2022年秋学期九年级上册数学全册教案

学科数学 年级九教师姓名日期课题1.1反比例函数第几课时第课时总课时内容分析本节是本章的重点，之前已经学习了函数的有关概念，一次函数的定义、一般形式、图象和性质等，为本课学习进行了铺垫，本节课可以适当进行回顾。本课学习时，可对正比例函数和反比例函数进行对比。学情分析学生进入九年级，之前有了一定的知识储备，学习能力也有提高。教学目标.结合具体情境体会反比例函数的意义..理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的表达式..能够判断一个函数表达式是否为反比例函数.教学重点难点分析重点：学生能理解反比例函数的概念，能写出实际问题中成反比例关系的函数表达式。难点：理解反比例函数的相关概念。教学方法自主探究法、练习法教学准备三角板，课件教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动设计意图情境导入新知探究新知归纳我们已经学习了函数的有关知识，又学习了一次函数，你还记得具体有哪些吗？(1)一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式：(2)利用(1)的关系式完成下表：随着时间t的变化，平均速度V发生了怎样的变化？回顾旧知，导入新课通过探究，结合具体情境体会反比例函数的意义理解掌握反比例函数的概念及自变量的取值范围所用时间t/s121137139143149平均速度v/(m/s)(3)平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成y=±(k为常数，kWO)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(kW0)称为反比例函数的比例系数.反比例函数的自变量取值范围是所有非零实数.但是在实际问

题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范国.A新知应用例如图，已知菱形ABCD的面积为180,设它的两条对角线AC,BD的长分别为x,y.写出变量 /\通过例题，理解反比例函数的概念，能根据己知条件确定反比例函数的表达式。y与x之间的函数表达式，并指出它是什么函数.1.下列函数是不是反比例函数?若是，请写出它的比例系巩固练习y3 y5X y—lx2.下列问题中，变量间的对应关系可以用怎样的函数表达式表示？j=3x-1(1)已知矩形的面积为120cm2,矩形的长y(cm)随宽x(cm)的变化而变化；(2)在直流电路中，电压为220V,电流I(A)随电阻R(Q)的变化而变化.通过练习，巩固对反比例函数的概念的理解，能够判断一个函数表达式是否为反比例函数拓展提升1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数.如果是，指出比例系数k的值.(1)底边为5cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化：(2)某村有耕地面积200ha,人均占有耕地面积y(ha)随人口数量X(人)的变化而变化；一个物体重120N,物体对地面的压强p(N/m2)随该物体与地面的接触面积S(m2)的变化而变化.2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？2 2(1)y=3x； (2)y=3x； (3)xy+2=0；2xy=0； (5)x=3y.通过拓展练习，加深对概念的理解和运用3、已知函数丫=(m+1)x/-z是反比例函数，则m的值为 课堂小结评价1、本节课你有哪些收获？2、本节课你还有哪些疑惑？板书设计例题 知识点 巩固练习1、概念2、三种形式3、自变量取值范围教学反思

学科数学 年级九教师姓名日期课题反比例函数第几课时总课时教学目标.T解反比例函数的基本概念及确定反比例函数自变量的范围..学会根据实际情况确定反比例函数自变量的取值范围..学会利用反比例函数的基本形式建立简单的数学模型.教学重点难点分析学会根据实际情况确定反比例函数自变量的取值范围教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明.实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识.合作探究一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？探究点一：反比例函数的相关概念［类型—］反比例函数的识别及比例系数颤1下列函数中，哪些一定是反比例函数，若是，写出其比例系数.加2+1①y=3x：②y=x(w为常数)；3 6③y=x_2；@y=-x,⑤y=-4工-1：@xy=2.k方法总结：(1)辨别一个函数是否为反比例函数，必须具备》=入/为常数，的形式，且比例系数不为0;(2)反比例函数可写成如下k三种形式：®y=xy②xy=k,(3)y=Ax_1,但要注意三种形式中都有k#0.［类型二］根据反比例函数的概念求字母系数的值

1例口若函数y=(m+IM/—2是反比例函数，求加的值.方法总结：反比例函数的基本形式歹=履-1伏W0,左为常数)，解题时A•的取值不为0及x项的次数为-1,两个条件缺一不可.探究点二：反比例函数自变量的取值范围及函数值11例❸已知反比例函数y=一%.(1)写出这个函数自变量的取值范围；1(2)求当x=-5时函数的值；(3)求当y=2时自变量x的值.方法总结：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但在实际问题中，应该根据具体情况来确定(如例4).探究点三：建立简单的反比例函数模型C FD F.硒1如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示).现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100米2的矩形草坪(图中的矩形C£>EECD<CF).设所利用的旧围栏C尸的长度为x米，新围栏8的长度为y米.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若利用旧围栏12米，整修旧围栏的价格为1.75元/米，建新围栏的价格为4.5元/米，则计划修建费用应为多少元？方法总结：解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围.作业设计P4A1,2B5板书设计反比例函数 .教学反思

学科数学 年级九教师姓名日期课题k反比例函数y=x（Q0）的图象与性质第几课时总课时教学目标了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制简单的反比例函数图象.k了解并学会应用反比例函数y=x（4>0）图象的基本性质.（重点，难点）教学重点难点分析k了解并学会应用反比例函数歹=«心>0）图象的基本性质.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导情境导入已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市.所需要的时间《天）和每天运出的面粉总重量皿吨）之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个图形吗？合作探究探究点一：作反比例函数y=x（%>0）合作探究硒1画出反比例函数y=x的图象.解析：画出函数的图景一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x#0.解：列表如下：X-8—4-2112488y=X-1-2-4-88421描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点.8连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得的图象.如图:

