考试点睛清华学长总结满分考研数学各部分题型解题技巧超经典

线性代数 一、考研数学选择题解题技第二部分:考研名师文登(适合单选题文登1：只要遇到向量线性相关性问题，就要想到考查由其所构造的齐次线性方文登2：只要遇到无穷小比较或∞.0型未定式极限问题；或通项中含有“三arcsinx=x+x^3/3!+o(x^3tanx=x+x^3+o(x^3)注：此公式后项无此规律！x->0x-arcsinxarcsinx00②两个由积分上限函数确定的无穷小量，若其积分上限无穷小同阶，则其阶取决于被文登5：由“你导我不导减去我导你不导”应想到“你我”做商的函数的导数的文登6：只要遇到积分区间关于原点对称的定积分问题，就要想到先考查被积函文登8：只要遇到题干条件或备选项中有f(-x),-f(x),-f(-x)等，就要想到利用图形文登9：只要遇到对积分上限函数求导问题，就要想到被积函数中是否混杂着求导变量（显含或隐含）若显含时，即被积函数为求导变量函数与积分变量函数乘积（或代文登10：只要遇到抽象矩阵求逆问题或矩阵方程问题，就要想到利用ＡＢ＝Ｅ，考试点相 推2015考研《高等数学》极限及其应用专题精讲（针对数一、二、三/course/16920.html 2014考研数学《线性代数》答题技巧(合作机构学府考研) 二、考研数学填空题四大解题11

2xx2dx2x 2x4【例2】【91年数一】若 量X服从均值为2，方差为2的正态分布，P(2X40.3PX0))

12 1 D的面

12 【详解】PXY 2 (二)、利用物理意义(重心，形心D394D(xyx2y2xy1(xy)dxdyDD实际上是圆域(x1)2y1)2 由形心公式知：xDxdxdyyDydxdyxyDx ySD的面积。本题中的圆域(x1)2y1)23D心1

(,)，则x ,y ，而SD ，则DxdxdySDx 2 ydxdy3(xy)dxdy3 DD2y以及曲线x 2yy1SD2 D2 D

ydxdyy

42(三)

x4sin【详解】由于x4sinx为奇函数，且积分区域[,关于原点对称.【例6【94年数三、四】2xxdx 22x2【详解】原式 dx2 dx dx x222 02 02 02ln(2x2)2ln6ln2ln0

2x3sin2xcos2xdx222x22 22x22【详解】 sin22xdx (1cos 0 4 1 x2 2cos4xd4x sin4x20 D【例894年数一、二】设区域D为xyR，则(a2b2)dxdy D x2y2R2xyx2dxdyy2dxdy (a2b2)dxdy(a2b2)dxdy(a2b2)Dxdxdy2(a2b2)D y ( 11)2 Rr3drR4(11)(2 b20 0 2

y

1，则Ò(x

y)dS【解析】(x

y)dSxdS

又因关于x,y,z轮换对称，所

xdS

ydS

z

ydS1x3

3 ydS1dS1的面积而8 3 2块等边三角形的边长 ，所以的面积812

2sin43.2 233(xy)dSydS1 33 【例989年数一】已知f'(3)2， limf(3h)f(3) f(x) f'(3) limf(3h)f(3)lim2(3h)6 OK此题的解，g（X）=1，在0点可去间断点。，考试点相 推2015考研《高等数学》极限及其应用专题精讲（针对数一、二、三 2014考研数学《线性代数》答题技巧(合作机构学府考研) 三、考研数学解答题（包含证明题）解题技总结一下近5年的大题情况。100908年061、 题型是基固定的如果章合并之，基本每章都出一题，大题是没特殊值代的技的要普思维步做不要什么跳思维但是是若干个基础知识点的结合，另一方面大题比较灵活的地方在于对题干的认识，是这个意思，题干中的每一句话都要转化成对应的知识点，所以要先看结论后读干，每句话都一个条，都会暗的作用。201017 （1）比较

lnt(ln(1t))dt和|lnt|tndt的大小说明为什么 （2）记un0lnt(ln(1t))dt求极限m m很明显第一问，想到积分的比较定理，就是m1f1(x)dx和m1f2(x)dx，是指数形式所以想到用比值法，当然也可以开方之后比较，可以得出 0lnt(ln(1t))dt|lnt|tn00 lnt(ln(1t))dt|lnt|tndt，想到 定理，但是不知道是多少，所以先对右侧进行积分，由于 lnt0， 1|lnt|tndt1lnt

