2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（甲卷）试题文科数学【解析版】

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（甲卷）试题文科数学

【解析版】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={xeZ卜l<x<5},B={x[0<x43},则408=(A.{jc|-1<x<2}B.{x|0<x<3}C.{1,2,3}D.{0,1,2}2.某校随机抽取100名学生进行“绿色环保知识''问卷测试.测试结果发现这100名学生的得分都在[50,100）内，按得分情况分成5组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法错误的是（）A.这100名学生得分的中位数是72.5 B.这100名学生得分的平均数是72.5C.这100名学生得分小于70分的有50人D.这100名学生得分不小于90分的有5人TOC\o"1-5"\h\z.已知复数z=l+i,若z满足方程z2+az+2=0,则实数。的值为（ ）A.2 B.—2 C.1 D•—1.下列函数中，既是偶函数，又在（0,+8）上单调递增的是（ ）A.y=cosxB.y= C.y=2、-2TD.y=ln|x|.已知双曲线E:二-1=l（a>0,b>0）的右焦点为尸（c,0）,若尸到直线ar-cy=0的距离为[c,则E的ab" 2离心率为（）A.2 B.： C.立 D.5/32 3.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间”单位：h）间的关系为P=6e山，其中外，%是常数.已知当，=5时，污染物含量降为过滤前的25%,那么％=（1,,A.——1,,A.——ln45In3-ln4B. 5C.-In45In4-ln3D. 5.设机，〃是两条不同的直线，尸是两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )A.若机则机A.若机则机J_aB.若m1a,mu0,则a_L/7C.若C.若"?_La,〃_La,则m_L〃D.若mua,nu°、alI。,则相〃〃TOC\o"1-5"\h\z.“IBC中，三内角A,B,C所对的边分别为mb,c,已知asin8=2sinA,acosB=c+l,则A=( ).7t -57r _2n -3兀A.- B.— C.— D.—3 12 3 4.已知数列｛m｝是首项为q,公差为d的等差数列，前〃项和为S小满足2%=%+5,则5打( )A.35 B.40 C.45 D.50.笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，贝厂长耳朵''恰好是第2只被取出的动物的概率为()A.- B.~r C.- D.一6 2 3 4sin(2a——) » ( 、.已知 ——=-,则sin二一；=( )1_2cos2(^-^)5 I 3J3 2 4A.- B.-- C.一一 D.-5 5 5.设函数外力的定义域为A,〃x-l)为奇函数，/(x+1)为偶函数，当x«L3］时，〃力=辰+山，若/(0)-/(3)=-2,则/(2022)=()A.-2 B.0 C.2 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2,则圆锥的侧面积是..已知向量£出满足|引=1,|5|=21与B的夹角为60。，则-涕|=..函数/口)=小布(8+夕),>0,0>0,嗣<?|的部分图象如图所示，若将〃力图象上的所有点向左平移看个单位得到函数g(X)的图象，则函数g(X)=.

.已知双曲线C：5•-方=1(。＞0力＞0)的左右焦点分别为6、尸2,过K的直线/与圆Y+y2=/相切于点T,且直线/与双曲线C的右支交于点P,若方=3将，则双曲线C的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共60分.(12分)某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用A,8两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”：另一组则被告知相关信息，称为“对照组调查结果统计如下：选择A品牌相机拍摄的照片选择8品牌相机拍摄的照片盲测组6634对照组4456(1)分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率;n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)附：K2pg.Q0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828其中〃=a+b+c+d..(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足2q,=S“-2〃+l,数列｛S,,｝的前〃项和为，.(1)求证：数列｛4-2｝为等比数歹ij；⑵求人.（12分）如图，直三棱柱ABC-AgG中，AB1BC,AB=2BC=y[2BB]=4,,E为棱的中点，F为棱AB上的点.(1)证明：CE1.GF；TT⑵当OF与平面ABC所成的角为了时,求三棱锥4cM的体积..(12分)已知函数/(x)=alnx-x,aeR.⑴讨论〃x)的单调性；(2)若x>l时，〃x)>-e、T恒成立，求。的取值范围..(12分)已知椭圆E:J+£=l(a>h>0)的左、右焦点分别为士，匕 是E上一点，且尸K与x轴垂直.(1)求椭圆E的方程:

（2）设过点5的直线/与E交于A、8两点，点M（o,l）,且aMAK的面积是AMB人面积的2倍，求直线/的方程.（-）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.x=3+m,25/5x=3+m,25/5

y= m5在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y=在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为、。为参数），直线G的参数方程为y=22（加为参数）.以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线G的极坐标方程和直线G的直角坐标方程:（2）若曲线G与直线C2交于两点，点P的坐标为（3,0）,求忸那尸耳的值..［选修4-5：不等式选讲］（10分）已知函数/（x）=|x+2|-麻-2|.（1）当。=1时，求不等式/（x）＞2的解集；⑵当x«0,2）时，〃x）＞x,求实数。的取值范围.答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={xeZ卜1cx<5},B={x[0<x43},则4口8=( )A.a-1<*42} B.{x|0<x<3}C.{1,2,3} D.{0,1,2}【解析】因为A={xwZ|-1<x<5}={0,1,2,3,4},B={x|O<x<3},所以403={1,2,3},故选：C.2.某校随机抽取100名学生进行“绿色环保知识''问卷测试.测试结果发现这100名学生的得分都在[5Q100)内，按得分情况分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法错误的是().频率0.040 110.030卜 0.015F i-i■-0.010k—1―。•喉FH-十鼻.U5060708090100得分A.这100名学生得分的中位数是72.5B.这100名学生得分的平均数是72.5C.这100名学生得分小于70分的有50人D.这100名学生得分不小于90分的有5人【解析】对A：根据频率分布直方图，设这100名同学得分的中位数为x,则有0.01x10+0.03x10+3-70)x0.04=0.5,解得x=72.5,故选项A正确；对B：根据频率分布直方图，可得100名学生得分的平均数是55x0.1+65x0.3+75x0.4+85x0.15+95x0.05=72.5,故选项B正确；对C：这100名学生得分小于70分的有100x(0.01+0.03)x10=40人，故选项C错误；对D：这100名学生得分不小于90分的有100x0.005x10=5人，故选项D正确.故选：C..已知复数z=l+i,若z满足方程z2+az+2=0,则实数。的值为()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】将z=l+i代入z2+az+2=0,得a+2+(a+2)i=0,所以可得。=一2.故选：B.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+8)上单调递增的是( )A.y=cosx B.y=-；—x2+\C.y=2x-2-x D.尸皿【解析】对于A选项，函数y=cosx为偶函数，且在(0,+8)上不单调：对于B选项，令〃x)=",该函数的定义域为R,*=所以，函数y= 为偶函数，且该函数在(0,+8)上单调递减；对于C选项，令g(x)=2*—2T,该函数的定义域为R,g(-x)=2r-2'=—g(x),所以，函数丫=2*-2-'为奇函数；对于D选项，令力(力=加可，该函数的定义域为｛x|xh。｝,A(-x)=ln|-A|=ln|xj=/i(x),所以，函数y=ln|H为偶函数，当x>0时，y=lnx,故函数y=lnW在(0,+。。)上为增函数.故选：D.TOC\o"1-5"\h\z5.已知双曲线E:二-/■=l(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),若尸到直线以一cy=0的距离为!c,则E的b" 2离心率为( )A.2 B.g C.立 D.732 3【解析】依题意4=厂 ^=$c,所以4a2=。2+©2,即勿?二。?，所以/=1=3,所以e=石：y/a+c2 a'故选：D.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间/(单位：h)间的关系为P=4e"',其中综，%是常数.已知当f=5时，污染物含量降为过滤前的25%,那么4=()

A.——In45A.——In45In3-ln4C.-In45In4-In3【解析】由题意得：4e="=25%4,即e*=；,两边取对数，lne-"=ln",解得：^=1ln4.故选：C.设〃:，〃是两条不同的直线，a,力是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A.若〃2_L〃,〃ua,则m_La B.若m_La,mu/7,则a_L/?C.若m_La,〃_La,则〃z_L〃 D.若mua/u夕,a//夕，则相〃〃【解析】选项A:若〃则加〃。或〃zua或泄与a相交.说法错误；选项B:若mta,mu0,则a_L夕.说法正确；选项C:若机J_a,〃_La,则加/〃.说法错误；选项D:若mua,nu/3、all（3,则加〃〃或也〃是异面直线.说法错误.故选：BTOC\o"1-5"\h\z.△ABC中，三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin8=2sinA,acos5=c+l,则A=（ ）.n -57r _2n _3nA.- B.— C.— D.—3 12 3 4【解析】解法一：由正弦定理及asinB=2sinA得，ab=2afb=2.2, 2_»2又「acos8=c+l,由余弦定理得：a-—— -=c+l,BPa2-c2-b2=2c,lac由余弦定理得cosA='±4=，£=」，又•.•A«（U）,.•.A=§.故选：c.2bc2hc2 3解法二：由正弦定理及asin3=2sinA得，ah=2a,h=2.XVacosB=c+l, acosB=c+—h,由正弦定理得sinAcos8=sinC+Lsin8,sinAcosB=sin（A+8）+；sinB=sinAcos+cosAsinB+-sinB,，cosAsin8+；sin8=0,,:Bg（0,7t）,sinB>0,cosA=—,又•.•Ae（0,7r）, 4=与.故选：C..已知数列｛a〃｝是首项为q，公差为d的等差数列，前〃项和为S〃，满足2%=%+5,则5产（ ）A.35 B.40 C.45 D.50【解析】2%=%+5,则2(“+3d)=4+2J+5,即q+4d=5,即6=5,所以Sg=%+引=呵=9x5=45.故选：C

.笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则"长耳朵''恰好是第2只被取出的动物的概率为（）C.一3DC.一3【解析】把2只鸡记为外, 2只兔子分别记为“长耳朵””和短耳朵近则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法:力），力），（〃2，”吗，力）,（",力吗,。2），仇4仇4，”,令），仇生吗，”），其中“长耳朵”〃恰好是第2只被取出的动物，则共有6种不同的取法.贝”“长耳朵'’恰好是第2只被取出的动物的概率P=&=；,故选：Dsin(2a-?) 4 /.已知 ——=-,则sin|al-2cos2(---)5 I【解析】c.--D.-na—3【解析】c.--D.-na—3sin(2a--)由 ——1-2cos2(---)262I，故选：C.设函数〃x）的定义域为R,7（x-1）为奇函数，/（x+1）为偶函数，当xe[l,3]时，f（x）=kx+m,若/（0）-/（3）=-2,则/（2022）=（）A.-2A.-2B.0C.2D.4【解析】因为/（X—1）为奇函数，所以/（—X—1）=—/（X—1KD;又/（x+1）为偶函数,所以f(-x+l)=/a+D②;令x=l,由②得：/(0)=/(2)=2A:+m,又/(3)=3%+6,所以/(0)_/(3)=2&+m_(3%+帆)=_左=_2,得k=2,令x=0,由①得：/(-!)=-/(-1)=>/(-1)=0;令x=2,由②得：/(-1)=/(3)=0,所以/(3)=3k+m=0nm=-6.得xe[l,3]时，/(x)=2x-6,结合得，/(x+2)=-/a—2)n/(x+4)=-/(x)n/(x+8)=—/(x+4)=f(x),所以函数〃x)的周期为T=8,所以〃2022)=/(252x8+6)=/(6)=—/(2)=—(2x2—6)=2.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2,则圆锥的侧面积是.【解析】设圆锥的底面半径为r,则母线长为/=0r=2，所以r=&,则侧面积”〃=2&乃..已知向量£石满足|。|=1,出|=24与'的夹角为60。，贝力|=.【解析】根据题意，无5=|同忸际60。=1,又|日-25|2=同2-4而+时牟，则,-匈=而..函数〃*)=加皿5+0)(4>0,。>0,网<泉)的部分图象如图所示，若将“X)图象上的所有点向左平移卷个单位得到函数g(X)的图象，则函数g(X)=.7T【解析】根据函数/(x)=Asin(0x+g)(A>O,(y>O,|e|<5)的部分图象，\Inn可得A=l,-x—=---,:.a)=2.46yl23再结合五点法作图，可得2x2+e=z,”=。，.•./(x)=sin(2x+?).将fM图象上的所有点向左平移个单位得到函数g(x)=sin(2x+9=cos2x的图象，故答案为：cos2x.2 2已知双曲线C:5-』=l(a>0力>0)的左右焦点分别为6、尸2,过耳的直线/与圆Y+y2=/相切于a"b"点T,且直线/与双曲线C的右支交于点P,若方=3转，则双曲线C的离心率为.【解析】如图,由题可知|o用=|O6|=C,|0刀=a,则用刀=6,XQ7P=3/-7',：.\TP\=3b,:.\FtP\^4b,又尸耳|一归周=2a,:.\PF^=Ab-2a,作鸟M//OT,可得后M|=2a,\TM\=b,则|尸阴=»在aMP6,\PM[+\MF^=\PF^,即c2=（2b-a）2,^2b=a+c,又•.•。2=/+从，化简可得3c2一加c-5a2=o,同除以0?得3e2-2^-5=0解得e=；或e=-l（舍去）；所以双曲线的离心率为;.三'解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（-）必考题：共60分（12分）某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用A,B两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组调查结果统计如下：选择A品牌相机拍摄的照片选择8品牌相机拍摄的照片盲测组6634对照组4456（1）分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率;（2）判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.附：*=（〃+*d）（a+c）（b+d）,其中…+"c+d-户（正人）0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828