方法总结：绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步兼基本一致，不同之处在于反比例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线条自然.k探究点二：反比例函数歹=%(%>0)的图象与性质k［类型—］反比例函数1，=工(反0)图象上的点k陋网已知函数y=x的图象经过点(6,1),则下列各点在该函数图象上的是()A.(-2,3)B.(-1,-6)C.(1,-6)D.(2,-6)方法总结：根据题意可求得函数解析式，将各项中点的坐标代入即可得正确选项.k［类型二］反比例函数j，=MQO)图象的增减性k颂己知反比例函数y=x的图象过点(-2,-3),函数图象上有两点4(2/，yi),8(5,y2),则为与及的大小关系为()A.y\>y2B.川=及C.yi<y2D.无法确定方法总结：解此类题型时，先要由k的符号判断函数的增减性，再确定是不是在同一个分支上，再根据情况解题.作业设计P12A1板书设计函数ky=(k>0)X教学反思

学科数学 年级九教师姓名日期课题k反比例函数j，=x（R<0）的图象与性质第几课时总课时教学目标k.了解反比例函数y=x（MO）的相关性质（重点，难点）..理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系.（重点，难点）.利用双曲线的性质解决简单的数学问题.教学重点难点分析k了解反比例函数y=x（KO）的相关性质.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入合作探究一个平面直角坐标系中，根据所提供的数据描绘出相应的反比例函数图象.观察这两个图象，试着求出它们的解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？二'合作探究k探究点一：作反比例函数y=x（〃<0）图象的步骤8额1画出反比例函数y=-x的图象.解：列表如下：X-6-3-2-11236y-1-2-3一66321X—6-3-2-11236y1236-6-3-2一］描点：应的点.连线:以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相8用光滑的曲线顺次连接各点，即可得y=-x的图象.如图：

方法总结：y=x(%<o)图象的画法与y=x(左>0)的画法类似，但解题时要注意图象所在的象限.探究点二：反比例函数y=x(M0)的图象与性质2对于函数y=-x,下列说法正确的是()A.它的图象分别在第一、三象限B.它的图象经过点(-1,2)C.当x>0时，y的值随x的值增大而减小D.当x<0时，y的值随x的值增大而减小方法总结：解决这类问题需要熟练掌握反比例函数的基本图形和相关性质.探究点三：双曲线的概念及性质(例❸如图,已知直线卜=机、与双曲线y=x的一个交点坐标为(-1,3),则它们的另一个交点坐标是((1,3)(3,1)(1,-3)(-1,3)方法总结：在解与反比例函数图象有关的问题时可以运用双曲线的对称性快速求解.三、板书设计函数 ［图象：第一、三象限性质：在每个象限内随工的增大而减小‘一二j /图象：第二、四象限骏#°)性质：在每个象限内随丁的增大而增大

作业设计P12A4P13B6板书设计南数 ［图象：第一、三象限='J 1性质：在每个象限内~随I的增大而减小’―二j/图象：第二、四象限骏#0)'<”性质：在每个象限内~随工的增大而增大教学反思

学科数学 年级九教师姓名日期课题反比例函数图象与性质的综合应用第几课时总课时教学目标.归纳总结反比例函数的图象和性质.（重点）.理解并掌握反比例函数的比例系数k的几何意义.（重点，难点）教学重点难点分析理解并掌握反比例函数的比例系数k的几何意义。教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入如图所示，对于反比例函数，在其图象上任取一点尸，过尸点作PQLc轴于Q点并连接0P.合作探究试着猜想△OP。的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数ky=x（%KO）中左值的几何意义.探究点一：用待定系数法确定反比例函数的解析式k颐1已知点尸（-1,4）在反比例函数y=x（kHO）的图象上，则人的值是（）1A.-4B.eqB.C.4D.~4方法总结：本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，已知反比例函数上一点的坐标，要求函数解析式，只要把这点的坐标代入就可求得.探究点二：反比例函数解析式中后的几何意义

%A―^^lOC Xk酮如图所示，点4在反比例函数y=x的图象上，AC垂直x轴于点C,且△4OC的面积为2,求该反比例函数的表达式.方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于因值的一半.探究点三：反比例函数的图象与性质的综合应用11例❸若Z（X］,为），8（工2，歹2），。（》3，»3）都是反比例函数y=工的图象上的点，且为〈0＜汇53，则刈，”，为由小到大的顺序是方法总结：解决这类问题时应该从反比例函数图象性质入手，通过图象在不同象限中的性质来判断点的坐标的大小关系，解题时可画出反比例函数的大致图象，方便解答.探究点四：反比例函数与一次函数的综合［类型一］反比例函数与一次函数图象的综合k〔例El在同一直角坐标系中，函数%与y=x（左#0）的图象大致是（）A B C D方法总结：判断函数图象分布是否正确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误.［类型二］反比例函数与一次函数图象与性质的综合k［例❺如图所示，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=x的图象交于A/、N两点.（1）求反比例函数与一次函数的表达式：（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值

范围.(2)由图中观察可知，满足题设x的取值范围为内一1或0*2.方法总结：分别利用反比例函数和一次函数的定义求出其解析式，根据图象和性质判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解.板书设计南数 /图象：第一、三象限=k_J 1性质：在每个象限内♦，随i的增大而减小‘一工［ ’图象：第二、四象限骏#0) 性质：在每个象限内~随工的增大而增大教学反思