利用分步积分的方法很快得到0 n 2还有单调区间及其极值的问题，都比较复杂。083、对101、未知变量题09180518041502617071720020415，0518（洛尔定理，可以发现在解题值定理和构造函数法是经常一起使用的，这是因为中f(af(b至少存在一点使得f()'0，洛尔中值定f(af(b，所以对于很多的问题而言，存在0719f(xg(x)在[a,b上连续，在(a,b内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a)，f(b)g(b证明：存在(a,b)，使得f''()g''()相等的条件，但是给了两个等式，就想到是f(x)，g(x)结合的形式，通过移f''(g''(0这就涉及到如何构造函数的问题了，设此时的函数F(xF'(xf''(xg''(xF(xf'(xg'(x，用到两次中值定理。未求导函数可能是(x)F(x)f(xg(x)，分a，b得(af(ag(a0(bf(bg(b0然后继续看条件，发现还有条件没有用到就是：在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，也就是说设f(x)，g(x)在(a,b)区域内的最大值别设为x1x2，那么f(x1)=g(x2也就是说f(x1)>g(x1，f(x2)<g(x2，也就是说(x10(x20，也就是说在设存在点x0(x1，x2那么(x0)0设存在点1(a,x0，2(x0b)，使得F(1)F(2)0，另设存在点(1,2使得F'()0即存在点f()g()，解答略。拉格朗日定理：存在一点使得f(af(b)f(a或者在等式中存在ab项并且没有积分符号，这也是拉个朗日中值定理和积要麻烦一些，具体的通过例题查看：04年15题例：设eabe2，证明ln2bln2a4(b分析：很明显不等式中包含ba项，所以考虑用拉格朗日的方法求解，同样我们把等式一边的移项得到ln2bln2a4(ba0同时除以baln2bln2a404b 4述的不等式可以化为f'() 0，(a,b)则函数为f(x)ln2x于是问题就转化 2ln()40，其中(a,b)，设函 F()

2ln()

1F'(2 eabe2 F'(0而F(e20所以eabe2时F(02ln(

0成立，证毕

f(a)f f( g(a) g(a积分中值定理：存在一点使得bf(x)dxf()(a积分中值定理也是一个比较常用的定理，除了典型的式子ab之外，还 f(x在[0,1]x(0,1) 0f(x)dx0f

f(x)dx右边有0)，那么0f(x)dx11

f(，看右边的0f(x)dx1边110)f(x)dxf(即证明f(f(0f(x在[0,1]上连续，且单调不减，再根据前f(

f(即证明1，假设存在两点10，即f()f f()1f(x)dx，f(0

f

a 0f(x)dx0f(x)dxf 0f(x)dxaf()0f

f(x)dxf()(1a)f()f()(1a)f(a0拉格朗日乘数法属于常考基本考点，近年来相关考点的题有08年题x2y22z2xy3z

求CxOy分析：由于求解是是条件极值所以，设未知数 ，由于目标函数f(xmin/maxz，即求min/max(z2F(x,y,z)z21(x2y22z2)2(xy3zFx(x,y,z) 21x2F(x,y,z) 21y2 x Fz(xyz x2y22z2

