大三上-材料物理性能

REVIEWfor

金属中自由电子的能自由电子的能级密度(概念或者物理意义2012Fall费密分布函具有能量为E的状态被电子占有的几率

狄拉克分配律狄拉克分配律

f(E)

E

已知能E的能级密度Z(E)，则可利用费密分布函数，求EdEE之间分dNZ(E)f(E)dE

exp(EEF)/kT

2012Fall0K时电子分布情当T＝0K时，由（1.43）

f(Ef(E2012FallF0K时费密EF

dNdNZ(E)f(E)dE 由F32F3223NEF EdE2C(E0)2 F2(3n/8

0K时费密能只是电子密度n的函数。

2012Fall

NEF00＝N=35EFN(E)2V4 NEF00＝N=35EF

Z(E)dN

(2m)3/2E1/2

0K时自由电子的平均能量不0K时自由电子的平均能量不为零，而且具有与EF0K时电子不能都集中到最低能级中去反泡利不相容原理 201201z8109-

E＝Eff(E)2E< EF-EE> E-EF

f(E)=1f(E)<2f(E)=0<f(E)2

2012Fall温度升高时电子分布变化的物理金属在以下，虽然自由电子都受到热激发，但只2012Fall谱，并且按照Fermi-Dirac统计规律占据各个但由于模型过于简单，做了电子之间无相互作用这一假设，无法解释和预测某些实际问2012Fall自由电子学说的局限为什么固体导电性能会有巨大差别比如，银的电阻率只有10-8Ω·m，而熔融硅电阻率却高达1016Ω·m。2012Fall隧道效

电子波到达位垒时，波函数并不立即降为零2012Fall问题的症实际上，电子是在晶体中所有格子上的离子和其它所有电子产生的势场中运动，其势能因此，固体中的电子状态，应通过写出所有相互作用着的离子和电子系统的薛定谔方但是，很复杂的多体问题(即多电子)，几怎么办 201201z8109-单电子近

题，这种方法就称作2012Fall能带理2012Fall

晶体中电子波能带理论，阐明禁带起因2012Fall晶体场特自由电子模型忽略了离子实的作用，即假定势场是均匀的。实际上，电子经受的势场应该随着晶两原子之间势能最高，势能是周期性变化的。U(x+Na)=2012Fall求解电子在周期势场中运动波函数的步找出势能U(x)的表达式将U(x)代入薛定谔方程中求为使问题简化，将价电子看作准自由电子，假点阵是完整的，无缺陷晶体无穷大，不考虑表面效应不考虑离子热运动对电子运动的影每个电子独立地在离子势场中运2012Fall求解电子在周期势场中运动波2d2mU(x)nUinx/nnUinx/n右侧第二项随x的坐标变化而周期变化，变化周期为a U(x)U(x比U0小，可以当作微扰

2012Fall求解电子在周期势场中运动波函数(续当k当a

时E

+

±Un

=

±Un2012Fall周期势场中运动波函数的物理意由于周期势场的影k±πn时，总a

的能级被占有以后，再增加一电子，这个额外的电子只能占有总能量为

的能级，在两个能级之间的能态 的。带宽度为2 ，禁带出现的位置kn。换话说，在

EE0

范围内不可能有2012Fall电子在周期势场中运动状

在周期场的影响下，允(许)带之间出现了禁带当k当a

2012Fall电子在周期势场中运动状态(续对于准自由电子大k值，E

22m2

成立kka2012Fall1.3.1.2禁带起

0设Aeikx是一电子波沿着+x方向，且垂直于一组晶 0

A

看作相对于这些0的入射波0子相同地向外。由同一列原子出去的所这些子波由于而形成个与入射波同类型的波 201201z8109-禁带起因(续 同，由 而相互抵消，即反射波为零 2012Fall禁带起因(续

一加强的反射

Aeikx，振幅A1取决于离子的散射能力1（当U(x)变化不大时，A1很小，单个反射波很弱。1布拉格公式

2dsink 且当d d

kakn时，a才会有反射加强 201201z8109-禁带起因(当U(x)接近常数强度接近入射波，即A0。当k值为临界值时，仅用代表电子沿

定

这向运动的波函 已不能表(x)向运动的波函 已不能表

2cos电子2

2isin

和2012Fall禁带起因(续

2012Fall禁带起因(续

k 时驻波函数φ1在势能谷处(离子实处能量最低，因而波函数φ1的电子最大应于这种情况的电子能量最高，因而波函数φ2的电能低于自由电子。B 201201z8109-电子在周期势场中运动状

禁带宽度2U1,2U2等与周期场U 变化幅度关当波长离kna不断改变，彼此相互减弱，使总的反射强度零，电子在晶体中的行为与自由电子模型完同 01z8109-布里渊区k值从 到 的区间称为 一布氏区，其中能级是准连续谱

k值从到2

称为第二布氏区。包含第一和第二间断点之间的所有能级2012Fallk空间的等能线和等能分析讨论布里渊区的性条件X射线衍射的布拉格条

2012Fallr*ar*aA0满足布拉格公式A0满足布拉格公式当90ka22012Fallk

设一维晶格点阵常数为该晶格的倒易点阵的基 是一点 ，由倒易点阵原点是一点ak，就是第一布氏区a点 201201z8109-每个布氏区可以允许的电子设一维金属晶格由N个原子组成，点阵常数a，全长为NaL。周期性边界条件可得，电子从一个状长为

a，则可供容纳a第一布氏区所容纳的k如果考虑电子自旋，则第一布氏区可容纳2N个电子2012Fallk空间与等能，设二维正方晶格的点阵为，做出倒易点阵引出倒易矢作垂直平分线最短倒易矢的垂直平分线，所组成的封闭区，为一布氏区 201201z8109-等能电子k空间中，将将能量相k值连

2012Fall等能线