学科数学 年级九教师姓名日期课题反比例函数的图象与性质的综合应用第几课时总课时教学目标（一）教学知识点.进一步巩固作反比例函数的图象..逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.（二）能力训练要求.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力..通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力..通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.（三）情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.教学重点难点分析通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入合作探究［师］上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k>0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=4 4-与y=—的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限来研究了X X反比例函数的.我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k>0时，y的值随x的增大而增大，当k<0时，y的值随x值的增大而减小,即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x轴，y轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质.1.做一做

2 4 6［师］观察反比例函数尸一，尸一,尸一的形式，它们有什么共同点？X X X［生］表达式中的k都是大于零的.［师］大家的观察能力非同一般呐！下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限？(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？［师］请大家先独立思考，再互相交流得出结论.［生］(1)函数图象分别位于第一、三象限内.(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x逐渐增大时，函数值y逐渐减小.(3)因为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交.［师］大家同意他的观点吗？［生］不同意(3)的观点.［师］能解释一下你的观点吗？2［生］从关系式y=-中看，因为x#),所以图象与y轴不可能能有交X点：因为不论x取任何实数，2是常数，y=2永远也不为0,所以图X象与X轴心也不可能有交点.［师］对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，2不面我再补充一下(2).观察函数y=一的图象，在第一象限我任取两点XA(xi,yi),B(X2»2)，分别向x轴,y轴作垂线，找到对应的xi,X2,yi,y2,因为在坐标轴上能比较出x,与x2)y,与y2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知X1<X2,y2<yi,所以在第一象限内有y随x的增大而减小.同理可知在其他象限内y随x的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.［生］情况都一样.［师］能不能总结一下.［生］当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y随x的增大而减小.2.议一议

2 4 6［师］刚才我们研究了丫=一，y=一,y=—的图象的性质，下面用类X X X推的方法来研究y=--,y=--,y=--的图象有哪些共同特征？X X X2 4 6［生］⑴产,y=--,y="一中的k都小于0,它们的图象都位于XXX第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.2 _(2)在图象y=--中，在第二象限内任取两点A(X|,yi),B(X2,y2),可知Xx>>x2,yi>y2,所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随自变量x的增大而增大.(3)这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.［师］通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：反比例函数y=上的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随xX值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.3.想一想(1)在一个反比例函数图象任取两点P、Q,过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为所：过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2,Si与S2有什么关系?为什么？(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180。后.能与原来的图象重合吗？［师］在下面的图象上进行探讨.［生］设P(X1,yO,过P点分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为Sp则S)=1xi1,1yi1=1x)yiI.k k•.,(xi,yi)在反比例函数y=—图象上，所以yi=—，即xiyi=k.X X］.•.Si=1k1.同理可知S2=1kI,所以S］=S2［师］从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，如果P,Q分别在不同的曲线，情况又怎样呢？［生］Si=1Xiyi1=1k1,S2=1x2y21=1k1.［师］因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P、Q分别作x.轴，

y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S|,S2,则有S|=S2.(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180。后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.板书设计.反比例函数y=«的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随，值的X增大而减小；当k<O时，图象在第二、四象限内，y的值随X值的增大而增大..在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,分别过P,Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2,则有S|=S2..将反比例函数的图象绕原点旋转180。后,能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对称图形..反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交，但是当x的值越来越接近于0时，y的值将逐渐变得很大：反之，y的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.教学反思教学环节情教学环节情境导入教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课学科数学 年级九教师姓名日期课题反比例函数的应用第几课时总课时教学目标.学会利用反比例函数解决简单几何问题.（重点，难点）.利用反比例函数构建数学模型解决实际问题.（重点，难点）教学重点难点分析学会利用反比例函数解决简单几何问题.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程小明和小华相约早晨一起骑自行车从4镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇.假设两人经过的路程一样，而且自行车和公交车是速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度.你能找出两人来回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？探究点一：反比例函数与简单的数学问题相结合颐I三角形面积为6,它的底边a与这条边上的高〃的函数关系式是•合作探究方法总结：数学中一些常见问题可以利用反比例函数进行求解，在构建基本的数学模型时，不要忽略反比合作探究探究点二：反比例函数在实际生活中的应用®IB某村的粮食总产量为。（a为常数）吨，该村的人均粮食产量为y吨，人口数为x,则y与x之间的函数关系式的大致图象应为（）AA方法总结：将生活中的问题转化成为数学问题，利用所学知识构建数学模型.本题考查的是反比例函数的图象的性质，在解题时要准确理解题意，选择正确的数学模型.探究点三：反比例函数在物理问题中的应用崛一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强MPa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N,回答下列问题：(1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗？为什么？(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6000Pa,那么木板面积至少要多大？(4)画出相应的函数图象.解：随着木板面积S(m2)变小(或大)，压强MPa)将变大(或小).600(l)p=S,所以p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义.600(2)p=O.2=3OOO(Pa),所以当面积为O.2m2时，压强是3000Pa.600(3)若压强p=S《6000,解得S20.1,故木板面积至少为O.lmZ(4)函数图象如图所示.p/Pa80006000-X4000-\2000O0.10.20.30.4方法总结：反比例函数应用的常用解题思路是：(1)根据题意确定反比例函数解析式；(2)由反比例解析式及题中条件去解决实际问题.板书设计反比例函数的应用教学反思学科数学 年级九教师姓名日期课题反比例函数的应用第几课时总课时

教学目标.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力教学重点难点分析重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入合作探究寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？例1.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(千帕)是气体体积/(立方米)的反比例函数，其图像如图所示(千帕是一种压强单位)(1)写出这个函数的解析式；(2)当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？20015010050、P巩固练习01.京沈高速公路全长658km,汽车沿京沈it则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平数关系式为 0151L52/53^于速公路从沈阳驶往北京，均速度v(km/h)之间的函