2z41z320x2y22z2

y1z xy3z5 xy3z5xyzzz得到

5

zz

1，所以最远的点是(5,5,5)最近点为近年来相关考点的题有09年18题，07年19题，05年18题，04年15题，01年七题18

f(bf(af()'(baf(bf(af()'(ba0将换成xF(xF(x)f(bf(af(x)'(baF(x就必须要证明在F(x)的原函数(x)中有两个值是相等的（利用洛尔定理， (x)(f(b)f(a))xf(x)(b (a)(b)f(a)bf(b)a，故存在点 使得F()0，证毕0518例：已知函数f(x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0f(1)1（1）存在(0,1)f(1f(x)（a,b）上连续且在点c使得f（c）=0存在两个不同的点,f(x)（a,b）上连续且在点c使得f（c）=0分析：还是利用这个方法移项，将xF(x1

f(x)1求F(x)的原函数(x) f(x)x 220,1(0)f(xx0(1)f(x1x1但是题f(0)0，没有给出f(x的表达式，所以这种方法是不通的，需要找其他的方法，还有一个方法就是零点定理,即若2(0F(10那么在(0,1范围内，有一点使得F()0，很明显根据1式中只有一个特殊点，一个点会把整个区域分成两个部分，有可能是前面一个部分由一个点，后面部分有一个点，所以每个部分要先单独计算f)和f)分计f)1，求导数f)，由于是一个f()f 1 f'(后半部分f(1)f() f'()，然后两者相乘得1 1f'(f'(1于是得证，一切都很自然，排除锁定算法，根据所给条0415移项，得到ln2bln2a4(ba)0，可以想到如果此时ba有ln2bln2a4(ba0而此时baF(xln2xln2a4(xaF'(x2lnx4，由于F'(e0，F'(e20 x(e,e2F(x0，所以在条件eabe2时，ln2bln2a

4(ba)yf(x在(1,1)f''(x0 对于(1,1)x0，存在唯一的(x)(0,1)使f(x)f(0)xf'(1lim(x)1 f''(x0，因为是连续导数，就不可能有既存在大于零有存在小于零的导数值（否则会有f''(x0），所以只可能为单调的一阶导数，所以有唯一的(x第二问中要证明lim(x)

f(x)fff(x) f

f'( 通常情况下，等式左边f'(0)x的函数(x f'((x)xf'(0)lim(x)，就要把(x 1就相当于展开式中有二阶导数，所以此时f'(0)的一阶的求导是不够的需要对f(x展开二阶以上的泰勒展开，有了这个思路，我们对f(x在f(0)处进行1f(x)f(0)f'(0)x f''(121xf'((x)xf'(0)xf''()x22f'((x)x)f'(0)2

f''( f'((x)x)f'(0)1f''( f'((x)x)f

(x)f''(0)

f''()由于0故近似的f''(0)f''(2lim(x) 2、曲线，曲面旋转体积分，多重积分题比如1019题，0917190816071806190519发现基本上每一年都要考到相关的题型，并且根据各路的分析，该类题为和球形两种坐标的表达形式，用这种方法进行计算的时候，积分项通常为dxdydzdydxdzds时，要将坐标转ds1zx')2zy')2dxdyds化，这里以10年19题为例。PSx2y2z2yz1SP出的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C,并计算曲面积分，其中S位于曲线C直于xOy面，也就是z方向上的法向量为0，于是列出P的轨迹C x2y2z2yz 2zy

利用公式ds 1(z')2(z')2dxdy 将积分曲面向xOyzx'和zy'x2y2z2yz1两边对x求导，得到2x2zzx'yzx0z' y

44y2z24yzyz

'2yy

dxdyxOy面投影的函数，即将2zyx2y2z2yz(x 3)y4y2z24(x 3)y4y2z24 ID(x3)dxdy对该平面的二重积分还有一定的技巧，即利用对称性由于在偶区域中I表达式中的x为奇函数，故积分为0I3Ddxdy3SD，根据椭圆的面积公式，得到3I3123dxdy0816计算曲线积分

sin2xdx2(x21)ydyLysinxf(x,y,z)dxdydzt1dxk1(x)dyg1(x,y)f(x,y, k2( g2(x,y这里g1(xy)，g2xy)是xyz之间关系求出z1g1(xy)z2g2(x,y)的上限表达式的，而k1(x)、k2(x)是对x,yz之间关系对aa旋转体积

af2x)dxb

Vy

bxf(x)dxxx2着y旋转之后的表达式为 x23、数列10180916081907200201ex1

xx2...

e (n sinxx ...

