2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第一章集合与常用逻辑用语第二节充要条件与量词

第二节充要条件与量词【考试要求】.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义..理解全称量词与存在量词的意义..能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定..能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.【高考考情】考点考法：本部分内容常常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低频考点.多以选择题、填空题或解答题中某一部分的形式呈现，属于低档题.核心素养：数学运算、逻辑推理Q■ =—知谓梳理,思推激活,一 Q归纳•知识必备.充分条件、必要条件与充要条件的概念川若pnq,则p是g的充分条件,q是p的必要条件P是q的充分不必要条件口1〉pnq豆qpP是q的必要不充分条件户。且qnpP是q的充要条件P<=>QP是q的既不充分也不必要条件产Q且（7分。,注解1若p以集合A的形式出现，q以集合6的形式出现，即p（力｝,g：4=｛削g（x）｝,则①若3,则是Q的充分条件；②若尾4则0是g的必要条件；③若力06,则0是＜?的充分不必要条件；④若夙）4则0是（?的必要不充分条件；⑤若4=8,则0是q的充要条件；⑥若加）6且反）4则夕是q的既不充分也不必要条件..全称量词命题与存在量词命题（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“匕”表示;含有全称量词的命题叫做全称量词命题.（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“工”表示；含有存在量词的命题叫做存在量词命题..全称量词命题与存在量词命题的否定^名称形式全称量词命题存在:；冒：i司命题结构对“中任意一个X,〃（分成立存在〃中的元素X,0（x）成立简记VxGM,0(x)mxGM,p{x}否定mxRM,―»2(x)VxGM,"i2(x),注解2（1）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定；⑵注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.智学•变式探源1.必修一P19例22.必修一P35T7.（改变形式）设四边形4腼的两条对角线为BD,则“四边形4腼为菱形”是aACLBff'的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为四边形4腼为菱形，得到对角线4cL物，所以充分性成立，若四边形力腼中对角线力四边形不一定是菱形，必要性不成立..（改变形式）命题“VxGR,f-x+l>0”的否定是（ ）A.VxGR,—x+IWO B.V V—x+lVOC.3x—x+IWO D.3 x—x+lVO【解析】选C.全称量词命题的否定为存在量词命题，所以本题命题的否定为xGR,"x+1W0”.-慈考•四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用3.（概念的理解）（多选题）下列命题为全称量词命题的是（ ）A.奇函数的图象关于原点对称B.正四棱柱都是平行六面体C.棱锥仅有一个底面D.存在大于等于3的实数x,使*-2*—320【解析】选ABC.A,B,C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A,B,C都是全称量词命题;D中命题含有存在量词“存在"，所以D是存在量词命题.4.（充分条件定义）已知aGR,则“a>6”是％2>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.①因为a>6,所以才>36,所以充分性成立，②因为a?>36,所以a>6或aV-6,所以必要性不成立，所以a>6是a>36的充分不必要条件..（转化能力）命题“存在xGR,使y+ax—daVO为假命题”是命题“一16《9《0”的（ ）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.依题意，知f+ax—4a20恒成立，则4=a'+16a<0,解得一16WaW0..（用命题真假求参数）已知命题“VxGR,苏+4叶1>0”是假命题，则实数a的取值范围是.【解析】当原命题为真命题时，a>0且4=16—4aV0,所以a>4.故当原命题为假命题时，a《4.答案：（一8,4]Q-一考点探先二修法培优 -Q・考点一充分、必要条件的判定|自主练透.已知。，£均为第一象限角，那么“。>£”是“sina>sin£”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件TOC\o"1-5"\h\z八—, — 7n n .、 _【解析】选D.取。=一丁,B=—,o>£成乂，而sina=sinB,sina>sin£不«J o成立.所以充分性不成立；ji13n _.取a=—,fi=—~,sina>sin£,但aV£,必要性不成立.故"£"是"sin3 6a>sin£”的既不充分也不必要条件..设xGR,则“？-5xV0”是“|*一1|VI”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由x—5^<0可得0VxV5.由|x—11VI可得0VxV2.由于区间（0,2）是（0,5）的真子集，故"V—5xV0"是u|a—11<1w的必要不充分条件.（2021•全国甲卷）等比数列｛品｝的公比为q,前〃项和为S,设甲：>0,乙：｛$｝是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】选B.若q=l,则①团>0,贝!HS｝单调递增；②&V0,则｛$｝单调递减，所以甲弁乙；又若｛$｝单调递增，则恒成立，所以a.