.完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式 .一定质量的氧气，它的密度。(kg/m3)是它的体积/(nP)的反比例函数，当『=10时，P=1.43,(1)求夕与『的函数关系式：(2)求当厂=2时氧气的密度夕答案：0=半,当『=2时，0=7.15板书设计反比例函数的应用教学反思

学科数学年级九教师姓名日期课题小结与复习第几课时总课时教学目标.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式..经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力..培养观察、推理、分析能力，-体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.教学重点难点分析理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数表达式.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数的模型思想.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，芝刍堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课知识回顾要点一、反比例函数的概念k一般地，形如 X（左为常数，％二°）的函数称为反比例函数，其中X是自变量，歹是函数，自变量X的取值范围是不等于0的一切实数.k ky= y=—要点诠释：在X中，自变量X的取值范围是xwO, X （上wO）可以写成y=七「1（k。0）的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数y=人中，只有一个待定系数左，因此只需要知道一对X、y的对应值X或图象上的一个点的坐标，即可求出％的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数^=幺（左二0）的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限.它们关于原点对称，反

比例函数的图象与X轴、歹轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.要点诠释：y=—（上工0）观察反比例函数 X 的图象可得：X和V的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.①y二V（左。0）的图象是轴对称图形，对称轴为Xy=x和y=-x两条直线；②y=幺（左H0）的图象是中心对称图形，对称中心为原点X（0,0）；③丁二七和y=一与（kWO）在同一坐标系中的图象关于X轴对称，X X也关于y轴对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当%>°时，X、y同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，歹随x的增大而减小；当％<°时，*V异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，歹随x的增大而增大.k（2）反比例函数y=x中卜的意义ky=①过双曲线.x（%#o）上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为帆.ky——②过双曲线X（左H0）上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和M L原点，所得二角形的面积为2.B0典型例题要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1.反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比彳决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.列函数知识解

2.列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.类型一、确定反比例函数的解析式1、1.若函数y=（m-1）乂加V是反比例函数，则m的值是（ ）A.±1B.-1C.0D.1B类型二、反比例函数的图象及性质4—2、已知，反比例函数卜=土'丝的图象在每个分支中歹随x的增大而X减小，试求2m-l的取值范围.【答案与解析】解：由题意得：4-2“>0,解得阳<2,所以2加<4,则2加一1<3.k-2【变式】已知反比例函数y= 其图象位于第一、第三象限内，X则左的值可为 （写出满足条件的一个人的值即可）.3l-2m3、已知反比例函数丫=丁的图象经过点（一1，4）.CD试确定小的值；（2）图象经过哪些象限？（3）若4（一1，丫1）,8（-4/2）,，（1〃3）是该函数图象上的点，试比较丫1,力,的大小；1（4）直接回答点。（2,-2）,以一4,16）是否在这个函数的图象上.5（1）m=2；（2）图象经过二、四象限；（3）yi>y2>y3;（4）。（2,—2）,E（一716）在这个函数的图象上.4、如图，点p是反比例函数y=7（x<°）图象上一点，过P向》轴作垂线，垂足为口，连接OP.若&APO。的面积为2,贝肚的值为（ ）乩A.4B.2C.-4D.-2类型三、反比例函数与一次函数综合5、环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律，其中第3天时硫化物的浓度降为4mg/L.从第3天起所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间X(天)34568 硫化物的浓y(mg/L)432.421.5(1)求整改过程中当必＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(2)求整改过程中当於3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;(3)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为什么？(1)尸-彳x+15；(2)产工；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L,理由详见解析.类型四、反比例函数应用

6、某商场1销售单彳出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日介x元与日销售量y个之间有如下关系：X（元）3456y（个）20151210①请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式：②设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价X定为多少元时，才能获得最大日销售利润？【答案与解析】解：①反比例函数能表示其变化规律.因为表中每对x、》的值的乘积60均为60,是一个定值.可求出x；②销售利润等于单个商品的利润乘以商品的数量，所以％=（x_2）y=（x_2）x丝=60-超，X X根据式子的特征，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润.【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.通过本节课的学习你有什么收获？板书设计教学反思

学科数，学：年级九教师姓名日期课题小结与复习第几课时总课时教学目标.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式..经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力..培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.教学重点难点分析理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数表达式.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数的模型思想.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，芝刍堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课例题精讲考点一反比例函数的定义.下列函数中，是反比例函数有哪些（ ）①.尸-土 ②.y= ③.y=2x+3 ©.y=x23 2x_ 2 _ 1 _ _⑤.y= ⑥.y=—+2 ⑦.xy=・l ⑧.3+x xy=-6x”2.k为何值时，y=R+2卜2-5是反比例函数？考点二反比例函数的图象和性质15.下列不在反比例函数歹=区的图象上的点为（ ）XA.（2,7.5）B.（-3,5）C.（-5,-3）D.（3,5）2.若/（一3,%）3（-2,%）。（一1,%）三点都在函数歹=一工的图X象上，则必，乃,力的大小关系是（ ）A.%＜丫2＜丫3 BY1=y2=Y3c.yf<y3<y2D.y,>y2>y3.已知正比例函数y=kx与反比例函数y=3的图象都经过XA(m,1),求赐正比例函数的解析式和另一个交点坐标。.已知反比例函数y=—,根据以下条件求出k的取值范围。X(1)函数图象位于第二、四象限内；(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小。考点三反比例函数系数K的几何意义k1.如图，点A是反比例函数y=±的图像上的一点，过点A作xABLx轴，垂足为B,点C为y轴上的一点，连接AC,BC»若4ABC的面积为4,则k的值是( )B.-D.-B.-D.-C.8D.-8BOx考点四反比例函数与一次函数的综合1.如图，已知A(-4,2)、B(n,-4)是一次函数y=b+b的图象与反比例函数y=%的图象的两个交点.X(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.教学反思学科数学年级九教师姓名日期课题小结与复习第几课时总课时教学目标.知识与技能：理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，能画出反比例函数的图象。.过程与方法：回顾反比例函数的概念、性质、图象的过程，把数学与实际问题相结合。.情感、态度与价值观：进一步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。教学重点难点分析理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，能画出反比例函数的图象。教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课1、反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x,y之间的关系知识回顾教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课1、反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x,y之间的关系知识回顾可以表示成产生(k为常数，k不等于0)的形式，那么称y是x的反比例函数。三种表达式：@y=-(k*0)(2)y=kx-1(k^0)@

