2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第八章立体几何第六节第3课时用空间向量研究夹角问题

第3课时用空间向量研究夹角问题【考试要求】.会求异面直线夹角，直线与平面夹角，平面与平面夹角等各种空间夹角问题..体会向量方法在研究立体几何中的作用.【高考考情】考点考法：高考命题常以解答题的形式考查空间角与距离，难度中等，特别是角的计算是每年必考考点.一般以大题的条件或一小问的形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题.核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象o 一如调林理二思像派活 一。归纳•知识必备.两条异面直线所成的角(1)范围：两条异面直线所成角。的范围是(0,^].(2)向量求法：设直线a,6的方向向量分别为a,b,其夹角为0,则有cos0=|cos(p|=|_a，b_|.|aMb|.直线与平面所成角7T(1)范围：直线与平面所成角的范围是[o,]].(2)向量求法川：如图所示，设直线，的方向向量为e,平面。的法向量为a,直线/与平面。所成的角为0,两向量e与〃的夹角为夕，则有sin0=|cos，|=| 1[1，注解1向量法求空间角时，直线就用方向向量，平面就用法向量.,注解2只有线面角正弦值对应向量夹角的余弦值(的绝对值)，其他空间角都是余弦值对应向量夹角的余弦值(的绝对值)..平面与平面的夹角兀（1）范围：平面与平面夹角的范围是［0,万］.（2）向量求法：如图，平面。与平面£相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面a与平面£的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面£的法向量分别是M和历，则平面。与平面£的夹角即向量/和心的夹角或其补角（两个角中较小的一个）.设平面。与平面£的夹角为0,则cos9=|cos"i,ih）I_m•%/n•乃/一Ini||n21一.二面角（1）如图①，AB,⑦分别是二面角。-心£的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小夕=〈成，乃〉.（2）如图②③，打，口分别是二面角。一/一£的两个半平面。，£的法向量，则二面角的大小。满足〔COS0|=|COS〈A”n，）|,二面角的平面角大小是向量Ai与2的夹角（或其补角）.（3）范围是［0，n］_.智学•变式探源1.选择性必修一P43T9 2.选择性必修一P48T42L（改变条件）如图所示，正方体力成＞45。〃中，点反厂分别在4。上，4/ 4〃AFAC,则跖与G〃所成角的余弦值为（）

DyCiD・平也DyCiD・平A-TB-Tc-T【解析】选C.以〃为原点，建立如图所示空间直角坐标系,设正方体棱长为3,则£(1,0,1),6(2,1,0),苏'=(1,1,一1),G(O,3,3),〃(0,0,3),001=（0）-001=（0）-3,0），设房与G〃所成的角为即则cos。=|EF.C.D,|EF|.|C,D；|0—3+0

小X32.（改变条件）在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱中，AB=2,E,夕分别为74G和48的中点，当4£和以所成角的余弦值为历时，与平面比、G8所成角的正弦值为()()【解析】选B.设44=1，以6为原点，过6作用的垂线为x轴，直线磨的为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,t）,所以北=则力（小，1建立如图所示的空间直角坐标系,t）,所以北=则力（小，1,0）,^312，2f,1因为小和环所成角的余弦值为2，所以|cos〈立，帝〉|=8龙2,,10 麻厮^i+t2-Vi+t2=看，解得t=2,所以衣=（一手，,因为平面跳出的一个法向量为〃=（1,0,一地r0）,所以与平面所成角。的正弦值为sina=-、'•工~=里.\AE\\n小10慧考•四基自测-3.基础知识~~4.基本方法~~5.基本应用~~6.基本能力~3.（求线线角）直三棱柱4跖力'B'C中，AC=BC=AA',NACB=90°,E为BB，的中点,异面直线CE与C力所成角的余弦值是（）【解析】选D.直三棱柱［磨，B'C中，AC=BC=AA',/4CB=90°,E为BB，的中点.以。为原点，。为x轴，％为了轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，设=2,则C(0,0,0),M0,2,1),C(0,0,2),4(2,0,0),赤=(0,2,1),6T*力=(2,0,-2),设异面直线CE与C力所成角为0,\CE-C*A\2亚贝(]cos8= =~j= /=一十71.\CE\C^A\\5-V8 10所以异面直线CE与C'4所成角的余弦值为理.4.（求线面角）已知长方体力腼•45G〃，4.（求线面角）已知长方体力腼•45G〃，AD=AA[=\,46=3,£为线段力6上一点，且/£=,AB,则因与平面〃尾所成的角的正弦值为（ ）【解析】选A.以〃为坐标原点，DA,DC,D以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则G（0,3,1),4(0,0,1),Mb1,0),C(0,3,0),所以DC]=(0,3,1),D,E=(1,1,—1),D1C=(0,3,—1),设平面〃笈7的一个法向量为a=(x,y,z),f(x,y,z),(1,1,—1)=0fx+y—z=0则由I =v,[(x,y,z),(0,3,—1)=0 [3y—z=0所以取y=l，z=3,x=2所以z?=(2,1,3),因为cos(DC；,因为cos(DC；,n>=(0,3,1)•(2,VwXa/141,3)3^35=35所以因与平面〃比所成的角的正弦值为老胆..（求二面角）如图，在三棱柱力磨45。中，AB,AC,44两两互相垂直，AB=AC=AA„M,川是线段防M上的点，平面的与平面板所成（锐）二面角烧，当⑸/最小札NAMB=( )【解析】选C.以力为原点，4。所在直线为x轴，44所在直线为y轴，所在直线为Z轴，