(2ncosx1

x2

(2nln(1x)x

(1x)m1mxm(m1)x2

m(m1)L(mn1)11

1xx2...(1)n11

1xx2...这里主要是用反向的变换，比如：1xx2...xn 14、函数 ，5、逐项例：求幂函数

(1)n1x2n

分析：收敛域这时候用比值法是最好的，因为 x2n的形式(1)n12n

2n3

x21得到1x12n

2n 1

(1)n12n由于系数 进行一定的处理

2n

2nxS

(1)n1x2n

(1)n1

1 11s1

2n1

1x2(n1)

1线性

S

x01

xarctan1、抽象年十题）矩阵正定的证明（99年十一题）矩阵的秩的证明（08年20题）方法也体现在部分选择题中，比如04年12题，就可以这么做 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关第一 就是刚才提到的分块矩阵的方法，设A(1,2,3...nB...)TA表示成1n Bn1的形式乘出来才能是11的多项式的表达1122nn0AB中的每一列或行进行分ai11ai22...ainn 0的联合表达式，所以根据向量相关的11义

22 n这里看到ABO于是就想到秩的关系，如果ABE其中E表示一个的方阵，那么根据min(rAr(Br(E)A矩阵为32B为一个23r(E3所E0EO，根据这种可能性，得知此时间的A为一个列向量相关矩阵，而B为一行向量相关矩阵。一、整体变换法与矩阵的分块证明相反的是整体变换法，两者所应用的情况的区别就是，整体变换是不需要分块的，也就是说各种分块的都没有在整体变换法中AB202应用整体求解一般就是用矩阵的性质来求解，这里需要对矩阵的性质理解的十分的深刻。这些性质包括：矩阵的运算，标准正交性质，矩阵秩的性质，相似矩阵的性质和定义，合同矩阵的定义，和一些基本特殊矩阵的证明比如二。二、其他方法1、矩阵题题（合同问题）05年20题（正交变换转化成）02年十题（相似矩阵，，对称矩阵很简单，其含义就是

A<1>实对称矩阵一定可对角化存,并存在正交矩阵C，使得C1ACdiag(,... 矩阵的合同：存在可逆的矩阵C，使得CTACB则称为矩阵的合同。PP1APB则称为矩阵的相似。这里可以展开推理分析：相似矩阵可以两边同时左乘P，右乘P1，得到等式APBP1，由于P是可逆矩阵所以如果设P1Q，那么PQ1，所以前面的等式APBP1可以化为Q1BQA，所以A和B互为逆矩CTCII阵，那么等式CTACB可以化为ACBCT，同理设CTR，有等式ACTBC存在互为合同矩阵，但是很少有这种巧合的情况即CTCI种矩阵C被称为酉矩阵，酉矩阵不为考试点，所以不加考虑在A和B为实对称矩阵的条件下有CTACC1ACB，由于ATA,BTB,所以此时对对两边取转秩，等式(CTAC)TBT得到CTATCBT故CTACB两边取逆得到(C1AC)1(B)1故(C1AC)1(B)1化的，所以，此时的B1也是可以对角化的。一、正定矩阵及二次型xxx...x)TxTAx0 1y用矩阵表示就是(x,y) 1x所以其矩阵表示形式： 1y xTAx是正定二次型；PAPT征多项式配方后正征多项式配方后正条件 条件1 么判定，需要构造特殊的x的形式来判定是否为二次型。如99年的十一题题目中要证BTABxTBTABx0(Bx)TABx0A为正定矩阵的情况下，向量为Bx为非零向量。条件 条件 条件 条件2 条件4 定332530配方得(1)(223)02230的时候存在复数项，所以存在唯一的特征值10条件 例：知道方阵 2为正定矩阵求a和 解：列出不等式a4解：列出不等式4(a4)4b

