有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础

第2讲矩阵算法及弹性力学基础第2讲矩阵算法及弹性力学基础2.1矩阵算法线性方程组的表示行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵矩阵行列式矩阵求逆矩阵的微分和积分正定矩阵（正定二次型）2.1矩阵算法线性方程组的表示线性方程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法线性方程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法行向量和列向量行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算矩阵加、减、乘法运算对称方阵矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵对称方阵矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵或矩阵行列式奇异矩阵(方阵)或矩阵行列式奇异矩阵(方阵)如果方阵A的行列式则其逆存在，记为A的伴随矩阵矩阵的逆对于：线性方程组的求解，变为求解系数矩阵的逆矩阵如果方阵A的行列式则其逆存在，记为A的伴随矩阵矩阵的逆对于：矩阵的微分和积分矩阵的微分和积分二次型：含有n个变量的二次齐次多项式若取正定二次型则二次型：含有n个变量的二次齐次多项式若取正定二次型则利用矩阵及其运算，二次型可表示为A:对称矩阵正定二次型：设为实二次型，如果对于任意的非零实向量X，都有A:正定矩阵利用矩阵及其运算，二次型可表示为A:对称矩阵正定二次型：设关于正定矩阵正定矩阵是特殊的对称实矩阵正定矩阵的对角元aii>0正定矩阵的行列式|A|>0A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主子式皆大于0关于正定矩阵正定矩阵是特殊的对称实矩阵二次型的微商对向量x各元素的偏导数二次型的微商对向量x各元素的偏导数2.2弹性力学基础关于弹性力学五个基本假定外力和内力应力、应变、位移指标记法和求和约定张量及Voigt标记平面问题基本方程及边界条件三维问题基本方程及边界条件2.2弹性力学基础关于弹性力学关于弹性力学弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形分布规律的一门学科。力学学科研究对象特征中学力学质点无变形理论力学质点系及刚体无变形材料力学简单变形体(构件)小变形结构力学数量众多的简单变形体小变形弹性力学任意变形体小变形弹塑性力学任意变形体任意变形力学学科各分支的关系关于弹性力学弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变五个基本假定连续性：无空隙，能用连续函数描述均匀性：各个位置物质特性相同各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相同特性线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基本方程时可以忽略高阶小量。五个基本假定连续性：无空隙，能用连续函数描述外力和内力体力—分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。面力—分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。分布力：连续分布在表面某一范围内集中力：分布力的作用面积很小时的简化内力—外力作用下，物体内部相连各部分之间产生的相互作用力。外力和内力体力—分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。位移、应力、应变对变形体受力和变形进行描述的基本变量位移——物体变形后的形状应力——物体的受力状态应变——物体的变形程度位移、应力、应变对变形体受力和变形进行描述的基本变量位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y应力—物体内某一点的内力F1F2F3

应力S在其作用截面上的法向分量为正应力σ，切向分量称为剪应力，用τ表示。应力—物体内某一点的内力F1F2F3应力S在其作用截面上显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，一点的应力状态无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴一点的应力状态无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用一个下标。应力分量的方向定义：如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。剪应力互等物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量来表示

或剪应力互等或应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。dL+dudL应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。dL+dudL与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示：或与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表指标记法和求和约定自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标，如σij,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维问题中，i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐标系三个坐标轴x,y,z对应。重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复出现的下标，如aijxj=bi，j为哑指标。求和约定：哑指标意味着求和。

爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有着十分重要的作用。指标记法和求和约定自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标，按一般写法：用指标记法，则为（指标变化范围为1,2,3）采用指标记法后，方程(组)的表达形式得到简练。按一般写法：用指标记法，则为（指标变化范围为1,2,3）张量及Voigt标记大部分连续介质力学和有限元相关的文献采用张量符号和指标记法张量的定义：不同坐标系下满足一定变换关系的物理量,如u,σ,ε张量通常采用指标记法表示0阶张量(标量)：无自由指标的量1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui2阶张量：有2个自由指标的量，如σij,εijn阶张量：有n个自由指标的量张量及Voigt标记大部分连续介质力学和有限元相关的文献采用一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义，指标记法为σij和εij，是二阶张量一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义，指标记法为σij对张量的理解张量不随坐标系的改变而改变例如位移矢量ui