+i>0=ad>0恒成立，所以国>0,<7>0,所以甲仁乙，综上：甲右乙.★（命题•新视角）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【解析】选D.非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.,规律方法充分条件、必要条件的判断方法|自主完善，老师指导(1)定义法：直接判断“若。则武“若q则P”的真假:(2)集合法：设4={x"(x)},6={x|g(x)},若忙见则。是。的充分条件或。是。的必要条件;若忒8,则。是。的充分不必要条件;若A=B,则。是。的充要条件.提醒：解决与充要条件有关的应用交汇问题的关键是根据交汇知识，弄清充要关系进行判断,判断时注意方法灵活，可直接或验证判断.铀【加练备选】(1)已知a,£CR,则“存在〃GZ使得a=〃n+(—l)«£”是“Sina=sin£”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.①充分性：已知存在AGZ使得a=An+(—D*用，(i)若A为奇数，则〃=2〃+1,〃GZ,此时。=(2〃+1)n—£,n《Z,sina=sin(2〃n+n—£)=sin(n-£)=sin£；(ii)若左为偶数，则A=2〃，〃GZ,此时a=2〃“+£,〃GZ,sina=sin(2〃n+£)=sin£.由(i)(ii)知，充分性成立.②必要性：若sina=sin£成立，则角。与角£的终边重合或角。与角£的终边关于y轴对称，即a=£+20n或a+£=2zzzn+n,庐Z,即存在〃GZ使得a=An+(—1)"£,必要性也成立.(2)(一题多解)设a>0,b>0,则“a+6《4”是“abW4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.方法一(通解)：因为a>0,b>0,所以a+b^2\[ab,由a+Z<4可得2，/《4,解得a6《4,所以充分性成立；当a6W4时，取a=8, ,满足a6W4,O但a+6>4,所以必要性不成立.所以“a+6<4”是“abW4”的充分不必要条件.方法二(创新解法)：在同一坐标系内作出函数4一 „6=4—a,b=~的图象，如图所示，a则不等式a+0与abW4表示的平面区域分别是直线a+6=4及其左下方(第一象限中的部4分)与曲线6=-及其左下方(第一象限中的部分)，a易知当a+6<4成立时，a/<4成立，而当a/W4成立时，a+6W4不一定成立，所以“a+6/4”是“abW4”的充分不必要条件.5考点二充分、必要条件的应用|讲练互动[典例口(1)不等式x(x-2)V0成立的一个必要不充分条件是()A.xG(0,2) B.xG[—1,+°°)C.XG(0,1) D.xG(1,3)【解析】选8.解不等式x(x—2)V0得0VxV2,因此xC(0,2)是不等式x(x—2)V0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x10<x<2}.(2)已知P={x|x?-8x—20W0},非空集合S={x|1—mWxWl+m}.若xGP是xeS的必要条件，则m的取值范围是.【解析】由x2—8x—20W0,得一2WxW10,f1—所以P={x|-2Wx《10},由xCP是xGS的必要条件，知SUP.则{ —2,所以0Ll+m^lO,Wm<3.所以当0WmW3时，xGP是xCS的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].答案：[0,3]，一题多变(1)若本例(2)将条件“若xGP是xGS的必要条件”改为“若xWP是xGS的必要不充分条件”，则m的取值范围是.【解析】方法一：若XGP是XGS的必要条件，则0Wm43,当m=0时，S={1},不充分；当m=3时，S={x|-2WxW4}也不充分，故m的取值范围为[0,3].1—m=—2,方法二：若xGP是x£S的必要且充分条件，则P=S,即，八=m无解，J+m=10所以m的取值范围是[0,3].答案：[0,3](2)若本例(2)将条件“若xGP是xGS的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”,其他条件不变，则m的取值范围是.【解析】由已知可得P={x|-2《xW10},因为非P是非S的必要不充分条件，所以S是P的必要不充分条件，所以P=S且SD=/P.所以[—2,10][1—m,1+m].所叫l+m>10 或所以m29,即m的取值范围是[9,+°°).答案：[9,+°°),规律方法根据充分条件、必要条件求解参数范围的方法把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.提醒：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.，对点训练.下列函数中，满足“Xi+x2=0”是“f(xJ+f(X2)=0”的充要条件的是( )A.f(x)=tanx B.f(x)=3X—3-'C.f(x)=x2 D.f(x)=logs|x|【解析】选B.因为f(x)=tanx是奇函数,所以Xi+x2=0=f(xj+f(x2)=0,((3 n3但“TJ+H=0时，7+—WO,不符合要求，所以4不符合题意；因为f(x)=3X-3r均为单调递增的奇函数，所以满足“Xi+xz=O”是“f(xJ+f(Xz)=O”的充要条件，符合题意；f(x)=x?是偶函数，不符合题意；由f(x)=/q/|x|的图象易知不符合题意.(2022•赣州模拟)角A,B是AABC的两个内角.下列四个条件下，“A>B”的充要条件是()A.sinA>sinB B.cosA>cosBC.tanA>tanB D.cos2A>cos?B【解析】选4当A>B时，根据“大边对大角”可知，a>b,ah由于一彳=—H，所以sinA>s力？