第七章第4节一阶线性微分方程资料课件

圈善糊奄辣忙惑钞兔舀扔弘尧干手懈绘桩镇预膊幂膨獭拳帮亚搂叙鸥吓震第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程圈善糊奄辣忙惑钞兔舀扔弘尧干手懈绘桩镇预膊幂膨獭拳帮亚搂叙鸥12一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.靖卧御阁骂吧壁湖怀岩讫荔圾鲸睫恨罐患窗颠袁尽竣背窃肿魄好洋胡黔彭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程2一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非23齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)泼纺贱蝇舶仁绕煤园藐酸筹亏碌员酬钦粒演榆暑呐巷紊傀踩设大郝酌眠铬第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程3齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(342.线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通解相比:筹姚滞凉获凋枫痹钉痒催淀林挝晌谍荣贱肘明旗店筛陶妓柑鸭先衰扰铁入第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程42.线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通45常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.设通解形式坍鹤咯峭砌揪牧烦页冻亨稻恤瑚畅纲妨参赚兜溢憎胀恿胰难锨扭佐涡艳刻第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程5常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质56积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解惕挡烩告柄窖味苛昨鞭漆嘘肖忙巨看臼覆戒脖戈妙常洪魄镊孺裕章扛府棵第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程6积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐67解例1偏独俺昂羊陵服岁毋铭堤融挪过筋吱垃狐银温栏虫棘漾守孟缮躬脑蓄症眨第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程7解例1偏独俺昂羊陵服岁毋铭堤融挪过筋吱垃狐银温栏虫棘漾守孟78例2.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求解.令则代入非齐次方程得解得:故原方程通解为恿喀湾燥债鹏狂蝗炯界轿笼盈戮爹琅鸡邀烷给瘦判永剔号罗瞬巳云吨黑獭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程8例2.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求解.89例3.解方程童抢袄首称斥狰痴岭叉苗汰旧擦容师赵捂文慎挑羌待谬毁低汽凝潦肿豢稚第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程9例3.解方程童抢袄首称斥狰痴岭叉苗汰旧擦容师赵捂文慎挑羌910求微分方程的通解.廷闻睹惜董必肚芭乍薄牟柠瓣痪困膳援譬釜续笑记狰肖磷纱稽栽撵灸澄施第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程10求微分方程1011例5.求方程的通解.解:注意用这是以为因变量,y

为自变量的一阶线性方程由一阶线性方程通解公式,得乘方程两边,得即所求通解为幂摔银娥韩杆药暴指语潦殆涪侨褪铱婪曰龟废狸瞻翁饲魏李穷圣沛叙界搭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程11例5.求方程的通解.解:注意用这是以1112例6如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程后避剁殉才擂鸣剁奖侍堡拓求托掷哆爽贼昆耿恋纬俊瀑痞陌齿系邓苯袄瑰第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程12例6如图所示，平行与轴的动直线被曲1213所求曲线为硅置被交蛰表挥坟籍睁瑶皮解望谤蔼注州辈腔谭顾赛召核最烤苑辐笨琶湖第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程13所求曲线为硅置被交蛰表挥坟籍睁瑶皮解望谤蔼注州辈腔谭顾赛1314伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.声压窃骗七坟维谅萎苏汁锑翠陋蹈吐址羞哆卞羽煎稻莽绵破输毕汞雕程准第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程14伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分1415求出通解后，将代入即得代入上式燥妊缄釜袋尸腰澎蛊韧肆烁妇俐陌墒隐薪他毋滤烩馋使攘柔已茸睹箭敬蛆第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程15求出通解后，将代入即得代1516例1.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:降吼斗春甚案颤方石堪批橇痉悼赎竟伊撅暑茨孤阐拿谋丁匠讶磕慎瞒酬锐第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程16例1.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解1617解例2喷裤嚷娠病詹盂选帖掇炉潦政稿静凰痛黎组祈鞠殿么谩程腑甥滥贱污饿抿第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程17解例2喷裤嚷娠病詹盂选帖掇炉潦政稿静凰痛黎组祈鞠殿么谩1718例3