：无论从哪一个坐标系观察，它反映的总是A点移动到B点的客观事实，不随观察者所在的坐标系而改变。再如应力张量σij和应变张量εij

，尽管在不同的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描述的却是某点的同一个应力和应变状态。对张量的理解张量不随坐标系的改变而改变Voigt标记含义：在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四阶张量（如弹性系数矩阵Dijkl）转换成二阶张量。这种转换过程称为voigt标记。转换规则：应力张量（动力学量）的转换应变张量（运动学量）的转换Voigt标记含义：在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成应力张量的Voigt标记应力张量的Voigt标记应变张量的Voigt标记剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。应变张量的Voigt标记剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达弹性系数矩阵的Voigt标记弹性系数矩阵的Voigt标记平面问题及其基本方程弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面问题及其基本方程弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分平面应力问题很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。平面应力问题很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿平面应变问题很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。平面应变问题很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到三大类基本方程

在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程：内力和外力的关系几何方程：应变和位移的关系物理方程（本构方程）：应力和应变的关系三大类基本方程在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程平衡方程ab=dx

ad=dy平衡方程ab=dx

ad=dy习惯上张量指标形式：单位体积力习惯上张量指标形式：单位体积力几何方程几何方程张量指标形式：张量指标形式：物理方程平面应力问题：平面应变问题：张量指标形式：物理方程平面应力问题：平面应变问题：张量指标形式：边界条件oxyds外法线n的方向余弦

l=dy/ds

m=dx/ds边界条件oxyds外法线n的方向余弦

位移BC力BC张量指标形式：位移BC力BC张量指标形式：三维问题基本方程及边界条件

可以将平面问题的基本方程推广到三维问题。基本变量如下：位移：应变：应力：三维问题基本方程及边界条件可以将平面问题的基本方程推广平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程边界条件边界条件三维问题基本方程的张量指标形式平衡方程：几何方程：物理方程：边界条件：三维问题基本方程的张量指标形式平衡方程：几何方程：物理方程：作业：一维拉杆问题(忽略体力)用弹性力学的基本方程和边界条件求解拉杆应力、应变及位移分布。E=210000MPa，A=Pi*502mm2，l=1000mm,P=600N作业：一维拉杆问题(忽略体力)用弹性力学的基本方程和边界条件有限元课件-第2讲__矩阵分析及弹性力学基础第2讲矩阵算法及弹性力学基础第2讲矩阵算法及弹性力学基础2.1矩阵算法线性方程组的表示行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵矩阵行列式矩阵求逆矩阵的微分和积分正定矩阵（正定二次型）2.1矩阵算法线性方程组的表示线性方程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法线性方程组的表示求解方法：高斯消元法、迭代法行向量和列向量行向量和列向量矩阵加、减、乘法运算矩阵加、减、乘法运算对称方阵矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵对称方阵矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵或矩阵行列式奇异矩阵(方阵)或矩阵行列式奇异矩阵(方阵)如果方阵A的行列式则其逆存在，记为A的伴随矩阵矩阵的逆对于：线性方程组的求解，变为求解系数矩阵的逆矩阵如果方阵A的行列式则其逆存在，记为A的伴随矩阵矩阵的逆对于：矩阵的微分和积分矩阵的微分和积分二次型：含有n个变量的二次齐次多项式若取正定二次型则二次型：含有n个变量的二次齐次多项式若取正定二次型则利用矩阵及其运算，二次型可表示为A:对称矩阵正定二次型：设为实二次型，如果对于任意的非零实向量X，都有A:正定矩阵利用矩阵及其运算，二次型可表示为A:对称矩阵正定二次型：设关于正定矩阵正定矩阵是特殊的对称实矩阵正定矩阵的对角元aii>0正定矩阵的行列式|A|>0A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主子式皆大于0关于正定矩阵正定矩阵是特殊的对称实矩阵二次型的微商对向量x各元素的偏导数二次型的微商对向量x各元素的偏导数2.2弹性力学基础关于弹性力学五个基本假定外力和内力应力、应变、位移指标记法和求和约定张量及Voigt标记平面问题基本方程及边界条件三维问题基本方程及边界条件2.2弹性力学基础关于弹性力学关于弹性力学弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形分布规律的一门学科。力学学科研究对象特征中学力学质点无变形理论力学质点系及刚体无变形材料力学简单变形体(构件)小变形结构力学数量众多的简单变形体小变形弹性力学任意变形体小变形弹塑性力学任意变形体任意变形力学学科各分支的关系关于弹性力学弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变五个基本假定连续性：无空隙，能用连续函数描述均匀性：各个位置物质特性相同各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相同特性线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基本方程时可以忽略高阶小量。五个基本假定连续性：无空隙，能用连续函数描述外力和内力体力—分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。面力—分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。分布力：连续分布在表面某一范围内集中力：分布力的作用面积很小时的简化内力—外力作用下，物体内部相连各部分之间产生的相互作用力。外力和内力体力—分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。位移、应力、应变对变形体受力和变形进行描述的基本变量位移——物体变形后的形状应力——物体的受力状态应变——物体的变形程度位移、应力、应变对变形体受力和变形进行描述的基本变量位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y应力—物体内某一点的内力F1F2F3