xxy=k(kH0)图象所在象限性质ky=-X(后0)k>01LX一、三象限(x,y同号)在每个象限内，y随X的增大而减小k<0Jyo 二、四象限(X,y异号)在每个象限内，y随X的增大而增大2、反比例函数的图像与性质课堂演练性质：（1）课堂演练性质：（1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形（双曲线）；（2）双曲线的两个分支都与x轴、y轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；（3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提是“在同一象限”内。K的绝对值越大，图像越远离原点和坐标轴。3、反比例函数系数4的几何意义一、选择题k1、若点（3,6）在反比例函数y=±（k/0）的图象上，那么下x列各点在此图象上的是（）A.（-3,6）B.（2,9）C.（21—9）D.（3,—6）2、当x<0时，下列图象中表示函数y= 的图象的是（）_m3、函数'x与y=加芯一加（加=0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。A B c D4、如图，正比例函数y=x与反比例函数y=—的图象相交于xA、C两点，ABJ_x轴于B,CDLx轴于D,则四边形ABCD的面积为（）+二、填空题1、若A（X|>yi）,B（X2，y2）>C（X3,yj）都是反比例函数»=-'的图象上的点，且X]VOVx2VX3,则y1，yz，丫3由小到大的顺x序是：

O22、函数y=■—与y=-2x的图象的交点坐标是 X 。三、解答题1、如图，直线y=kx+b(kwO)与双曲线y=%(m#O)交于X点A 2),B(n,-1).(1)求直线与双曲线的表达式；2(2)点P在x轴上，如果S^abc=3,求点P的坐标。板书设计教学反思

学科数学年级九教师姓名日期课题一元二次方程第几课时总课时教学目标.了解一元二次方程的概念：（重点）.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，aWO）,能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；（重点）.能根据具体问题的数量关系，建立方程模型.（难点）教学重点难点分析掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，aWO）,能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式。教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，艺刍堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入合作探究一个面积为120m2的矩形苗阚，它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？/八**-++，**/d/许第电/设苗圃的宽为xm,则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120.所列方程是否为一元一次方程？（这个方程便是即将学习的一元二次方程.）探究点一：一元二次方程的概念［类型一］判断一元二次方程砸1下列方程中，是一元二次方程的是 .（填入序号即可）y2 1①4-y=0;②2x?-x—3=0：③）^2=3；@x2=2+3x；（§）x3—x+4=0；@t2=2；y 0x2+3x-3=0；©y/x2-x=2.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看他是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为or2+bx+c=0（a,b,c为常数，aWO)的形式，则这个方程就是一元二次方程.［类型二］根据一元二次方程的概念求字母的值的烟。为何值时，下列方程为一元二次方程？(l)ax2-x=2x2； (2)(a-l)xlfll+1+2x-7=0.方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.探究点二：一元二次方程的一般形式砸1把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.(l)x(x—2)=4x2—3x；x2x+1—x—1(2)3-2= 2 .(3)关于x的方程mx2—nx+mx+nx2=q—p(m+n^O).方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负数，那么最好在方程左右两边同乘-1,使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项云，则6=0；若没有出现常数项c,则c=0.探究点三：列一元二次方程厕I!如图，现有一张长为19cm,宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程.'U-- 方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程.板书设计教学反思学科数学年级九教师姓名日期

课题一元二次方程的解法第几课时总课时教学目标.理解并掌握一元二次方程的根的概念..会用直接开平方法解形如(》+机)2=〃(”>0)的方程(重点，难点)教学重点难点分析会用直接开平方法解形如(x+m)2=”(">0)的方程.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度/;(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：〃=5x2,问石头经过多长时间落到地面？探究点一：一元二次方程的解(根)例H已知x=l是一元二次方程x2-mx+2M=0的一个解，则加的值是()A.-1B.1C.0D.0或1解析：把x=l代入X2-znx+2机=0得1—加+2m=0,:.m=-1,故选A.方法总结：已知一元二次方程的根，求方程中未知系数的值，通常把根代入原方程，得到关于所求未知系数的方程.合作探究探究点二：直接开平方法解一元二次方程阳用直接开平方法解下列方程(l)x2-16=0;(2)3x2—27=0：(3)(x-2)2=9;(4)(2)-3)2=16.解：(1)移项，得/=16.根据平方根的定义，得'=±4,即X\=4> -4.(2)移项，得3N=27.两边同时除以3,得N=9.根据平方根的定义，得工=±3,即司=3,x2=-3.(3)根据平方根的定义，得工一2=±3,即x】=5,x2=~\.7 1(4)根据平方根的定义，得2y-3=±4,即力=2,y2=-2.方法总结：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解.注意开方后，等式的右边取“正、负两种情况”。