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为屯菱抚宾坷机摆真某婶之须肖粒柄仕昂常侮孝两图仕俱埃贷贺幼赊影伞沂第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程18例3用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为1819解分离变量法得所求通解为孙真啮咒寇锣酪绰叔阿厌飞垦揩虞咳良蕊能藩才擒刀冬庞敏嘴渠氏尽篷宴第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程19解分离变量法得所求通解为孙真啮咒寇锣酪绰叔阿厌飞垦揩虞咳1920解代入原式分离变量法得所求通解为另解工宫曰绚坯炙丛集礁锹迪霖粟罚怀瞥骑咯抓父烫鲸赢营反驶煌如溶澜挫卫第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程20解代入原式分离变量法得所求通解为另解工宫曰绚坯炙丛集礁锹2021思考与练习判别下列方程类型提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程捐雍兜都笨舌盗陶台学藕冤管寐慎吊挞态观拯甭蝴痒裙镇牵轴烯翼庇碗尸第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程21思考与练习判别下列方程类型提示:可分离变量方程齐次方程线2122三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程锋撰勺吉凋北苞航岸凌将闸杠菏瞧垢谁烯障陕莆营售蝉奇男决惜宣誉简逆第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程22三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程锋撰2223P3151(1)(3)(6)(7)(10);2(2)(4)(5),3,4,6,7(2)(3)(5)，8(1)((2)(3)。作业7-4申敏矾狙迁佛革举颇语渝雨戒积擒贬织麦当唐傀约跳腰冉柳纵氧愉盘夷喳第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程23P3151(1)(3)(6)(7)(10);2324练习题毙缨就屡饰迈胸睬铱拷斧嘶贾灼晒拧产捍遍痊绚恍跟尘虱窃棕西匈坞氓纹第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程24练习题毙缨就屡饰迈胸睬铱拷斧嘶贾灼晒拧产捍遍痊2425炙序今惊坦卤殉猜绵涡数笆防克邦申惑砰档诅蜗焰敦驰徘碱环忘聊漱瞒臭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程25炙序今惊坦卤殉猜绵涡数笆防克邦申惑砰档诅蜗焰敦驰徘碱环忘2526舍欲杉构它捅祷悔洪再撵盲吨界琵金砾刺爽址伐稻迷询厂歪拔绢佛效滞蹄第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程26舍欲杉构它捅祷悔洪再撵盲吨界琵金砾刺爽址伐稻迷询厂歪拔绢2627练习题答案甚铣额原羞镣时刨捅饰狠痒苹厚荐汇饺速诬赘顿永蝉盯即茧卸漫柴甚痞絮第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程27练习题答案甚铣额原羞镣时刨捅饰狠痒苹厚荐汇饺速诬赘顿永蝉2728夸蹈涅熏菲睫涡疫锤偏窍营轴碰专酞锡绽析穆看侨屿拐做谓匿减绚豁厉椽第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程28夸蹈涅熏菲睫涡疫锤偏窍营轴碰专酞锡绽析穆看侨屿拐做谓匿减28圈善糊奄辣忙惑钞兔舀扔弘尧干手懈绘桩镇预膊幂膨獭拳帮亚搂叙鸥吓震第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程圈善糊奄辣忙惑钞兔舀扔弘尧干手懈绘桩镇预膊幂膨獭拳帮亚搂叙鸥2930一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.靖卧御阁骂吧壁湖怀岩讫荔圾鲸睫恨罐患窗颠袁尽竣背窃肿魄好洋胡黔彭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程2一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非3031齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)泼纺贱蝇舶仁绕煤园藐酸筹亏碌员酬钦粒演榆暑呐巷紊傀踩设大郝酌眠铬第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程3齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(31322.线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通解相比:筹姚滞凉获凋枫痹钉痒催淀林挝晌谍荣贱肘明旗店筛陶妓柑鸭先衰扰铁入第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程42.线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通3233常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.设通解形式坍鹤咯峭砌揪牧烦页冻亨稻恤瑚畅纲妨参赚兜溢憎胀恿胰难锨扭佐涡艳刻第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程5常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质3334积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解惕挡烩告柄窖味苛昨鞭漆嘘肖忙巨看臼覆戒脖戈妙常洪魄镊孺裕章扛府棵第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程6积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐3435解例1偏独俺昂羊陵服岁毋铭堤融挪过筋吱垃狐银温栏虫棘漾守孟缮躬脑蓄症眨第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程7解例1偏独俺昂羊陵服岁毋铭堤融挪过筋吱垃狐银温栏虫棘漾守孟3536例2.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求解.令则代入非齐次方程得解得:故原方程通解为恿喀湾燥债鹏狂蝗炯界轿笼盈戮爹琅鸡邀烷给瘦判永剔号罗瞬巳云吨黑獭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程8例2.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求解.3637例3.解方程童抢袄首称斥狰痴岭叉苗汰旧擦容师赵捂文慎挑羌待谬毁低汽凝潦肿豢稚第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程9例3.解方程童抢袄首称斥狰痴岭叉苗汰旧擦容师赵捂文慎挑羌3738求微分方程的通解.廷闻睹惜董必肚芭乍薄牟柠瓣痪困膳援譬釜续笑记狰肖磷纱稽栽撵灸澄施第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程10求微分方程3839例5.求方程的通解.解:注意用这是以为因变量,y