应力S在其作用截面上的法向分量为正应力σ，切向分量称为剪应力，用τ表示。应力—物体内某一点的内力F1F2F3应力S在其作用截面上显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，一点的应力状态无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴一点的应力状态无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用一个下标。应力分量的方向定义：如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。剪应力互等物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量来表示

或剪应力互等或应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。dL+dudL应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。dL+dudL与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示：或与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表指标记法和求和约定自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标，如σij,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维问题中，i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐标系三个坐标轴x,y,z对应。重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复出现的下标，如aijxj=bi，j为哑指标。求和约定：哑指标意味着求和。

爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有着十分重要的作用。指标记法和求和约定自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标，按一般写法：用指标记法，则为（指标变化范围为1,2,3）采用指标记法后，方程(组)的表达形式得到简练。按一般写法：用指标记法，则为（指标变化范围为1,2,3）张量及Voigt标记大部分连续介质力学和有限元相关的文献采用张量符号和指标记法张量的定义：不同坐标系下满足一定变换关系的物理量,如u,σ,ε张量通常采用指标记法表示0阶张量(标量)：无自由指标的量1阶张量(矢量)：有1个自由指标的量，如ui2阶张量：有2个自由指标的量，如σij,εijn阶张量：有n个自由指标的量张量及Voigt标记大部分连续介质力学和有限元相关的文献采用一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义，指标记法为σij和εij，是二阶张量一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义，指标记法为σij对张量的理解张量不随坐标系的改变而改变例如位移矢量ui

：无论从哪一个坐标系观察，它反映的总是A点移动到B点的客观事实，不随观察者所在的坐标系而改变。再如应力张量σij和应变张量εij

，尽管在不同的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描述的却是某点的同一个应力和应变状态。对张量的理解张量不随坐标系的改变而改变Voigt标记含义：在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四阶张量（如弹性系数矩阵Dijkl）转换成二阶张量。这种转换过程称为voigt标记。转换规则：应力张量（动力学量）的转换应变张量（运动学量）的转换Voigt标记含义：在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成应力张量的Voigt标记应力张量的Voigt标记应变张量的Voigt标记剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。应变张量的Voigt标记剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达弹性系数矩阵的Voigt标记弹性系数矩阵的Voigt标记平面问题及其基本方程弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面问题及其基本方程弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分平面应力问题很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。平面应力问题很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿平面应变问题很长的柱形体，支承情况不沿