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文档简介
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟(甲卷)试题文科数学
【解析版】一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={xeZ卜l<x<5},B={x[0<x43},则408=(A.{jc|-1<x<2}B.{x|0<x<3}C.{1,2,3}D.{0,1,2}2.某校随机抽取100名学生进行“绿色环保知识''问卷测试.测试结果发现这100名学生的得分都在[50,100)内,按得分情况分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法错误的是()A.这100名学生得分的中位数是72.5 B.这100名学生得分的平均数是72.5C.这100名学生得分小于70分的有50人D.这100名学生得分不小于90分的有5人TOC\o"1-5"\h\z.已知复数z=l+i,若z满足方程z2+az+2=0,则实数。的值为( )A.2 B.—2 C.1 D•—1.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+8)上单调递增的是( )A.y=cosxB.y= C.y=2、-2TD.y=ln|x|.已知双曲线E:二-1=l(a>0,b>0)的右焦点为尸(c,0),若尸到直线ar-cy=0的距离为[c,则E的ab" 2离心率为()A.2 B.: C.立 D.5/32 3.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间”单位:h)间的关系为P=6e山,其中外,%是常数.已知当,=5时,污染物含量降为过滤前的25%,那么%=(1,,A.——1,,A.——ln45In3-ln4B. 5C.-In45In4-ln3D. 5.设机,〃是两条不同的直线,尸是两个不重合的平面,则下列命题正确的是( )A.若机则机A.若机则机J_aB.若m1a,mu0,则a_L/7C.若C.若"?_La,〃_La,则m_L〃D.若mua,nu°、alI。,则相〃〃TOC\o"1-5"\h\z.“IBC中,三内角A,B,C所对的边分别为mb,c,已知asin8=2sinA,acosB=c+l,则A=( ).7t -57r _2n -3兀A.- B.— C.— D.—3 12 3 4.已知数列{m}是首项为q,公差为d的等差数列,前〃项和为S小满足2%=%+5,则5打( )A.35 B.40 C.45 D.50.笼子中有2只鸡和2只兔,从中依次随机取出一只动物,直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”,贝厂长耳朵''恰好是第2只被取出的动物的概率为()A.- B.~r C.- D.一6 2 3 4sin(2a——) » ( 、.已知 ——=-,则sin二一;=( )1_2cos2(^-^)5 I 3J3 2 4A.- B.-- C.一一 D.-5 5 5.设函数外力的定义域为A,〃x-l)为奇函数,/(x+1)为偶函数,当x«L3]时,〃力=辰+山,若/(0)-/(3)=-2,则/(2022)=()A.-2 B.0 C.2 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,且圆锥的母线长为2,则圆锥的侧面积是..已知向量£出满足|引=1,|5|=21与B的夹角为60。,则-涕|=..函数/口)=小布(8+夕),>0,0>0,嗣<?|的部分图象如图所示,若将〃力图象上的所有点向左平移看个单位得到函数g(X)的图象,则函数g(X)=.
.已知双曲线C:5•-方=1(。>0力>0)的左右焦点分别为6、尸2,过K的直线/与圆Y+y2=/相切于点T,且直线/与双曲线C的右支交于点P,若方=3将,则双曲线C的离心率为 .三、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(-)必考题:共60分.(12分)某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响,用A,8两个品牌的相机各拍摄了一张照片,然后随机调查了200个人,让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组,其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”:另一组则被告知相关信息,称为“对照组调查结果统计如下:选择A品牌相机拍摄的照片选择8品牌相机拍摄的照片盲测组6634对照组4456(1)分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率;n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)附:K2pg.Q0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828其中〃=a+b+c+d..(12分)已知数列{4}的前〃项和为S“,且满足2q,=S“-2〃+l,数列{S,,}的前〃项和为,.(1)求证:数列{4-2}为等比数歹ij;⑵求人.(12分)如图,直三棱柱ABC-AgG中,AB1BC,AB=2BC=y[2BB]=4,,E为棱的中点,F为棱AB上的点.(1)证明:CE1.GF;TT⑵当OF与平面ABC所成的角为了时,求三棱锥4cM的体积..(12分)已知函数/(x)=alnx-x,aeR.⑴讨论〃x)的单调性;(2)若x>l时,〃x)>-e、T恒成立,求。的取值范围..(12分)已知椭圆E:J+£=l(a>h>0)的左、右焦点分别为士,匕 是E上一点,且尸K与x轴垂直.(1)求椭圆E的方程:
(2)设过点5的直线/与E交于A、8两点,点M(o,l),且aMAK的面积是AMB人面积的2倍,求直线/的方程.(-)选考题:共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.x=3+m,25/5x=3+m,25/5
y= m5在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为y=在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为、。为参数),直线G的参数方程为y=22(加为参数).以。为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线G的极坐标方程和直线G的直角坐标方程:(2)若曲线G与直线C2交于两点,点P的坐标为(3,0),求忸那尸耳的值..[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数/(x)=|x+2|-麻-2|.(1)当。=1时,求不等式/(x)>2的解集;⑵当x«0,2)时,〃x)>x,求实数。的取值范围.答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={xeZ卜1cx<5},B={x[0<x43},则4口8=( )A.a-1<*42} B.{x|0<x<3}C.{1,2,3} D.{0,1,2}【解析】因为A={xwZ|-1<x<5}={0,1,2,3,4},B={x|O<x<3},所以403={1,2,3},故选:C.2.某校随机抽取100名学生进行“绿色环保知识''问卷测试.测试结果发现这100名学生的得分都在[5Q100)内,按得分情况分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法错误的是().频率0.040 110.030卜 0.015F i-i■-0.010k—1―。•喉FH-十鼻.U5060708090100得分A.这100名学生得分的中位数是72.5B.这100名学生得分的平均数是72.5C.这100名学生得分小于70分的有50人D.这100名学生得分不小于90分的有5人【解析】对A:根据频率分布直方图,设这100名同学得分的中位数为x,则有0.01x10+0.03x10+3-70)x0.04=0.5,解得x=72.5,故选项A正确;对B:根据频率分布直方图,可得100名学生得分的平均数是55x0.1+65x0.3+75x0.4+85x0.15+95x0.05=72.5,故选项B正确;对C:这100名学生得分小于70分的有100x(0.01+0.03)x10=40人,故选项C错误;对D:这100名学生得分不小于90分的有100x0.005x10=5人,故选项D正确.故选:C..已知复数z=l+i,若z满足方程z2+az+2=0,则实数。的值为()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】将z=l+i代入z2+az+2=0,得a+2+(a+2)i=0,所以可得。=一2.故选:B.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+8)上单调递增的是( )A.y=cosx B.y=-;—x2+\C.y=2x-2-x D.尸皿【解析】对于A选项,函数y=cosx为偶函数,且在(0,+8)上不单调:对于B选项,令〃x)=",该函数的定义域为R,*=所以,函数y= 为偶函数,且该函数在(0,+8)上单调递减;对于C选项,令g(x)=2*—2T,该函数的定义域为R,g(-x)=2r-2'=—g(x),所以,函数丫=2*-2-'为奇函数;对于D选项,令力(力=加可,该函数的定义域为{x|xh。},A(-x)=ln|-A|=ln|xj=/i(x),所以,函数y=ln|H为偶函数,当x>0时,y=lnx,故函数y=lnW在(0,+。。)上为增函数.故选:D.TOC\o"1-5"\h\z5.已知双曲线E:二-/■=l(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),若尸到直线以一cy=0的距离为!c,则E的b" 2离心率为( )A.2 B.g C.立 D.732 3【解析】依题意4=厂 ^=$c,所以4a2=。2+©2,即勿?二。?,所以/=1=3,所以e=石:y/a+c2 a'故选:D.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间/(单位:h)间的关系为P=4e"',其中综,%是常数.已知当f=5时,污染物含量降为过滤前的25%,那么4=()