B,则选项力是“A>B”的充要条件；sinK.smB由于0VBVAV",余弦函数y=cosx在区间(0,万)内单调递减，所以cosA<cosB,则选项8不是“A>B”的充要条件；当A>B时，若A为钝角，B为锐角，则tanA<0<tanB,则选项。不是“A>B”的充要条件；当cosA>cosB,即1—si方A>1—si/fB,所以si/fAVsin'B,即sinAVsinB,所以选项〃不是“A>B”的充要条件.(2022•山东模拟)已知p：x2k,q：(x+1)(2—x)V0.如果p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是()A.[2,+°°) B.(2,+°0)C.[1,+°°) D.(―°°,—1]【解析】选区由q：(x+1)(2—x)<0,可知q：xV-l或x>2.因为P是q的充分不必要条件，所以x2k=xV—1或x>2,即［k,+8)是(—8,—1)U(2,+8)的真子集,故k>2.【加练备选】设nWN+，则一元二次方程*-4x+〃=0有整数根的充要条件是n=.【解析】由4=16—4〃20,得〃W4,又aGN+,则〃=1,2,3,4.当〃=1,2时，方程没有整数根；当〃=3时，方程有整数根1,3；当〃=4时，方程有整数根2.综上可知，〃=3或4.答案：3或47考点三全称量词命题与存在量词命题自主练透.（多选题）下列命题是xGR,*>3”的表述方法的是（ ）A.有一个xWR,使得9>3成立B.对有些“GR,使得V>3成立C.任选一个xGR,都有x?>3成立D.至少有一个xGR,使得*>3成立【解析】选ABD.原命题为存在量词命题，A,B,D选项均为对应的存在量词命题，是原命题的表述方法，C为全称量词命题.故选ABD..下列四个命题中真命题是（ ）V3Vr£R,m•n=mVnER,3r£R,m<nV〃GR,n<n【解析】选B.对于选项A,令〃=；，即可验证其不正确；对于选项C,D,可令〃=—1加以验证，均不正确.3.下列命题中的假命题是（）A.VxGR,2i>0B.VxGN*,U-l）2>0C.3xER,lgx<lD.3x£R,tanx=2【解析】选B.当x£N*时，x—lWN,可得5—1）220,当且仅当x=l时取等号，故B不正确;易知A,C,D正确.V4.命题“Vx>0,-r>0”的否定是（）X—1

x一3x<0,——rWOx—\x一3x<0,——rWOx—\3x>0,OWxWlx一Vx>0, WOx—\Vx<0,Y【解析】选B.因为r>0,所以xVO或x>l,Y所以一r>0的否定是0《后1,x—1所以命题的否定是mx>0,OWxWL，规律方法.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法全称量词命题(1)要判断一个全称量词命题是真命题，一个元素X,证明p(x)成立；(2)要判断一个全称量词命题是假命题，特殊值X=Xo,使P(Xo)不成立即可.必须对限定的集合"中的每只要能举出集合"中的一个存在要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合材中，找到一量词个*=如使0(两)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.命题.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定.售后I【加练备选】(D(多选题)命题"存在实数“ER，使得数据1,2,3,x,6的中位数为3.若命题"为真命题，则实数x的取值集合可以为()A.{3,4,5} B.{x|x>3}C.{x|x23} D.{x|3〈W6}【解析】选ABCD.根据中位数的定义可知，只需x23,则1,2,3,X、6的中位数必为3,选项A,B,C,D中的取值集合均满足*23.故选ABCD.(2)已知命题0：M3xWR,e*—x—1W0”,则-7?为( )3x£R,e'—x—1203xGR,e'—x—1>0VxGR,e-x—1>0Vx£R,e'-x-l20【解析】选C.根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得为"VxGR,e、-x一1>0”.(3)下列命题中是假命题的是()A.3xWR,log2^=0 B.3xWR,cosx=1C.VxGR,y>0 D.VxGR,2r>0【解析】选C.因为log21=0,cos0=1,所以选项A,B均为真命题，0，=0,选项C为假命题，2'>0,选项D为真命题.7考点四命题中参数的取值范围|讲练互拓[典例2](1)(金榜原创•易错对对碰)①若命题“对VxGR,af-ax-lVO”是真命题，则a的取值范围是.【解析】①“对VxWR,a*—ax—lV0”是真命题，当a=0时，则有一1V0；当aWO时，则有aVO且4=(-a)2-4XaX(—1)=a2+4a<0,解得一4VaV0,综上所述，实数a的取值范围是(一4,0].答案：(一4,0]②若命题“GR,使得3f+2ax+lV0”是假命题，则实数a的取值范围是.【解析】命题Fx£R,使得3*+2ax+lV0”是假命题，即“VxGR,3f+2ax+120”是真命题，故4=4a，—12W0,解得一a/3 .即实数a的取值范围为[一/，/].答案：[一m,y[3](2)已知f(x)=ln(V+1),8(才)=(习 —m,若对"汨仁[0,3],3x2^[1,2],使得/'(为)2g(也)，则实数力的取值范围是.

【解析】当xC[0,3]时，r(jr).in=/\o)=0,当xe[l,2]时，g(x)11M=g(2)=；—m,由f(x)*i02g(x)1nm，>\>\答案：+8)4一题多变本例中，若将“三及£[1,2]”改为“V生£[1,2]”，其他条件不变，则实数力的取值范围是.【解析】当xG[l,2]时，g(x)皿=g(l)=；—m,由f(x)"in2g(x)皿，得-m,所以加.答案：g，+°°J，规律方法根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围(1)巧用三个转化①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.(2)准确计算通过