建立空间直角坐标系，设力6=47=加=1,设CN=b,BQa,则Ml,0,6),加0,1,a),4(0,0,0),6(0,1,0),AM=(0,1,a),AN=(b0,6),设平面4*的法向量a=(x,y,z),~AM•A=y+az=0则，- ，取z=l,得a=(—6,—a,1),AN,n=x+bz=0可得平面46。的一个法向量m=(0,0,1),JI因为平面4腑与平面46。所成(锐)二面角为应，O诉NA匠A ]_理所以cos6—㈤•㈤~2'Ab।解得3#+3Z/=l,所以当15M最小时，a=0,B,ka=l,所以tanZ.AMB——=1,所dM1Ji以N41%=1..(求线线角)如图，在正方形4腼中，EF//AB,若沿)将正方形折成一个二面角后，AE：ED\AD=\\\\yj2,则"与CF所成角的余弦值为.

【解析】因为折后四：ED：AD=1：1：^2»所以力£1口，即力反DE,跖两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=EF=CA2,则£(0,0,0),4(1,0,0),尸(0,2,0),6,(0,2,1),所以"=(-1,2,0),EC=(0,2,1),~Ap.帝4 4 4所以cos〈AF,EC>= =-7=~7==£，所以"'与"所成角的余弦值为£.\AF\\EC\乖X#5 5o 考点推究，传法培优- z考点一异面直线所成的角自主练透1.如图，在正方体48CD48G〃中，〃为4〃的中点，过4G且与必平行的平面交平面GCV于直线/,则直线/与4?所成角的余弦值是()B.DY【解析】选D.如图，建立空间直角坐标系,在正方体/a245G〃中，A\B/fC,平面4GA48u平面4GH所以〃。〃平面4G8延长胡।与◎/相交于点儿连接。儿则GV即为直线/，设正方体的棱长为1,则/（l,0,0）,B（l,1,0）,G（0，1，1），"（1，-b2）,所以拔=（0,1,0）,QN=（1,-2,1）,|aB.C^J2、历设44与GV所成角为0,则cos0=-]=：- = 尸=乎.|AB|.|C,N|1X^6 3（2022•福州模拟）已知△力a'与所在的平面互相垂直，47=25,AB=Ag20,CB=。=15,则直线4〃与比1所成的角的余弦值为（）7 7 24 12A•万 B.苏C,-D.-【解析】选D.因为月万+勿=力4+＞，所以△[a'与△[国为全等的直角三角形，过点6作以ZL47,垂足为0,连接〃0,所以“人北因为平面4aL平面力口，所以仇U平面力口，故以〃为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得4（0,-16,0）,8（0,0,12）,。（0,9,0）,〃（12,0,0）,则森=（12,16,0）,BC=（0,9,-12）,（2021•西安模拟）已知三棱柱ABC-AM的侧棱与底面边长都相等，宛的中点为D,底面46G则异面直线48与CG所成角的余弦值为（）