板书设计(1)一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.(2)直接开平方法解形如。+加y=〃(">0)的方程.教学反思

学科数，学：年级九教师姓名日期课题用配方法解二次项系数为1的一元二次方程第几课时总课时教学目标.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.(重点).通过配方法体会“等价转化”的数学思想.教学重点难点分析理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入前面我们已经学习了直接开平方法解一元二次方程,元二次方程吗？(1>2=5；(2)(x+2)2=5；(3)x2+12x4-36=5.第(3)题的左边是个什么式子？你会解下列一探究点一：配方例H填上适当的数，使下列等式成立.(1)x2+6x+ =(%+ )2;(2)x2-6x+ =(x- A；(3)x2+6x+4=x2+6x+_2-—— +4=(x+ )解：方法总结：当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里.合作探究探究点二：利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程砾用配方法解方程：N+2x-1=0.解：移项，得/+2^=1.2 2配方，得/+2r+(5)2=l+(5)2,即(x+1)2=2.开平方，得x+l=±M解得X1="-1,X2=—&■-1.方法总结：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.

板书设计用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：(1)移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；(2)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x+m)2=〃(〃N0)的形式；(3)用直接开平方法求出它的解.教学反思

学科数，学：年级九教师姓名日期课题用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程第几课时总课时教学目标.利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.（重点）.能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程.（难点）教学重点难点分析利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2,道路的宽为多少？合作探究探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1 5 5〔例用配方法解方程：一2彳2+24-4=o.1 5解：方程两边同除以一2,得5x+2=o.5移项，得小-5%=-5.5 55配方，得N—5x+（2）2=—2+（2%5 15即（x—5）2=4.5715 5 715所以x—2=2或x—2=-2.5+715 5-715所以即=2,x2=2.易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：（1）方

程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方.探究点二：配方法的应用［类型—］利用配方法求代数式的值b37［例口已知凉一3〃+b2-2+16=0,求〃-4/的值.3 1解：原等式可以写成：(。-5)2+3—Z)2=0.3 1 3 1.•.a-2=0,b—4=o,解得：。=2,ft=43 14^=2—4X=-2.方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键.［类型二］利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系的画请用配方法说明：不论X取何值，代数式x2-5x+7的值恒为正.5 5解：Vx2-5x+7=x2-5x+(2)2+7-(2)25 3 5=(x—2p+4,而(x—2)2》o,5 33.，.(x-2)2+424..•.代数式x2-5x+7的值恒为正.方法总结：对于代数式是一个关于X的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值.板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1,方程两边都除以二次项系数：(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项：(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程.

教学反思学科数学年级九教师姓名日期课题公式法第几课时总课时教学目标.理解一元二次方程求根公式的推导过程：.会用公式法解一元二次方程；(重点).会用根的判别式〃一4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用.(难点)教学重点难点分析理解一元二次方程求根公式的推导过程。教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入如果这个一元二次方程是一般形式ar2+/>x+c=0(a^0),你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ox2+bx+c=0(aH0)且4ac20,试推导它的两个—h+y/hl—Aac -b-ylb2-4ac根xi= 2a ,X2~ 2"探究点一：求根公式的H方程3x2-8=7x化为一般形式是其中a= ,b-=,c= ,方程的根为合作探究解析：将方程移项可化为3N—7x-8=0.其中a=3,b=—7,c=-8,因为〃-4ac=49—4X3X(—8)=145>0,代7±V145人求根公式可得》=6 .7土、/145故3x2-7x-8=0,3,-7,-8, 6 .方法总结：一元二次方程ax2+ +c=O(aWO)的根是由方程的系数a,b,c确定的，只要确定了系数a,b,c的值，代入公式就可求得方

程的根.探究点二：用公式法解一元二次方程(WB用公式法解下列方程：(l)-3x2-5x+2=O;(2)2x2+3x+3=0；(3>2-2x+l=0.解：(1)-3x2-5x+2=0,3x2+5x-2=0.•/ci3>b=5,c—2,・・・62-4ac=52-4X3X(-2)=49>0,—5±749—5±7・,•工=2X3= 6 ,x।= -2.(2)・・Z=2,6=3,c=3,・••按―4〃c=32-4X2X3=9-24=-15V0,・•・原方程没有实数根.(3)Va=l,b=-2,c=l,/.i2-4ac=(-2)2-4X1X1=0,2±y［02±0.•.x=2X1=2,=M=1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a,b,c的值，再求出〃-4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).探究点三：根的判别式［类型一］用根的判别式判断一元二次方程根的情况(WE已知一元二次方程N+x=l,下列判断正确的是()A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定解析：原方程变形为N+x—1=0,4ac=1—4X1X(—1)=5>0,该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a^0).当/时，方程有两个不相等的实数根；当〃-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当扭-4ac<0时，方程无实数根.［类型二］根据方程根的情况确定字母的取值范围的H若关于x的一元二次方程收一入一1=0有两个不相等的实

