2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第1讲等差、等比数列基本运算和拔高运算（解析版）

第1讲等差、等比数列基本运算和拔高运算参考答案与试题解析一.选择题（共6小题）（2021春•抚顺期末）记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，己知工=0,%=5,则（）A.Sn=2n2-8h B.Sn=—n2-2nC.an=3n-10D.an=2n-5【解答】解：•・,S4=0,%=5,h4x3.n14---xd=0[4+4d=5解得4=—3,d=29an=—3+2（〃-1）=2n—5，Sn=-3/t+n（n-1）=n2-4〃,故选：D.2.（2021春•怀化期末）已知各项均为正数的等比数列｛%｝的前4项和为15,且％=3%+4%,则％=（ ）A.16 B.8 C.4 D.2【解答】解：根据题意，设等比数列｛〃〃｝的公比为夕，若必=34+%，则g/1，/1-心75 ffl-l则有l-q ，解可得二，523yl 14=2[ayq=3qq+4qq则%=qx/=4,故选：C.（2021•吉林校级月考）已知正项数列｛凡｝的前"项和为S.，若｛4｝和｛"j都是等差数TOC\o"1-5"\h\z歹U，且公差相等，则•=（ ）3 4 1A.- B.1 C.- D.-4 3 2【解答】解：由题意知数列｛〃〃｝的首项为％,公差为d.因为数列｛0｝的前〃项和是，所以#j"= ，y[s^=42a、+d, =J3q+3d.又｛、耳｝也是公差为d的等差数列，则 =J2al+d= +d,两边平方得:2q+d=4+2d«^~+/①叵=依+3d=府+2d,两边平方得：3q+3d=q+44也+4d2②②-①得：%=-2d+2d8+3/③,把③代入①得：d(2d-l)=0.所以〃=0或d=L2当d=0时，4=0,不合题意，当d时，代入③解得所以4=0)+d=?.故选：A.(2021春•吉安期末)命题：公差不为0的等差数列的通项可以表示为关于”的一次函数形式，反之通项是关于"的一次函数形式的数列为等差数列为真，现有正项数列｛4｝的前〃项和是S“，若｛q｝和｛£｝都是等差数列，且公差相等，则数列｛a,,｝的一个通项公式为()TOC\o"1-5"\h\z.2n—1 八2〃+1 _, ___ ,A. B. C.2n-l D.2〃+14 4【解答】解：设正项数列｛〃“｝的公差为d,首项4,。 n(n-1)JS„=na.+— —,〃 1 2底=何+(〃-l)d=向+5-Dd平方得，S〃=q+2y/a^(n-\)d+(n-1)2J2叫4--^——=O1+2y[a^(n-\)d+(n-l)2d2•整理得，n(g-d?)=2^a^d-d?-%,因为对任意〃eM都成立，所以——d2=0»义dwO.2所以d=g,代入2y/a^d-d2-dy=0得q=；.所以=q+(〃-l)d=；+g(〃—l)=2：1.（2021•肥城市模拟）若数列｛a,｝满足」"为常数），则称数列｛七｝为“调4+1an和数列”.已知正项数列■，｝为“调和数列”，且4+伪+…+d=90,则优女的最大值是（）A.10 B.100 C.200 D.400【解答】解：由已知数列｛，｝为调和数列可得〃用-6“=d（d为常数）二的,｝为等差数列，由等差数列的性质可得，4+4+…+4=9仇=90,/.b4+b（i=2b5=20,乂包>0,■■■b4-b6„（^i^）2=100.故选：B.（2021春•大竹县校级期中）若数列｛4｝满足」>-=d（n^N\〃为常数），则称数列a向4a｝为调和数列，已知数列为调和数列，且才+%+后+…+418=8072,则苍+与”,的最大值为（ ）A.0 B.2 C.2啦 D.4【解答】解：由题设知：T——1=母|一片=d（"CN*,〃为常数），.