弋3 a/5 a/7 3A.-VB.%C.VD.74 4 4 4【解析】选D.设三棱柱4跖45G的棱长为2,因为力6=47,〃为a'的中点，则4〃J_6C,因为4〃，平面力磨所以以点〃为坐标原点，DB,AD,如所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则点力（0,-a/3.0）,6（1，0,0）,4（0,0,1）,所以法=（1,小,0）,CC}=AAi=（0, 1）,_3=4',、AB»CCj_3=4'cos（AB,CO,〉= .—. .olABHCCJ2X23因此异面直线4?与s所成角的余弦值为a.，规律方法求异面直线所成角的注意问题(1)注意公式是cos<9=1COS(Fl,丹〉I;(2)要注意所成角的范围.3考点二直线与平面所成的角|讲练互动[典例1](2021淅江高考)如图，在四棱锥只被力中，底面被力是平行四边形，N4a'=120°,AB=1,BC=4,PA=y[15,M,N分别为6GR7的中点，PDLDC,PMLMD.(1)证明：ABVPM-,(2)求直线/W与平面融"所成角的正弦值.【解析】(1)在中，DC=\,CM=2,/DCM=60：由余弦定理可得〃仁小，所以〃/+%=◎/,所以〃匕小由题意知DCLPD目PDCDM=D,所以〃C_L平面PDM,而P收1平面PDM,所以〃CLQI/,又AB"DC,所以力从LHZ(2)因为PMLQ,ABLPM,而与〃V相交，所以勿吐平面力比〃由余弦定理可得4仁，？.所以/¥=2M，取中点发连接/施；则，阳DM,/¥两两垂直，以点〃为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，B则力(一■,2,0),夕(0,0,2y/2),。(m,0,0),"(0,0,0),以小,-1,0),又N为PC中点,所以八惇，词，而=('乎，V词,由(1)得5_L平面敢/,所以平面勿〃的一个法向量〃=(0,1,0),从而直线4V与平面如"所成角的正弦值为，规律方法利用向量法求线面角的方法求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，其余角就是斜线与平面所成的角.

,对点训练直线BD〃平面a.（2021•济南模拟）已知正方体ABCD-ABCD和平面a直线BD〃平面a.（1）证明：平面aJ_平面BCE；⑵点P为线段AG上的动点，求直线BP与平面a所成角的最大值.【解析】【解析】⑴连接AC,则BD_LAC,因为AAiJ_平面ABCD,BDu平面ABCD，所以AAi_LBD；又因为AAQAC=A”所以BD_L平面AACC；因为ACg平面AACC,所以BD_LAG：同理BC_LAG；因为BDCB£=B”所以AC」平面BCD"因为AG〃平面a,过直线AG作平面B与平面a相交于直线1,则AC"1；所以U平面B£Di；又lu平面a,所以平面a，平面BCD”（2）设正方体的棱长为1,以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别（2）设正方体的棱长为1,以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别为立空间直角坐标系，则A（0,0,0）,B（l,0,0）,D（0,1,0）,C（,1,1）,,y,z轴正方向建所以AC】=(1,1,1),Bb=(-1,1,0).设平面a的法向量为〃=（x,y,z）,n.AC,n.AC,=0n.BD=O'x+y+z=O

