如第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

3.若mn矩阵A经过有限次初等变换化为

Er

Or(nr)O(mr)r

O(mr)(nr)的形式,为A的标准形

则称结论

任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准形.第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

二.初等矩阵Eci

cj

E(i,j)Ecik

E(i(k))Eci+kcj

E(j,i(k))Eri

rj

E(i,j)(1)Erik

E(i(k))(2)Eri+krj

E(i,j(k))(3)一次初等变换1.单位矩阵初等矩阵

第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

E(i(k))

=第i行1k

11第i列1第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

E(i,j(k))

=第i行1……k1

1……第j行第i列第j列1第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001a

x

1b

y

2c

z3,=x

a

1y

b

2z

c31k0010001abcxyz123,=a+kx

b+ky

c+kzxyz1231k0010001a

x

1b

y

2c

z3.=a

ak+x

1b

bk+y

2c

ck+z310001000kabcxyz123,=a

bcx

yzk

2k

3k10001000ka

x

1b

y

2c

z3,=a

x

kb

y

2kc

z

3k第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

2.初等矩阵的性质定理:

对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵;对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.(参见教材p.20定理1.1)第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

定理:

mn矩阵A,m阶初等矩阵

P1,P2,…,Ps

s.t.P1P2…PsA为行最简形.