几何与代数：10- 几何向量运算及空间坐标系

第3章几何空间§3.1空间向量及其运算一.概念及其表示1.什么叫空间向量？2.怎样表示向量？3.什么是自由向量、单位向量、

相等向量、负向量和零向量？第3章几何向量§3.1几何向量及其运算二.向量的加法1.平行四边形法则与三角形法则2.向量加法的性质：++++++++结合律、交换律、零元、负元三.向量与数的乘法：数乘1.定义：m

2.数乘运算性质：1=;

(kl)=k(l);(3)(k+l)=k+l;(4)k(+)=k+

k第3章几何向量§3.1几何向量及其运算第3章几何向量§3.1几何向量及其运算例1.设平行六面体ABCD-EFGH如下图所示,

试用AB,AD与AE表示AG和DE.ABCEDFGH例2.设M是ABC的重心,O是ABC所在平面上任意一点,证明:ABCMOOM=(OA+OB+OC).13第3章几何向量§3.1几何向量及其运算四.共线、共面向量的判定1.定义：共线、共面，

定理3.1

设向量,向量与共线可由线性表示,且表示唯一.推论3.1

向量,共线,线性相关.2.共线向量的判定第3章几何向量§3.1几何向量及其运算

线性组合、线性表示，

线性相关、线性无关

3.共面向量的判定定理3.2

若向量,

不共线,则向量与

,共面可由,

线性表示,

且表示唯一.推论3.2

向量,,共面,,线性相关.第3章几何向量§3.1几何向量及其运算例3.设OPi

=ri

(i=1,2,3,4),试证:P1,P2,

P3,P4四点共面存在不全为0的实数i

(i=1,2,3,4),使得

∑i

ri=

且∑i

=0.4i=1i=14P1OP2P4P3第3章几何向量§3.1几何向量及其运算§3.2空间坐标系定理3.3

取定三个不共面的空间向量1,2,3,则

对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(x,y,z),

使得

=x1+y2+z3.321OPQM第3章几何向量§3.2空间坐标系一.仿射坐标系、直角坐标系321O2.仿射坐标系{O;1,2,3

}

坐标原点;坐标向量坐标轴;坐标;

坐标平面;左(右)手仿射坐标系3.直角坐标系{O;i,j,k}:向径jkiO§3.2空间坐标系第3章几何向量二.用坐标进行向量的线性运算设

=(x1,x2,x3),

=(y1,y2,y3),则k1+k2=(k1x1+k2y1,k1x2+k2y2,k1x3+k3y3).例4.设两个定点为P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2),求向量P1P2的坐标.xyzP1P2O§3.2空间坐标系第3章几何向量例5.设两个定点为P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2),

若点P(x,y,z)把有向线段P1P2分成定比,

即P1P=PP2(1),求分点P的坐标.xyzP1POP2§3.2空间坐标系第3章几何向量§3.3向量的数量积,向量积和混合积一.两个向量的数量积1.物理背景:2.两个非零向量之间的夹角.3.数量积(点积,内积)的定义：·=||||||||cos注:·=0与

垂直.§3.3向量的数量积,向量积和混合积

第3章几何向量做功

4.数量积的性质.(1)正定性:

·=||||20,且·=0=;(2)对称性:·=·;(3)(m)·=m(·)=·(m);(4)(+)·=·+·.5.直角坐标系下向量数量积的计算.(1)i2=j2=k2=1,i·j=j·k=k·i=0.(2)设

=(x1,x2,x3),

=(y1,y2,y3),则·=x1y1+x2y2+x3y3.§3.3向量的数量积,向量积和混合积

第3章几何向量6.长度,夹角,距离公式(2)设非零向量

=(x1,y1,z1),

=(x2,y2,z2)

之间的夹角为,则cos=·||||||||x1x2+y1y2+z1z2=(3)点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离为(1)设=(x,y,z),则||||=x2+y2+z2.x22+y22+z22x12+y12+z12||P1P2||=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2

§3.3向量的数量积,向量积和混合积

第3章几何向量7.投影ABuABuAB向量AB在轴u上的投影为其中为向量AB与轴u的夹角.(AB)u=||AB