•.“；｝是等基数列,•••片+扁。.？/刈。（当且仅当天=^01。时取“等号”），（不等号两边同时加上¥+¥。通）.♦(/+/(Ho),,2(芯+石010)=16,+x201（p,4（当且仅当前=玄10=2时取"等号"），*,•七+工2010的最大值为4.故选：£>.二.填空题（共9小题）7.（2021•宝山区校级期中）已知｛七｝是等差数列，记计2«wN*）,设S“为｛4｝的前n项和，且3a5=7%>0,则当S“取最大值时，〃=17.【解答】解：设｛““｝的公差为d,则由3%=7a[2>。,可得号)d,其中d<0;从而，掇女17时，a„>0,%.而时,a„<0；又由此可得,啜!h15时,hn>0,”=16时，bn<0,”=17时，b,>。,”..18时,bn<0；因此只需比较九与，7，即比较练+3与零的关系：'|6+"17=a\(ja\iaw+a\ia\ia\9=ai7ai8(fl16+”19)=^17^18.(万^)>°'故517>S)s，故答案为：17.8.(2021•西湖区校级模拟)设公比不为1的等比数列｛”“｝满足且见，出，见成等差数列，则公比q=_-g_,数列仅”｝的前4项的和为.【解答】解：在公比不为1的等比数列｛q｝，由01ala,=-L得生3=J.,8 81一生二一万•又％，4，%成等差数列，,？4=出+4，即2a4=%+/夕，一4一1=0,解得q= 1).£7(==1.q则=1——+———=—•4 2488故答案为：—上；—.2 8(2021•秦州区校级月考)在各项均为正数的等比数列｛4｝中,q=2,且〃2,4+2,%成等差数列，记S,是数列｛q｝的前〃项和，则耳=126.【解答】解：设正项等比数列｛4｝的公比为g(q>0)，由4，a4+294构成等差数列，得出+4=2(4+2),又％=2.所以2g+2/=2(2/+2),解得4=2,所以§6=号二12=126.故答案为：126.(2021•浦东新区校级期中)已知公比大于1的等比数列｛4｝满足％+q=20,%=8,记"，为｛《,｝在区间(0，m](meN*)中的项的个数，｛"｝的前”项和为S“，则S’”=(n-2)-2"+2+n_.【解答】解：因为々+“4=20，4=8，<7>1>Q所以±+的=20,q解得，q=2,或q(舍)，故4=2,a“=2",故在区间(0,1]上，。=0,在(0,2],(0,3]上4=4=1，2个1,在(0,4],(0,5].(0,6],(0,7]上d="=4=4=2，22个2,归纳得，2"”加<2向，bm=n,则S,“=1x2+2x22+...+(/i-1)x2"-1+n,令7；=1x2+2x22+...+(〃-1)x2-T,则27；=1x22+2x23+...+(〃-2)x2"T+(〃-1)・2",两式相减得，-Tn=2+22+...+2"-' =2(i~2--(n-l)-2"=(2-n)-2n-2,1—2故7；=(〃-2>2”+2,由题意得，S2„=(n-2)-2"+2+n.故答案为：(n-2)-2"+2+n.(2021•钦州月考)正项等比数列｛%｝中，4=1,4=4%，记S.为｛q｝的前"项和.若S,“=127,则m=7.【解答】解：根据题意，设正项等比数列｛4｝的公比为q,则q>0,ab=4a4,即/=4,解可得q=2,5,„=127,即鼠=皿二2=2'"-1=127,解可得％=7,故答案为：7.(2021•启东市校级二模)在等差数列｛q｝中，若任意两个不等的正整数3p,都有ak=2p+\»ap=2k+19设数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，若k+p=m,则S刖=_m2_(结果用机表示).