7-6第五节 多元函数微分学的几何应用

设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.第五节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线及法平面

1空间曲线由参数方程给出时

考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M处的切线方程说明：上式中的分母不能全为零。如其中某一个分母为零，那么相应的分子也为零。切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.1.空间曲线方程为法平面方程为特殊地：解切线方程法平面方程上式两端对x求导数，得

点M0(x0，y0，z0)是上一点，又设F，G对各变量有连续偏导数，且由本章第四节所讲隐函数存在定理3知，在M0的某邻域确定了一组连续可导的函数2.当曲线由一般式方程给出时代入(1)式得恒等式点处的一个切向量为故可取切线方程为法平面方程为(ii)我们推出〔2〕式是在〔2〕式中的第一个分母不为零的条件下将y、z视作的x函数而推出的，如〔2〕式中的第一个分母为零，而第二或第三个分母不为零，这时可视y或z为自变量，同样可推出公式〔2〕。说明：(i)如〔2〕式中有的分母为零，那么相应分子为零。所求切线方程为法平面方程为所求切线方程为法平面方程为1设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线二、曲面的切平面及法线首先我们证明：曲面∑上过点M0且具有切线的任何曲线，它们在点M0处的切线都位于同一平面上。

事实上，由于位于∑上，所以有恒等式

即有

亦即上方程两端对t求导，有因此，曲面∑上过点M0且具有切线的任何曲线，它们在点M0处的切线都位于同一平面上，此平面称为曲面在

M0处的切平面。令可以证明切平面方程为过M0而垂直于切平面的直线称为曲面∑在点M0处的法线。法线方程为

称为曲面∑在点M0处的一个法向量2空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令法向量切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为假定取法向量的方向是向上的，那么问：如果取n向下时，方向余弦应如何求？如方程为F(x，y，z)=0时，如何求方向余弦？如方程为x=g(y，z)时，或y=h(z，x)时如何求方向余弦？4曲面法向量的方向角、方向余弦

式中fx=fx(x0，y0)，

=fy(x0，y0)。

问：1、如果取n向下时，方向余弦应如何求？3、如方程为F(x，y，z)=0时，如何求方向余弦？2、如方程为x=g(y，z)时，或y=h(x，z)时如何求取法向量的方向是向前或向后取法向量的方向是向右或向左方向余弦？解切平面方程为法线方程为解令切平面方程法线方程解设(x0,y0

z0)为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于平面，得因为(x0,y0

z0)是曲面上的切点，所求切点为切平面方程(1)切平面方程(2)方向导数的提出实例：一场长方形金属板，四个顶点的坐标为在坐标原点处有一个火焰，使金属板受热，假定温度函数在处有一蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行，才能最快到达较凉快的地点？应沿由热变冷变化最快的方向，关于温度函数在点的方向导数取得最小值的方向，也即梯度方向的反方向。沿连结的方向爬行第六节方向导数与梯度一、方向导数

函数的增量f(x+⊿x，y+⊿y)－f(x，y)与P、P′两点间的距离即

1方向导数的定义

设函数z=f(x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义，自点P引射线l。设x轴正向到射线l的转角为,并设P′(x+⊿x，y+⊿y)为l上的另一点〔如图〕且P′∈U(P)。我们考虑xOy⊿y⊿xPP′ρl当P′沿着l趋于P时，如果这个比的极限存在，那么称这极限为函数f(x，y)在点p沿方向l的方向导数２方向导数与偏导数之间的关系

〔1〕从定义可知，当函数f(x，y)在点P(x，y)的偏导数fx、fy存在时，函数f(x，y)在点p沿着x轴正向e1={１，０},y轴正向e2=｛０，１｝的方向导数存在,且其值依次为fx

，fy.函数f(x，y)在点P沿x轴负向e1′={－１，０),y轴负向e2′=｛０，－１｝的方向导数也存在,且其值依次为－fx

，－fy

。〔2〕即使沿任何方向的方向导数都存在，也不能保证fx、fy存在例如但fx(０，０)

、fy(０，０)不存在。在点(０，０)处３方向导数的计算方法

证明由于函数可微，那么增量可表示为两边同除以得到故有方向导数解推广可得三元函数方向导数的定义解令故方向余弦为故二、梯度

1梯度的定义

定义设函数z=f(x，y)在区域D内具有一阶连续偏导数，那么对每点P(x，y)∈D，都可定出一个向量这个向量称为函数z=f(x，y)在点P(x，y)的梯度，记作:说明：

(ii)对于三元函数可类似地定义:(i)梯度是一向量。2梯度的性质〔与方向导数的关系〕且最大值为梯度的模结论在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影曲线如图等高线〔或等值线〕梯度为等高线上的法向量经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，三元函数的梯度也是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

结论：函数z=f(x，y)在某点P(x，y)处沿梯度方向的方向导数最大〔函数增长最快〕，而它的最大值为梯度的模。例3求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在点M0(1，－1，2)处方向导数的最大值，及M0在取得方向导数最大值的方向与坐标轴夹角的余弦。

解：gradf={2x，2y，2z}，gradf(1，－1，2)={2，－2，4}例4设x轴正向到方向l的转角为，求函数在点〔1，1〕沿方向的方向导数，并分别确定转角，使这导数有〔1〕最大值；〔2〕最小值；〔3〕等于0。解：gradf〔1，1〕={1，1}，当时，方向导数可取得最小值；当