x+y=0取x=l,则a=(1,1,—2)设9=£叶(OWKD,则力=(bt,。，因为瓦I=(―1,0,0),所以加=必+9=(Ll，t,t)设直线⑸0与平面。所成的角为S,所以当t=,1时，sin。取到最大值为:，JI此时〃的最大值为E.7考点三平面与平面夹角多维探究•角度1平面与平面的夹角[典例2](2022•张家口模拟)如图，在四棱锥八月腼中，底面为梯形，PA=PB=AB,且/PBC=2ZPAD=90°.(1)求证：平面为〃平面ABCD-,(2)求平面为4与平面如。夹角的余弦值.【解析】(D如图，在平面必〃内，过P作PHL4。,垂足为〃因为/阳。=90°,所以P8L8C,因为AD〃BC,所以用_L力〃，又因为PBCPH=P,所以4〃_L平面PHB.Bk平面PHB,所以ADLBH.因为PA=PB=AB,所以Rt△必修Rt△刃〃所以PH=BH,又NR”=45°,所以PH=BH=AH=^-PB,得PR=P#+Bh,即PH工BH,又因为ADCBH=H,所以物L平面4%力，又因为联平面必所以平面必〃，平面ABCD.(2)由(1)知物L平面4比〃BHLAD,设为=小，帅PH=AH=BH=1,以〃为原点，以物所在直线为x轴，即所在直线为z轴,例所在直线为y轴，则〃(0,0,0),4(1,0,0),夕(0,0,1),6(0,1,0),所以力=(-1,0,1),PB=(0,1,-1),HA=(1,0,0).设平面月16的一个法向量为〃=(为，%,©),77•^=0 f—Xi+Zi=0,财 得—_n ，L•磴=0 5ZlO,令为=1,则弘=Zi=l,n—(1,1,1).设平面阳。的一个法向量为必=(如加，z2),m•加=0 [%2=0,则 得_八m•丽=0 [%_Z2=0,令％=1，则Z2=l,%=0,所以"=(0,1,1).A而2/ 、m・n 2 _^6所以COS〈227,n)—IIII—r-r--Q.m•\n\ 72乂勺3 3设平面必8与平面灰1的夹角为9,则cos0=|cos(m,n)\= ，所以平面为6与平面阳。夹角的余弦值为乎.•角度2求二面角大小[典例3](2021•朝阳模拟)如图，在三棱锥月4月。中，底面4跖CA=CB=CP=^AB,M,N分别是PA,用的中点，的与砌交于点E,F是用上的一个点，记/=APC(0<^<1).(1)若所〃平面求实数4的值；2(2)当4=不时，求二面角4跖8的余弦值.【解析】连接阳并延长交于点〃连接⑦，因为机N分别是为，阳的中点，所以£点为△必归的重心，PE2且〃为四的中点，所以:=1,⑴因为EF//平面ABC,平面PCDC平面ABC=CD,EFu平面PCD,PFPE2所以EF//CD,所以后,=诙=不，又因为帝=人竟(0<4<l),2所以4=可；2 PFPE2(2)因为4=彳，于是?=高，O jL^ 1UO所以EF〃CD,不妨设力4=啦，则CA=CB=CP=^-AB=1,且所以O_L",因为尸CL平面/比；不妨以点C为坐标原点，CA,CB,夕所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则4（1,0,0）,8（0,1,0）,尸（0,0,1）,户（0,0,1）,£（〈,〈，；），在=（；,0«J OOO \OJAF=（-1,0，［J，帝=（o，-1，，设平面力尽的法向量为。=（汨，％,z）,「-11m,阳+铲=0TOC\o"1-5"\h\z由-1 ，m,AF=取用=1,可得m=（l,—1.3）,设平面比尸的法向量为a=（莅，如及），取％=1,可得〃=（—1，1，3）,m,n 7 7COS\227»Z?/=~|IIr=—I— 1—=11,m\•n ^/11Xa/11 H由图知，二面角力一环6的平面角为钝角，7因此，二面角4m6的余弦值为一行.•角度3与二面角有关的综合问题［典例4］（2021•北京高考）已知正方体ABCD-ABCD，点E为AR中点，直线BC交平面CDE于点F.(1)证明：点F为BC的中点；(2)若点M为棱AB上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为害，求瞿的值.0 A1D1【解析】(1)因为ABCD-ABCD为正方体，所以AD〃BC，CD〃CD.又因为CDQ平面AiB£D],C[D]U平面ABCDi，所以CD〃平面ABCD，因为平面CDEFA平面ABCD=EF,且CDu平面CDEF,所以CD〃EF,故GD〃EF,所以四边形EFCD为矩形，又因为点E为AD的中点，故GF=DiE=gAD=gCB,故点F为B£的中占八、、•(2)因为ABCD-ABCD为正方体，故DA,DC,DD两两垂直，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，令正方体ABCD-ABCD的棱长为2,设布；(0〈人〈1),则C(0,2,0),E(l,0,2),F(l,2,2),M(2,2入，2),CE=(1,-2,2),CF=(1,0,2),CM=(2,2人一2,2).设平面CEF的法向量为〃i=(%,必，zj,~CE'/7i=0, Cm—2必+2©=0,则彳 即彳।c«故％=0，中•功=0, 5+2©=0,令Zi=—1,则为i=2,可取n=(2,0,—1).设平面C%的法向量为4=(也，如Z2),Of,Zfe=0, (2%+(2月一2)"+2z2=0,则 即…' -亨・%=0, 5+2z2-0,令益=-1，则及=2,y2—1,,i一人可取用=(2,—a，—1)•设二面角称用£为。，且。为锐角,

故COS=|COS〈Al,a）/=|nJ,|n2|3 4+13一^/22+（-1）2-yj22+^y47）J+（-1）整理得（4-1）2=；、 1 . 3,人、,,A\M1解得小=5，（=5（舍），故=9.Z Z A\D\Z，规律方法二面角的求解方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.，多维训练(2021•贵港模拟)如图，直三棱柱4跖45。中，底面△极7为等腰直角三角形，4ACB=90°,AA,=2AC,P是侧棱口；上的点.(1)若N/I加=60°,证明：。是S的中点；⑵若g3PG,求二面角目力门。的余弦值.【解析】(1)由直三棱柱ABC-48c得CCL平面ABC,所以GC±BC,所以4々即，

又/APB=60°,所以AP=BP=AB,又N4==90°,所以a=力6=mAC,所以PC=AC=^AAt=^CC„即P是CC的中点;(2)如图，以C为坐标原点，CA,⑦和CG所在直线分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系,设力仁2,则4(2,0,0),3(0,2,0),2(