A.——In45A.——In45In3-ln4C.-In45In4-In3【解析】由题意得:4e="=25%4,即e*=;,两边取对数,lne-"=ln",解得:^=1ln4.故选:C.设〃:,〃是两条不同的直线,a,力是两个不重合的平面,则下列命题正确的是( )A.若〃2_L〃,〃ua,则m_La B.若m_La,mu/7,则a_L/?C.若m_La,〃_La,则〃z_L〃 D.若mua/u夕,a//夕,则相〃〃【解析】选项A:若〃则加〃。或〃zua或泄与a相交.说法错误;选项B:若mta,mu0,则a_L夕.说法正确;选项C:若机J_a,〃_La,则加/〃.说法错误;选项D:若mua,nu/3、all(3,则加〃〃或也〃是异面直线.说法错误.故选:BTOC\o"1-5"\h\z.△ABC中,三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin8=2sinA,acos5=c+l,则A=( ).n -57r _2n _3nA.- B.— C.— D.—3 12 3 4【解析】解法一:由正弦定理及asinB=2sinA得,ab=2afb=2.2, 2_»2又「acos8=c+l,由余弦定理得:a-—— -=c+l,BPa2-c2-b2=2c,lac由余弦定理得cosA='±4=,£=」,又•.•A«(U),.•.A=§.故选:c.2bc2hc2 3解法二:由正弦定理及asin3=2sinA得,ah=2a,h=2.XVacosB=c+l, acosB=c+—h,由正弦定理得sinAcos8=sinC+Lsin8,sinAcosB=sin(A+8)+;sinB=sinAcos+cosAsinB+-sinB,,cosAsin8+;sin8=0,,:Bg(0,7t),sinB>0,cosA=—,又•.•Ae(0,7r), 4=与.故选:C..已知数列{a〃}是首项为q,公差为d的等差数列,前〃项和为S〃,满足2%=%+5,则5产( )A.35 B.40 C.45 D.50【解析】2%=%+5,则2(“+3d)=4+2J+5,即q+4d=5,即6=5,所以Sg=%+引=呵=9x5=45.故选:C
.笼子中有2只鸡和2只兔,从中依次随机取出一只动物,直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”,则"长耳朵''恰好是第2只被取出的动物的概率为()C.一3DC.一3【解析】把2只鸡记为外, 2只兔子分别记为“长耳朵””和短耳朵近则从笼中依次随机取出一只动物,直到4只动物全部取出,共有如下24种不同的取法:力),力),(〃2,”吗,力),(",力吗,。2),仇4仇4,”,令),仇生吗,”),其中“长耳朵”〃恰好是第2只被取出的动物,则共有6种不同的取法.贝”“长耳朵'’恰好是第2只被取出的动物的概率P=&=;,故选:Dsin(2a-?) 4 /.已知 ——=-,则sin|al-2cos2(---)5 I【解析】c.--D.-na—3【解析】c.--D.-na—3sin(2a--)由 ——1-2cos2(---)262I,故选:C.设函数〃x)的定义域为R,7(x-1)为奇函数,/(x+1)为偶函数,当xe[l,3]时,f(x)=kx+m,若/(0)-/(3)=-2,则/(2022)=()A.-2A.-2B.0C.2D.4【解析】因为/(X—1)为奇函数,所以/(—X—1)=—/(X—1KD;又/(x+1)为偶函数,所以f(-x+l)=/a+D②;令x=l,由②得:/(0)=/(2)=2A:+m,又/(3)=3%+6,所以/(0)_/(3)=2&+m_(3%+帆)=_左=_2,得k=2,令x=0,由①得:/(-!)=-/(-1)=>/(-1)=0;令x=2,由②得:/(-1)=/(3)=0,所以/(3)=3k+m=0nm=-6.得xe[l,3]时,/(x)=2x-6,结合得,/(x+2)=-/a—2)n/(x+4)=-/(x)n/(x+8)=—/(x+4)=f(x),所以函数〃x)的周期为T=8,所以〃2022)=/(252x8+6)=/(6)=—/(2)=—(2x2—6)=2.故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,且圆锥的母线长为2,则圆锥的侧面积是.【解析】设圆锥的底面半径为r,则母线长为/=0r=2,所以r=&,则侧面积”〃=2&乃..已知向量£石满足|。|=1,出|=24与'的夹角为60。,贝力|=.【解析】根据题意,无5=|同忸际60。=1,又|日-25|2=同2-4而+时牟,则,-匈=而..函数〃*)=加皿5+0)(4>0,。>0,网<泉)的部分图象如图所示,若将“X)图象上的所有点向左平移卷个单位得到函数g(X)的图象,则函数g(X)=.7T【解析】根据函数/(x)=Asin(0x+g)(A>O,(y>O,|e|<5)的部分图象,\Inn可得A=l,-x—=---,:.a)=2.46yl23再结合五点法作图,可得2x2+e=z,”=。,.•./(x)=sin(2x+?).将fM图象上的所有点向左平移个单位得到函数g(x)=sin(2x+9=cos2x的图象,故答案为:cos2x.2 2已知双曲线C:5-』=l(a>0力>0)的左右焦点分别为6、尸2,过耳的直线/与圆Y+y2=/相切于a"b"点T,且直线/与双曲线C的右支交于点P,若方=3转,则双曲线C的离心率为.【解析】如图,由题可知|o用=|O6|=C,|0刀=a,则用刀=6,XQ7P=3/-7',:.\TP\=3b,:.\FtP\^4b,又尸耳|一归周=2a,:.\PF^=Ab-2a,作鸟M//OT,可得后M|=2a,\TM\=b,则|尸阴=»在aMP6,\PM[+\MF^=\PF^,即c2=(2b-a)2,^2b=a+c,又•.•。2=/+从,化简可得3c2一加c-5a2=o,同除以0?得3e2-2^-5=0解得e=;或e=-l(舍去);所以双曲线的离心率为;.