【解答】解:设公差为d,・・•％=2p+l=q+(2-l)d (1),%=22+1=4+(p-l)d(2)»由(1)-(2)可得d=-2.把d=-2代入6=2〃+l可得q+(4—1)(一2)=2〃+l,/.a,=2p+2*-l=2/n-l,c m(m-1), 八m(m-1)/C、2Sin=max+ -d=tn(2m-l)d «(-2)=nr,故答案为m2.13.(2021春•徐州期中)己知等比数列｛4｝满足q=l, 且对任意正整数火,%-(4+1+4+2)仍是该数列中的某一项，则公比4为—6T—.【解答】解：•.•等比数列｛”"｝满足4=1,0<夕<；,且对任意正整数A，ak-(ak+l+a*+2)仍是该数列中的某一项，a,=/，4一(4+1+4+2)=尸—(夕无+尸)=qi(l-”q2).・・♦〃“都是夕的几次方的形式，・・・1-4-42应该也是q的几次方的形式，TOC\o"1-5"\h\z0vg<—> ― —ci- <1»2 4・・.1一4一才只有可能等于外ill\—Q—Q~=Qti'/Q~+2q—1=0>解得q= .故答案为：>/2-\..(2021-九江三模)已知数列｛《,｝的前〃项和为S”,且满足4=1,a,f=2S“，设〃,=今，若存在正整数p, 使得白，bp,々成等差数列，则〃+〃=5.［解答］解：数列｛。〃｝满足q=1，an*ati+i=2S„,.\n=l时，=25,=24，解得a2=2.n..2时，2a〃=2(S〃-Si)=4(4+1-《I),二。〃工0，・..q川一%=2.，数列［an］是首项为1，公差为1的等差数列,=1+〃-1=〃.

•,也喙3•,也喙3n;存在正整数尸，夕(p<q),使得向，bp,4成等差数列,「⑵―，，”=，+且(*)「 1 "3武33g・.•数列｛〃j是单调递减数列.当夕=1时，由f当夕=1时，由f=

3—+—»解得q=l,舍去.33"3kl3kl30y3"当3,,3"当3,,p时，1—>0,A—<--h—,(*)不成立.¥3P33":.p=2,可得：—十&,解得y=3.933"p+q=5..(2021•六安模拟)设数列伍“｝的前几项和为S,，且6=%=1,｛，电+(〃+2)%｝为等差数列，贝Ua刈7=_2017-2-刈6_.【解答】解：:卬=。2=1,｛2,+("+2)°,｝为等差数列，.,.首项为：lxl+3xl=4,第二项为：2x(l+l)+4xl=8,公差为8-4=4.nSn+(〃+2)an=4+4(n-l)=4??.乜11nSn+(〃+2)an=4n."..2时，,=4--,n—\•-4=S._SnT= 77-1化为：殳=lx&_.11 27?—1•・.数列｛2｝是等比数列，公比为工，首项为1.n 24=1x(；尸=2~.an=n.2'-n.贝I］。刈7=2017,一刘6故答案为：2017・2一刈6.三.解答题（共6小题）（2021春•岳阳县校级期末）记S,,为公差不为0的等差数列｛a,J的前〃项和，已知52=-30,且q,%,a,成等比数列.（1）求数列｛q｝的通项公式；（2）求S一并求5“的最小值.【解答】解：（I）S“为公差d不为0的等差数列｛〃,,｝的前"项和，S2=-30,且a,1七成等比数列，可得4+%=-30,即24+d=-30,a^a-,=a,.即a44+6d）=（q+4d）2,联立①②求得a,=-16,d=2,可得a“=2”-18;⑵S=16+218）”-〃=（〃-马-人" 2 2 4当〃=8或〃=9时，5“有最小值—72.（2021•新课标I）设｛q｝是公比不为1的等比数列，q为%,外的等差中项.（1）求｛a“｝的公比；（2）若q=l,求数列｛〃4｝的前〃项和.【解答】解：（1）设｛a,J是公比夕不为I的等比数列，4为七，。3的等差中项，可得24=03+03,即2«1=a｝q+axq2，即为整+4-2=0.解得夕=一2（1舍去），所以｛a,J的公比为一2:（2）若4=1,则4=（-2尸，nan=〃.（-2尸，

