电路分析基础：第十一章 耦合电感和理想变压器

第十一章耦合电感和理想变压器§11-1基本概念§11-2耦合电感的VCR

耦合系数§11-3空芯变压器电路的分析反映阻抗§11-4耦合电感的去耦等效电路§11-5理想变压器的VCR§11-6理想变压器的阻抗变换性质§11-7理想变压器的实现§11-8铁芯变压器的模型§11-1基本概念

耦合电感和理想变压器，与受控源一样，都属于耦合元件。

耦合元件由一条以上的支路组成，其中一条支路的电压、电流与其他的支路电压、电流直接有关。

但耦合电感和理想变压器是通过磁场耦合的若干个电感的总称。

一对耦合电感是一个电路元件，其参数为两电感的自感L1、L2和互感M。

若包含三个耦合电感时，一般就需用自感L1、L2、L3和互感M12、M23、M31等六个参数来表征。11Ψ11i1N1+–u11L1N2L221Ψ21

Ψ11=N1Φ11，称为自感磁链；

Ψ21=N2Φ21，称为互感磁链。

电感的定义：磁链与产生该磁链的电流的比值，称为线圈1对线圈2的互感系数。

若线圈2中通以电流i2，也会在线圈1中产生互感磁链，也将产生互感系数M12，并且M12=M21=M自感系数11Ψ11i1N1+–u11L1N2L221Ψ21+–u21