三'解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(-)必考题:共60分(12分)某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响,用A,B两个品牌的相机各拍摄了一张照片,然后随机调查了200个人,让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组,其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”;另一组则被告知相关信息,称为“对照组调查结果统计如下:选择A品牌相机拍摄的照片选择8品牌相机拍摄的照片盲测组6634对照组4456(1)分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率;(2)判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.附:*=(〃+*d)(a+c)(b+d),其中…+"c+d-户(正人)0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828
【解析】(1)由题中数据可知:盲测组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为需=0.66;44对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为丽=0.44.(2)零假设为“。:用户选择的照片与相机品牌之间无关,即相机的品牌对用户无影响.根据所给数据可得火2根据所给数据可得火2=堞中78,110x90x100x100因为9.778>6.635,根据独立性检验推断〃。不成立,即认为相机的品牌对用户有影响,此推断犯错误的概率不超过0.01,即有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响(12分)已知数列{《,}的前〃项和为S“,且满足2%=5“-2”+1,数列{S,,}的前〃项和为r,.(1)求证:数列{。0-2}为等比数列:⑵求人【解析】(1)当〃=1时,2al=4-1,。尸-1,当〃22时,二S”-2〃+1,①2a〃T=S1-2〃+3,②①一②得4=24.[-2,即%-2=2(%-2).又4-2=-3,・・・{q-2}是首项为-3,公比为2的等比数列.⑵由(1)知以“一2=-32'/=2-32一,・:2a-〃+l,二5“=2〃+3-3・2”,.-,7;,=[5+7+L+(2n+3)]-3-(2'+22+L+2")=茨2〃+8)—3.^|^=/+4〃+6-62.(12分)如图,直三棱柱ABC-ABC中,AB1BC,AB=2BC=>/2BB1=4,,E为棱88/的中点,尸为棱A8上的点.AA(1)证明:CE±C,F.IT(2)当。尸与平面ABC所成的角为:时,求三棱锥A-CEF的体积.【解析】(1)连接8。.由题可知:平面ABC_L平面平面ABCD平面BB<iC=BC,ABu平面ABC,且AB±BC,所以AB_L平面BB/C/C.又因为ECu平面BBiC/C,所以AB_LEC.在RfAEBC,tanNECB=等,在Rt/XBCG,tanNC/C=>/L所以GB,EC.因为4B_LEC,C.B1EC,CtBr>AB=B,GB,ABu平面FBCi,所以CEL平面尸8G.又因为GFu平面所以CEJ.C/.jr(2)连接尸C.因为CG_L平面ABC,所以直线0尸与平面ABC所成角为NC£C=w在Rf^GC尸中,CC、=2五,ZC.FC=p所以尸C=2&,在RfABCF中,CF=2丘,BC=2,所以FB=2,即尸为AB中点,1 11 ,5所以匕CFF=匕"C=-XS XEB=—X-X2x2x夜=A-C3 3D 3Bi20.(12分)已知函数/(x)=alnx-x,ae.R.⑴讨论〃x)的单调性;(2)若x>l时,/(力>-61恒成立,求。的取值范围.【解析】(D〃x)=alnx—x的定义域为(0,也),当“40时,尸(幻<0恒成立,所以f(x)在(0,内)上单调递减;当a>0时,令/'")>0,解得:xG(0,a),所以f(x)在(0,a)上单调递增;令((x)>0,解得:xw(a,+<»),所以/(x)在(a,+oo)上单调递减;
综上所述:当aVO时,/(x)在(0,+oo)上单调递减.当a>0时,f(x)在(O,a)上单调递增,在(a,+oo)上单调递减;(2)设g(x)=/(x)+e*T=。如x-x+e*T,(x>l),则有^(l)=O,g,(x)=--l+e4t-l(x>l).当a20时,g'(x)>O,g(x)在(1,+8)上单调递增,所以g(x)>g(l)=O,满足题意:当。<0时,g'(x)=--l+ex-',且g'(l)=a<0,X.•./€(1,+00)使工€(1,%)时,g'(X)<O,g(X)单调递减,使得g(X)<g⑴=0,不合题意.・.。的取值范围为[。,+8)..(12分)己知椭圆/。+£=1(4>6>0)的左、右焦点分别为「,尸2,尸卜,|)是E上一点,且电与x轴垂直.⑴求椭圆E的方程;(2)设过点总的直线/与E交于A、8两点,点M(0,l),且aMA6的面积是面积的2倍,求直线/的方程.【解析】⑴因为与x轴垂直,所以的(一1,0),6(1,0),且c=l,则2a=归用+归鸟|=J(l+l)2+[g-0)+|=4,即a=2,所以b=Q$-c2=有,故E的方程为亍+]■=1;⑵由题意,得|然»|飓当/与x轴重
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