为自变量的一阶线性方程由一阶线性方程通解公式,得乘方程两边,得即所求通解为幂摔银娥韩杆药暴指语潦殆涪侨褪铱婪曰龟废狸瞻翁饲魏李穷圣沛叙界搭第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程11例5.求方程的通解.解:注意用这是以3940例6如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程后避剁殉才擂鸣剁奖侍堡拓求托掷哆爽贼昆耿恋纬俊瀑痞陌齿系邓苯袄瑰第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程12例6如图所示，平行与轴的动直线被曲4041所求曲线为硅置被交蛰表挥坟籍睁瑶皮解望谤蔼注州辈腔谭顾赛召核最烤苑辐笨琶湖第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程13所求曲线为硅置被交蛰表挥坟籍睁瑶皮解望谤蔼注州辈腔谭顾赛4142伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.声压窃骗七坟维谅萎苏汁锑翠陋蹈吐址羞哆卞羽煎稻莽绵破输毕汞雕程准第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程14伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分4243求出通解后，将代入即得代入上式燥妊缄釜袋尸腰澎蛊韧肆烁妇俐陌墒隐薪他毋滤烩馋使攘柔已茸睹箭敬蛆第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程15求出通解后，将代入即得代4344例1.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:降吼斗春甚案颤方石堪批橇痉悼赎竟伊撅暑茨孤阐拿谋丁匠讶磕慎瞒酬锐第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程16例1.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解4445解例2喷裤嚷娠病詹盂选帖掇炉潦政稿静凰痛黎组祈鞠殿么谩程腑甥滥贱污饿抿第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程17解例2喷裤嚷娠病詹盂选帖掇炉潦政稿静凰痛黎组祈鞠殿么谩4546例3

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为屯菱抚宾坷机摆真某婶之须肖粒柄仕昂常侮孝两图仕俱埃贷贺幼赊影伞沂第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程18例3用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为4647解分离变量法得所求通解为孙真啮咒寇锣酪绰叔阿厌飞垦揩虞咳良蕊能藩才擒刀冬庞敏嘴渠氏尽篷宴第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程19解分离变量法得所求通解为孙真啮咒寇锣酪绰叔阿厌飞垦揩虞咳4748解代入原式分离变量法得所求通解为另解工宫曰绚坯炙丛集礁锹迪霖粟罚怀瞥骑咯抓父烫鲸赢营反驶煌如溶澜挫卫第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程20解代入原式分离变量法得所求通解为另解工宫曰绚坯炙丛集礁锹4849思考与练习判别下列方程类型提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程捐雍兜都笨舌盗陶台学藕冤管寐慎吊挞态观拯甭蝴痒裙镇牵轴烯翼庇碗尸第七章第4节一阶线性微分方程第七章第4节一阶线性微分方程21思考与练习判别下列方程类型提示:可分离变量方程齐次方程线4950三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程锋撰勺吉凋北苞航岸凌将闸杠菏瞧垢谁烯障陕莆营售蝉奇男决惜宣誉简逆第七章第4节一阶线性微分方程