若电流i1是变化的，磁链Ψ21也是变化的，则在线圈2的两端也将产生感应电压u21，并将电压u21与磁链Ψ21的方向选得符合右手螺旋关系，则有互感电压

要写出互感电压u21的表达式，就必须知道两线圈的绕向和相对位置，就必须画出实物图。好麻烦嗨。

为避免画实物图的麻烦，引入同名端的概念。

将感应电压极性相同的端钮称为同名端，通常用“●”标出。11Ψ11i1N1+–u11L1N2L221Ψ21+–u21121′2′●●

引入同名端后，互感线圈就用耦合电感电路模型来表示，而不必再画实物图。

11′2′2Mi1●●

互感电压u21的参考方向与电流i1的参考方向选得对同名端一致，即都是由有标记一端指向没标记一端，或由没有标记一端指向有标记一端，则有+–u21

若线圈2中通电流i2，线圈1中也产生互感电压u12，并且u12与i2的方向也选得对同名端一致，则+–u11i1N1L1N2L2121′2′●●i2

若电流分别从两线圈的同名端流入时，则它们产生的磁通是加强的。

11′2′2M+-SV表+-

开关S闭合时，若电压表指针正向偏转，则端钮1和端钮2为同名端。●●

电路中的互感现象可用附加的电压源来表示。

11′2′2Mi1●●+–u21

11′2′2i1L2L1L2L1+-

11′2′2jωL2jωL1+-

若电流i1是角频率为ω的正弦量，则互感电压u21也是同频率的正弦量，因此可用相量模型来表示。

用附加电压源来表示后，线圈1和线圈2间没有互感作用。

例11-1电路如图所示，试确定开关打开瞬间，22′间电压的真实极性。

2′2M+-S●●i1

解开关S打开瞬间，流过线圈1的电流i1减少，所以线圈1中的端钮1′为高电位。1′

根据同名端的定义，线圈2中的端钮2′为互感电压的高电位，端钮2为低电位。§11-2耦合电感的VCR耦合系数

Mi1●●L2L1u11u21i2u22u12u1u2

正弦稳态时，可用相量来表示，

Mi1●●L2L1u11u21i2u22u12u1u2

互感电压与产生该互感电压的电流的参考方向选得对同名端一致。11Ψ11i1N1L1N2L221Ψ21●●i2

互感磁通的最大值是：Φ21=Φ11，Φ12=Φ22，即每一线圈产生的磁通全部与另一线圈相交链，这种耦合称为全耦合。即互感M不超过两电感的几何平均值。

实际的互感M与Mmax的比值称为耦合系数k，≤10≤（无耦合）（全耦合）

两互感线圈的储能为磁通加强时取正

例11-2含一对耦合电感的电路如图所示。

M+-●●i1i2usu2RR+-L1L2

（2）试求M的极限值；

（3）试求k=0.707时稳态电流i1(t)。

已知L1=4H，L2=1H，R=10Ω，us=26cos(10t)V。+-u1

解（1）作相量模型。

M+-●●i1i2usu2RR+-L1L2+-u1

（3）k=0.707时，

us=26cos(10t)V。

一对耦合电感的串联有两种方式—顺接和反接。

顺接就是异名端相接。

M●u11L1L2

●iu22u21u12u1u2u称为顺接串联时的等效电感。

正弦稳态时，称为顺接串联时的等效复阻抗。

耦合电感的另一种串联方式是反接串联，将两线圈的同名端连接在一起。

M●u11L1L2

●iu22u21u12u1u2u称为反接串联时的等效电感。

正弦稳态时的等效复阻抗为§11-3空心变压器电路分析反映阻抗

变压器通常是由一个一次（初级、原）线圈和一个二次（次级、副）线圈组成。

一次线圈接电源，二次线圈接负载，能量可以通过磁场的耦合，由电源传递给负载。

变压器可以用铁芯，即为铁芯变压器；也可以不用铁芯，即空芯变压器。

铁芯变压器的耦合系数接近1，属于紧耦合；

空芯变压器的耦合系数较小，属于松耦合。

变压器是利用电磁感应原理而制作的，可以用耦合电感来构成它的模型。

R1、R2分别为变压器一、二次绕组的电阻，RL为负载电阻。设电源电压us为正弦电压。

M+-●●i1i2usu2R1RL-+L1L2+-u1R2

作出相应的相量模型。=Z11=Z12=Z21=Z22

如果同名端的位置改变，结果如何？

M+-●●i1i2usu2R1RL-+L1L2+-u1R2ZiZ11=R1+jωL1，即初级回路的自阻抗。为次级回路在初级回路中的反映阻抗。

+-R1jωL1Zr

M+-●●i1i2usu2R1RL-+L1L2+-u1R2i1i2u21R1RLR2

L2L1-++-us

次级线圈在初级线圈中产生的感应电压为可看成是由在假想的阻抗上产生的电压。

例11-4电路如图所示，已知L1=5H，L2=1.2H，M=1H，R=10Ω，us=14.1cos(10t)V，求稳态电流i2。

又，若k=1，L1、L2仍为原值，求稳态电流i2。

M+-●●i1i2usRL1L2u1u2

解（1）在电流i1和i2的作用下，两线圈都将产生自感电压和互感电压。

作出相量模型。

例11-4电路如图所示，已知L1=5H，L2=1.2H，M=1H，R=10Ω，us=14.1cos(10t)V，求稳态电流i2。

（2）当k=1时，M2=L1L2注意：M≠1Hk＜1时电流将减少且产生相位移。

例11-5电路如图所示，求初级回路的电流相量。

M+-●●i1i2usu2R1RL+-L1L2+-u1R2已知L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20Ω，R2=0.08Ω，RL=42Ω，。

+-R1jωL1Zr

解画出输入回路的等效电路。

注意：次级回路的电感性阻抗反映到初级回路为电容性阻抗。

例11-6接续上例，求次级电流相量。

解初级回路的电流在次级回路产生的互感电压为

例11-7下图所示电路中二次侧短路，已知：L1=0.1H，L2=0.4H，M=0.12H。求ab端的等效电感L。

M●●L2L1Ziab

解Zab=Zi=Z11+Zr§11-4耦合电感的去耦等效电路

M●●L2L1i1abi2cdu1u2L1-Mi1abcdu1u2

i2i1+i2ML2-Mi1

i2i1+i2ML1-Mi1abu1

i1+i2Mcdu2L2-M

i2

若同名端的位置改变，则各式中M前的符号也相应改变。

等效后各电感间没互感了，称为去耦等效。

例11-8试求下图所示电路的输入阻抗。

M●●L2L1abR2R1

解画出相应的无互感的等效电路。

R2R1ML1-MabL2-M

例11-9下图所示为自耦变压器电路，其中的两个线圈实际上是由一个线圈抽头而成。因此，这两线圈的绕向必然相同，同名端必然是图所示的位置。

设两线圈的电感分别为L1及L2，它们之间的互感为M。试列出求解两回路电流相量所需的方程组。

R2

MRsus+-i1i2★★

解作出相应的无互感的等效电路。

Rsus+-i1i2

L2+M-MR2L1+M

注意：M前符号要改变。

列出回路方程：（同学们画出相应的相量模型）

Rsus+-i1i2

L2+M-MR2L1+M§11-5理想变压器的VCR

●●1:ni1u1u2i2

●●1:ni1u1u2i2变比

理想变压器可以看作互感元件在满足下述3个条件极限演变而来。

1：耦合系数=1，即全耦合；

2：自感系数L1、L2为无穷大且L1/L2等于常数，N1N2

3：无损耗。

绕线圈的金属导线无任何电阻，即电导率σ→∞。

做芯的材料的磁导率μ→∞。

描述变压器的唯一参数是变比（匝比）。

●●1:ni1u1u2i2N1N2

一、变压关系

若同名端的位置改变，

●●1:ni1u1u2i2

●●1:ni1u1u2i2N1N2

二、变流关系

●●1:ni1u1u2i2N1N2全耦合，Φ21=Φ11L1→∞

若同名端位置改变，

在任意时刻t，u1i1+u2i2=u1i1+nu1×(-i1/n)=0理想变压器不消耗能量也不储存能量，是非能元件。从初级线圈输入的功率全部都能从次级线圈输出到负载。

理想变压器是一种无记忆元件。

在正弦稳态，理想变压器的VCR式可以表示为相应的相量形式。§11-6理想变压器的阻抗变换性质

●●1:ni1u1u2i2+-RLu1i1RL/n2

正弦稳态时，若负载为ZL，则

例11-10某电源内阻Rs为10kΩ，负载RL=10Ω。为使负载能从电源获得最大功率，由§9-7可知，电源内阻应与负载电阻相等。