数根，则上的取值范围是()A.k>~\B.左>一1且％#0C.RID.K1且上W0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则4ac>0,同时要求二次项系数不为0,即 解得上>—1且上#0,故选B.易错提醒：利用按-4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.［类型三］利用根的判别式判断三角形的形状(例13已知a,b,c分别是△N8C的三边长，当/»>0时，关于x的一元二次方程c(x2+"?)+b(x2一加)-2而ax=0有两个相等的实数根，请判断△Z8C的形状.解：将原方程转化为一般形式，得(b+c)x2—2而ar+(c—6)加=0.•••原方程有两个相等的实数根，；.(—2扬。产—4(/>+c)(c—=0,即4m(a2-\-b2—c2)=0.又•.,mWO,.,.a2+b2—c2=0,即a2+b2=c2.根据勾股定理的逆定理可知△XBC为直角三角形.方法总结：利用根的判别式判断三角形形状的方法：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题.［类型四］利用根的判别式解存在性问题»是否存在这样的非负整数机，使关于X的一元二次方程小丫2—(2加-1*+1=0有两个不相等的实数根？若存在，请求出机的值；若不存在，请说明理由.解：不存在，理由如下：假设机2/一(2加-1就+1=0有两个不相等的实数根，贝1］［一(2加-1)］12—4加2>0,解得机<4.;加为非负整数，.\m=0.而当m=0时，原方程用2/—(2/n—l)x+1=0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾.二不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根.易错提醒：在求出加=0后，常常会草率地认为加=0就是满足条件的非负整数，而忽略了而#0这一隐含条件，因此解题过程中务必细心警惕.板书设计

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学科数学年级九教师姓名日期课题因式分解法解一元二次方程第几课时总课时教学目标.理解+XZC”+546并掌握用因式分解法解方程的依据..会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.教学重点难点分析会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入我们知道ab=O,那么。=0或b=0,类似的解方程(x+l)(x—1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x—1=0来解，你能求(x+3)(x—5)=0的解吗？4探究点：用因式分解法解一元二次方程[类型—]利用提公因式法分解因式解一元二次方程合作探究硒1用因式分解法解下列方程(l)x2+5x=0；(2)(x—5)(x~6)=x—5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次多项式，可用因式分解法.解：(1)原方程转化为x(x+5)=0,所以x=0或x+5=0,所以原方程的解为Xi=0,超=-5;(2)原方程转化为(x—5)(x—6)—(x—5)=0；所以(x—5)[(x—6)—1]=0；所以(x—5)(x—7)=0；所以x—5=0或x-7=0：所以原方程的解为4=5,0=7.方法总结：先将方程右边化为0,观察方程左边是否有公因式，若有公因式，就能利用提公因式法快速分解因式.

[类型二]利用公式法分解因式解一元二次方程阳用公式法分解因式解下列方程：(l)x2-6x=-9；(2)4(x-3)2-25(x-2)2=0.解：(1)原方程可变形为：x2-6x+9=0,则(x-3)2=0,所以x—3=0,因此原方程的解为：X!=x2=3.(2)[2(x-3)]2-[5(x-2)]2=0；[2(x-3)+5(x-2)][2(x-3)-5(x-2)]=0；(7x-16)(-3x+4)=0；:.lx—16=0或-3x+4=0；16 4二原方程的解为片=7,x2=3.方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.板书设计因式分解法教学反思

学科数学年级九教师姓名日期课题选择合适的方法解一元二次方程第几课时总课时教学目标1.2.理解解一元二次方程的基本思路.能根据题目特点选用最恰当的方法求解.（重点）教学重点难点分析能根据题目特点选用最恰当的方法求解.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地,矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80m,工作人员说，正方形土地的面积是矩形土地面积的一半，你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？180m1■%■!合作探究探究点一：解一元二次方程的方法选择1例方程（x—3）（x+l）=x—3的解是（）A.x=0B.x=-3C.x=3或x=-1D.x=3或x=0解析：方程两边有公因式（工一3）,可以利用因式分解法解方程，原方程变形，得。-3）（工+1）—。-3）=0,所以（工一3）（工+1—1）=0,即x—3=0或x=0,所以原方程的解为即=3,m=0.故答案为D.易错提醒：解形如如2=队的方程，千万不可以在方程的两边同时h除以X,得到x=。，这样会产生丢根现象，h只能提公因式，得到X\=0,m=〃.如本题中易出现在方程两边同除以（x-3）,从而得到x=0的错误.探究点二：选择适当的方法解一元二次方程曲限用适当的方法解方程：（l）3x（x+5）=5（x+5）；（3x2=4x+1；（3）5x2=4x—1.2)

解：(1)原方程可变形为3x(x+5)-5(x+5)=0即(x+5)(3x-5)=0,.,.x+5=0,3l5=0,5X|=-5,X2=3.(2)将方程化为一般形式，得3x2-4x-l=0.这里a=3,h=—4,c=-1,.,./>2-4ac=(-4)2-4X3X(-l)=28>0,4土国4±2"2土"：.x=2X3= 6 =3,2+" 2一"/.X|= 3 ,X2— 3 .(3)将方程化为一般形式，得5x2-4x+1=0.这里a=5,b=—4,c=l,.,./>2-4ac=(-4)2-4X5Xl=-4<0,原方程没有实数根.方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解或开平方法的选用因式分解或开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解.在用公式法时，要先计算加-4ac的值，若按-4ac<0,则判断原方程没有实数根.没有特殊要求时，一般不用配方法.板书设计一元二次方程的解法教学反思

学科数学年级九教师姓名日期课题一元二次方程根的判别式第几课时总课时教学目标.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念..会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.(重点，难点)教学重点难点分析会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？合作探究探究点：一元二次方程根的判别式［类型—］不解方程判断一元二次方程的根的情况硒1不解方程，判断下列方程的根的情况.(l)"+3x-4=0；1(2)x2-x+4=0；(3)x2—x+1=0.解析：根据求根公式我们可以知道当62—4a20时，方程才有实数根，而4ac<0时，方程没有实数根.由此我们不解方程就能判断-元二次方程根的情况.解：⑴2x2+3x-4=0,a=2,6=3,c=~4,.,.62-4ac=32-4X2X(-4)=41>0.二方程有两个不相等的实数根.1 1(2)N—工+4=0,a=l,b=—T,c=4.