【解析】（1）由题中数据可知：盲测组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为需=0.66；44对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率为丽=0.44.（2）零假设为“。：用户选择的照片与相机品牌之间无关，即相机的品牌对用户无影响.根据所给数据可得火2根据所给数据可得火2=堞中78,110x90x100x100因为9.778>6.635,根据独立性检验推断〃。不成立，即认为相机的品牌对用户有影响，此推断犯错误的概率不超过0.01,即有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响（12分）已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，且满足2%=5“-2”+1,数列｛S,,｝的前〃项和为r,.（1）求证：数列｛。0-2｝为等比数列：⑵求人【解析】（1）当〃=1时，2al=4-1,。尸-1,当〃22时，二S”-2〃+1,①2a〃T=S1-2〃+3,②①一②得4=24.[-2,即%-2=2(%-2).又4-2=-3,・・・{q-2}是首项为-3,公比为2的等比数列.⑵由(1)知以“一2=-32'/=2-32一，・：2a-〃+l,二5“=2〃+3-3・2”,.-,7；,=[5+7+L+(2n+3)]-3-(2'+22+L+2")=茨2〃+8)—3.^|^=/+4〃+6-62.(12分)如图，直三棱柱ABC-ABC中，AB1BC,AB=2BC=>/2BB1=4,,E为棱88/的中点，尸为棱A8上的点.AA(1)证明：CE±C,F.IT(2)当。尸与平面ABC所成的角为:时，求三棱锥A-CEF的体积.【解析】(1)连接8。.由题可知：平面ABC_L平面平面ABCD平面BB<iC=BC,ABu平面ABC,且AB±BC,所以AB_L平面BB/C/C.又因为ECu平面BBiC/C,所以AB_LEC.在RfAEBC,tanNECB=等，在Rt/XBCG,tanNC/C=>/L所以GB，EC.因为4B_LEC,C.B1EC,CtBr>AB=B，GB,ABu平面FBCi,所以CEL平面尸8G.又因为GFu平面所以CEJ.C/.jr(2)连接尸C.因为CG_L平面ABC,所以直线0尸与平面ABC所成角为NC£C=w在Rf^GC尸中，CC、=2五,ZC.FC=p所以尸C=2&，在RfABCF中,CF=2丘，BC=2,所以FB=2,即尸为AB中点，1 11 ,5所以匕CFF=匕"C=-XS XEB=—X-X2x2x夜=A-C3 3D 3Bi20.(12分)已知函数/(x)=alnx-x,ae.R.⑴讨论〃x)的单调性；(2)若x>l时，/(力>-61恒成立，求。的取值范围.【解析】(D〃x)=alnx—x的定义域为(0,也)，当“40时，尸(幻<0恒成立，所以f(x)在(0,内)上单调递减；当a>0时，令/'")>0,解得：xG(0,a),所以f(x)在(0,a)上单调递增;令((x)>0,解得：xw(a,+<»),所以/(x)在(a,+oo)上单调递减;

综上所述：当aVO时，/(x)在(0,+oo)上单调递减.当a>0时，f(x)在(O,a)上单调递增，在(a,+oo)上单调递减；(2)设g(x)=/(x)+e*T=。如x-x+e*T,(x>l),则有^(l)=O,g,(x)=--l+e4t-l(x>l).当a20时，g'(x)>O,g(x)在(1,+8)上单调递增，所以g(x)>g(l)=O,满足题意：当。<0时，g'(x)=--l+ex-',且g'(l)=a<0,X.•./€(1,+00)使工€(1,%)时,g'(X)<O,g(X)单调递减，使得g(X)<g⑴=0,不合题意.・.。的取值范围为[。，+8)..(12分)己知椭圆/。+£=1(4>6>0)的左、右焦点分别为「，尸2,尸卜,|)是E上一点，且电与x轴垂直.⑴求椭圆E的方程；(2)设过点总的直线/与E交于A、8两点，点M(0,l),且aMA6的面积是面积的2倍，求直线/的方程.【解析】⑴因为与x轴垂直，所以的(一1,0),6(1,0),且c=l,则2a=归用+归鸟|=J(l+l)2+[g-0)+|=4,即a=2,所以b=Q$-c2=有,故E的方程为亍+]■=1；⑵由题意，得|然»|飓当/与x轴重