得到a0 1、正交变换法2、配方法3为，和求特征特征多项式的过程类似，通过单位正交阵的变化，实际上f(xxx5x25x2cx22xx6xx6xx 1 1 2

3 矩阵的秩为2，所以

A0，于是得到解c3然后求其特征值，由EA(4)(9)0得0,二、正交矩阵ATAI的矩阵称为正交矩阵，但这ATAI，则称该矩阵或向量为两xy下，将原二次型化成”记住，单位正交变换处理之后的矩阵是与原矩阵为A，为B，变阵为Q，则关系为QTQB由于，此时的Q所以满足条件QTQI所以QT

Q1r维向量空间：一个向量空间内的每一个向量都是线性无关的由此构成的空间称为rr维向量空间：一个向量空间内的每一个向量都是线性无关的由此构成的空间称为r维向量空间，这个问题在10年13题中考了一个很简单的问题。1,2,1,0)T1,1,0,2)T2,1,1,a)T若由,

解：由于向量空间的秩为2，那么3的值就为0，即存 a

0，这里选取的为1和21、有关概率题：1022例：设二维随量（xy）f(xyAe2x22xyy2xyA及条件概率密度fY|Xy|分析：要求fy|x需要用到公式fy|xf(xy)，要知道fY YfX

f(xy表达式中A求利用公式f(x,y)1，要计算fX(x就yfX(xf(xy)dy来算，所以根据这些公式可该题的另外一个重点就是对于函数f(x,y的复杂表达式，该如何求解得AAe2x22xyy2首先应该想到的是二元的高斯分布，但是这不是简单的二元高斯分布，通过对f(x,y)的积分表达式我们可以看出f(xyAe2x22xyy2dxdyAex2xy)2dxdyyxu由于

如果设dudy那么f(xyAex2u2dxduAeu2duex2Aeu2duex2dxA

1211212112

1211212112 由于积分区域是(,且高斯分布的积分值为1故可得A1A1dudyfX(x)

12 1212f(xy)du dxA12fY

(y|x)1ex22xyy2，-x,y数理统计题：1023X123X123PQ223n）中等于i的个数(i1,2,3)a1a2a3使TaiNi为的3无偏估计量，并求T3X都满足二项分布，并且概率分别为1，2，2，所以N:B(np即存在N:B(n,1 N2:B(n,)，N:B(n,i 33所以根据题目要求TaiNi为的无偏估计量，所以T的期望为E(T)aE(N)aE(N)aE(N)an(1)an(2)an(2) an

a1

n(aa1得到a n(aa) a D(TD(a1N1a2N2a3N3a1，a2，a31D(T) n

1

)1D(cx D(T) D(N2N3 如果看到式D(N2N3D(N2N3DN22cov(N2N3DN3，N1N2N3cov(N2N30cov(N2,N3)E(xy)E(x)E(y)D(N2N3D(nN1D(N1 n(1 D(T)nD(N1) 通过这道题可以反映出数理统计题的解题特点，几乎每年的题都会出有关估计量，方差，期望之类的题，因为求取方差估计量这类的题涉及到概率和数（10年3题，08年题（2，13法是不同的，连续情况要根据不同的区间积分而离散的只要利用公式3TaiNi估计量的评价标准只考过无偏估计，即E(ˆ)θ2 4 5 考试点相 推2015考研《高等数学》极限及其应用专题精讲（针对数一、二、三/course/16920.html 2014考研数学《线性代数》答题技巧(合作机构学府考研) 考研数学《概率统计》考点精讲（数学一6 四、证明题口诀【辅导机构讲义考试点相 推2015考研《高等数学》极限及其应用专题精讲（针对数一、二、三/course/16920.html 2014考研数学《线性代数》答题技巧(合作机构学府考研) 考研数学《概率统计》考点精讲（数学一 五、考研数学高分答题策略、答题技巧及注意调整为最佳状态，争取将平时的积累最大化的发挥出来。为了将平时自己掌握的知识内容间分配上总结了一些考场经验，供广大考生参考，希望对大家能起到一定的指导作用。卷是不是23道题目，大致都是什么题型的题目。这样做有两个好处：一是可以有效防止长达一年时间的复习，看了这么多参考书，听了那么多考研课程，相信试卷中肯定有不少张的心情也会放轻松，这样才能正常发挥。23869也是固定的，数学一和数学三1-4题是高数选择题，5-