1.,.Z>2-4ac=(-l)2-4X1X4=0.，方程有两个相等的实数根.(3)x2—x+l=0,a=\,b=—\,c=l..,./>2-4ac=(-l)2-4XlXl=-3<0.方程没有实数根.方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由〃-4ac的值的符号来判断方程根的情况.当〃-4m>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当从-4明=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当抉-4改<0时，一元二次方程无实数根.【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值砥已知关于X的一元二次方程3—1比2一入+1=。有两个不相等的实数根，则。的取值范围是()A.a>2B.a<2C.a<2且 D.a<-2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0,得到一个不等式，再由二次项系数不为0知4-1不为0.即4一4(0-1)>0且0-1/0,解得a<2且aWL选C.方法总结：一元二次方程ox2+ +c=0(aW0),当Z>2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当按-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当加-4ac<0时，一元二次方程没有实数根.反之也成立.若方程有实数根，则〃-4ac20.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题.板书设计(1)一元二次方程根的判别式：按一4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=03W0)的根的判别式，记作“A”.(2)利用判别式判断的根的情况：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程没有实数根.教学反思

学科数学年级九教师姓名日期课题一元二次方程根与系数的关系第几课时总课时教学目标.掌握一元二次方程的根与系数的关系；.会利用根与系数的关系解有关的问题.(重点)(难点)教学重点难点分析掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积同原来的方程有什么联系？(l)x2-2x=0；(2>2+3x-4=0；(3)N—5x+6=0.方程V]X2Xi+^2X\X2合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系的H利用根与系数的关系，求方程3/+6丫一1=0的两根之和、两根之积.解：这里a=3,b=6,c=—\,△=*4ac=62—4X3X(-1)=36+12=48>0,二方程有两个实数根.设方程的两个实数根为Xi，必，1那么X]+》2=—2,X]'X2=-3.方法总结：由一元二次方程根与系数的关系可求得.如果方程b c“2+bx+C=0（Q#0）有两个实数根X1必，那么Xl+X2=-a,x\X2=a.探究点二：【类型一】一元二次方程的根与系数的关系的应用利用根与系数的关系求代数式的值

®IH设xi，M是方程2N+4x—3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.x2x\（1）（占+2）（乃+2）: （2产l+x2.3解：根据根与系数的关系，得工1+工2=—2,修X2=-2.3 3（1）（X|+2）（工2+2）=X\X2+2（xj+工2）+4=-2+2X（—2）+4=-2.x2xlx22+x\2（xl+x2）2—2x1x2 14（2）xl4-x2=xlx2= xlx2 = =—3方法总结：先确定a,b,c的值,再求出Xi+m与XiM的值，最后将所求式子做适当的变形，把Xi+M与修应的值整体代入求解即可.［类型二］利用根与系数的关系求方程的根或字母系数的值砸1已知方程5N+b—6=0的一个根为2,求它的另一根及左的fl'i.6解：设方程的另一个根是修，则入|=一;，3 k/•Xj=-5.又•.•勺+2=-5,3 k:.—5+2=—5,:.k=—7.方法总结：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0,b2-4ac20）,当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和.［类型三］判别式及根与系数关系的综合应用的U已知a、夕是关于x的一元二次方程N+（2/n+3）x+m2=o的11两个不相等的实数根，且满足2+力=-1,求加的值.解：,・•服万是方程的两个不相等的实数根，:・a+B=—（2加+3）,afi=m2.11a+p—（2m+3）又•.•a+P= m2 =—］,化简整理，得wp—2加-3=0.解得机=3或加=—1.当川=一1时，方程为N+x+l=0,此时A=12-4<0,方程无解，：.m=~\应舍去.当机=3时，方程为x2+9x+9=0,此时A=92-4X9>0,方程有两个不相等的实数根，综上所述，m=3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母机的值，但一定要代

入判别式验算，字母加的取值必须使判别式大于0,这一点很容易被忽略.板书设计一元二次方程的根与系数的关系教学反思

学科数学年级九教师姓名日期课题增长率问题与经济问题第几课时总课时教学目标.会用列一元二次方程的方法解决有关实际问题：（重点，难点）.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，应用数学的意识.培养学生教学重点难点分析会用列一元二次方程的方法解决有关实际问题.教学方法自主学习法、合作探究法、教师精讲法教学准备教师准备课件，当堂检测、训练试题教学过程教学环节教师指导活动、学生学习活动及师生交互活动二次备课情境导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0」元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？*合作探究探究点一：增长（降低）率问题硒1某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%,改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3,4月份销售额的月平均增长率.解：设3,4月份销售额的月平均增长率为x.根据题意，得60X（l-10%）（l+x）2=121.5,则（l+x）2=2.25,解得xi=0.5,X2=-2.5（不合题意，舍去）.答：3,4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结：解决平均增长率（或降低的百分数）问题的关键是明确基础量和变化后的量.如果设基础量为小变化后的量为b,平均每年的增长率（或降低率）为X,则两年后的值为a（lix）2.由此列出方程a（l七02=6,求出所需要的量.

探究点二：经济问题阳某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解：设每件商品涨价X元，根据题意，得(50+x-40)(500-1Ox)=8000,即/一40乂+300=0.解得Xj=10,m=30.经检验，X!=10,X2=30都是原方程的解.当x=10时，售价为10+50=60(元)，销售量为500-1OX10=400(#).当x=30时，售价为30+50=80(元)，销售量为500-10X30=200(件).•••要尽量减少库存，二售价应为60元.答：售价应为60元.方法总结：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视''尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据.板书设计一元二次方程的应用教学反思

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