则数列｝的前〃项和为Sn=1.1+24-2)+3<-2)2+…+〃<-2)"T,-2sli=1.(-2)+2<-2)2+34-2)3+...+〃4-2)",两式相减可得3s〃=1+(—2)+(―2)2+(―2)，+…+(—2)"1— 2)”1-(-2)"1-(-2)1-(-2)"1-(-2)-n.(-2)n,化简可得S上一(l+3〃*2\" 9所以数列｛na,,｝的前〃项和为"(1+')«-2)”(2021•新课标H)已知数列｛4｝和｛"｝满足q=l,么=0,4a“+|=3a„-包+4,曲用=3d-。,,-4.(1)证明：｛。“+6”｝是等比数列，｛a“-b"｝是等差数列；(2)求他“｝和｛〃｝的通项公式.【解答】解：(1)证明：•.•4a“+|=3a“-b“+4,4bn+l=3bn-an-4；4(可+|+如)=2(4t+4),4(an+,-b^)=4(a„-b„)+8;即4,+i+b*i=-(«„+bn),an+t-hn+l=an-bn+2：乂q+4=1,q—b[=1,.•.｛4+"｝是首项为1,公比为1的等比数列，｛4-么｝是首项为1,公差为2的等差数列；(2)由(1)可得：4+〃=§)"一,/一包=1+2(〃-l)=2n-l；：'an=g)""g，〃=受〃+119.(2021・浙江)已知等差数列｛4｝的公差4>0,设｛q｝的前〃项和为臬，4=1,S?电=36.(I)求」及，;(II)求加，A(m,AwN*)的值，使得+4+2+…+。吁&=65.【解答】解：(I)由q=1,S?@=36得,(q+々)(4+%+々3)=36,即(2+d)(3+3d)=36,化为1+3d-10=0,解得d=2或-5，又公差d>0,则d=2,所以S“=na｝+""；".I=n2(neN*).(H)由(I)得，an=1+2(〃—1)=2〃—1,,i,„,„ ,„ , ,„/〈Ju(k+Dk+j)I'lam+am+I+4“+2+…+/+*-65 - =65,即伏+l)(2m+上一1)=65,又，"，kwN”,则(A+l)(2m+A-l)=5xl3,或(Z+l)(2m+k-l)=lx65,下面分类求解：当左+1=5时，2m+k-\=\3,解得々=4,m=5:当4+1=13时，2W+无一1=5,解得左=12,m=-3,故舍去：当A+l=l时，2m+k-l=65,解得4=0,故舍去；当A+l=65时，2m+A—1=1,解得无=64，zn=-31>故舍去；综上得，k=4>m=5.20.(2021•天津校级月考)设正项数列｛q｝的前”项和是S“，｛凡｝和｛#：｝都是等差数歹I」,且公差相等4，%，％恰为等比数列血,｝的前三项.(1)求｛或｝的公比g：(2)求｛4｝的通项公式；(3)记数列4=(]2广3]了，｛c“｝的前〃项和为7；，求证：对任意〃eN”,都有7；<2.【解答】解：(1)正项数列｛4“｝的前〃项和是S"，｛4｝和｛£｝都是等差数列，且公差相等，设公差为d,则：6=J2q+d=百+d两边平方得：2+d=a、+ +d，①同理：=J3al+3d=。+2d两边平方得：3q+3d=+4d百+21②②-①得：q=2d百+3#-2d③③代入①解得：或0(0舍去)2进一步解得：«1=-所以:TOC\o"1-5"\h\z(2)由(1)得：a=•1„-—2 4%恰为等比数列｛4｝的前三项.1 3 9所以：4=q=_, =—»b3=a5=—所以：c.24bn2x3"

(12A„-1)2=(3--1)所以：c.”，… 2x3" 2x3" 2x3"-’ 1 1In..2RT. r< = ： =—： (3"-I)?(3"-1)(3"-3)(3"—1)(3"-'-1)3"-1-